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Full text of "Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen in 4. aufl. neu bearb"

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DIE PARTIELLEM 



DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN 



DER 



MATHEMATISCHEN PHYSIK 



DIE PARTIELLEN 



DIFFERENTIAIi-GLEICHmGEN 



DER 



MATHEMATISCHES PHYSIK 



NACH RIEMANN'S VORLESUNGEN 

IN VIERTER AUFLAGE 

NEU BEARBEITET 

VON 

HEINRICH/WEBER 

TROFESSOK I>ER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT STRASSHURO 



ERSTER BAND 



MIT EINQEDBUOKTEN ABBIIiDCNOEX 



BIIAUNSCHWEIG 

DRÜCK UNU VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN 

19 00 



X p I J. I 



Alle Rechte, namentlich dasjenige der üebersetzung in fremde Sprachen, 

vorbehalten 



VORREDE. 



Üis ist jetzt ungefähr zwei Jahre her, seit mir die Verlags- 
buchhandlung von Fried r. Vieweg u. Sohn den Vorschlag 
machte, die Vorlesungen von Riemann über partielle Diflerential- 
gleichungen, die seit Riemann 's Tode in drei nicht wesentlich ver- 
schiedenen Auflagen, zuletzt im Jahre 1882, von Karl Hattendorff 
veröffentlicht waren, aufs Neue herauszugeben. Ich bin auf diesen 
Vorschlag zwar niclit ohne Bedenken, aber schliesslich doch 
guten Muthes eingegangen, um so mehr, als ich selbst schon 
seit Jahren den Gedanken bei mir erwogen habe, meine Arbeiten 
auf dem Gebiete der partiellen Differentialgleichungen einmal im 
Zusammenhang darzustellen und zu veröffentlichen. 

Riemann sagt in der Einleitung, die in der Hattendorft'- 
schen Bearbeitung nach einer Riemann 'sehen Aufzeichnung aus 
dem Jahre 1854 wörtlich abgedruckt ist, etwa Folgendes über die 
Aufgabe und das Wesen der mathematischen Physik: 

„Eine wissenschaftliche Physik existirt bekanntlich erst seit 
der Erfindung der Differentialrechnung. Erst seitdem man gelernt 
hat, dem Laufe der Naturereignisse stetig zu folgen, sind die 
Versuche, den Zusammenhang der Erscheinungen in abstracten 
Begriffen nachzuconstruiren , von Erfolg gewesen. Hierzu gehört 
zweierlei: erstens einfache Grundbegriffe, mit denen man con- 
struirt, und zweitens eine Methode, um aus den einfachen Grund- 
gesetzen dieser Construction , welche sich auf Zeitpunkte und 
Ilaumpunkte beziehen, die Gesetze für endliche Zwischen- 



VI Vorrede. 

Zeiten und Abstände, welche allein der Beobachtung zugäng- 
lich sind (mit der Erfahrung verglichen werden können), abzu- 
leiten." 

Die erste der beiden hier von Riemann bezeichneten Auf- 
gaben ist die Aufstellung der Differentialgleichungen, gestützt 
auf physikalische Thatsachen und auf Hypothesen. Die zweite 
ist die Integration dieser Differentialgleichungen und ihre An- 
wendung auf den einzelnen concreten Fall, und dies ist Aufgabe 
der Mathematik. 

Riemann führt nun aus, wie sich auf den Grundlagen, die 
Galilei und Newton gelegt haben, die physikalischen Theorien 
entwickelt haben, wie die Anschauungen Newton's in den ver- 
schiedenen Zweigen der mathematischen Physik zum Ausdruck 
der Gesetze durch Differentialgleichungen geführt haben, und 
wie die Wissenschaft noch zu der Zeit, da er schrieb, auf dem 
Standpunkt Newton^s stehe. 

„Es ist seit Newton kein neuer Fortschritt gemacht", 
schreibt er; „alle Versuche, über diese Grundbegriffe hinaus ins 
Innere der Natur zu dringen, sind bis jetzt missglückt; der Ein- 
fluss der späteren philosophischen Systeme, wo er sich in der 
physikalischen Literatur geltend gemacht, hat nur den Erfolg 
gehabt, die ursprüngliche Auffassung Newton's zu verunstalten 
und Inconsequenzen in dieselbe einzuführen." 

Dass Riemann selbst an einer Vertiefung der Natur- 
erkenntniss über die Newton 'sehen Grundlagen hinaus mit 
Ernst gearbeitet hat, wissen wir aus seinen Briefen und den von 
ihm hinterlassenen naturphilosophischen Fragmenten, die in seinen 
gesammelten Werken (Leipzig 1876, 1. Auti.; 1892, 2. Aufl.) ver- 
öffentlicht sind. Es zeigen sich in diesen Fragmenten deutliche 
Spuren des Bestrebens, einerseits die verschiedenen Natur- 
erscheinungen, wie Licht, Wärme, Elektricität, Gravitation aus 
einer gemeinsamen Quelle abzuleiten, andererseits sie auf eine 
Uebertragung der Wirkung durch eine vermittelnde Substanz 
zurückzuführen. Die angeführte Stelle deutet aber darauf, dass 
er zur Zeit als er sie niedei-schrieb, mit den Ergebnissen seiner 
naturphilosophischen Speculationen noch nicht zufrieden ge- 
wesen ist 



Vorrede. VII 

Seit jener Zeit ist fast ein halbes Jahrhundert verstrichen, 
und die Sachlage ist eine andere geworden. 

Von England her, von wo uns vor zweihundert Jahren die 
Lehre von der allgemeinen Gravitation gekommen ist, hat sich eine 
Anschauung Bahn gebrochen, die, wenigstens was die Erschei- 
nungen der Elektricität, des Magnetismus und des Lichtes betrifft, 
jenem Riemann^schen Ideale nahe kommt, wenn sie uns auch 
in Bezug auf die Gravitation bis jetzt noch im Stiche lässt. Es 
ist die auf Faraday^s Anschauungen fussende , von Maxwell 
ausgebaute, und jetzt fast allgemein angenommene Theorie des 
Elektromagnetismus und des Lichtes, durch die diese Erschei- 
nungen nicht mehr aus einer unvermittelten Fernewirkung, son- 
dern aus einem Spannungszustande des umgebenden Raumes ab- 
geleitet werden. Hand in Hand mit der Entwickelung dieser 
Theorie, die grosse Erscheinungsgebiete auch in mathematisch 
befriedigender Weise erklärt, ist die Erkenntniss neuer That- 
sachen und Erscheinungen gegangen, die sie auf jedem Schritte 
bestätigt haben, und die der mathematischen Theorie eine Fülle 
neuer Aufgaben stellt Wir brauchen nur an die Experimente 
von H. Hertz zu erinnern, die eine so augenfällige Ueberein- 
stimmung in den Gesetzen der Fortpflanzung elektrischer Wir- 
kung mit der Optik ergeben haben. Alles in Allem haben wir 
es hier mit einer Anschauung zu thun, die auch den zu er- 
freuen geeignet ist, der in den physikalischen Theorien mehr 
sucht, als blosse Darstellung oder Beschreibung der Erschei- 
nungen. 

Durch diese Entwickelung hat die mathematische Physik 
eine durchgreifende Umgestaltung erfahren. Es ist dies aber 
nicht so zu verstehen, als ob nun die älteren Theorien falsch 
oder überflüssig geworden seien. Sie haben vielmehr in der 
Hauptsache eine neue Bestätigung und tiefere Begründung ge- 
funden. Freilich sind wesentliche Ergänzungen hinzugekommen, 
die auch auf die mathematische Behandlung zurückwirken. Hier- 
her gehören die schon genannten elektromagnetischen Schwin- 
gungen, und alle die neuen Aufgaben, die aus der Weiter- 
entwickelung der Hydrodynamik, der Elasticitätslehre, der physi- 
kalischen Chemie geflossen sind. 



VIII Vorrede. 

Auch die mathematischen Hülfsmittel für die Integration 
der partiellen Differentialgleichungen haben in den letzten Jahr- 
zehnten manchen Zuwachs erhalten, unter denen ich hier nur die 
hauptsächlich auf Riemann's Eintiuss zurückzufiihrende aus- 
gedehnte Anwendung der functionentheoretischen Methoden hervor- 
heben möchte. 

Wenn sich hiernach der Inhalt der mathematischen Physik 
in den vierzig Jahren, seit Riemann diese Vorlesung zum letzten 
Mal gehalten hat, so bedeutend verändert hat, so war es keine 
Frage, dass ein unveränderter oder wenig revidirter Abdruck 
jener Vorlesungen gar nicht mehr zeitgemäss gewesen wäre, sollte 
das Buch mehr als bloss historischen Werth haben, sollte es, wie 
es seiner Zeit gewesen ist, ein Handbuch sein, das auch dem 
Physiker in leicht verständlicher Form die uöthigen theoretischen 
Hülfsmittel .bietet. Es musste also an eine vollständige Neu- 
bearbeitung gegangen werden. Dabei erschien es denn auch an- 
gemessen, die Beschränkung aufzugeben, die die gemessene Zeit 
einer Universitätsvorlesung vorschrieb. In den Hattendorff sehen 
Ausgaben findet sich nichts über Elektricität und Magnetismus. 
Der physikalische StoflF beschränkt sich auf Wärmeleitung, Eiasti- 
cität und Hydrodynamik. Dies war um so mehr gerechtfertigt 
als Riemann die Schwere, die Elektricität und den Magnetis- 
mus in einer anderen Vorlesung behandelt hat, die gleichfalls 
von Hattendorff für den Druck bearbeitet ist (Hannover 1876). 
So entstand denn der Plan, um einige Vollständigkeit zu 
erreichen, das Werk in zwei Bänden herauszugeben, von denen 
der erste jetzt vorliegende ausser den, allgemeinen mathe- 
matischen Hülfsmitteln die Gebiete der Elektricität und des 
Magnetismus, und zuletzt die Theorie der elektrolytischen Ver- 
schiebungen, behandelt. Der zweite Band, der dem ersten baldigst 
folgen soll, wird die Wärmeleitung, die Theorie der Schwingungen, 
einschliesslich der elektrischen, die Elasticitätstheorie und Hydro- 
dynamik enthalten. 

Eines aber muss noch hervorgehoben werden. Das vorliegende 
Buch soll kein physikalisches Lehrbuch sein. Die kurzen Ent- 
wickelungen der einzelnen physikalischen Theorien machen keinen 
Anspruch auf Vollständigkeit. Sie sollen nur die Theorien, aus 



Vorrede. IX 

denen die behandelten Probleme entnommen sind, verständlich 
machen. Der Schwerpunkt liegt in der mathematischen Behand- 
lung der einzelnen Probleme. Es ist bei der Fülle des Stoffes 
selbstverständlich, dass bei diesen Problemen nur eine sehr be- 
schränkte Auswahl getroffen werden konnte, wobei neben dem 
physikalischen besonders auch auf das mathematische Interesse 
Gewicht gelegt ist. Umständliche Entwickelungen und Annähe- 
rungsrechnungen, so sehr sie auch dem Physiker in Ermangelung 
besserer und strenger Methoden nothwendig sein mögen, sofern 
sie ohne besonderes mathematisches Interesse sind, werden ver- 
mieden. 

Ebenso aber sind Fragen von nur mathematischem Interesse, 
die dem Physiker allzu abstract erscheinen möchten, z. 6. die 
schwierigen tiefer gehenden Untersuchungen über die Existenz 
der Lösungen, nicht in den Kreis der Betrachtungen gezogen. 

Es entstand nun aber die Frage, ob es bei dem Plane, 
den ich hier dargelegt habe, dessen Durchführung eine durch- 
greifende Umarbeitung in allen Theilen nöthig machte, noch 
gerechtfertigt sei, das Werk als Vorlesung Riemann's zu be- 
zeichnen. 

Ich bin mir wohl bewusst, dass ich in der Hauptsache die 
Verantwortung allein trage. Da aber nicht nur die Anlage im 
Ganzen in Riemann's Weise beibehalten ist, sondern ich auch, 
so viel in meinen Kräften stand, bemüht gewesen bin, die Arbeit 
in Riemann's Sinn und Geist fortzuführen, so habe ich es 
gewagt, demW^erke auf dem Titel den Schmuck von Riemann's 
Namen zu lassen. 



Strassburg, Juni 1900. 



H. Weber. 



INUALTSVERZEICHNISS DES ERSTEN BANDES. 



S- 2. Functionen. Stetipfkeit 3 

§. 3. Bestimmte Integrale 6 



Erstes Buch. 

Analytiaolie Hülfsmittel. 

Erster Abschnitt. 
Bestimmte Integrale. 

Seite 

§. 1. Obere und untere Grenze 3 

§. 4. Erweiterung des Integralbegriö's 8 

§. 5. Der erste Mittelwerthsatz 13 

S. ü. Der zweite Mittelwerthsatz 14 

§. 7. Bedingt convergente Integrale 16 

$. 8. Stetigkeit eines bestimmten Integrals als Function eines Para- 
meters 18 

<j. 9. Stetigkeit eines Integrals bei bedingter Convergenz 20 

v!^. 10. Differentiation eines Intepfrals nach einem Parameter . . . . 22 

§. 11. Vertauschung der Integrationsfolge 23 

v$. 12. Berechnung bestimmter Integrale. Erstes Beispiel 26 

S- 13. Zweites Beispiel 28 

S. 14. Drittes Beispiel 30 

Zweiter Abschnitt. 
Der Fourier'sche Lehrsatz. 

§. 15. Das Dirichlot'sche Integral 32 

§. 16. Verallgemeinerungen 35 

§. 17. Das Fourier'sche Doppelintegral 37 

§. 18. Specielle Formen des Fourie raschen Theorems 41 

§. 19. Beispiele 42 

Dritter Abschnitt. 

Unendliche Reihen. 

^. 20. Convergenz von Reihen überhaupt 44 

§. 21. Unbedingte Convergenz 46 



XII InhaltsverzeicliniBB des ersten Bandes. 

Seite 

§. 22. Bedingte Convergenz 49 

§. 23. Beispiel 51 

§. 24. Ein Satz über Reihen convergenz 54 

§. 25. Der Abel' sehe Satz über Stetigkeit von Potenzreihen .... 56 

§. 26. Halbconvergente Reihen 57 

Vierter Abschnitt. 
Fourier'sohe Heihen. 

§. 27. Gleichmässige und nngleichmässige Convergenz 62 

§. 28. Beispiel 63 

§. 29. Stetigkeit, Integration und Differentiation unendlicher Reihen . 67 

§. 30. Beispiel 68 

§. 31. Fourier'sche Reihen 70 

§. 32. Summation der trigonometrischen Reihe 72 

§. 33. Besondere Formen der Fouri er 'sehen Reihe 74 

§. 34. Beispiele 76 

§. 35. Grad der Convergeoz der Fouri er 'sehen Reihe 78 

Fünfter Abschnitt. 
Mehrfache Integrale. 

§. 36. Mehrfache Integrale 81 

§. 37. Transformation von Raumintegrali'n 83 

§. 38. Oberflächenintegrale 86 

§. 39. Der Gauss'sche Integralsatz 88 

§. 40. Der Satz von Stokes 91 

§.41. Transformation von Dififerentialausdrücken 94 

§. 42. I. Beispiel: Cylindercoordinaten, Polarcoordioaten 97 

§. 43. IL Beispiel: Elliptische Coordinaten 99 

§. 44. III. Beispiel: Ringcoordinaten 103 

Sechster Abschnitt. 
Functionen complexen Arguments. 

§. 45. Definition einer Function complexen Arguments 106 

§. 46. Conforme Abbildung 108 

§. 47. Integrale von Functionen complexen Arguments 112 

§. 48. Der Satz von Cauchy 115 

§. 49. Stetige Fortsetzung 119 

§. 50. Beispiel I: Reciproke Radien 121 

j$. 51. Beispiel II: Abbildung durch lineare, gebrochene Functionen . 123 

§. 52. Beispiel III: Confocale Kegelschnitte 124 

Siebenter Abschnitt. 
Differentialgleichungen. 

§. 53. Definition und Eintheilung 126 

§. 54. Die willkürlichen Integrationsconstanten. Das vollständige Integral 127 



InhaltsYerzeichniss des ersten Bandes. XIII 

Seite 

§. 55. Homogene lineare Dififereniialgleichungen 128 

§. 56. Homogene lineare Dififerentialgleichungen mit constanten Cocffi- 

cienten 131 

§. 57. Anwendung. Schwingungen einer Magnetnadel ...... 133 

§. l)S. Fortsetzung. Aperiodische Schwingungen 136 

§. 59. Systeme linearer Differentialgleichungen mit constanten Coeffi- 

cienten 137 

§. 60. Berechnung bestimmter Integrale durch die Integration von 

Differentialgleichungen 140 

§. 61. Zweites Beispiel 143 

§. 62. Nicht homogene lineare Differentialgleichungen 144 

§. 63. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung 147 

§. 64. Zurückführung auf gewöhnliche Differentialgleichungen . . . 149 

§. 65. Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . 151 

Achter Abschnitt. 
Bessel'sohe Funotionen. 



• 



§. 66. Entwickelung von cos**w in eine Fourier'sche Reihe .... 154 

§. 67. Die Entwickelung von e'^^osw ^^ ^^^^ trigonometrische Reihe 156 

§. 68. Die Bessel'schen Functionen 157 

{j. 69. Relationen zwischen den BessePschen Functionen verschie- 
dener Ordnung und die Differentialgleichung für dieBessel'- 

sehen Functionen 159 

§. 70. Integralformeln für die Bessel' sehen Functionen . . . . 162 

§. 71. Die Wurzeln von /n 164 

§. 72. Die Function S(^) 168 

§. 73. Darstellung der Bessel' sehen Functionen durch die Func- 
tion S(2) 172 

§. 74. Potenzentwickelung für die Function S(j:) 175 

§. 75. Obere Grenze für die Function S{z) 178 

§. 76. Halbconvergente Reihen für S(z) . 180 

§. 77. Bestimmte Integrale mit BesseT sehen Functionen 185 

§. 78. Zweites Beispiel 187 

§. 79. Darstellung willkürlicher Functionen durch Besscl'sche Func- 
tionen 190 



Zweites Buch. 

Geometrisolie und meohaiiisolie Grundsätze. 

Neunter Abschnitt. 
Lineare infinitesimale Deformation. 

§. 80. Drehungen, Schraubungen und Richtungssysteme 197 

g. 81. Lineare Deformation 198 

§. 82. Drehung 200 

§. 83. Dehnung .* 202 

§. 84. Die allgemeine infinitesimale lineare Deformation 205 



XIV Inhaltsyerzeichnias dies ersten Bandes. 

Zehnter Abschnitt. 
Vectoren. 

Seite 

§. 86. Felder, Skalare und Vectoren 207 

§. 86. Darstellung eines Vectors durch eine lineare infinitesimale De- 
formation 210 

§. 87. Curl und Divergenz eines Vectors 211 

§. 88. Der Gradient eines Skalars 212 

§. 89. Der Gauss'sche und der Stokes'sche Integralsatz 215 

§. 90. Ausdruck des Curls in einem beliebigen Coordinatensystem . 216 

§. 91. Stromlinien und Wirbellinien 218 

§. 92. Kraftlinien 220 

§. 93. Potentialvectoren 222 

§. 94. Vectoren mit verschwindender Divergenz 224 

Elfter Abschnitt. 
Potentiale. 



§. 95. Vorbereitung zum Green'schen Satz 227 

§. 96. Specialisirung der Function U 228 

§. 97. Der Green'schc Satz 231 

§. 98. ünstetigkeiten * 234 

§. 99. Unendliche Felder 235 

§. 100. Das Newton'sche Potential 238 

§. 101. Die Kraftcompoüenten 240 

§. 102. Stetigkeit der Functionen V, X, Y, Z 242 

§. 103. Die DifTerentialquotienten von X, Y, Z . 244 

§. 104. Bestimmung von J V und der Ünstetigkeiten von V . . , , 246 

Zwölfter Abschnitt. 

Beispiele zum Potential. 

§. 105. Das Problem des Potentials gegebener Massen 250 

§. 106. Potential einer homogenen Kugel 251 

J}. 107. Potential eines EUipsoids 255 

§. 108. Ellipsoidische Schale 258 

Dreizehnter Abschnitt. 

Kugelfunotionen. 

§. 109. Die Green' sehe Function für eine Kugel 262 

§. 110. Bestimmung eines Potentials in einer Kugel bei gegebenen 

Oberflächen werthen . 263 

§. 111. Potential im Aussenraum einer Kugel 266 

ij. 112. Die einfachen Kugelfunotionen 268 

§. 113. Die allgemeinen Kugelfunctiouen 270 

g. 114. Darstellung der einfachen Kugelfunctiouen 272 

§. 115. Darstellung der allgemeinen Kugelfunctiouen • . . 273 

§. 116. Die Differentialgleichung der Kugelfunctiouen 277 



InhaltsverzeichnisB des ersten Bandes. XY 

Vierzehnter Abschnitt. 
Ueberblick über die Grundsätze der Mechanik. 

Seite 

§. 117. Die Grundlagen der Mechanik * . 282 

§. 118. Das Princip der virtuellen Verrückungen 28S 

§. 119. Das d'Alembert'sche Princip 286 

§. 120. Der Satz von der Erhaltung der Energie 287 

§. 121. Stabilität des Gleichgewichtes ... 291 

§. 122. Die Principien der Dynamik 29i 

§. 123. Das Uamilton'sche Princip und die zweite Lagrange'sche 

Form der Differentialgleichungen der Dynamik 297 

§. 124. Die Uamilton'sche Form der dynamischen Diiferential- 

gleichungen . 299 

§. 125. Das Princip der kleinsten Wirkung 301 



Drittes Buch. 

Elektrioität und Magnetismus. 

Fünfzehnter Abschnitt. 

Elektrostatik. 

§. 126. Vectoren im elektrischen Felde '. 305 

§. 127. Das elektrostatische Problem 309 

§. 128. Der Energievorrath und die freie Ladung 313 

§. 129. Das Coulomb'sche Gesetz 315 

ii}. 130. Die Contactelektricitat 318 

Sechzehnter Abschnitt. 
Probleme der Elektrostatik. 

Influenz eines elektrischen Punkte» . . 322 

Elektricitätsverthcilung auf concentrischen Kugelflächen . . . 323 

Vertheilung der Elektricität auf einem EllipRoid 325 

Andere Behandlung der Kreisscheiben 326 

Contactelektricitat 329 

Vertheilung der Elektricität auf Cylinderflächen 334 

Zurückführung des Problems auf eine Abbildungsaufgabe ■ . 339 

Die Flächendichtigkeit 341 

Klektricitätsvertbeilun^if auf einem Prisma 343 

Bestimmung der Function */» (w) 345 

Influenz zweier cylindrischer Leiter 348 

Bestimmung der Function Xi M ^^^ 

Con forme Abbildung auf einen Kreisring 355 



§. 


131. 


§. 


132. 


§• 


183. 


§. 


134. 


§. 


135. 


§. 


136. 


§• 


137. 


§• 


138. 


§. 


139. 


§. 


140. 


§. 


141. 


§• 


142. 


§• 


143. 



XYI InhaltsyerzeichniBB des ersten Bandes. 

Siebenzehnter Abschnitt. 
Magnetismus. 

Seite 

§. 144. Das magnetische ^Gleichgewicht 360 

§. 145. Permanente Magnete 363 

§. 146. Die magnetischen Momente 365 

§. 147. Magnetische Indnction. Kugel 367 

§. 148. Magnetische Induction. Ellipsoid 369 

§. 149. Ein permanenter Magnet im magnetischen Felde 371 

§. 150. Magnetische Doppelflächen 375 

Achtzehnter Abschnitt. 
Elektrokinetik. 

§. 151. Elektrische und magnetische Ströme 377 

§. 152. Die Maxwell'schenGrundgleichnngen des Elektromagnetismus 381 

§. 153. Der Energievector 384 

§. 154. Das Energieprincip 387 

§. 155. Wirkung der elektrischen Kraft auf Elektricitätsmenp^en . . 388 

§. 156. Eindeutigkeit der Lösung der Maxwell'schen Gleichungen . 31)0 

§. 157. Elektromotorisch wirksame Flächen 392 

§. 158. Ausgleichung einer elektrischen Ladung 398 

Neunzehnter Abschnitt. 

Elektrolytisohe Leitung. 

§. 159. Wirkung der elektrischen Kraft auf die Ionen 401 

§. 160. Der osmotische Druck 403 

§. 161. Der elektrische Strom 406 

Zwanzigster Abschnitt. 
Stationäre elektrische Ströme. 

§. 162. Stationäre Zustände 410 

§. 163. Das Problem der stationären Ströme 413 

§. 164. Das Kirch ho ff 'sehe Gesetz der Strombrechung 415 

§. 165. Lineare Leiter. Stromverzweigung 416 

§. 166. Die Elektroden 418 

§. 167. Widerstand räumlich ausgedehnter Leiter 423 

Einundzwanzigster Abschnitt. 
Strömung der Elektrioität in Platten. 

§. 168. Conforme Abbildung von Flächen 426 

§. 169. Strömung in Platten 429 

§. 170. Strömung in ebenen Platten. 431 

§. 171. Kreisförmige Platten 436 



Inhalt8verzeichni88 des ersten Bandes. XVII 

Seite 

§. 172. Strömung in Itöhrenflächen 438 

§. 173. Strömung in einer RingSäche 442 

§. 174. Strömung in einer zusammengesetzten Platte 446 

Zweiundzwanzigster Abschnitt. 
Strömung der Blektrioitftt im Saume. 



§. 
§. 
§• 
§. 
§. 
§. 
§• 



175. Anwendung des Green' sehen Satzes auf elektrische Strömung 451 

176. Methode von Kirch hoff zur Vergleich ung der Leitfähigkeiten 455 

177. Strömung in einer Kugel 457 

178. Strömung in einer planparallelen Platte 460 

179. Riemann 's Theorie' der Nobili' sehen Farbenringe .... 465 

180. Polarisation der Elektroden .468 

181. Der cylindrische Fall 472 

182. Strömung in einem Cylinder 475 

183. Kugel im constanten Stromfelde 477 

Dreiundzwanzigster Abschnitt. 
Elektroly tische Versohiebungen. 

§. 184. Differentialgleichungen der lonenbewegnng 481 

§. 185. Binäre Elektrolyte 483 

§. 186. Vorgänge in einer Dimension 485 

§. 137. Eine particulare Lösung 487 

§. 188. Vernachlässigung der Diffusion 491 

v:^. 189. Geometrische Deutung des Integrals 495 

§. 190. Fortpflanzung einer ünstetigkeit 497 

§. 191. Ünstetigkeit im Anfangszustande 499 

§. 192. Beispiel 502 



Berichtigungen. 



6« _!!." 

2 «x^xx ^ 2 



Seite 185, Zeile 10 von unten lies j^x statt „x 

1 

Seite 192, Formel (13) soll heissen A^ = 2 {f{x)xdx. 



Seite 219, Zeile 6 und 8 von unten lies „Verlust" statt „Zuwachs''. 

Seite 21 9f Zeile 1 von unten, Formel (5), lies — div q ^ statt div q %, 

Seite 295, Zeile 15 von unten lies „der'' statt „den''. 

Seite 404, Formel (6) lies -|- E g^rad log « statt — B grad log «. 

Seite 408, Formel (11) und (14) lies ± statt +. 

Seite 414, Zeile 9 von oben, Formel (1) soll heissen 

— div X q> g^ad u> -\- ^ div X grad <f. 
Seite 414, Formel (2) lies © = A grad ^ statt S = — X grad <f. 



ERSTES BUCH. 



ANALYTISCHE HÜLFSMITTEL. 



Biemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen. 



Erster Abschnitt. 
Bestimmte Integrale. 



§.1. 
Obere und untere Grenze. 

Es bedeute 91 irgend eine Menge reeller Zahlen 

a = «1, Oj, 0C3, . . . 

in endlicher oder unendlicher Anzahl, jedoch so, dass alle 
a zwischen zwei endlichen Zahlwerthen eingeschlossen sind. 

Wir stellen dann den Satz an die Spitze, dass es für 
die Menge il eine obere und eine untere Grenze giebt. 

Es sind darunter zwei Zahlen A, B zu verstehen, von denen 
die kleinere Ä nicht grösser, die grössere B nicht kleiner als 
irgend eine der Zahlen ^ ist, während, wenn cd eine beliebig 
kleine positive Zahl ist, sowohl zwischen A und A -^ m, als 
auch zwischen B und B — o (mit Einschluss der Grenzen A 
und B) noch Zahlen aus % enthalten sind. 

Der Beweis dieses Satzes, auf den wir hier nicht eingehen, 
ergiebt sich fast von selbst aus einer strengen Auffassung des 
Zahlbegriffes. 

§. 2. 
Functionmi. Stetigkeit 

Man nennt eine Variable y, eine Function einer Variablen x 
und setzt 

(1) y = /(^), 

wenn die beiden Variablen so von einander abhängig sind, dass 
zu jedem Werth von x ein bestimmter Werth von y gehört. 
Diese Abhängigkeit kann durch einen analytischen Ausdruck be- 

1* 



4 Erster Abschnitt. §. 2. 

stimmt sein, oder sie kann auch auf andere Art, z. B. graphisch, 
gegeben sein, wenn y die Ordinate einer Carve ist, die zu der 
Abscisse x gehört Die Curve kann willkürlich gezeichnet ge- 
dacht werden. 

Es kommt auch vor, dass die Abhängigkeit des y von x 
nicht für alle x^ sondern nur in einem beschränkten Intervall 
gegeben ist 

Sind a, b irgend zwei Werthe a <Zb^ so bilden alle der 
Bedingung 

(2) a 5 a? < 6 

genügenden Werthe von x das Intervall 

^ = (o, 6), 

dessen Grösse b — a wir gleichfalls mit ^ bezeichnen. 

Ist Ä = (o, /J) irgend ein Intervall, in dem die Function y 
überall einen bestimmten Werth hat, und in dem sämmtliche 
Werthe der Function zwischen endlichen Grenzen liegen , so 
haben diese Werthe von y nach §. 1 eine untere und eine obere 
Grenze A^ jB, und der Unterschied 

D = B — Ä 

heisst die Schwankung der Function /(z) in dem Intervall ö. 

Theilen wir das Intervall ^ in kleinere Intervalle d, die 
sämmtlich kleiner als eine willkürlich anzunehmende Grösse d 
sind, so heisst die Function /(o;) in dem Intervall ^ stetig, 
wenn die obere Grenze der Schwankungen D in den Theilinter- 
vallen sich zugleich mit d der Grenze Null nähert. 

Sind f(x) und q> (x) zwei stetige Functionen , so sind auch 
Summe, Differenz und Product in demselben Intervall stetig. 
Für den Quotienten f(x) : <p (x) gilt dies nur unter der Voraus- 
setzung, dass <p (x) in dem Intervall nicht Null wird. 

Diese Definitionen lassen sich auch auf Functionen mehrerer 
Variablen ausdehnen. Sind z. B. x, y rechtwinklige Coordinaten 
in einer Ebene, und z die Ordinate einer krummen Oberttäche, 
so ist 

eine Function von zwei Variablen. Ebenso ist, wenn x^ y^ z 
rechtwinklige Coordinaten im Räume sind, 

u = f{x,y,e) 

eine Function von drei Variablen, wenn zu jedem Punkte ein 



§. 2. Functionen. Stetigkeit. 5 

bestimmter Werth von u gehört. Diese Functionen brauchen nur 
in einem endlichen Gebiete T der Ebene oder des Raumes ge- 
geben zu sein, und dem Intervalle 8 entsprechen hier Elemente x 
der Ebene oder des Raumes, die das Gebiet T ganz erfüllen, 
deren Lineardimensionen sämmtlich unter einer bestimmten 
Grenze d liegen. Auch hier haben die Werthe einer Function 
in einem Elemente, wenn sie zwischen endlichen Grenzen liegen, 
eine obere und untere Grenze, deren Di£ferenz die Schwankung 
der Function im Elemente S ist, und die Function ist stetig, 
wenn die obere Grenze der Schwankung zugleich mit d un- 
endlich klein wird. 

Von einer in einem endlichen Gebiete stetigen 
Function gilt der Satz, dass sie jeden zwischen der 
oberen und unteren Grenze gelegenen Werth für einen 
Punkt des Gebietes annimmt. 

Es ist hier wohl am Platze, darauf hinzuweisen, dass eine 
Function f{x^y\ die für jeden Werth von x eine stetige Function 
von y, und für jeden Werth von y eine stetige Function von x 
ist, darum noch nicht eine stetige Function der beiden Variablen 
x^ y \ix dem oben festgesetzten Sinne ist. So ist z. B. die 
Function 

x^ + y« 

für jedes x eine stetige Function von y (die für x = identisch 
für jedes y Null wird) und für jedes y eine stetige Function 
von X (für y = identisch = 1), und doch schwankt die Func- 
tion in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes x = 0, 
y =r zwischen den Werthen und 1. 

Von der Stetigkeit in einem Intervalle muss die Stetigkeit 
in einem Punkte unterschieden werden. 

Eine Function /(o;) heisst in dem Punkte a stetig, wenn 

sich f{x) der Grenze /(a) nähert, mag x von kleineren oder von 

grösseren Werthen her der Grenze a zustreben, oder in Zeichen, 

wenn 

lim fix) = /(a) 

X = a 

ist. 

Man sieht, dass eine Function, die in einem Intervalle stetig 
ist, auch in jedem einzelnen Punkte dieses Intervalles stetig ist 
Denn wenn die Function in a nicht stetig ist, so ist ihre 



6 Eriter AbHCbnitt. §. 3. 

Schwankung in einem noch so kleinen, den Punkt a enthaltenden 
Intervalle grösser als eine endliche GröBse. Von Heine ist 
auch das Umgekehrte bewiesen, nämlich, dass eine in jedem 
einzelnen Punkte eines Intervalles stetige Function auch in dem 
Intervalle stetig ist. 

§■3. 
Bestimmte Integrale. 
Es sei y =f(x) eine in dem Intervalle 

(1) ^ = (a,b) 

stetige Function einer Variablen x. Das Intervall d theilen 
wir nun in Theilintervalle S, die alle unter einer oberen Grenze d 
liegen, so dass 

(2) ^ = 2:« 

ist. Eines dieser Theilintervalle S ist in der Fig. 1 durch die 
Endpunkte a, ß bezeichnet. Ist | die A.bscisse eines Punktes in 



FiR. 1. 



dem Intervalle £, so ist das 
Product 5/(1) der Flachen- 
inhalt des über S stehenden 
Rechtecks von der Höhe 
/(l), und die Summe 
(3) S=ZS/W 
ist der Inhalt einer aus 
solchen Rechtecken zusam- 
mengesetzten Fläche, die 
sich der durch die Curve 
y:=f(x) begrenzten Fläche 
(abcd) am so mehr anschliesst, je kleiner die Theilintervalle 9 
werden, oder je kleiner deren obere Grenze d ist 

Die Summe S nähert sich nun mit unendlich ab- 
nehmendem <I einer festen Grenze, nämlich dem Flächen- 
inhalte der erwähnten Fläche, der das bestimmte Inte- 
gral Ton/(x) zwischen der Grenze a und b heisst, und mit 




[/Wdj 



bezeichnet wird. 



§.3. Bestimmte Integrale. 7 

Der Beweis hierfür ergiebt sich aus folgenden Betrachtungen. 
Sind J., B die untere und obere Grenze von f{x) im Inter- 
valle ^, so folgt aus (2) und (3) 

und mithin, wenn S einen in dem Intervalle J gelegenen Werth 
von X bedeutet, der der Bedingung 

A<f{S)<B 
genügt: 

(4) S = ^f{S), 

Es hat also S jedenfalls einen endlichen Werth. 
Sind femer ^, h die untere und obere Grenze von f{x) in 
dem Intervalle d, so ist 

(5) ^g8 <: /S<2;ä«. 

Wenn also 

D = h-g 

die Schwankung der Function im Intervalle 8 ist, so sind die 
Schwankungen der Summe S bei festgehaltenen d nicht grösser 
als 2JD8^ und wenn G die obere Grenze von D ist, nicht 
grösser alsG^, und sind also wegen der vorausgesetzten Stetig- 
keit von f(x) bei unendlich abnehmendem d unendlich klein. 

Wenn wir aber das Intervall 8 in kleinere Intervalle 8' ein- 
theilen und mit |' einen in 8' gelegenen Werth von x bezeichnen, 
so ist, wenn wir die Formel (4) auf das Intervall 8 anwenden, 

wo I in A liegt, und mithin ist die dieser weiter getriebenen 
Eintheilung entsprechende Summe 

(6) S = Ü«7(r) = -^«/(l) 

unter den verschiedenen Werthen von S enthalten. Nehmen wir 
jetzt zwei beliebige Eintheilungen von J in Theilintervalle 8i 
und ^a, so erhalten wir eine dritte Eintheilung in kleinere Inter- 
valle 8, wenn wir die beiden ersten Eintheilungen zusammen be- 
stehen lassen, und die mit diesen Eintheilungen nach (3) ge- 
bildeten Summen Si^ /S^, S werden nach (6) identisch, wenn man, 
bei gegebenen Mittelwertben | in der Summe /S, die Mittel- 
werthe |i, |s in den Summen Si und S^ passend bestimmt, und 
daraus folgt, dass sich mit S zugleich Si und S^ einer und der- 
selben festen Grenze nähern, auch wenn die Mittelwerthe |i, f, 
anders gewählt sind. 



8 



Erster Abschnitt. 



§. -*• 



Es ist nun leicht zu sehen, dass dieser Grenzwerth von 8 zu- 
gleich den Inhalt F der von der Curve, den Endordinaten und 
der Abscissenaxe begrenzten Fläche ausdrückt. Denn zieht man 
für jedes Theilstück die Parallele mit der Abscissenaxe durch den 
höchsten Punkt der Gurve, so wird iS > JP, zieht man sie durch 
den tiefsten Punkt, so wird iS -< JF. Folglich fällt der Grenz- 
werth von S mit F zusammen. 



§• 4. 
Erweiterung des Integralbegrifies. 

Die Stetigkeit der Function f(x) in dem Intervalle ^, die 
wir bisher vorausgesetzt haben, ist für die' allgemeine Definition 
des bestimmten Integrals nicht nothwendig. Die nothwendigen 
und hinreichenden Voraussetzungen, die in dieser Beziehung über 
die Function /(x) gemacht werden müssen, sind von Riemann 
festgestellt*). Wir führen hier nur die Erweiterungen des 
Integralbegri£fes auf, die für die Anwendung von Wichtig- 
keit sind. 

1. Wenn die Function f{x) nicht durchweg stetig ist, so soll 
sie so beschaffen sein, dass jedes endliche Intervall, in dem die 
Fig. 2. Function /{x) gegeben ist, in eine end- 

liche Anzahl von Theilintervallen zer- 
fallt, in deren jedem einzelnen f(x) 
stetig ist, so dass die Function mit 
der Annäherung von x an einen Theil- 
punkt zweier solcher Intervalle einen 
— bestimmten, aber beiderseits verschie- 
denen Grenzwerth erhält Um einen 
kurzen Ausdruck zu haben, wollen wir solche Functionen (nach 
C. Neumann) abtheilungsweise stetig nennen. 

In der Fig. 2 sind (a, c) und (c, b) zwei solche Intervalle. 
In c findet eine plötzliche sprungweise Aenderung der Function, 
eine Unterbrechung der Stetigkeit statt, und die beiden dort zu- 



a 



') Bernhard Riemann^s gesammelte mathematiflche Werke. Zweite 
Auflage (Leipzig 1892), S. 239. Riemann spricht dort (S. 242 bis 243) 
den nicht schwer za beweisenden Satz aus, dass eine Function, die in einem 
endlichen Intervalle nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, auch 
wenn sie unendlich viele ünstetigkeitsstellen besitzt, wenn sie nicht unend- 
lich wird, immer inte^irbar ist. 



§. 4. Erweiterung des Integralbegriffes. 9 

sammenstossenden Werthe von f{x) werden (nach einer von 
Dirichlet eingeführten Bezeichnung) mit 

/(c-0) und /(c-f 0) 

bezeichnet i). Für solche Fälle wird das bestimmte Integral der 
Function f{x) einfach durch die Formel erklärt: 

Ich 

(1) ^f{x) dx = ^f{x) dx + ^f{x) dx, 

a a c 

und diese Formel gilt natürlich auch, wenn c kein Unstetigkeits- 
punkt ist. 

Wenn wir nach dieser Festsetzung ein Integral mit ver- 
änderlicher oberer Grenze ö: betrachten: 

X 

(2) F{x) = \f(x)dx a ^ X ^ b, 

a 

SO ist F{x) selbst dann eine stetige Function von o?, wenn/(aj) 
nicht stetig ist Denn ist d = (a, ß) irgend ein Theilintervall, 
so ist die Schwankung von F{x) in (Uesem Intervalle dieselbe wie 
die der Function 

X 

F(x) - F(u) = {/(x) dx cc^x^ß, 

a 

und diese Differenz, und also auch ihre Schwankung, ist absolut 
kleiner als gd^ wenn g grösser ist als der absolut grössteWerth 
von f(x) im Intervalle d. Das Product gö wird aber zugleich 
mit 8 unendlich klein. Die Function f(x) ist der Differential- 
quotient der Function F(x). 

2. Die Definition des Integrals durch die Summe S versagt, 
wenn die Function f(x) in dem Integrationsintervalle oder an 
einer der Grenzen unendlich wird. Nehmen wir an, die Func- 
tion /(o;) wachse über alle Grenzen, wenn sich x von grösseren 
Werthen her dem Werthe a nähert, sei aber sonst in dem Inter- 
valle (a, b) endlich. Dann ist 



^) Wenn die Function f(x) endlich ist und in einem endlichen Inter- 
▼alle nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, so hat für jedes x 
sowohl /(ä + O) als f(x — 0) einen bestimmten Werth. Dies ist wohl zu- 
erst von Riemann ausgesprochen. (Mathematische Werke, 2. Aufl., S. 237, 
Anmerkung.) 



10 Erster Abschnitt §. 4. 



(3) J'\x)= \fix)dx 



X 



80 lange rc >> a ist, eine wohl definirte Function von x. 

Es ist nun möglieb, dass, wenn sich x der Grenze a nähert, 
F{x) einer bestimmten Grenze F{a) zustrebt, und dann setzen 

wir deßnitionsweise 

b 

(4) F{a) = ^f{x)dx. 

a 

Wenn ein solcher bestimmter Grenzwerth F{a) vorhanden ist, 
dann nennen wir das Integral (3) conyergent. Wenn aber F{x) 
mit der Annäherung von x kh a unendlich wird oder keinen be- 
stimmten Grenzwerth hat, dann heisst das Integral divergent In 
diesem Falle wird dem Zeichen (4) keine Bedeutung beigelegt. 

Ein einfaches Kennzeichen der Convergenz d^s Integrals ist 
folgendes : 

I. Das Integral F{x) convergirt, wenn sich ein posi- 
tiver Exponent Je <i \ ^o bestimmen lässt, dass 

{x — aff{x) 

bei a? = a in endlichen Grenzen bleibt 

Man darf aber nicht umgekehrt schliessen, dass, wenn ein 
solcher Exponent nicht existirt, das Integral immer divergent sei. 
Insbesondere lassen sich solche Fälle, in denen f{x) bei der An- 
näherung an a unendlich oft sein Zeichen wechselt, schwer unter 
eine allgemeine Regel bringen. 

Ein ausreichendes Kennzeichen der Divergenz können wir 
in folgendem Satze aussprechen: 

II. Wenn die Function {x — a)f(x)^ so lange x zwi- 
schen a und c liegt, nicht unter eine positive 
Constante Ä heruntersinkt, insbesondere also, 
wenn (x — o)f{pc) für x =^ a einen von Null ver- 
schiedenen Grenzwerth hat, so ist das Integral 
F{x) divergent 

Denn dann ist, so lange a < x < c^ 

{x — a)f(x)>A 
und folglich 



§. 4. Erweiterung des Integralbegriffes. H 



r c 



X X 

Es ist aber 

c 

c — a 



{^±_ = log 



X — a 

X 



was für a? = a unendlich wird. 

Wenn die Function f{x) statt an der unteren Grenze a an 
der oberen Grenze b unendlich wird, so ist die Sache ebenso, 
nur dass man die Function 



Fix) = ^f{x)d 



X 



mit der Annäherung von o; an 6 zu betrachten hat. 

Der Fall endlich, dass/(a;) in einem inneren Punkte c des 
Integrationsinteryalles (a, 6) unendUch wird, wird durch die 
Formel (1) auf die beiden soeben betrachteten, speciellen Fälle 
zurückgeführt. 

3. Wenn das Integral 



F{x) = ^f{x)d 



X 



mit unendlich wachsendem x einer bestimmten Grenze C zu- 
strebt, so setzen wir 



C= \f{x)dx, 



a 

und definiren also ein Integral mit einer unendlichen Grenze 
durch die Grenzgleichung 

(5) [f{x)dx = lim [f{x)dx.] 

a a 

Wir sagen auch hier, das Integral 

» 

f(x)dx 



1 



convergire oder divergire, je nachdem ein solcher bestimmter 
endlicher Grenzwerth Torhanden ist, oder nicht. 



12 Erster Abschnitt. §. 5. 

Hiernach ist die Bedeutung der Zeichen 

b +00 

{f(x)dx, (f(x)dx 

— 00 — 00 

gleichzeitig mit erklärt Hier gilt das folgende Kennzeichen für 
die Convergenz: 

HL Das Integral JP(a?) convergirt für a;= oo, wenn sich 
ein Exponent Jo l finden lässt, so dass 

für a; = 00 in endlichen Grenzen bleibt 

Auch dieses Kriterium ist nicht umkehrbar, und hier sind be- 
sonders die Fälle von Bedeutung, in denen die Function f(x) un- 
aufhörlich ihr Vorzeichen wechselt, etwa wie die trigonometri- 
schen Functionen sino?, coso?. 

Man unterscheidet bedingt convergente und unbedingt 
convergente Integrale und nennt unbedingt convergente Inte- 
grale solche, bei denen die Convergenz nicht aufhört, wenn die 
Function f(x) überall durch ihren absoluten Werth ersetzt wird. 
Bei den bedingt convergenten Integralen dagegen beruht die 
Convergenz wesentlich darauf, dass sich die positiven und nega- 
tiven Bestandtheile, deren jeder für sich unendlich ist, in be- 
stimmter Weise gegenseitig aufheben. 

Als nothwendige und hinreichende Bedingung für die Con- 
vergenz ist Folgendes zu bemerken: 

IV. Das Integral 



1 



a 



f(x)dx 



ist convergent, wenn das Integral 



c 

1 



f(x)dx 

b 

kleiner als eine beliebig kleine gegebene Grösse 
CD wird, wenn b und c beide grösser sind als eine 
hinlänglich grosse Zahl n. 

Denn wenn diese Bedingung erfüllt ist, so sind die Schwan- 
kungen der Function F(x), sobald x grösser als n geworden ist, 
kleiner als o. 



§. 5. Der eritte Mittelwerthsatz. 13 



§. 5. 
Der erste Mittelwerthsatz. 

Bedeutet aj, a^, > > .^ an eine Reibe positiver Zahlwerthe und 
%i, ^, . . ., hn eine zweite Reihe» beliebiger Zahlen, so wird die 
Summe 

yergrössert, wenn man die sämmtlichen h durch das grösste 
unter ihnen, 6r, und verkleinert, wenn man sie durch das kleinste, 
g^ ersetzt; es ist also 

g(ai -f- aa [- a^X J. < G(a, -j- Oj f- o«), 

und wenn man also 

(1) J. = m (Oi + o, [- o,,) 

setzt, so ist m ein Mittelwerth unter den verschiedenen Werthen 
von A, d. h. m genügt der Ungleichung 

(2) 9 <fn < G, 

und das Zeichen <^ würde nur dann durch das Gleichheitszeichen 
zu ersetzen sein, wenn alle h und folglich auch g und G ein- 
ander gleich sind. 

Die Formel (1) gilt natürlich ebenso, wenn die 01,03,.. ., o« 
alle negativ sind. 

Dieser Satz lässt sich auf die das bestimmte Integral 
definirende Summe anwenden und giebt dann folgendes Resultat: 
Es sei 

(3) fix) = g>(x)t{x) 

das Product zweier Functionen, von denen die erste g>(x) in dem 
Intervalle z^ = (o, 6) nur positive oder wenigstens keine nega- 
tiven Werthe annimmt. Ist dann wie im §. 3 

S= I/«)Ä = 2<P«)*«)Ä, 

80 ergiebt sich nach (1) 

worin m einen Werth bedeutet, der zwischen der unteren und 
oberen Grenze der Function ^ (x) liegt. Wenn also die Function 
if(x) stetig ist, so giebt es einen Werth |, so dass 

m = ^(1) 



14 Erster Abschnitt. §. 6l 

wird, und der Grenzübergang zu unendlich kleinen *A liefert die 
Formel 

h b 

(4) (p{x)ilfix)dx = ^(1) (p(x)dx. 



a 



Hierin ist, um das Gesagte lu wiederholen, g>{x) eine Func- 
tion, die in dem Intervalle (a, b) nicht negativ wird, die aber auch 
unstetig sein kann. t{x) ist eine endliche und stetige FunetioD, 
und I ist ein im Allgemeinen nicht bekannter Werth von x im 
Intervalle ^, 

Natürlich gilt die Formel ebenso, wenn q){x) im Intervalle 
nicht positiv wird; und wenn die Function ilf{x) unstetig sein 
sollte, so tritt an Stelle von ^(|) ein mittlerer Werth zwischen 
der unteren und oberen Grenze der Function if(x). 

Die Formel (4) nennen wir den ersten Mittelwerthsatz. 
Einen speci eilen Fall davon erhalten wir, wenn wir q>{x) = 1 
annehmen: 

(5) ^fix)dx = mib-a). 

a 

§. 6. 
Der zweite Mittelwerthsatz. 

Der zweite Mittelwerthsatz bezieht sich gleichfalls auf Inte- 
grale, in denen die integrirte Function das Product zweier Func- 
tionen ist. Es sei also 

(1) f(x) = v{x)il^{x), 

und es werde vorausgesetzt: 

Die Function if{x) sei in dem Intervalle z^ = (a,6) mit 
wachsendem x nirgends wachsend oder nirgends ab- 
nehmend. 

Die Function q){x) setzen wir als stetig voraus. 
Wir führen noch die Hülfsfunction 

(2) F(x) = \q){x)dx 

ein, indem wir die untere Grenze (oder eine additive Constante 
im unbestimmten Integrale) nach Willkür festsetzen. 



§• 6. Der zweite Mittelwerthsatz. 



15 



Nun theilen wir das Intervall A in Theilintervalle d ein, 
indem wir die Punkte 

«Ol 0^1 Ctj, .. . ., «n 

in dieser Grössenfolge annehmen, und dabei 

(3) «0 = ö. «n = \ «t — OLi^x = Öi 

setzen. Dann ist nach dem ersten Mittelwerthsatze 

o. 
t 



".-1 



wenn !< ein Mittelwerth in dem Intervalle di ist. Diese Gleichung 
multipliciren wir nun mit ^(li) und bilden die Summe 

+ 1('(I0 [-F(«.) - F(a^)] 



+ *(!,) [JP(«„) - F(«,_.)], 

oder, wenn man die Glieder dieser Summe anders anordnet und 
F(tto) = F(a), F(«„) = F{b) setzt: 

(5) 2: 9 (I,) tl> (10 öi = FK) [* (10 - t (^,)] 

+ F{a,) [Hii) - Hit)] + • • • 

-^ F{cKn-x)[Hin-x) - tun)] 

Nun haben nach der Voraussetzung die Differenzen 

alle dasselbe Vorzeichen, und daher können wir den Satz des 
§. 5 anwenden. Nach diesem Satze können wir die Factoren 
F{ai), F(o^), . . ., JP(an_i) durch einen Mittelwerth ersetzen, und 
da F(x) eine stetige Function ist, können wir einen im Inter- 
valle ^ gelegenen Werth $ so bestimmen, dass dieser Mittel- 
werth F(^) wird. Dann giebt die Formel (5) 

(6) 2:9(10 ^(1,) di = F(|) {titl) - *(ln)} 

+ H^n)F{b)-^{^,)F{a). 

Wenn man nun die di unendlich klein, also ihre Anzahl zu- 
gleich unendlich gross werden lässt, so gehen |i und !„ in a 
und b über, und die Formel (6) ergiebt 



16 Erster Abschnitt. §. 



(7) ^q>(x)il, (x) 



dx 



= ^(6) JP(6) — ^{a)F{a) + F{g) [^(a) — ^(6)]. 

Ueber die Stetigkeit der Function ^{x) ist nichts vorai 
gesetzt Es können sogar unendlich viele Unstetigkeiten V' 
kommen, wenn nur die Bedingung erfüllt ist, dass ^(rr) i 
wachsendem x nicht wächst oder nicht abnimmt. Nur ist 
der Formel (7), wie die Ableitung aus ^{ii) und ^(f„) zei 
#r (a -|- 0) und ^ (6 — 0) unter ^(a) und ^(6) zu verstehen. 

Auch die Function q>{x\ die wir hier als stetig vorausgese 
haben, kann Stetigkeitsunterbrechungen in endlicher Anzahl habi 
was aber für die Anwendungen von geringerer Bedeutung i 
und daher hier nicht weiter verfolgt werden soll. 

Mit Benutzung der Relationen 

l h 

F{0 — F{a) = ^fp{x)dx, F(b) - JP(|) ={ip(x)dx 

können wir schliesslich dem zweiten Mittelwerthsatze die elegante 
Gestalt geben: 

(8) \ fp(x)t(x)dx = ilf{a) \ (p{x)dx -\- if(b) \(p(x)dx, 

a o f 

oder auch 



b 



a a S 

Beide Mittelwerthsatze sind auch anwendbar, wenn d: 
Grenzen der Integration unendlich werden, vorausgesetzt, daj 
die darin vorkommenden Integrale noch convergent bleiben*). 

§.7. 
Bedingt convergirende Integrale. 

Der zweite Mittel werthsatz fuhrt zu dem folgenden, häufi 
angewandten Kennzeichen für die Convergenz eines Integrals: 

*) Der zweite Mittelwerthsatz ist zuerst von 0. Bonnet (1849) au 
gesprochen, aber lange unbeachtet geblieben. Er ist von P. du Boii 
Reymond wieder entdeckt und allgemein bewiesen (1875). 



§. 7. Bedingt convergireade Integrale. 17 

Ist 

X 

(p{x) dx 



1 



eine Function von rc, die mit unendlich wachsen- 
dem X in endlichen Grenzen bleibt, und iif{x) eine 
Function, die von einem bestimmten x an be- 
ständig abnimmt und sich dabei mit unendlich 
wachsendem x der Grenze Null nähert, so ist 



[• 



^{x) if{x)dx 

a 

convergent. 

Die Voraussetzung über die Function tp (x) involvirt, wie man 
bemerkt, nicht die Convergenz des Integrals 






q){x)dx. 



Der Beweis ergiebt sich aus dem Kriterium §. 4, IV. und aus 
dem zweiten Mittelwerthoatze. Danach ist nämlich 

c I c 

I (p{x)ilf{x)dx = ilf{b) q>(x)dx -[- t{c) I q)(x)dx, 

h b i 

und man sieht, dass diese Grösse kleiner gemacht werden kann 
als eine beliebig kleine Grösse o, wenn b und c grösser sind 
als eine hinlänglich grosse Zahl n. 

Betrachten wir z. B. die Functionen 



X 

smx dx = cos a — cos x 



1 

a 

X 

1 



cos X dx = — sin a -|- sinx^ 



80 sieht man, dass die gemachte Voraussetzung erfüllt ist, wenn 
sina; oder cosa? für q)(x) gesetzt wird. 

Demnach sind für ein positives a und a die beiden Integrale 



OD (*> 

C siiix , f cos X , 

J x^ ^' J a;« 



a a 

Biem»nn*Weber, Partielle DifferentüügleichuogeD. 



18 Erster Absohnitt. §. 8. 

convergent. Beachtet man noch wegen der unteren Grenze 
das Kriterium §. 4, L, so folgt, dass Ton den Integralen 



00 . OD 



Csinx j Ccosx , 



das erste conyergirt, so lange a zwischen und 2, das zweite, 
80 lange a zwischen und 1 liegt. 

§. 8. 

Stetigkeit eines bestimmten Integrals als Function 

eines Parameters. 

Wenn in einem bestimmten Integrale 
(1) 0(y) = jfix,y)dx 

a 

die unter dem Integralzeichen stehende Function, ausser von z, 
von einer zweiten Variablen y, einem sogenannten Parameter, 
abhängt, so ist das Integral selbst eine Function dieser Variablen y. 
Es gilt dann der Satz: 

1. Wenn f {x^y) eine stetige Function der beiden 
Variablen o?, y ist, so ist 0(t/) eine stetige Func- 
tion von y. 

Denn ist die Schwankung der Function /(a;,y), während x 
fest bleibt und y ein Intervall 8 durchläuft, kleiner als J>, so 
kann man 27 von x unabhängig annehmen, und doch bei der 
Voraussetzung der Stetigkeit vou/(a;,y) zugleich mit 6 unendlich 
klein werden lassen (§. 2)^ Dann ist aber die Schwankung von 
a>(y) kleiner als D{b — a), worin die Stetigkeit von 0(y) liegt 

Dieser Satz gilt zunächst nur für den Fall endlicher Grenzen. 
Wird eine Grenze unendlich, so erhält man durch Anwendung 
des ersten Mittelwerthsatzes folgende Fassung des Satzes von 
der Stetigkeit 

2. Das Integral 



(2) ^{y) = [^ W ^ (j^^y)^^ 

a 

ist eine stetige Function von y, wenn ^(o?) im 



. 8. Stetigkeit eines bestimmten Integrals. 19 

Integrationsinteryalle positiv ist, wenn das 
Integral 

00 



3) (i^(xydx 



convergirt, und wenn ^>{x^y) in endlichen 
Grenzen bleibt und für endliche x eine stetige 
Function von x^ y ist. 
Denn setzt man 

^(y) = \^{^)^>{^^y)dx + \^{x)q>{x,y)dx, 

a h 

3 kann man zunächst 6 von j^ unabhängig so gross an- 
ehmen, dass das Integral 






f^{x) dx 
nd folglich auch 

00 

^{x) (p(x^y) dx 






b 

leiner wird als eine beliebig kleine Grösse V^ cd. Dann 

;t auch, während y ein Intervall d durchläuft, die Schwankung 

ieses Integrals kleiner als Vs ^^ und dann kann man noch nach 

em Satze 1. das Intervall ö so klein annehmen, dass auch die 

chwankung des Integrals 

h 



1 



if{x)(p{x,y)dx 



leiner als V2<(') und folglich die Schwankung von 0(if) kleiner 
is CD wird. 

Zu bemerken ist, dass dieser Satz auch dann noch gilt, wenn 
ie Function if{x) nicht von unveränderlichem Vorzeichen ist, 
>rausgesetzt, dass das Integral (3) unbedingt convergent 
t, d. h., dass das Integral 



1 

a 



^{x)\ dx 



och convergirt, wenn | ^ (a?) | den absoluten Werth von ^ (x) be- 
3utet Denn ist (p(x^y) dem absoluten Werthe nach immer 
leiner als eine endliche Grösse K, so ist 

2* 



20 Erster Absohnitt g. 9. 



f 



h b 

und kann durch ein von y unabhängiges, hinlänglich grosses h 
beliebig klein gemacht werden. 



§. 9. 
Stetigkeit eines Integrals bei bedingter Gonvergenz. 

Wir wenden den zweiten Mittelwerthsatz an zum Beweise 
eines wichtigen Satzes über die Stetigkeit eines bestimmten 
Integrals : 

Ist q>{x) eine endliche Function von der Be- 
schaffenheit, dass das Integral 



00 

(1) j q>{x)dx 



convergirt, ^{x) eine stetige Function, die von 
einem bestimmten x an fortwährend abnimmt 
und sich mit unendlich wachsendem x der 
Grenze Null nähert, a eine Variable, die sich 
von positiven Werthen der Grenze Null nähert, 
so ist 

00 00 

(2) lim I q){x)'^{ax)dx = ^(0) I (p(x)dx. 

a a 

Es ist nämlich nach dem zweiten Mittelwerthsatze 

c 



1 



q) (x) ^{ax)dx 



= (p{x)^{ax)dx + ^(«6) q)(x)dx + ^(ac) q>{x)d 

a 5 f 



X 



und für c = co 



(p(x)i}(ax)dx = (p(x)ilf(ax)dx + ^(a6) j 9(a:)da; 



b <|, 



§. 9. Stetigkeit eines Integrals bei bedingter Convergenz. 21 
femer 

I ip{x)dx = I (p(x)dx -j- I tp{x)dx^ 

a a h 

and daraus 

00 OD 



1 9 (a;) ^ {ax)dx — !('(0) <p {x) d 



X 



a 



= I 9(^)[*(aa:) — t{0)]dx -f- *(«6) j 9(a;)da; — *(0) \q>{x)dx. 

a b h 

Daraus lässt sich zeigen, dass man a so nahe an Null an- 
nehmen kann, dass die linke Seite dieser Gleichung, die von b 
gar nicht abhängt, beliebig klein wird. 

Da if(ab) immer unter einer endlichen Grenze bleibt, so kann 
man zunächst nach der über ^(x) gemachten Voraussetzung 6, 
Ton a unabhängig, so gross annehmen, dass 

^(«6) I fp{x)dx — ilf(0) q)(x)dx 
b b 

beliebig klein wird. Ist dies geschehen, so kann man a so klein 
machen, dass die Differenz 

für jedes x zwischen a und b und folglich auch das Integral 

b 

{(p{x)[il^{ux) — tl;(0)]d 



X 



beliebig klein wird. Damit ist der Terlangte Beweis geführt 

Der am häufigsten angewandte specielle Fall dieses Satzes 
ist der, wo if(x) = e''' ist, und dann lautet unser Satz 



00 



lim I e ^"^ q>{x)dx = I q)(x)dx^ 



a a 



wobei nur die Voraussetzung zu machen ist, dass das Inte- 
gral rechter Hand convergirt. 



22 Erster Abschnitt. §. 10. 



§. 10. 
Differentiation eines Integrals nach einem Parameter. 

Die Sätze des vorigen Paragraphen geben uns ein Mittel 
zur Differentiation eines bestimmten Integrals. Wir stützen uns 
dabei auf den Fundamen talsatz der Differentialrechnung, dass, 
wenn fp{y) eine Function von y ist, deren Differentialquotient 9' (y) 
eine stetige Function von y ist, fiir ein beliebiges h^ soweit die 
vorausgesetzte Stetigkeit besteht, die Formel gilt 

worin -ö* ein positiver echter Bruch ist 

Es sei nun q>(x^y) eine Function von der Eigenschaft, dass 
der Differentialquotient 

eine stetige Function von x und y ist, die zwischen endlichen 
Grenzen eingeschlossen ist, und ^(o:) wie früher eine Function, 
für die das Integral 



1 



7l>{x)dx 



a 



unbedingt convergirt. 
Ist dann 



(2) 0(y) = \il>{x) q){x,y)dx, 

a 

SO folgt 

^ (y + ft) - ^ (y) ^ r (^) y(.r,f/-^/i) - q>(x,y) ^^ 

und nach (1) 

a 

wenn wir nun h gegen Null convergiren lassen und von dem 
Schlussverfahren des §. 8 Gebrauch machen, so folgt 

(3) ^-^={H^)^'^^'^^d.. 
^ ^ dy ] cy 



a 

00 



<i 



X 



§. 11. Vertauscliung der Integrationsfolge. 23 

Man erhält also unter den gemachten Vor- 
aussetzungen den Differentialquotienten der 
durch (2) definirten Function <I^(y), indem man 
unter dem Integralzeichen nach y differentiirt. 

Als specieller Fall ist hierin der der endlichen Grenzen 
enthalten. Man hat nur il>{x) zwischen a und h gleich 1 und 
zwischen h und oo gleich anzunehmen. Dann ergiebt sich der 
Differentialquotient der Function 

b 

(4) *(j^) = J9.(x,y)d, 

a 

in der Form 

^^^ dy -] dy '*''• 

a 

und die einzige hierbei zu machende Voraussetzung ist die, dass 
der nach y genommene Differentialquotient von (p {x^ y) eine 
stetige Function von x und y sei. 

§. 11. 
Vertauschung der Integrationsfolge.*' 

Durchldie ümkehrung der Sätze des vorigen Paragraphen 
gelangen wir zu der Integration eines bestimmten Integrals nach 
einem Parameter. 

Es sei, wie bisher, vorausgesetzt, dass das Integral 

dx 



(1) j i>(x) 



a 



unbedingt convergire. Es sei ferner x(x^y) eine in endlichen 
Grenzen eingeschlossene stetige Function von x und y und 

und folglich, wenn a, ß zwei endliche Werthe sind, 

(2) q>{^,ß) — 9(^,a) = J z(^.y)dy- 



u 



Nun kann man die Gleichung (3) des vorigen Para- 
graphen 



24 Erster Abschnitt. §i 11. 

j-^il'(x)<p(x,y)dx = J i(» (35)2(35, y) da? 

a a 

zwischen den Grenzen a und ß integriren und erhält links 



I 



ilf(x) [(p(x,ß) — q>(x,u)]dxj 



oder wegen (2) 

(3) \^{x)dx\x{x,y)dy = jdyj *(ic);t(^.y) ^V- 

au u a 

Nehmen wir an, dass für alle in Betracht kommenden 
Werthe von x das Integral 

a 

convergent sei, und zwar so, dass das Integral (4) unter eine 
beliebig gegebene Grenze heruntersinkt, wenn a über ei]ftem you 
X unabhängigen, hinlänglich grossen Werthe liegt, so folgt aus 
den Stetigkeitssätzen des §. 8 

OB OB 00 00 

(5) \i>{x)dx\i{x,y)dy = \dy[^{x)i{x,y)dx, 

a a a a 

und diese Formel gilt auch noch dann, wenn das Integral (4) 
für a? = 00 oder einen anderen besonderen Werth Yto x sni 
convergiren aufhört, wenn es nur mit der Annäherung Ton x an 
diesen Werth einen endlichen Werth nicht überschreitet und die 
unbedingte Convergenz des Integrals (1) festgehalten wird. 

Als Specialfall ist auch hier die Vertauschbarkeit der Inte- 
grationsfolge bei endlichen Grenzen in diesen Sätzen enthalten, 
die sich in der Formel ausdrückt: 

(6 \dx[%{x,y)dy — \^dy[%{x,y)dx. 



a 



Wir wollen noch einen zweiten Satz über die Umkehrung 
der Integrationsfolge ableiten. 

Es sei f(x^y) eine Function, die für positive x^ y nur positive 
oder wenigstens keine negativen Werthe annimmt und einen end- 
lichen Grenzwerth nicht übersteigt. Dann hat das Integral 



§. II. YertaoBohuiig der Integrationsfolge. 25 










für jedes positive x^y einen bestimmten endlichen Werth, der 
sowohl mit wachsendem x als mit wachsendem y zunimmt (oder 
wenigstens nicht abnimmt). Wenn nun die Function F(x^y) nicht 
über alle Grretzeik wä<ihst, so hat sie eine obere Qret\ze A^ und 
wir können ein Zahlefipaar a, h so bestimmen, dads def Unter- 
schied A — F{a^h) kleiner ist als eine beliebig gegebene Grösse id. 
Der Unterschied A — •F^x.y) wird dann um so mehr kleiner als 
(D sein, wenn x ]> a, y ]> & ist, und es folgt daraus, dass A der 
Grrenzwerth von F{x^y) ist, wenn x und y irgendwie ins Un- 
endliche wachsen. 

Wenn das* Integral 



GO 



(7) jd« j/(«,/3)d^ 



convergirt, so ist die Voraussetzung dieses Satzes erfüllt und es 
folgt, dass der Werth dieses Integrals, den man aus F{x^y) er- 
hält, wenn man zuerst y und dann x ins Unendliche wachsen 
lässt, gleich A ist. Denselben Grenzwerth erhält man aber auch, 
wenn man x^y irgendwie anders, z. B. in umgekehrter Reihen- 
folge, ins Unendliche gehen lässt. 

Der Beweis dieses Satzes beruht, wie man sieht, wesentlich 
darauf, dass das Integral 



a 



(8) ^d«{f(a,ß)dß - [da j/(a,/}) dß, 







was aus lauter positiven Elementen besteht, für hinlänglich grosse 
o, b unter jede gegebene Grenze o herunter sinkt, und dies ist, 
wenn /(x, y) nicht negativ wird , eine Folge der Convergenz von 
(7). Diese Eigenschaft des Integrals (8) bleibt aber erhalten, 
wenn f{x^y) der absolute Werth einer Function (p(x,y) ist, die 
das Zeichen wechselt, wenn/(«,/3) in (8) durch ip(o^ß) ersetzt 
wird. Wenn wir also unter absoluter Convergenz eine solche 
verstehen, die bestehen bleibt, wenn das Integrationselement 
durchweg durch seinen absoluten Werth ersetzt wird, so haben 
wir den Satz: 



26 Erster Abschnitt §. 12. 

Wenn von den beiden^Integralen 

[ da {q>{a,ß) dß, \dß\ tpia^ß) da 



das eine absolut convergirt, so convergirt auch 
das andere, und beide haben denselben Werth. 

Selbstverständlich können für die unteren Grenzen auch 
beliebige andere constante Grenzen gesetzt werden. 



§. 12. 
Berechnung bestimmter Integrale. Erstes Beispiel. 

m 

Die Vertauschung der Integrationsfolge ist häufig das Mittel 
zur Werthbestimmung bestimmter Integrale, die sich nicht aus 
dem unbestimmten Integrale ableiten lassen. Wir betrachten 
einige Beispiele, die wir so auswählen, dass sie uns später nütz- 
lich sind. 

Das Integral 



(1) 0=1 



OD 



e~ dz 



ist convergent und hat einen bestimmten positiven Werth C. 
Substituiren wir darin 

z = xy^ dz = xdy 

und verstehen unter x eine positive Constante, unter y die neue 
Integrationsvariable, so folgt 



Hier multipliciren wir nun mit e~'^ dx und integriren noch 
einmal in Bezug auf x von bis oo. Dadurch ergiebt sich, 
wenn man in (1) z durch x ersetzt: 

OD on 

r2 



a 

-1 



= [e-'^xdx[e-''"'^dy. 







und da hier nun die Bedingungen für die Umkehrbarkeit der 
Integrationsfolge erfüllt sind: 



§. 12. Berechnung bestimmter Integrale. 27 



00 00 



(? = [dyL-^'^^^Täx. 







Nun ist die Integration unbestimmt ausführbar. Es ist 
zunächst 



P-»-'... = ^L_ 





and sodann 

OB 



f dy _ n 







2(l + y«)-4' 



und folglich, wenn man die Wurzel zieht: 

(2) 0= [e-^dz = ^^. 



Hieraus folgt auch der Werth des Integrals 

(3) fe--'*d^ = V^^. 



— OD 



Ist j> eine positive, q eine beliebige reelle Constante, so kann 
man in diesem Integrale die Substitution 

machen und erhält: 

+ « ?i /"■ 

(4) lc-'"'-'"'rfa; = c^y-. 



— «0 



Ein anderes bemerkenswerthes Integral erhalten wir daraus 
auf folgende Weise: Wenn man in dem Integrale 

(5) ^ [e-U. = 1 

die Substitution macht 

q 
e = a — — , 

a 



d^ = (i + i)d«, 



worin g eine positive Grösse ist, und a von j/^ bis oo geht, so 
erhält man 



28 Erster Abschnitt. §. 13. 

' TS" ^ Vi" 

Im zweiten dieser Integrale substituire man 

so dass Ol die Grenzen y^ und erhält. Setzt man dann wieder 
a an Stelle von o^, so ergiebt sich 



2 f- -r—^y 



Vir 

' 



oder endlich 



9> ^ 



(6) ^[c "' «'da = ej-*^ 

Die Formel (5) lässt sich noch auf eine andere Weise yei^ 

allgemeinem. Man erhält nämlich durch die Substitution eYä 
für J8 

2V« 



1 



und dies lässt sich beliebig oft in Bezug auf a differentüren. 
Setzt man dann wieder oe=l, so folgt für jedes ganze positive n 



(7) 



C.-" ,«»/?- 13 2n— 1 i^ 

Je ^ dÄ = - - . . . — 2— "2- 



§. 13. 
Zweites Beispiel. 

Als zweites Beispiel wollen wir das Integral betrachten 



_«y . dy 
e ^ siny -^ 





worin £ eine positive Constante sein soll. Es ist aber, wie sich 
durch unmittelbare Integration ergiebt, für jedes positive y 



1 



00 

e-^'dx = - — 



y 



§. 18. Zweites Beispiel. 29 

und wenn wir dies in Ä einsetzen: 

^ = I siny dy I e"^' dx^ 

oder nach Umkehrung der Integrationsfolge: 

f* f - 
(2) ^ = dx c """ sinydy. 



f* f - 
= I dx c "^^ sii 



Es ergiebt sich aber durch Differentiation 

e '^ (cosy + a; sin y) = — (1 + ^*) « ^^V^ 



dy 
und hieraus durch Integration nach y: 

09 

(3) J e-'" sin ydy = ^ 





Es folgt also 



1 +xa 



OD 



^ = J 1 ■%« = arccot« «> 



wenn arc cotg £ zwischen und -^ genommen ist. Also haben 
wir das Integral 



OD 

f _«y . dy . 

\ e "^ sin v — ^ = arc cotg e. 

} y 



Ist b eine positive Con staute, so kann man in (4) y durch 
b y ersetzen, und wenn man noch ab =^ a setzt, so folgt 



00 



(5) je ""^ sin 6y ^ = arc cotg ^ = arc tng — , 



y 



und diese Formel bleibt auch für negative b richtig, wenn 

arc tng zwischen — — und -f- — genommen wird. 

Da das Integral, wie in §. 7 gezeigt ist, noch convergent 
bleibt, wenn a = wird, so können wir seinen Werth nach dem 
Satze des §. 9 bestimmen, und erhalten: 

(6) )-^^y = Y 



30 Erster Abschnitt. §. li. 

Diese Formel ist nur richtig, wenn 6 positiv ist. Für 6=0 
ist die linke Seite = und ergiebt für negative b den entgegen- 

gesetzten Werth — — • Das Integral selbst ist also eine bei 

6 = unstetige Function von 6. 



§. 14. 
Drittes Beispiel. 

Ein in Anwendungen öfter vorkommendes Integral erhält 
man aus der oben schon benutzten Formel 



1 





durch die Substitution 



dy 7C 



A ^ . , Ä d(o 



worin J., B positive Constanten sind. Die Integrationsgrenzen 
für (D sind und ^, so dass man erhält 

n 
"2 

d Q 7t 

(1) 



A^ sin« Q + B« cos» o 2 AB 

Setzt man weiter 

sin« (D = 1 — cosä (D, A^ = a«, B« — ^« = l\ 
so folgt daraus 

n 

(2) ^* ^"^ « 



V' 



» + 62cos2q 2aVa2-f-62' 



worin a und ya« -j- *' positiv ist. 

Hierin kann man auf der linken Seite die Zerlegung an- 
wenden 

dS -|_ t« cos' Q = (a -|" & * cos o) (a — 6 i cos o) 
2a 1,1 



a* -f- 6* cos' Q a -|- 6 i cos o ' a — hi cos o 



§• 14. Drittes Beispiel. 31 



worin i = ^ — 1 ist, und erhält: 

Ä Ä « 

3 8 2 

J a' + 6' cos" o 2aJa4-6ico8C}'2aJa — iicoso 



Das letzte dieser Integrale ergiebt durch die Substitution 

7C CJ für (D, 

7t 

a 7t 

C d(o f da 

J a — hi cos o J a -\- bi cos o ' 

ü n 

2 

und danach lassen sich die beiden Integrale auf der rechten 
Seite von (3) durch ein einziges zwischen den Grenzen und % 
ersetzen. Man erhält so 



7t 



da 7C 



-f- &«COSQ 1/(^2 _1_ J2 

^ ' 

In dieser Formel, in der die Quadratwurzel '^a^ -|- ** positiv 
ist, ist dann a eine beliebige positive Gonstante, während b 
sowohl positiv als negativ sein kann (es könnte sogar b^ negativ 
sein, wenn nur a" -f- 6' positiv bleibt). 



Zweiter Abschnitt. 



Der Fourier'scha I^ehrs^atz. 



§. 15. 
Das Dirichlet'sche Integral. 



Das im §. 13 abgeleitete Integral: 
(1) J— -^dy = -, fura;>0, 

ist ein specieller Fall eines sehr allgemeinen, von Dirichlet 
zuerst bestimmten Integrals, welches seiner mannigfachen An- 
wendungen wegen von grosser Wichtigkeit ist. Zur Ableitung 
dieses Integrals wollen wir jetzt übergehen. Wenn wir unter fi 
eine beliebige positive Grösse verstehen, so ist das Integral 



r sin A fi 



dA, 



welches für a = 0, 6 = oo in das Integral (1) übergeht, für 
beliebige Grenzen zu untersuchen. Wir können den Werth 
zwar nicht allgemein bestimmen, wohl aber seinen Grenzwerth 
für ein unendlich wachsendes fi. Wenn wir nämlich unter dem 
Integralzeichen eine neue Variable kfi r= x einführen, so er- 
halten wir 

^ 1 sin o: , 
L = I ax. 

J ^ 



ttU 



Wenn nun a und b positiv sind, so nähert sich dies Integral 
mit unendlich wachsendem fi wegen der Gonvergenz des Inte- 



§. 15. Das Dirichlei'sohe Integral. 33 

grals (1) der Grenze Ol Ist aber a = und b positiv, so erhält 
L den Grenzwerth n/2. Wir erhalten also das erste Resultat: 

lim \^^dX = 0<a<6, 



I. 

limf?HL^dA = J 0<6. 



Aus der Formel 



a 

l 



afA 

sin A u . , f sin a: , 
— r— ^ dk = dx 





können wir auf den folgenden; etwas allgemeineren Satz schliessen-: 
Es ist 



lim [ELVdA = | 



IL lim 

JA M' 

wenn (i ins Unendliche wächst und gleichzeitig a so unendlich 
klein wird, dass afi noch unendlich gross wird. Man erreicht 

dies z. B. dadurch, dass man a = fi ^ annimmt. 

Die Formeln 1. gelten überhaupt auch dann, wenn a und h 
mit fi variabel sind, vorausgesetzt nur, dass afi und bfi mit.fc 
zugleich unendlich werden. 

Es sei nun ^ (x) eine Function, die in dem Intervalle (a, b) 
(He folgenden Bedingungen erfüllt: 

1. if(x) bleibt in endlichen Grenzen. 

2. if(x) ist in dem Intervalle mit wachsenden^ x 
nicht wachsend oder nicht abnehmend^). 

' Wir suchen das Integral 

h 



1 



, ,,. sin Au j , 



^) Für die Anwendungen würde es genügen, 'die Function \p{x) stetig 
anzunehmen. Die Beweise sind aber ebenso einfach ohne diese Voraus- 
setzung zu führen, wenn man noch bedenkt, dass nach den Sätzen von 
Riemann (vgl. §. 4, Anm.) die Function ^(x) unter den Voraussetzungen 
1., 2. immer integrirbar ist, und dass das Product zweier iutegrirbarer 
Functionen gleichfalls integrirbar ist. 

Biemann-Weber, Pajrtielle Differentialgleichungen. 3 



34 Zweiter AbBchnitt §. Ih, 

oder yielmebr dessen Grenzwerth für ein unendlich wachsen- 
des fi. Hier können vrir den zweiten Mittelwerthsatz anwenden 
und erhalten, indem wir zwischen und b eine noch unbestimmte 
Grösse a einschieben und unter |, tj Mittelwerthe 

0<|<a<iy<J 
verstehen : 

^\(X)'^dX = ^(0)|?!^dA+ [*(a) - mij^dl, 

a a 1} 

worin bei etwaiger Unstetigkeit unter tlf(0)y ^(a) in der ersten 
Formel ^(-f- 0), ^(a — 0) und unter ^(a), ^(6) in der zweiten 
^(a-j-O), ilf{b — 0) zu verstehen ist. 

Wenn wir zunächst in der zweiten dieser Formeln fi bei 
festgehaltenem a unendlich werden lassen, so ergiebt sich nach L: 

h 



III. 



lim f ^(A) ?^ dk = 0, < a < 6. 



a 



Lässt man aber a mit unendlich wachsenden fi unendlich klein, 
all aber noch unendlich gross werden, so wird in der ersten 
Formel t(fi) — ^(0) unendlich klein, und das Integral 



u 



1 



sin A u , , 



wird jedenfalls nicht unendlich, wenn man auch seinen genauen 
Grenzwerth wegen des unbekannten | nicht angeben kann. 
Die beiden Integrale mit der Grenze ri in der zweiten Formel (2) 
werden nach I. mit unendlich wachsendem fi unendlich klein. 
Addirt man also die beiden Formeln (2) und geht dann zur 
Grenze ft = oo über, so folgt aus II. : 

IV. lim f t(^) ^-^ dk=^ ^(+0). 



Da hier die rechte Seite von b ganz unabhängig ist, so folgt 
auch wieder die Formel IIL aus IV. 



§■ 16. Verallgemeinerungen. 35 

§. 16. 
Verallgemeinerungen. 

Die Sätze lassen sich von den gemachten Voraussetzungen 
theilweise befreien: 

1. Wenn die Function ^(o?) an der oberen Grenze b des 
Intervalles unendlich wird, jedoch so, dass das Integral 



(1) {tioo)dx 



convergent ist, so bleiben die Formeln IIL und IV. gültig. 

Denn zunächst sind diese Formeln zweifellos anwendbar auf 
das Intervall (0, b — 6), und wenn sich nun beweisen lässt, dass 
das Integral 

h 

.,. sinfiA , - 






bei hinlänglich verkleinertem a fdr jedes ft einen unendlich 
kleinen Beitrag zu dem ganzen Integrale liefert, so folgt die 
Richtigkeit der Formeln in dem ursprünglichen Intervalle. 

Nach der Voraussetzung, dass if(x) nicht wachsen oder nicht 
abnehmen und doch unendlich werden soll, können wir zunächst 
e so klein annehmen, dass i/;(:r) im Intervalle (b — 6, b) keine 
Zeichenänderung mehr erleidet, also etwa positiv bleibt. Da 
aber sinftA ein echter Bruch ist, so ist im Intervalle {b — £, b) 

sin fi A 1 

und mithin, dem absoluten Werthe nach, 

und dies wird wegen der vorausgesetzten Convergenz des Inte- 
grals (1) mit B zugleich unendlich klein. 

Gleiches gilt für die Formel IIL, wenn ^{x) für a: = a so 

8* 



36 Zweiter AbBohnitt. §. 16. 

unendlich wird, dass die Convergenz des Integrals (1) nicht 
aufhört 

2. Die Sätze III. und IV. gelten auch dann noch, wenn das 
Intervall (0, b) in eine endliche Anzahl von Theilinter- 
yallen zerfällt, in deren jedem einzeln durch die Func- 
tion if(x) die Voraussetzung §. 15, 1., 2., befriedigt ist. 

Um dies einzusehen, braucht man nur die Formeln III. 
oder IV. auf jedes der Theilintervalle anzuwenden, in denen die 
Voraussetzungen dieser Formeln erfüllt sind, und die erhaltenen 
Resultate zu addiren. 

Dasselbe gilt, wenn die Function an einer oder mehreren 
Stellen des Intervalls unendlich wird, wenn nur die Function in 
dem Intervalle integrirbar bleibt 

3. Ersetzen wir unter dem Integralzeichen in der Formel IV. 
die Variable X durch — A, so folgt 



und wenn wir, was nur eine veränderte Bezeichnung ist, 
!/;( — x) durch ^(a;) ersetzen: 

' 

(2) J^J^W ^^ dA = I ^(-0). 

Hiemach lassen sich die Formeln III. und IV. auch auf 
negative Werthe der Grenzen ausdehnen, und wenn wir dies 
alles zusammenfassen, so erhalten wir die folgende allgemeine 
Fassung des Satzes von Dirichlet: 

V. Es sei if(x) eine Function von a:, die in dem 
Intervalle (a, h) nicht unendlich viele Maxima 
und Minima hat, die ausserdem in einer end- 
lichen Anzahl von Punkten so unendlich wird, 
dass das Integral 



1 



p (x) (l X 



an allen diesen Stellen convergent bleibt, 
dann ist der Gretizwerth 



§.17. Das Fourier'sche Doppelintegral. 37 



hm - il^ik) —TL. dX = 0, 

a 

wenn a, 6 gleiche Zeichen haben , 



= 4t'''(+ö) + *(-<^)3' 



wenn a und b verschiedene Zeichen haben, 



wenn a = Ö, 6 > 0, 



= -^*(+0), 



= ^*(-0), 



wenn 6 = 0, a <: 0, 

vorausgesetzt, dass ^ (-}- 0) und ^ ( — 0) endliche Werthe 
haben. 

Die Function ^{x) ist hier eine sogenannte willkürliche 
Function, wie man sie in der mathematischen Physik häufig 
zu betrachten hat, d. h. die Function braucht durchaus nicht 
irgend einem einheitlichen analytischen Gesetze zu folgen. 

Die jetzt noch in V. enthaltenen Voraussetzungen können 
zum Theil noch aufgegeben werden, worauf aber hier nicht 
eingegangen werden soll ^). 



§. 17. 
Das Fourier'sche Doppelintegral. 

Aus dem zuletzt bewiesenen Satze lässt sich nun sehr leicht 
das Fourier'sche Doppelintegral ableiten, welches bei der Inte- 
gration von partiellen Differentialgleichungen mannigfache An- 
wendungen gestattet 

Es sei also wieder '^{x) eine Function von x^ die in einem 
Intervalle (a, h) den Bedingungen des Satzes Y. des vorigen 
Paragraphen genügt. Es soll der Werth des Doppelintegrals 



^) Hierüber ist zu vergleichen die AbhandluDg von Rie mann: „Ueber 
die Darstellbarkeit einer Fonction durch eine trigonometrische Reihe**, und 
mehrere Abhandlungen von P. du Bois-Reymond. 






38 Zweiter Abschnitt. §. 17. 



OD 



(1) <J> = j da j ilf(k) Gosak dk 

a 

ermittelt werden. 
Nach §. 4, 3. ist 

(2) 9 = lim \ da \ i/;(A) cosaA dk. 

So lange ft endlich ist, können wir in dem Integrale die 
Reihenfolge der Integrationen vertauschen (§. 11), und erhalten 

üb h fl 

dk cos ak da 



da tlf(k) cosak dk = t{k)dk 

a a 



a 

also 



« = liin f^(;i)!!^dx, 

JU = OD J ^ 



und folglich erhalten wir nach V. des vorigen Paragraphen 

VI. - \ da \ tik) cosakdk = 0, 

wenn a, b gleiche Zeichen haben; 

= |[*(+0)-|-*(-0)], 
wenn a, b verschiedene Zeichen haben; 



wenn a = 0, i>0; 



wenn 6 = 0, a <i 0. 



= j*(+0), 



= 4*'(-o), 



Man sieht hieraus, dass, wenn b positiv geworden ist, der 
Werth dieses Integrals von b nicht mehr abhängt, und es liegt 
also nahe, b ins Unendliche wachsen zu lassen. Dies wird aber 
nur dann von Nutzen sein, wenn 



17. Das Fourier'sche Doppelintegral. 39 

h 



) lim 

6 = 



«O V 00 OD 

im I ä« I if(k)cosakdk = I da I ij(k)cosakdk 

a a 



;, und es wird also noch festzustellen sein, unter welchen 
)raussetzungen über die Function ^(A) die Gleichung (3) er- 
Ut ist 

Wenn die Formel (3) für ein positives a richtig ist, so 
Igt ihre Gültigkeit für ein negatives oder verschwindendes a 
imittelbar aus VI., und es ist also zu untersuchen, ob und 
;ter welchen Voraussetzungen das Integral 



00 CO 

I da I ^(il)cosa 



Xdk^ 



is für alle positiven a, wiederum nach VI., denselben Werth 
.t, verschwindet. 

Wir werden zeigen, dass dies unter der Voraussetzung statt- 
idet, dass das Integral 

OD 



) l*- 



ibedingt convergent sei. Unter dieser Voraussetzung ist näm- 
!h nach §. 11, (3) 



H A* OB 



^^^ k cosak da = [da \ tl;(k) coBakdk^ 

a Sa 

id folglich nach Ausführung der Integration nach a 
\da I ^ (A) cos a A d A = l zXJ. sin fi A d k, 

a a 

Da nun sinfiA dem absoluten Wertbe nach immer kleiner 
% 1 ist, so folgt für jedes fi 



00 

I da I il>{k)cosakdk < I — 

a a 



) \da \ i}{k)co%akdk < | |:^ 



dk. 



Hier kann nun in Folge der vorausgesetzten unbedingten 
nvergenz des Integrals (5) die rechte Seite beliebig klein ge- 
loht werden, wenn man a genügend gross nimmt, und folglich 



40 Zweiter Absohnitt. §. 17. 

kanD der von a UDabhängige Grenzwerth der linken Seite Ton 

(6) für ein unendlich wachsendes fi, d. h. das Integral (4) nur 
den Werth Null haben. Die unbedingte Convergenz von (5) ist 
also eine hinreichende Bedingung fiir die Richtigkeit von (3). 

Eine ganz entsprechende Betrachtung lässt sich durchfuhren, 
wenn man in VI. die untere Grenze a = — oo werden lässt, 
und so gelangt man unter den über die Function ^ (x) ge- 
machten Voraussetzungen zu der Formel 

(7) 1 fd« U(l)cos«Xdi, = 1 [^(+0) + *(— 0)], 

und diese Formel enthält auch wieder den Satz VL als speciellen 
Fall, den man daraus erhält, wenn man if{x) ausserhalb des 
Intervalles (a, b) gleich Null setzt 

Ist nun X ein beliebiger Werth, so setze man 

(8) tl,(k-x)= f{k) 

und substituire unter dem Integralzeichen in (7) k — x für il. 
So ergiebt sich 

(9) i ^ " f •^('^) ^osa{k — x)dk= f{x). 



00 



wenn man unter f{x) an einer Unstetigkeitsstelle das arith- 
metische Mittel zwischen f{x + 0) und f{x — 0) versteht. 

Die Formel (9) ist das Fourier'sche Doppelintegral, 
welches zur Darstellung der willkürlichen Function f{x) dient 

Es gilt, um dies nochmals hervorzuheben, für eine willkür- 
liche Function f{x\ die den folgenden Bedingungen genügt: 

1. f{x) hat in jedem endlichen Intervalle Maxima 
und Minima nur in endlicher Anzahl. 

2. Die Function /(a;) kann in einzelnen Punkten un- 
endlich werden, jedoch nur so, dass das Integral 

f{x)dx 

in diesen Punkten convergent bleibt. 
8. Das Integral 

ist für o; = + 00 und X'= — oo unbedingt con- 
vergent 



I 



§. 18. Speoielle Formen des Fourier'schen Theorems. 41 

4. Wenn die Function / unstetig ist, so ist unter 
f{x) das arithmetische Mittel 

\ U(^ + 0) + f(x - 0)] 

zu verstehen. 

Im Uebrigen ist die Function /(x) willkürlich und x ist ein 
beliebiger Punkt, für den nach V. nur solche Lagen ausgeschlossen 
sind , für die f(x-}- 0) oder / (^ — 0) nicht endlich ist. Für 
solche Ausnahmepunkte würden beide Seiten der Formel (9) 
keinen bestimmten Sinn mehr haben. 



§. 18. 
Specielle Formen des Fourier'schen Theorems. 

Wir leiten noch zwei specielle Formen des Fourier'schen 
Lehrsatzes ab, die oft angewandt werden. 

Durch Zerlegung des Cosinus können wir das Litegral (9) 
in zwei Theile spalten und erhalten 

CO +• 

(1) f{x) = - I cosao? da I f{k) cosAa dA 

— 00 

-f- — I sina x da I f(k) sin A a d k. 



— I sin a X da I 



Wir nehmen nun zunächst an, es sei f{x) den allgemeinen 
Bedingungen gemäss, aber nur für positive rr, gegeben; dann 
können wir f{x) für negative x und für x = noch beliebig 
annehmen, und wir machen zunächst die Annahme 
(2) fix) = /(- X), /(O) = /(+ 0). 

Dann ist auch f{-{-0) = /(— 0) und die Function f(x) also im 
Nullpunkte stetig. 

Nun ist aber wegen (2) 

+ • CO 

f(k) cos Xa dk = \ f(k) cos ka dk -f- l f{k) cos ka dk 

— CO — • 

X 

= 2 I f{k) cosAoc dA, 



42 Zweiter Abflchnitt. §. 19. 

+ « er, 

\f(k)smXadX = \f{k)smXadl + if(k)9inkadl 

— • —CO 

= 0, 
und folglich ergiebt sich aus (1) 



(3) 



OD tt 

f(x) = - cosax da f(k) cosaA dl. 



Machen wir aber zweitens die Annahme 

so ist auch /(+0) = — /(— 0), und der Mittelwerth giebt 

/(O) = 0. 
Es ist jetzt 

+ 00 



[f{k) cosA« dX = 0, 



«0 
+ 00 



[f{k)mikadk = 2 [/(A) sin Aa dA, 

— 00 

und es ergiebt sich 

OD OD 

(5) f(x) r= — .1 sin arc da l f{X) sinaA dk, 



Durch die Formeln (3) und (5) kann eine und dieselbe Func- 
tion f{x) fiir positive x dargestellt werden. Die Formel (3) giebt 
aber bei dieser Darstellung den Werth der Function auch noch 
für a? = 0, während (4) für a? = den Werth Null giebt. 

§. 19. 
Beispiele. 

Man kann das Fourier'sche Theorem zur Werthbestimmung 
bestimmter Integrale benutzen, wovon hier ein Beispiel. 
Wir setzen in den Formeln §. 18, (3), (5) 

(1) f{x) = 6-/**, 

worin ß ein beliebiger positiver Parameter ist. 



§. 19. Beispiele. 43 

Es ist dann 
-5-r e~.'*^ cosocA = — ßer?^ cosocA — aer?^ sinocA, 

■jj erP^ sin aA = — ße~^^ sinaA + aerP^ cosaA, 
woraus durch Integration zwischen den Grenzen und oo : 

OD 00 

1 = /J I e-/»^ co%ak dk -{- a I e-^^ sin a A d A, 



00 



= a I er^^ cos akdk — /J 1 



= a I er?^ cos akdk — ß \ er?^ sin a A d A, 



und daraus 



00 



1 



er^^ cosaA dk = 



_ ß 



(2) 



1 



/^^ sina kdk = ■- — ^ • 



«*+ ß^ 



Dies sind aber gerade die inneren Integrale in den Formeln 
(3) und (5), §. 18, wenn f(x) = er^* gesetzt wird, und demnach 
ergeben sich die beiden bestimmten Integrale 





1 



OD 

cosoca; da n ^ 



«a _j- ^j — 2/J 

(3) 

oc sin OCX da n ^ 



1 



a« 4- pJ2 2 



die aber nur für positive x gültig sind. Die erste Formel ist 
auch noch für x = richtig, die zweite aber nicht. 
Ein zweites Beispiel erhalten wir, wenn wir 

f{x) =1, < a? < 1, 

f{x) = 0, Kx 

nehmen, dann ergiebt das Integral §. 18, (3) 



44 Zweiter Abschnitt. §• l^« 

(*> ij — ä — ''" = ^' *<^ 



— 2> ^ — ^ 

= 0, x^> 1. 

Dieses Integral, das sich auch leicht aus dem im §. 13 be- 
trachteten Integrale ableiten lässt, hat Dirichlet als „dis- 
continuirlichen Factor*^ zur Reduction mehrfacher bestimmter 
Integrale verwandt'). 



») Dirichlet's Werke, Bd. I, S. 391. 



Dritter Abschnitt 

ünendliolie Reilieii. 



§. 20. 

Convergenz von Reihen überhaupt 

Unter einer anendlichen Reihe verstehen wir im All- 
meinen ein nach einem bestimmten Gesetz geordnetes System 
sitiyer, negativer, oder auch verschwindender Zahlgrössen 

) «0, Ol, Oj, ... in inl 

Wir bezeichnen mit Sn die Summe der n -j- 1 ersten Glieder 
3ser Reihe: 

) S» = «0 + 04 + «a H + «!•• 

1. Die Reihe heisst convergent, wenn diese 
Summe s^ sich mit unendlich wachsenden n 
einer bestimmten endlichen Grenze nähert, 
wenn also 

) Lim Sn = Ä 

n=ao 

eine bestimmte endliche Grösse ist 

Dieser endliche Grenzwerth wird die Summe der Reihe(l) 
nannt. 

Die Theorie der Convergenz unendlicher Reihen ist, wie der 
)8er bemerken wird, durchaus analog mit der Theorie der Gon- 
rgenz yon Integralen. Obwohl aber der Begriff einer conver- 
nten Reihe einfacher und leichter aufzufassen ist, als der eines 
nvergenten Integrals, so ist hier doch die Betrachtung der 
tegrale vorangestellt, weil die Ableitung der Sätze dabei ein- 
3her ist, und die Integrale öfter mit Vortheil bei der Unter- 
chung Gonvergenter Reihen angewandt werden, als umgekehrt 



46 Dritter Abiofanitt. g. 

Ein allgemeines and immer gültiges Kennzeichen für 
Convergenz einer Reibe, im Grunde nur eine andere Formnlim 
der Definition der Convergenz, ist folgendes. 

2. Die Reihe (1) convergirt, wenn die Summe 

(4) e«,-. = o«+i + a, + »-| ho- + « 

dem absoluten Wertbe nach kleiner wird t 
eine beliebig kleine Grösse a, weno n n 
n -{- m beide grösser sind als eine hinlängli 
grosse Zahl N ■). 



Unbedingte Convergenz. 

Wenn die Glieder der Reihe a«, Oi, a, ... alle positiT si 
so ist immer s» ^ So— i, und es sind nur zwei Fälle mögli 
entweder: Sn wächst mit n über alle Grenzen, die Sum 
der Reibe ist unendlich, oder: s. nähert sich mit n 
begrenzt wachsenden n von unten her einer en 
liehen Grenze A; die Reihe ist coorergent Wir fubi 
folgende Beispiele an: 



*) Zam Beweia völliger Uebereinitimmung von 1. und 2. sei fQr 
mAthematiicben Leter Folgendei bemerkt. Zanäohit igt ohne Weit« 
klkr, doli, wenn s_ nach der Definition 1. oonTer^rt, die BoAiagung 2. 
friedig;! sein muti , d« je die Sohwenkangen von t„ um den Grvnzwe 
A mit uneudlioh wachsenden « unendlich klein werden mäasen. 

Iit nnn die BedinKnng ^- erfüllt, ao iit für eine beliebige Zahl r : 
eine* von beiden m^lich. 

a) Wie groai auch ^V aei, ei peht immer noch Werthe von n >■ 
für die «, > ^ wird (Zahlen a). 

b) Man kann N »o gross annehmen, daea, wenn it "> N ist, inai 
s„ ^ * (Zahlen 6). 

Man sieht nnn, dass, wenn entweder nar Zahlen a oder nur Zab 
b exiatiren, die Bedingung 2. nicht befriedigt sein kann. Denn ist p 
aoint kleiner als w, ao kann h„^.„ nicht gTöaaer «la s„ + <u und ni 
kleiner ala J„ — " werden. Es muaa alao, wenn 2. erfüllt ist, aow 
Zahlen a als Zahlen b geben, nnd zugleich ist jedes a kleiner al« j» 
6. Die Zahlen o und 6 werden nach dem Prineip der Stetigkeit, wi« 
von Dedekind formulirt ist (Stetigkeit und irrationale Zahlen, Brfti 
schweig 1872, 1692) durch einen Grenzpunkt A von einander geaohied 
und wenn 2. befriedigt ist, ao aind für ein hinlänglich groases N i 
a iwiachen ^ — n» und Ä -^ ai enthalten, wie klein auch oi sein mag. 



§. 21. Unbedingte Gonvergenz. 47 

I. Die geometrische Reihe 

E = l-|-a-|-a«-|-a8 4--" 
Ist oc ^ 1, 80 ist 5n ^ M -|~ 1 und wächst also mit n ins 
Uoendliche. Ist aber oc <c 1, so ist 

_ 1 --an + l 

^^ — "1 -a ' 
und es ist also E = 1/(1 — a) und die Reihe convergent 

II. Die Reihe 

Wenn k negativ wäre, so würden schon die Glieder a«) um 
80 mehr also Sn ins Unendliche wachsen. Ist aber k positiv, 
dann schliessen wir so. Es ist nach dem Mittelwerthsatze 

••+1 



n + lj*^ J a^ ^n*' 



C 
folglich, wenn wir 

s»=l + 2i + 3i + '" + n» 
setzen: 

n n + 1 

1 1 

woraus sich nach Ausführung der Integration ergiebt: 

k 1 



Sn< 



Sn > 



k— 1 {k— l)n*-i' 
(n 4- 1)1-* 1 



l — k 1 — Ä' 

und für k = l : 

$n > log (W + 1). 

Daraus ist zu sehen, dass diese Reihe convergirt, wenn A; >> 1 
ist und divergirt, wenn k ^ 1 ist. 

Diese Beispiele kann man zu allgemeineren Kennzeichen 
fiir die Convergenz von Reihen verwenden auf Grund des fol- 
genden Lehrsatzes. 

III. Sind 

^0? 04,04, 03, ... 
positive Glieder einer convergenten Reihe 



48 Dritter Absohnitt. §. 21. 

und 

Co, (?1, Cfy (?3, . . . 

eine unbegrenzte Reihe beliebiger positiver, 
negativer oder auch verschwindender Zahlen, 
die ihrem absoluten Werthe nach alle unter 
einer endlichen Zahl c liegen, so ist auch die 
Reihe 

convergent 
Dann setzen wir wie im §. 20 

und entsprechend 

so ist 

und es hat also Bn^„^ zugleich mit Q^^m die Null zur Grenze. 

Nimmt man in dem Satze III. die c theils =-1-19 theils 
= — 1 oder theils gleich Null an, so folgt: 

IV. Eine aus positiven Gliedern bestehende con- 
vergente Reihe bleibt convergent, wenn ihre 
Glieder mit beliebig wechselnden Vorzeichen 
genommen werden. 

V. Jeder Theil einer convergenten Reihe mit 
positiven Gliedern ist wieder eine convergent e 
Reihe. 

Man darf nun aber nicht umgekehrt schliessen, dass eine 
convergente Reihe mit positiven und negativen Gliedern con- 
vergent bleibt, wenn man ihre Glieder positiv nimmt, und man 
muss danach zwei Arten convergenter Reihen unterscheiden: 

VI. Eine convergente Reihe heisst unbedingt con- 
vergent, wenn sie auch dann noch convergent 
bleibt, wenn ihre Glieder alle positiv ge- 
nommen werden, im entgegengesetzten Falle 
bedingt convergent 

Convergente Reihen mit nur positiven Gliedern sind daher 
immer unbedingt convergent 



22. Bedingte Gonvergenz. 49 

§. 22. 
Bedingte Gonvergenz. 

Bei einer unbedingt convergenten Reihe 

A. ^=^ Uq -\- tti -|- öj . . . -|- . . . 

lält man immer denselben Grenzwerth, wenn man eine Summe 
bildet, in die man alle Glieder an aufnimmt, in denen n<^N 
, aber ausserdem noch beliebige von den höheren Gliedern 
swählend hinzunimmt, und dann N ins Unendliche wachsen 
ist, auch wenn die Zahl der hinzugefügten höheren Glieder 
) Unendliche wächst 

Man drückt dies Verhalten gewöhnlich so aus , dass die 
mme einer unbedingt convergenten Reihe von der Reihenfolge 
r Summation unabhängig sei, ein Ausdruck, der jedoch der 
)fahr einer Missdeutung unterworfen ist. 

Anders verhalten sich die bedingt convergenten Reihen. 

Es sei, um dies Verhalten darzulegen, A eine Reihe von 
hlen 

«0» «1» «2^ • • • 1 (-^) 

ter denen unendlich viele sowohl positive als negative vor- 
mmen, und 

Po, Pi, P2. • • • (P) 

ien die positiven, 

3 negativen unter diesen Gliedern, in der Reihenfolge gezählt, 
e sie in Ä auf einander folgen. 
Wenn nun die beiden Reihen 

P=Po+Pl-}-P2-^ , 

ö= ^0 + gi + g« H — 

le für sich convergent ist, so ist 

A = ÜQ -j- Ui -j- Oj ... 

ibedingt convergent, und es ist 

A = P^ Q. 

Ist aber von den beiden Reihen P, Q die eine convergent, 
3 andere divergent, so ist A jedenfalls divergent, denn es ist 
3 Summe der n -f- 1 ersten Glieder der Reihe A 

An == 'Lfi Qvi 

Biem»iin-Weber, Partielle Differentialgleichungen. ^ 



50 Dritter Abschnitt. §. 22. 

und (i und v wachsen mit n zugleich ins Unendliche. Wenn 
aber dann von den beiden Summen P^, Q^ die eine unendlich 
wird, die andere endlich bleibt, so wird An entweder positiv 
oder negativ unendlich. 

Wenn aber P und Q beide divergent sind, so stellt sich Ä 
als Differenz zweier unendlicher Zahlen dar, die sehr verschie- 
dener Werthe fähig ist 

Hier gilt der folgende Satz von Dirichlet: 

Wenn die Reihen P und Q divergent sind, 
wenn aber pn und g» sich mit unendlichem n 
der Null nähern, so kann man die Glieder der 
Reihe Ä so zu einer Summe verbinden, dass 
alle ttn für n <^ N darin vorkommen, und dass 
sich doch die Summe mit unendlich wachsen- 
dem N einer willkürlich gegebenen Grenze K 
nähert. 

Um dies einzusehen, nehme man, wenn K positiv ist, zu- 
nächst der Reihe nach so viele Glieder von P, dass ihre Summe 
P' gerade über K liegt, und also der Unterschied P' — K nicht 
grösser ist als das zuletzt hinzugefügte p. Dies ist wegen der 
vorausgesetzten Divergenz von P für jedes K möglich. Nun 
nehme man wieder der Reihe nach so viele negative Glieder 
der Reihe Q^ dass die Summe P — Q^ gerade unter K liegt, 
und dass der Unterschied zwischen P* — Q^ und K wieder nicht 
grösser ist, als das zuletzt hinzugefügte q. 

Jetzt nehme man wieder, an P* anschliessend, so lange posi- 
tive Glieder p, dass die Summe P* — Qf -\- P" wieder gerade 
über K liegt u. s. f. 

Man erhält so eine bestimmte Anordnung der Glieder von 
J., deren Summe 

P- ^ + P'- (2" + ... 

über oder unter K liegt, je nachdem zuletzt ein p oder ein — q 
hinzugefügt ist, und so dass der Unterschied des Werthes dieser 
Summe von K absolut kleiner ist als das zuletzt hinzugefügte 
p oder — g, und sich daher, wenn man die Summation unbegrenzt 
fortsetzt, nach der Voraussetzung der Null nähert. Es ist also 
K als die Summe der unendlichen Reihe 

(1) i>_ (^4-P"_ (2" + ... 

zu bezeichnen. 



§. 23. Beispiel. 51 

Es ist hierbei noch zu bemerken, dass auch die Theilsummen 
P', ^, P", ^', ... sich der Grenze Null nähern, und dass man 
daher den Grenzwerth K auch dann erhält, wenn man bei der 
Bildung der Summe (1) die zuletzt hinzugefügte Summe P'^) oder 
^*'> nicht ganz erschöpft. 

Man kann also in der That (1) als eine Anordnung der 
Glieder von A betrachten, bei der, wenn man weit genug geht, 
alle Glieder a» bis zu einem beliebig gegebenen Rang vor- 
kommen, und deren Summe den Grenzwerth K hat Die Glieder 
Om bilden also bei dieser Anordnung eine convergente Reihe, 
deren Summe = K ist. Dies ist der P'all der bedingten 
Convergenz, bei der die Summe durchaus abhängig ist von 
der Anordnung der Glieder. 

Man kann aber auch noch allgemeiner yerfahren, indem man 
zuerst blindlings positive und negative Glieder in beliebiger end- 
licher Anzahl addirt, und erst dann in der geschilderten Weise 
planmässig verfährt. 

Es ist kaum nöthig zu bemerken, dass der Schluss für ein 
negatives K und für Ä" = in nichts Wesentlichem geändert 
wird. 

§. 23. 
Beispiel. 

Diese Sätze wollen wir nun durch ein einfaches, aber lehr- 
reiches Beispiel veranschaulichen. Die Reihe 

:i) «- = 1 + ^ + 1 + - + ^ 

ist, wie wir schon gesehen haben, für n = oo divergent Wir 
können dies aber auch auf dem folgenden Wege einsehen, der 
uns zugleich Aufschluss giebt, in welcher Weise s^ mit n ins 
unendliche wächst. Es ist, wie die unmittelbare Integration er- 
kennen lässt, für jedes positive y 



OD 



2) - = i e-v'dx 



md folglich 

4 



52 



Dritter Absolinitt. 



§.2S. 



(3) 



OD 





OD 



gr-x — g— (n + l)x 






rfx. 



Femer erhält man durch Integration von (2) in Bezug auf 
y zwischen den Grenzen 1 und n, wobei die Vertauschung der 
Integrationsfolge erlaubt ist: 



(4) 



CO 

logn = 



nx 



X 



dx. 



Hieraus ergiebt sich 



(5) 



00 



dx 



J \1 — e-* xj 



Diese Zerlegung ist gestattet, weil die beiden Functionen 

1 _ ]^ e-* _ 1 

1 — 6-* a: ' 



1 — 6-' 



a; 



wie man durch die bekannten Methoden der Differentialrechnung 
leicht erkennt, für x ■= endlich bleiben und folglich die 
beiden in (5) vorkommenden Integrale unbedingt convergent 
sind. Das zweite verschwindet für n = oo , und das erste hat 
einen bestimmten numerischen Werth: 



(6) 







der sich genähert berechnen lässt und der die Euler'sche 
Constante genannt wird. 

Ihr genäherter Werth ist auf 20 Decimalen i) 

C= 0,577215 664901532 58606 ..., 



») Bei Gau8 8'(Werke Bd. III, S. 164) ist die Zahl C nach einer Be- 
rechnung von Nicolai auf 40 Decimalen angegeben. 



23. Beispiel. 53 

id wir erhalten den Satz 

) um(i + ^ + ^ + - + ^-iog«) = a 

eraus lassen sich nun andere Resultate über bedingt conver- 
nte Reihen herleiten. Trennen wir in s%n die geraden von den 
igeraden Gliedern, und setzen 



3 ' 5 ' ' 2n — 1' 

6r« = i-l-i4---J 1- — 

" 2 ^4 ^6^ ^2n' 

ergiebt sich zunächst 

) lim(6?n-ilogn) = lc, 

)) lim(G„+ f7„-log2n) = C, 

[glich 

1) lim (^Un - log2 - i logn) = 1 C. 

Nehmen wir also zwei ins Unendliche wachsende Zahlen m 
d n an, so folgt durch Subtraction von (9) und (11) 

2) lim (Un - G^) = log2 + ^ log ~ 
Nimmt man z. B. n = m, so erhält man die Reihe 

1.1 1,1 1 o 

^-2+3-4 + 5- •• = ^^«2 
id nimmt man n = 2 m, so folgt 

d allgemein, wenn man a positive Glieder von Unt dann b 
gative Glieder von 6?», dann wieder a positive Glieder von 
, u. s. f. nimmt, so erhält man eine convergente Reihe, deren 
imme yflog(^ a/b) ist, worin 4a/& jeden beliebigen rationalen 
erth haben kann. 

Wir wollen noch einen weiteren Ausdruck für die Constante 
ableiten, der bisweilen nützlich ist. Man erhält durch Diffe- 
itiation nach x 



54 Dritter Absohnitt. §. 24. 

d log(l - e-') = Y^^ dz 

de-' loga; = — e-* \ogxdx -| , 

und durch Subtraction 

d llog (1 — er') — e-* logxj 

= ^^* 1 1 ; dx -{- c* logxdx. 

[ 1 — e~' X ] ' ^ 

Integrirt man diese Gleichung zwischen den Grenzen und 
00 , so verschwindet die linke Seite, wie man für x = co un- 
mittelbar sieht, und für a? = durch Entwickelung von 1 — e~* 
nach Potenzen von x. Es folgt daher aus (6) 

00 

(13) [e-*loga:da:= — C. 



§. 24. 
Ein Satz über Reihenconvergenz. 

Eis sei «0» aj, a2 ..., ö» ••• ^^^^ unbegrenzte Reihe von Zahlen, 
von denen wir voraussetzen, dass 

(1) s» = flo + «1 + a« h «H 

mit unendlich wachsendem n innerhalb endlicher Grenzen bleibt, 
mag sich auch s« nicht einer bestimmten Grenze nähern. Es 
sei femer 

(2) Co» ^11 ^ • • • 

eine Reihe positiver, beständig abnehmender und sich der Null 
nähernder Grössen. Dann gilt allgemein der Satz, dass die 
Reihe 

(3) Sn = floCo + «i^^i + «a«^ H 

convergirt. 

Um diesen Satz zu beweisen, betrachten wir die Summe 

deren Verschwinden für m = oo nach §. 20 das Kennzeichen der 
Convergenz von (3) ist. Hierin setzen wir nach (1) 



§. 24. Ein Satz über Reihenconvergenz. 55 

ötn + a = Sn -1-2 — Sn-\-i 



und erhalten, wenn wir die Glieder anders zusammenfassen 

Iin,m = Sn + 1 (r„ + 1 — ^n + 2) + S« + 2 (^n + 2 — ^n + s) 
"!"••• Sn + m—i (Cn+m— 1 — Cn^m) "j" Sn^mCn-^m — S^Cn + v 

Da nun nach unserer Voraussetzung die DiflFerenzen c» + 1 — On + 21 
Cn-\-i — c« + 8. •••1 Cn^m—i — Cn^m positiv uud die Summeu s» + i, 
Sn + si ••• Sn+m-i äU^ absolut kleiner sind als eine endliche Zahl 
A^ 80 ist der absolute Werth von Rn^f^ kleiner als 

A (Cn + l — ^» + 2 + Cfi + a — C» + 3 + ••• + Cn + m-1 — Cn^m 

+ Cn^m + Cn + i) = 2ACn^i 

und nähert sich also nach der Voraussetzung über die c mit 
unendlich wachsendem n der Grenze Null, wodurch der Satz 
bewiesen ist 

Nimmt man z. B. 

an = (—1)-, 

80 ist $» entweder = 1 oder = und es folgt also, dass jede 
Reihe 

(5) Co — Ci H- c, — C3 + C4 ; 

in der die c eine Reihe positiver, gegen Null abnehmender 
Grössen sind, convergirt 

Ein anderes Beispiel ist folgendes: 

ao = 1, «1 = 2 cos 2a:, a^ = 2 cos 4a:, ... 0^-= 2 cos 2 na*, 

also 

(6) 5« = 1 -f- 2 cos 2 rc -|- 2 cos 4 a: -f- • • • -|- 2 cos 2 na:. 

Um $n zu finden, multipliciren wir mit sina: und wenden 
auf jedes Glied des Productes Snsina; die Formel an 

2sina; co82 na; = sin(2n -f- 1) a; — sin(2n — l)a:. 

Dadurch erhält man 

$nSina: = 8in(2n 4- l)a: 
oder 

(7) s. = ?^^" + ^)''. 
^ "^ sina: 

Ist also sin x von Null verschieden, d. h. x nicht gleich einem 



56 Dritter Abiohnitt §. 

Vielfachen von n, so ist, d& 8in(2n -\-\)x immer zwischen — 
und -f~ 1 liflg^ Sa zwischen den endlichen Grenzen 



eingeschlossen, and wir erhalten aleo den Satz, dass die Rei 
(8) Co + 2CiCos2i -|- 2CsCOb4i -\- CgCOsBa: + ••• 

immer convergent ist, wenn die Cg, c,, c,, ... eine Rei 
positiver gegen Null beständig abnehmender Ze 
len ist. 

Es ist kaum nöthig, hervorzuheben, dass es genügt, vi 
diese Abnahme der Zahlen c„ erst von einer beliebigen endlid 
Stelle n an beginnt 

§. 25. 
Der Abel'Bche Satz über Stetigkeit von Potenzreihe 

Durch das im vorigen Paragraphen angewandte Verfah 
der theilweisen Summation kann man auch einen Satz 
Abel beweisen, der dem in §. 9 bewiesenen Satz über dieSte 
keit eines Integrals analog ist. Er lautet so: 
Wenn die Reihe 

(1) A = a,-\-a,-\-a,-\-<H-\---- 

bedingt oder anbedingt convergirt, so ist 
der Urenzwerth, dem sich die für r •< 1 dar 
die Reibe 

(2) /W = «0 + «i»- + a,r« + a,r* + - 
definirte Function nähert, wenn r sich c 
Grrenze 1 nähert In Zeichen: 

(3) lim (do 4- a, »■ + a^r* -\- o,f ' -[ ) = A. 

DasB die Reihe (2) für jedes echt gebrochene r anbedi: 
convergirt, folgt aus §.21, I., IIL 

Die Reihe (2) formen wir nun um, indem wir 

s„ = «0 + a, + Oj H h a„, 

also o» =: »■ — s„-i setzen, und erhalten wie im vorigen Pa 
graphen 

(4) / (r) = s,-\- (s, ^s,)r-]- (s,-s,) r» + (s,- «.) r' + 

= (1 - r) {s„ + s.r + s,r» + s,r» + ■■■), 



§. 26. üalbconvergente. Reihen. 57 

und wenn wir die letzte Reihe in zwei Theile theilen 

/(r) = (1 — r) ($0 4- s,r + s^r^ -\ \- Snf^) 

4- (1 — r) (5n + ir" + i 4- Sn^iT^-^^ + •••). 
Bedeutet P einen zwischen dem grössten und kleinsten 
Werthe der Summen s„ + i, 5» + 21 ..• gelegenen Werth, so ist 

1 — r 
und folglich 

(ö) /(r) = (1 — r) (5o + s^r + s,r» + ... + Snr-) + Pr* + i. 
Hiervon subtrahiren wir die identische Gleichung 

A = A(l — r) (l+r + ra-| h*^) 4" ^^» + 1 

und erhalten 

(6) /(r) - Ä = il-r)Fn(r) + (P-A)r-^\ 

worin die linke Seite von n unabhängig und 

JF,(r) = (So -A) + (s, -A)r'] 1- (s» — A)r^ 

eine ganze Function n*^ Grades von r ist. 

Es ist nun zu beweisen, dass sich, wenn eine beliebig kleine 
positive Zahl o gegeben ist, die Zahl q so klein annehmen 
lässt, dass /(r) — A dem absoluten Werthe nach kleiner wird 
als (ö, wenn 1 — r < q ist. 

Man kann aber n so gross annehmen, dass Sn + i, Sn + a, • . • 
dem Werthe A beliebig nahe kommen, und folglich so, dass 
P — A und mithin auch (P — -4) r" + * dem absoluten Werthe 
nach kleiner als ^/^cs ist. Ist n bestimmt, so kann man wieder 
Q SO klein annehmen, dass auch (1 — r) ^^»(r) kleiner als ^/^cn 
wird, und dann ist nach (6) der absolute Werth von/(r) — A 
kleiner als (o^). 

§. 26. 
Halbconvergente Reihen. 

Obwohl man bei divergenten Reihen von einer Summe nicht 
sprechen kann, so können solche Reihen doch bisweilen mit 

^) Dieser Satz rührt von Abel her, der ihn in seinen Untersuchungen 
über die Binomialreihe benutzt hat. Ein Beweis, der sich übrigens ganz 
ähnlich schon bei Abel findet, ist nach einer Mittheilung Dirichlet's von 
LioQville veröfifentlicht (Dirichlet's Werke, Bd. 2, S. 305). 



58 Dritter Abschnitt. §. 26. 

Nutzen gebraucht werden zur Berechnung transcendenter Func- 
tionen. Um den Sinn dieses Ausspruches zu verstehen, betrachten 
wir eine Reihe von Grössen Uq, u^, u,, ... u» von der Art, dass 

(1) £/'„ = Mo 4- Wl + Wj H [-Un 

mit n zugleich ins Unendliche wächst Man kann sich nun die 
Frage stellen, wenn es sich um die Darstellung eines bestimmten 
Werthes Ä handelt, für welchen Werth von n wird ü« 
dem Werthe A möglichst nahe kommen, und auf 
welchen Grad der Kleinheit kann die Differenz 
Ä — Un heruntergebracht werden? Ist diese Differenz 
klein genug, so wird man Un als eine angenäherte Darstellung 
der Zahl Ä betrachten können. In den Anwendungen verhält 
sich meistens die Sache so, dass die Reihenglieder Uq, Ui, u,, ... 
Functionen einer Variablen x sind, so dass 

(2) Un = (X, n) 

eine Function von x und n wird. An die Stelle von Ä tritt 
alsdann gleichfalls eine Function, F(x)^ und es handelt sich 
darum, die Differenz 

(3) F(x) — 0(x,n) = J(x,n) 

so klein als möglich zu machen. Das hier zu wählende n wird 
dann von x abhängen, und es ist ein häufig vorkommender Fall 
der, dass man ^ (x, n) um so kleiner machen kann , je grösser 
X ist, wobei dann auch n in bestimmter Weise mit x wachsen 
kann. Wenn z. B. O (x^ n) die Eigenschaft hat, dass für jedes n 

(4) Um ix^ [F{x) — 0{x, n)] = 



X=ao 



ist, so heisst 0(x^n) (nach Poincare) eine asymptotische 
Darstellung der Function F(x). 

Wir wollen diese allgemeinen Grundsätze an einem ein- 
fachen Beispiel erläutern. 

Wir definiren eine später noch nützliche Function 



X 

(5) ®(-) = t|1 



X 

e-«' da. 

6 

Nach §.12 hat diese Function die Eigenschaften 
(6) ö(0) = 0, 0(oo)=l. 



§. 26. üalbconvergente Reihen. 59 

Es ist femer 

— X X 

0(_ jr) = A [ (T-^* da = ~j^ { er^^ da, 
V^ J V^ J 

also 

(7) S{—x) = — e{x). 

Es genügt also, ®{x) für positive Werthe von x zu be- 
rechnen. Ein geschlossener Ausdruck lässt sich für diese Func- 
tion nicht angeben, wohl aber eine stets convergente Reihe. Es 
ist nämlich, wenn man für e"*** die Reihe setzt: 

(8) e-=i-f;+j;-j;+..., 

in der 

(9) n! = 1.2.3... n 

ist, und dann integrirt, 



(10) © 



, _ _2_ ^ ^-J)v^^ 
^^~i^^, i;!{2v+l) 



und diese Reihe convergirt stärker wie die Reihe (8), die be- 
kanntlich für alle Werthe von a convergirt 

Nach (10) ist B{x) für kleine Werthe von x zu berechnen. 

Für grosse Werthe von x ist aber die Convergenz dieser 
Reihe zu langsam. Für solche Werthe kommt man leichter 
durch eine halbconvergente Entwickelung zum Ziele. Um diese 
abzuleiten, setzen wir nach (6) 

OD 

(11) 0{x) = 1 — -^ f c— da 

X 

und substitniren für a eine neue Variable ß durch die Glei- 
chung 

dadurch erhält man 



«O ^ flp ^ 



(12) f^~"'^" = W f^ ''^^r-ßdß. 

X 

Nun können wir nach dem Taylo raschen Lehrsatz, wenn 
^ einen positiven echten Bruch bedeutet. 



60 Dritter Abschnitt. §. 26. 






&x 



setzen, und folglich, da e- ^* für positive x gleichfalls ein echter 
Bruch ist: 

(13) e~^ = 2 ^~ ^^''''' 





^i (2x)»'vr' 



mit der Maassgabe, dass diese Formel nur dann genau ist, 
wenn das letzte Glied auf einen Bruchtheil seines Werthes re- 
ducirt wird. 

Nun ist nach einer bekannten Formel, die sich durch partielle 
Integration leicht beweisen lässt: 



00 

1 



e-^ ß^dß = n!, 

Ö 

und wenn man also die Entwickelung (13) in das Integral (12) 
einsetzt, so folgt 



00 M 

(14) {e-<^da = e-'^^(-ir~, 

* »=0 



(21^)! 
(2a;)2'' + i 

und diese Formel ist gleichfalls nur unter der Voraussetzung 
exact, dass das letzte Glied auf einen Bruchtheil seines Werthes 
reducirt wird. Um also zu beurtheilen, was uns diese Formel 
leisten kann, müssen wir die Grösse des allgemeinen Gliedes 
der Entwickelung (13) abschätzen. Zu diesem Zweck machen 
wir von der bekannten Formel Gebrauch') 

n! = ^27ce-**n* »e"*, 

wo d' ein positiver echter Bruch ist, aus der, wenn d-' gleich- 
falls ein positiver echter Bruch ist, folgt 

1 &' 

(2n)! = V27^^-(2«) "^e^". 
Daraus ergiebt sich 

worin %" = ly — 2 -^ der Bedingung — 2 < 0^' < 1 genügt. 

1) Vergl. z. B. Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung von 
Serret, deutsch von Harnack und Bohlmann, Bd. 2, S. 166 der 2. Aufl. 



§. 26. Halbconvergente Reihen. 61 

Hieraus ergiebt sich uun Folgendes: 

Wenn n bei feststehenden x ins Unendliche wächst, so 
wächst auch dieser Ausdruck ins Unendliche und die Reihe (14) 
ist folglich divergent. 

Wenn aber rc^ > n, also n/a:^ ein echter Bruch ist, so 

ist, da c^*» bei grossen n nahe gleich 1 ist, der Fehler, den man 
bei Benutzung der Formel (14) begeht, kleiner als 



a;V2 

Behält man n bei, und lässt x wachsen, so wird die Ge- 
nauigkeit der Formel (14) um so grösser, je grösser x wird, 
und die Formel (14) giebt eine asymptotische Darstellung des 
Integrals. 

Die Function {x) kommt in der Wahrscheinlichkeits- 
rechnung vor, und man hat darum ihre numerischen Werthe in 
Tabellen zusammengestellt Eine solche Tabelle findet man in 
dem Buche: Theorie der Beobachtungsfehler von Emanuel 
C zu her, Leipzig 1891. Nach dieser Tabelle ist S{x) schon 
bei rc = 4,8 in der \\^^ Decimalen von 1 nicht mehr zu unter- 
scheiden. 



Vierter Abschnitt 

Fourier'sohe ReilieiL 



§. 27. 
lileichmässige und ungleichmässige Convergenz. 

Wir betrachten nun solche Reihen« deren Coefficienten Func- 
tionen oiuor Veniuderlichen x sind. Es sei also 

\l) Mq« fl^, Mj, ... Mn, ..• 

eine Keihe von Functionen von x, die in ii^end einem Inteirall 
^m b) endlich und stetig sind, die dem absoluten Werthe nach 
auch für ein unendlich wachsendes n nicht über eine endliche 
i.ii\i;j:^* hinausgehen. Wenn die Keihe 

^^i) r r— i*.j -^ 14^ — 1«.^ — ... 

convergirt» s«.> wirvl auch 

coaverKeut win. urul si^'h mit unendlich wachsenden m derGrenie 
Null uÄhcrtu 

Wouu nuu diese Cou^enrenz fir ;eden W^rth x des Inter- 
valls M'j"^ scattnndec, >o j:iebc es^ weri'j üj eine gegebene, beliebig 
kleine jK»sitive oa^ssk? ist. trir ;edes x einen W*,jrth ^T Toa der 
Art* d;ic?s* wenu » ^^ V 'sr 

.\\ — u; -v^ Kn ^^ -— m 

und e* sind vtaiia ^wei F-il*e z'i nic^erscheideu 

l. Pie Grvs5>eii >' -laLv?! -.ai l:iSt»rTalI .1. b eine eadÜclie 
joere L»r»;ii^e -V. i«-' :ia:ürvica ;?L'ie vijn z onabhäogige 
Jjüil :s£ = . md iia:i r-1: üe l u^ileicQung iVi fir das 



§. 28. Beispiel. 63 

ganze Intervall, sobald n >> ^o ^^^ ^^ diesem 
Falle nennt mau die Reihe ü in dem Intervalle gleich- 
massig convergent. 

2. Die Zahlend haben im Intervall bei hinlänglich kleinen 
CO keine obere Grenze, sondern wachsen über alle Grenzen, 
etwa 80, dass N mit der Annäherung von x an gewisse 
besondere Werthe unendlich wachsen muss, ohne dass 
darum die Existenz eines bestimmten N für jedes indi- 
viduelle X aufhört. Diese Art der Gonvergenz heisst 
ungleichmässig. 

Bei der ungleichmässigen Convergenz verhält es sich so, dass 
die Convergenz bei der Annäherung an einen bestimmten Punkt, 
etwa an a, immer schlechter wird, in a selbst aber durch irgend 
einen anderen Umstand, indem z. B. hier alle u^ einen ver- 
schwindenden Factor bekommen, wieder hergestellt wird. 

Eine Reihe von gleichmässiger Convergenz können wir auf 
folgende Art bilden. Es sei 

Co + Ci + Ca H 

eine convergente Reihe von positiven numerischen Gliedern und 

eine Reihe von Functionen von a:, deren Werthe in endlichen 
Grenzen eingeschlossen sind. Dann ist die Reihe 

(5) O = Coq>o + Ci9i + Ca 9a H 

gleichmässig convergent, soweit die Functionen 9, die gemachten 
Voraussetzungen erfüllen. Denn hier ist, wenn die q>v dem ab- 
soluten Werth nach unter C liegen 

was durch ein von x unabhängiges n beliebig klein gemacht 
werden kann. 

§. 28. 
Beispiel. 

Zur Erläuterung des Begriffes der ungleichmässigen Con- 
vergenz wollen wir ein Beispiel betrachten. 

Wir haben im §. 24 eine Summenformel gefunden, nämlich, 
wenn wir 2a? = a setzen: 



64 



Vierter Absohnitt. 



§.28. 



(1) 1 -f- 2co8a -|- 2co82 a -|- ... -j- 2cosna = 



. 2n + 1 
sin TT — a 



. 1 
8in ^ a 



worin n eine ganze Zahl ist. Wir multipliciren diesen Ausdruck 
mit da und integriren ihn zwischen den Grenzen und x^ worin 
X eine zwischen und 2 n gelegene Veränderliche sei. Wir 
finden dann 



, ^ . , 2 sin 2 a; , 2 sin 3 a: , , 2 sin n a: 

X 4- 2sina: H 1 1 h 



3 



n 



(2) 



5 . 2w+ 1 

sm J--- a 



J 





. 1 
sin -^a 



äa, 



und darin lässt sich nun der Grenzübergang zu unendlichem n 
nach der Formel IV. (§. 15) bewerkstelligen, wenn man ^ {x) 
= xl^in^l^x setzt. Man findet so die Summe der unendlichen 
Reihe 



(3) 



, ^ . , ^ sin2a; , -, sin3a; , 



Diese Formel gilt, so lange < a: < 2 3r ist. Die linke 
Seite verschwindet aber für x •= 0, und erhält für negative 

Fig. 3. 

y 




Werthe von x den entgegengesetzten Werth wie für die gleichen 
positiven. Die Function 



(4) 



. ^ . , ^ sin2a; , ^ sin3a; , 
0{x) = x-^2smx + 2 —. h 2 — \- 



genügt ausserdem der Bedingung 



§.28. 



Beispiel. 



65 



0(x-\- 27c) = 0(x) -{-2n 

und wird durch das in Fig. 3 dargestellte, aus Stücken paralleler 
gerader Linien zusammcDgesetzte Diagramm veranschaulicht. Sie 
hat für jedes x einen bestimmten Werth und ist eine unstetige 
Function von x. 

Trotzdem gilt aber der folgende Satz: 

Die Reihe 0{x) ist in dem Intervalle (£, n) 
gleichmässig convergent, wenn < f < ^. 

Um dies einzusehen, bilden wir den Rest, 

^^ ^ n+1 ^ n + 2 ^' 

welcher in Folge von (2) und (3j den Werth hat: 



(6) 



Rn = 7t 



J 
U 



. 2 w + 1 

sm ZT — a 



. 1 
sm — a 



da. 



Diesen Ausdruck bringen wir, indem wir zur Abkürzung 



w+ 2 = ^ 



setzen, in die Form 



(7) 



Ä„ = a — 



•/ 
U 



e 



X 



sin/ita 

. 1 

sin- a 



da — 



•/ 

c 



sin|Lia 

. 1 
sin— a 



äa, 



und nach dem zweiten Mittelwerthsatz ist, wenn | einen Werth 
zwischen £ und ^ bedeutet: 



(8) 



X 
ß 



smfia , 



. 1 
sin— a 



da 



« 



5 
/» 



X 



sinua , ,. X 
da -{- 



1 



sin« 



. 1 
sm — X 



sinfia 



a 



da 



i 



Hx 



a 



da -f- 



X 






. 1 

sm — X 

2t «/ 



sma 
a 



da, 



a.^ 



nun ist für jedes positive x^ was kleiner als % ist: 

Biem^nn-Weber, Partielle DifferentUlgleichttiigeD. 5 



66 



Vierter Abschnitt. 



§.Ä 



2< — 



X 



1 



<^, 



sin -- X 
2 



00 

und wegen der Convergenz des Integrals l da ist das In- 

J « 



m 



tegral I ^^ da absolut genommen kleiner als eine beliebig 



(I 



kleine Grösse gj, wenn a und h beide grösser sind als eine 
hinlänglich grosse Zahl c. Hieraus ersieht man, dass man ^ 
von X unabhängig, so gross annehmen kann, dass das Inte- 
gral (8) beliebig klein wird. 
Da ferner 



lim I 11 

U S3 00 



•/ 





sm |Lia 

. f 
sin —a 



\ 



da 



= 



/ 



ist, und X in diesem Ausdruck überhaupt nicht vorkommt, so 
kann man auch noch ft so gross annehmen, dass diese Differenz 
und damit der ganze Ausdruck -K^ beliebig klein wird, worin die 
gleichmässige Convergenz liegt. 

Dieselbe Betrachtung lässt sich auch auf das Intervall von 
jr bis 27C — s anwenden, und daraus folgt, dass die Reihe 
0(x) in einem Intervall (a, 6), worin 

0<ia^x'^b<^27t^ 

gleichmässig convergirt. 

Die gleichmässige Convergenz hört aber auf, wenn das 
Intervall für x bis oder bis 2 7t ausgedehnt wird. 

Denn machen wir in (6) die Substitution 

2 n 4- 1 

so erhalten wir: 



« = /3, 



Ii,t = 7t 



2n-f-l 
2 -^ 



2ß 



J 





{2n + 1) sin 



ß 



sin ß 



dß, 



2n 



1 



und hierin kann man, wie gross auch n sein mag, x immer so 



§. 29. Stetigkeit unendlicher Reihen. 67 

klein annehmen, dass das Integral beliebig klein und Rn also 
nicht verschwindend klein wird. Gleichwohl hört die Convergenz 
der Reihe O (x) im Punkte a; = selber nicht auf, weil dort 
alle Glieder einzeln verschwinden. 



§. 29. 

Stetigkeit, Integration und Differentiation 

unendlicher Reihen. 

1. Eine gleichmässig convergente Reihe, deren 
Glieder stetige Functionen einer' Variablen x 
sind, ist selbst eine stetige Function von x. 

Es sei nämlich 

(1) U z= Uq -}- Ui + <*2 + * • * 

eine in irgend einem Intervall gleichmässig convergente Reihe. 
Man setze 

Nimmt man n so gross, dass lin in dem ganzen Intervall 
kleiner als eine beliebig kleine Grösse a wird, so sind auch die 
Schwankungen von jR« unter dieser Grenze, und da Un eine 
stetige Function von x ist, so kann man die Veränderung von 
X so klein machen, dass auch die Schwankungen von ün kleiner 
als eine beliebig kleine Grösse cd' werden. Dann sind die Schwan- 
kungen von U kleiner als oj -|- oj', w. z. b. w. 

Es seien jetzt a und x zwei Punkte des Intervalls, in dem 
die Reihe U gleichmässig convergirt und es werde 



(3) 



XXX 

Vq = I Uodx^ Vi = u^dx^ V2 = I u^dx^ ... 



u a 



gesetzt Dann ergiebt sich aus der Zerlegung (2) sofort 

X 

(4) ^ "^ f ^^*^ = ^0 + ^1 + t;2 H 

a 

d. h. man kann eine gleichmässig convergente Reihe dadurch 
integriren, dass man jedes einzelne ihrer Glieder integrirt. Wenn 
aber die gleichmässige Convergenz oder die Convergenz über- 

5* 



68 Vierter Abschnitt. §.30. 

haupt für die Reihe U in einzelnen Punkten aufliört, währenl 
die gleichmässige Convergenz der Reihe V über diesen Punkt 
hinaus fortbesteht, so ergiebt sich, da das Integral immer eine stetige 
Function seiner oberen Grenze ist, mit Hülfe des Satzes 1^ da» 
die Formel (4) auch dann noch richtig ist, wenn x in einen 
solchen Punkt fällt, oder über ihn hinausgeht. Wir haben also 
den Satz: 

2. Eine Reihe ?7, die, von einzelnen Punkten ab- 
gesehen, gleichmässig convergirt, lässt sich 
durch Integration ihrer einzelnen Glieder 
integriren, wenn die durch Integration ent- 
stand'ene Reihe gleichmässig convergirt. 

Aus diesem Satze lässt sich leicht ein entsprechender Satz 
über die Differentiation einer Reihe ableiten. 

3. Wenn Tq, t^i, i'a, . . . stetige Functionen von x 
sind, und 

(5) ■ V = Vq + i\ + ra H 

convergirt, wenn ferner die Reihe 

dv^ , di^ , dt'2 , 
dx dx ~^ dx ~^ 

in einem beliebig kleinen den Werth x ent- 
haltenden Intervall gleichmässig convergirt, 
80 ist 

.gx dV _ dvo , rfvi , dt^ _l 

^ dx dx ~^ dx dx ~^ ' 

Dies ergiebt sich, wenn man die Reihe (6) nach dem 
Satze 2. integrirt. 

§. 30. 
Beispiel. 

Wir haben die Reihensumme gefunden: 

/iv I o • I n sin 2a: , ^ sin 3a: , 

(1) 3r = a: + 2sina:4- 2 — 2 ^2 -^ 1 , 

die in dem Intervall < a' <; 2 jr gültig und in dem Inter- 
vall (a, b) §. 28 gleichmässig convergent ist. Da durch Inte- 
gration dieser Reihe eine unbedingt und gleichmässig conver- 
girende Reihe entsteht, so ist die Integration von bis x ge- 



§. 30. 



Beispiel. 



69 



stattet, und wir erhalten eine bis o; = 2 ;r einschliesslich gültige 
Formel 



(2) 



XX 

2 


= 


x^ 
4 


— 


cosrr 
1 


— 


cos 2 a; 
4" 


— 


cos 3 a; 
9 




cos4x 
16 










1 
1 


+ 


1 
4 


— 


1 
9 


+ 


,',+ 



(3) 



Setzen wir hierin x = n^ so ergiebt sich 

-=1+-+-+-+ 

8 ^ 9 ^ 25 ^ 49 ^ 



und nun können wir auch die in der zweiten Zeile der Formel 
(2) stehende convergente numerische Reihe summiren. Setzen 
wir, um dies auszuführen 

^=^+4+9+16 + -' 
so ergiebt sich mit Hülfe von (3) 

— — = i-l--L-l- — -l-i-_i_ 
8 4 "•" 16 "•" 36 "•" 64 "• 

4V^4^9^16^ /4' 
woraus sich e = a^/G, also 

(4) 

ergiebt. Demnach finden wir aus (2) die folgende Reihensumme: 



1 + 1 + 1.1.1.... = !^ 
^4^9^ 16 ^25^ 6 



,-. cosa; , C08 2x , 



cos Sx . cos 4 a: 



9 



+ 



16 



+ 



(x — 3cy n^ 



12 



-271 



gültig in dem Intervall 
< a; < 2 «. 

Die Reihe auf der lin- 
ken Seite dieser Formel 
ist eine gerade perio- 
dische Function mit 
der Periode 2 it. Sie 
kann durch eine stetige 

Curve dargestellt werden, die sich aus lauter symmetrischen 
Parabelbögen zusammensetzt. 

Man kann aus (5) verschiedene andere Formeln ableiten, 
von denen einige angeführt sein mögen. 




70 



Vierter Abschnitt. 



§.31. 



Ersetzt man in (5) x durch x -\- tc, %o erhält man 



(«) 



s '- "• "^"' 



n' 



xl 
4 



12' 



eine Formel, die in dem Intervall — ä ^ a? < -j- ^ gil^- 

Wenn wir dann (6) von (5) subtrahiren, so folgt für das 
Intervall "^ x ^ x 



« 



(7) 




n—O 



cos(2n4-l)^ » /Ä \ 

""(2 n 4- 1)'" "~ 4 V2 "~ ^)' 



Die Functionen, die auf der linken Seite von (6) und (7) 
stehen, werden durch gebrochene, aber stetig zusammenhängende 

Fig. 5. 




Linien dargestellt, die bei (6) aus Parabelbögen, bei (7) aus gerad- 
linigen Strecken zusammengesetzt sind, wie die Fig. 4 und 5 zeigen. 



§. 31. 
Fourier'sche Reihen. 

Die nach Fourier benannten Reihen haben den Zweck, 
eine gegebene Function g){x) in eine Reihe zu entwickeln, die 
nach sinus und cosinus der Vielfaclien des Arguments x fort- 
schreitet, und die also die Form hat 



I. 



(p (x) = Ol sin :r + «2 sin 2 ic 4- «3 sin 3 o; -\- 

-|- — 6y -f- '^1 cos X -\- 62 cos 2 a; -j- 63 cos 3x -{- 



worin die ai, Oj, «3, ... 60 ^ &n ^21 ^31 ••• von x unabhängige 
CoefHcienten sind. Solche Reihen nennen wir auch trigono» 
metrische Reihen. Setzen wir die Convergenz dieser Reihe 



§. 31. Fourier'sche Reihen. 71 

voraus, so ändert sie wegen der Periodicität der Functionen 
sina;, cosa; ihren Werth nicht, wenn x um 2jt vermehrt wird, 
und demnach kann die Function q) (x) höchstens in einem Inter- 
vall von der Grösse 2 tc willkürlich sein. Darüber hinaus wieder- 
holen sich ihre Werthe periodisch. 

Innerhalb eines solchen Intervalls mag nun die Function 
(p{x) beliebig gegeben sein. Sie soll sich auch aus Theilen zu- 
sammensetzen können, die in verschiedenen Stücken des Inter- 
valls verschiedenen analytischen Gesetzen folgen, auch kann sie 
Unstetigkeiten haben; nur soll sie den Bedingungen des Satzes 
§. 16, V. unterworfen sein. 

Wenn wir voraussetzen , dass die Reihe L nach §. 29 glied- 
weise integrirbar ist, so lassen sich die Goefficienten leicht durch 
Integrale ausdrücken. Wir haben nämlich, wenn m und n be- 
liebige ganze Zahlen sind, die wir nicht negativ anzunehmen 
brauchen, weil Binmx cosnx eine ungerade Function ist: 

smmx cosnx dx = 0] 



— 7t 



ferner : 



sinmx sinnxdx 

— n 



sii 



4-rt 

— 7t —7t 

= n, wenn m = w > 



-«- 7t -\-7t 

= 9 cos(w — n)a;dx — - cos(m-!-n)a:da: = 0, wennm 






co%mx cos nxdx 



— 7t 

+ /r -{■7t 



= - cos(m — n)xdx-{-— \cos(m-\-n)xdx = 0^ wenn m^n 

— 7t —7t 

= Ä, wennm = w>>0 
= 2ä, wennm=rn = 0. 

Wenn wir hiernach die Reihe I. mit sinmxdx und mit 
cosmxdx multipliciren und zwischen den Grenzen — n und -\-n 
integriren, so erhalten wir 



72 Vierter Abschnitt. §. 32- 

Um = — \'q> {r) sin m x dx^ 

(1) "■;, 

= — I q){x)co%mxdx^ 



'm 

— n 



von denen die letzte auch noch fiir w = gilt 

Hieraus ergiebt sich also, dass die Darstellung einer Func- 
tion q>{x) durch die Formel I. höchstens auf eine Art möglich 
ist, wenn wir verlangen, dass die Reihe gliedweise integrirbar 
sein soUi). 

Setzen wir die oben angegebene Periodicität der Function 
^(x) voraus, so können wir, wenn c ein beliebiger Werth ist, 
auch setzen 

ttm = — I 9>(a:) sinfwxda:, 
(2) 



c—n 



c\ 7t 
1 f 

im = - I <p(a;) Q.o%mxäx, 



-J<)p(^) 



C — TT 

Denn es ist nach dieser Voraussetzung z. B. 

c-\-7t c — n 

I q>{x) %\VLmxdx = I 9(:x:) wrnnxdx^ 



— it 



wie man durch die Substitution x ^= ^% -\- x^ erkennt, und 
hierdurch werden die beiden Ausdrücke von a^ auf einander 
zurückgeführt. Ebenso hn,, 

§. 32. 
Sumniation der trigonometrischen Reihe. 

Um aber zu zeigen, dass jede Function 9(0^), die den an- 
gegebenen Forderungen genügt, in eine trigonometrische Reihe 
entwickelbar ist, müssen wir nach Dirichlet's Vorgang die 

*) Dass auch ohne diese Forderung eine zweite Entwickelung einer 
Function in eine trigonometrische Reihe nicht möglich ist, hat G. Cantor 
bewiesen (Crelle's Journ., Bd. 72). 



§. 32. 



Summation der trigonometrischen Reihe. 



73 



Summe der n ersten Glieder der Reihe bilden, und dann n 
ins Unendliche wachsen lassen. Wenn sich dann zeigt, dass die 
Summe dem Grenzwerth fp{x) zustrebt, dann ist die Entwickel- 
barkeit erwiesen. Setzen wir 



0) 



fif» = ai sin a: -f- aa sin 2 a; -f- • • • -f" öJn sin nx 
4- T ^0 -|" ^1 cosic -|- 62 cos 2x -\- -" -{- bn Gos na; 



und substituiren für die Coefficienten a^, 6m die Ausdrücke 
§.31 (2), in denen wir die Integrations variable mit a bezeichnen, 
so ergiebt sich: 

(2) iSn = — I 9? (a) { n- + cos (ic — a) -|- cos 2 (a: — «)-(-••• 



c— ;r 



-f- cosw {x — a) 



da 



und durch Anwendung der Summenformel §. 28, (1): 



C+ 7t 



(3) 



Sn = 



_1_ 

2x 



(p(u) 



8in ^. (x — a) 



dUy 



J 

c — n 



sin — (x — a) 



oder, wenn man unter dem Integralzeichen u = x -\- ß setzt: 

. 2n + 1 
1 ^ " 

(4) 



Sn = : 



2n 



sin - 



(p{x + ß) 



2 



ß 



1 



dß. 



J 

f — n — X 



sin-/3 



Wählt man c so, dass 

— n-\-x<ic<i^-\-Xy 

z. B. c = rr, so sind die beiden Grenzen des Integrals (4) von 
verschiedenen Vorzeichen und liegen zwischen — 2n und + 2 :r, 
und demnach können wir den Grenzwerth von Sn nach dem 
Theorem §. 16, V. bestimmen, wenn wir darin 

ß 



i;(ß) = ip(x-{-ß) 



1 



sin -r ß 



setzen, und wir finden so: 



74 Vierter Abschnitt. §. 33. 

(5) lim S„ = l<p[(x-\-0) + <p{x- 0)], 

«=00 ^ 

oder also, wenn (p(x) an der Stelle x stetig ist, = q>(x): 

Die Fourier'sche Formel I. mit den Bestim- 
mungen (1) oder (2) §. 31 gilt also, wenn die 
Function ^(a;) in einem Intervall vom Umfang 
2» den Bedingungen §. 16, V. gemäss beliebig 
gegeben ist, wenn sie periodisch ist mit der 
Periode 2», und wenn sie an einer Unstetig- 
keitsstelle den Mittelwerth der beiden dort 
zusammenstossenden Werthe hat. 



§. 33. 
Besondere Formen der Fourier'schen Reihe. 

Wenn man in der Darstellung §. 32 (2) von der Formel Ge- 
brauch macht 

2C0Sn(iP a) = e*'»('-«> -f C-tn(a;-a)^ 

so kann man der nun bewiesenen Fouri er' sehen Darstellung 
der Function (p{x) die Form geben 

1 * f 



^--=-^ -rt 



oder, indem man x und a durch nx und na und q){3tx) durch 
q){x) ersetzt: 



4-1 



Ib. 9 W = ^ ^ f 9'(«)e*"''('-'')d«, 



fl— — 00 •_^ 



wo aber in der letzten Formel die Periode der Function q>{x) 
nicht mehr 2;r, sondern 2 ist. 

Wir haben ferner hier, ähnlich wie bei den Fouri er' sehen 
Integralen, die beiden speciellen Fälle hervorzuheben, dass tp{x) 
eine gerade oder eine ungerade Function ist, d. h., dass 
^ (— rr) = + 9 {x) oder = — 9 (x) ist. 



§. 33. Besondere Formen der Fourier'schen Reihe. 75 

Ist zunächst (p{x) ungerade, so ist nacli §. 31, (1) 

+ Ä TT 

3ram= \g)(x)smmx dx = 2 \(p{T)s\nmxclx 



— n 



phy^^= \^{x) cos nixdx = 0, 



— « 



und ebenso ergiebt sich, wenn q> (x) gerade ist, a^ = 0. 
Man erhält auf diese Weise 

II. (f (x) = tti sinx ~\- a2 s\n2x -\- a^ sinSx -\- '" 



7t 

am = — I 9> ix) sin m a: da; 





III. 9?(a:) = TT 6o + ^1 cosic -j- ^2 cos 2 a; -f- 63 cos 3 a; -f- 



n 

2 r 

6„» = — I (p{x) cos ma; da;. 



Hier können die Functionen q>{x) in dem Intervall (0, n) 
beliebig gegeben sein. Es kann auch z. B. in beiden Formeln 
<p{x) dieselbe Function darstellen, üeber dieses Intervall setzt 
sich die Reihe im ersten Falle als ungerade, im zweiten als 
gerade, und in beiden Fällen als periodische Function von x 
fort Die Formel IL giebt 9 (0) = 0, und wenn also q> (-f- 0) 
nicht = ist, so ist die Reihe U. bei a; = unstetig. Die 
Reihe III. ergiebt 9 ( — 0) = 9? (-4- 0), also Stetigkeit bei x = 0, 

Will man eine Function entwickeln, die anstatt der Periode 
2» eine beliebige andere Periode 21 hat, so kann man in der 
Formel §. 31, I. nxß an Stelle von x und dann wieder q>{x) 
statt ip('jcx/l) setzen. Dann findet man 

IV. v{x) = üi sin -j — |- «2 sin 2 -^ — |- 03 sin 3 -^ — f- • • • 

+ 2 *o + 61 cos -p + 62 cos 2 -^ 4- 63 cos 3 -y- H , 

und darin ist, wenn c eine beliebige Grösse bedeutet, nach 
§. 31, (2): 



76 



Vierter Abschnitt. 



§. 34. 



c+l 

IC , V . ^^ J 



X 



c — \ 



'm 



= -2 f <P i^) 

c—l 



nx j 
cosn» -p dx. 



Auch hier lassen sich dann die beiden speciellen Fälle I[., IIL 
hervorheben. 



§. 84. 
Beispiele. 

Als Beispiel wollen wir die Function q>(x) betrachten, die 
in dem Intervall (0, n) gleich x ist. Wenn wir diese Function 
als gerade Function fortsetzen, so bleibt sie auch bei perio- 

Fig. 7. 





discher Fortsetzung stetig. Wenn sie aber als ungerade Func- 
tion fortgesetzt vrird, so wird sie bei den ungeraden Vielfachen 
von Ä unstetig. 

Wir wenden also jetzt IL und III. an, und erhalten aus 
den Formeln 

d (x cosmx) = dx (cosmx — mx sin nix), 
d (x sin mx) = dx (sinmx -f- mx cosmx) 

durch Integration 



X sin mxdx = — 



n cosm;r 
m 



n 



X cosmx dx = 



cos mit — 1 



S. 34. 



Beispiele. 



77 



und für m = 



TT 



xdx = -J7-- 



Da nun cosm^ = -]- l oder = — 1 ist, je nachdem t» 
gerade oder ungerade ist, so ergeben die Formeln IL, IIL die 
für das Intervall (0, ä) gültigen Entwickelungen 



(1) 



X 

2 



sin X sin 2 a: _, sin 3 a; 
"1 2 ' 3~~ 



sin4rr 



- + 



(2) 



X Ä 2 /cosx , 



+ 



•) 



4 

cos 3 a: ^^ cos 5 x 
32 ' 52' 

Diese Reihen sind im Grunde nur andere Formen der Ent- 
wickelungen §. 30 (1) und (7). 

Man kann daraus mannigfache Summenformeln ableiten, von 
denen folgende Beispiele angeführt sein mögen: Setzt man 
X = V2 ^1 so erhält man aus (1) die Leibnitz'sche Reihe 



(3) 



4 3^5 7 ^ 



Setzt man aber in (1) x = V4 ^1 so folgt 

1 _1 , 1 1_ 

' 5 V 2 6 7 V^ 



3r _ 1 _ 1^ ^ 

8 ~" y 2 2 "^ 3 y2 



und hieraus mit Benutzung von (3) 



w 



2 V2 



/o ~ 3 5 7 ' 9 ^ 11 



Um noch ein anderes Beispiel zu geben, wollen wir die 
Function sina: in eine Cosinus -Reihe entwickeln. Tragen wir 
den Werth der Reihe auch 
über das Intervall (0, 7t) 
als Ordinate einer Curve 
auf, so erhalten wir, wie 
Fig. 8 zeigt, eine aus 
Bögen der Sinus -Linie 
zusammengesetzte Curve, 
die ganz auf der positiven 
Seite der x-Axe verläuft. 
Die Curve ist zwar stetig, 

hat aber bei den Vielfachen von tc Ecken. Wenden wir also 
die Formel III. an, so ergiebt sich 




78 Vierter Abschnitt. §.35. 



/ 



n 

(5) 6^ = — sina; cosmarda; 





n 



= — I [8iii(m -|- l)x — 8in(w — l)x] dx 

ü 

J_/cos(in-f-l)jr — 1 cos(m — l)3r — 1\ , 

jt\ m^-l m — 1 /' 

und für m = 0, 1 

TT 

(6) bo = —\ sinx dx = -, 6. = 0. 

Aus (3) folgt 

63 = 0, 65 = ... 



— 4 _ —4 

>2m - 



»(4m2 — 1) n(2m— 1) (2n»+l) 

Wir erhalten also die zwischen und n gültige Formel 

._, n . , 2 cos 2 a; 2 cos 4 a; 2 cos 6 a; 
(7) - sm a: = 1 - -3-3 3-^ 



§. 35. 
Grad der Convergenz der Fourier'schen Reihe. 

Es ist nun noch von Interesse, dass man sich über den 
Grad der Abnahme der Coefficienten a«, 6« der Fourier'- 
schen Reihen mit unendlich wachsendem n eine Vorstellung 
bilden kann. Wir setzen dabei die Differentiirbarkeit der Func- 
tion q>{x) voraus, ohne auszuschliessen , dass der DiflFerential- 
quotient in einem Punkte unendlich wird. Die Function q>{x) 
selbst wollen wir als endlich voraussetzen. Dann ist 

dop(a;)cosna; ,, . . x . 

^^ , = op (x) cos nx — nw (x) sm nx. 

(1) ^''. 

-----, ■= w (x) sinna; + n g? (a;) cos na;. 

dx 

Wird die Function (p (x) in einem Punkte x = a unstetig, 
so erhält man bei der Integration der linken Seite dieser Aus- 
drücke Glieder von der Form 



§. 35. Grad der Convergenz der Fourier'schen Reihe. *79 

[q)(a — 0) — (p {a -\- 0)J cos n a, 
[q>(a — 0) — (p(a -\- 0)] sin na, 

und diese Grössen können zwar bei unendlich wachsenden n 
unaufhörlich hin und her schwanken, gehen aber nicht über ge- 
wisse endliche Grenzen hinaus. Das nämliche gilt von den 
Integralen 

I q>'{x) cos nxdx, I q)' (x) smnxdx^% 

und demnach ergiebt sich durch Integration von (1) nach 
§. 31, (1) der Satz: 

1. Wenn die Function (p (x) endlich ist, so 
bleiben die Producte nan^ nK^ bei unendlich 
wachsendem n in endlichen Grenzen einge- 
schlossen. 

Wenn die Function q){x) als stetig vorausgesetzt wird, so 
werden die Integrale der Functionen auf der linken Seite von 
(1) gleich Null, und wir erhalten 

«n = — I (p'(x)cosnxdx, 



n 



— n 



nbn = — I (p'(x)sinnxdx, 

Ä .1 



— TT 



woraus man, wenn * man in 1. ff (x) durch (f' (x) ersetzt, 
schliessen kann: 

2. Wenn die Function g)(x) selbst stetig und (f' (x) 
endlich ist, so sind w^a«, n^bn bei unendlich 
wachsenden n endlich. 



^) Wir Dehmeu hier immer an, das» auch q^'{x) und die höheren Diffe- 
rentialquotienten, 80 weit sie in Betracht kommen, in einem endlichen 
Intervall nicht unendlich viele Maxima und Minima haben. Dann kann 
man aus der Endlichkeit des Integrals 

I (^' (x) dx 

auf die Endlichkeit der beiden Integrale 

1 y ' {x) cos n X dx^ \ q.' (.r) sin n x d x 

schliessen. Auch unendlich viele ünstetigkeiten sind hier für (f (x) und 
seine DitTerentialquotienten ausgeschlossen. 



80 Vierter Abschnitt. §.35. 

und daraus erhält man durch vollständige Induetion: 

3. Wenn die Function (p(x) mit ihren & — 1 
ersten Ableitungen endlich und stetig, und 
die fc*® Ableitung noch endlich ist, so sind 
n^'^^ttn', n^'^^bn mit unendlich wachsenden n 
endlich. 

Wenn also die zu entwickelnde Function q>(x) stetig ist, so 
ist die Convergenz der Fourier'schen Reihe immer eine un- 
bedingte. 

Wenn es sich darum handelt, eine Function zu entwickeln, 
deren analytisches Gesetz nicht bekannt, die also z. B. graphisch 
oder durch Beobachtungen gegeben ist, so sind die Functions- 
v^erthe auch nicht für alle Argumentwerthe und nicht mit abso- 
luter Schärfe bekannt. Es lassen sich dann die Coefficienten 
der Reihe auch nur bis zu einem gewissen Range hin und nur 
näherungsweise berechnen und man erhält dann einen analyti- 
. sehen Ausdruck, der innerhalb der Grenzen der Genauigkeit 
der Daten mit der darzustellenden Function übereinstimmt. Ist 
die Function unstetig, so wird in nächster Nähe der Unstetig- 
keitsstelle der Fehler immer gross bleiben. Berechnet man aber 
eine hinlängliche Gliederzahl und mit genügender Genauigkeit, 
so kann man das Gebiet dieser grösseren Fehler entsprechend 
einengen. 



Fünfter Absclinitt 
Mehrfache Integrale. 



§■36. 
Mehrfache Integrale. 

Wir siod schon hei unseren bisherigen Betrachtungen Doppel* 
tegraleo begegnet, jedoch haben wir sie da nur als das Ergeb- 
B einer zweimal nach einander auBzurührenden einfachen Inte- 
ition aufgefasst Wir betrachten pj g 

jetzt als selbständigen BegrifT. 

Wir theilen die 3: y. Ebene 
"ch eine zweifache Scbaar 
'a.lleler Geraden und grenzen 
^nitgend ein endliches Flächen- 
Bit F durch eine geschlossene 
'ie ab. Es ist auch nicht aus- 
■chlossen, daes die Begrenzung 
> mehreren getrennten Linien 
tteht und also beispielsweise 
'G ringförmige Gestalt hat. Es 

dann f{x,y) eine Function der Coordinaten x,y, die in einem 
iQkte £ den Werth /(£) habe; einen solchen Puntt | nehmen 
T in jedem der Rechtecke S , in die wir die Ebene eingetheilt 
iben, soweit sie entweder ganz oder auch nur theilweise in der 
lache F liegen. 

Unter dem Doppelintegrale 

Bt*maDS-W«b«r, TmrlleUs DlflermtUlgUlehangeii. g 



.itZZZ. 



genommen über die Fläclie F, verstehen wir dann den Grenz- | 
wertb der Summe 

(1) s/d)«, 

wenn man die Itechtecke ö nach beiden Dimensionen unendlich 
klein werden lässt; und wie bei den einfachen Integralen lässt 
sieb beweisen, dass ein solcher bestimmter Grenzwertb vorhanden 
ist, wenn die Function /{x.y) stetig angenommen wird. Es ist 
dann gleichgültig, ob man die Rechtecke, die nur zum Theil 
innerhalb V liegen, zu der Summe (1) hinzu nimmt oder aos- 
schliesst, und man sieht auch ebenso ein, dass man statt der 
Eintheilung in Hechtecke eine beliebige andere Eintbeilnng tod 
F in Elemente wählen kann, wenn diese Elemente nur nach 
allen Seiten hin unendlich klein werden, etwa wie die Fig. 10 
zeigt. 

Hiernach lässt sich dann auch das Doppelintegral durch 

eine zweimal nach einander auszuführende einfache Integration 

pj- jg bestimmen, indem man zunächst etwa 

y festhält und den Grenzwerth der 

Summe 

l bestimmt, und dann noch eiumal die 
Summe in Bezug auf dy bildet und 
abermals zur Grenze übergeht. 

Man kann die Definition des Inte* 
grals auch auf den Fall ausdehnen, 
dasB/(j7, 1/) an einer Linie unstetig wird, also zu beiden Seiten 
dieser Linie Werthe von endlicher Difi'erenz hat Man hat dann 
nur die Fläche F in Stücke zu zerlegen, und beide Seiten einer 
Unstetigkeitslinie zur Begrenzung je einer dieser TheilHächen 
hinzuzunehmen. 

Integrale, bei denen die Function in einem Punkte unend- 
lich wird, muss man dadurch erklären, dass man den Unendlich- 
keitspunkt durch eine Hülle von dem Integrationsgebiete F 
ausschliesst und dann die Hülle unendlich klein werden lässt. 
Es ist dabei nicht ausgeschlossen, dass die Grenzwerthe des 
Integrals von der Art und Weise abhängen, wie sich die Hülle 
dem Cnstetigkeitspunkte annähert, was in den einzelnen Fällen 
besonders untersucht werden muss. Aehnlich verhält es sich, 
wenn die Grenzen der Integration unendlich werden. 




§. 37. Transformation von Raumintegralen. 83 

Wenn man die Function f{x^y) durch eine auf der xy- 
Ebene senkrecht stehende jgr- Ordinate einer krummen Fläche 
darstellt, so erhält das Doppelintegral die Bedeutung eines 
Volumens. 

Ganz ebenso verhält es sich nun mit den dreifachen Inte- 
gralen (Raumintegralen) 



(2) /C^.y^-s^) ^^ ^^y d^' 




Hier ist das Integrationsgebiet ein Volumen, was von einer 
oder mehreren geschlossenen Flächen begrenzt ist Dies Volumen 
wird auf irgend eine Weise in Elemente eingetheilt, jedes dieser 
Elemente wird mit einem Functionswerthe , der einem seiner 
Punkte angehört, multiplicirt und der Grenzwerth der Summe 
aller dieser Producte genommen, wenn jedes Volumenelement 
nach allen Dimensionen unendlich klein wird. 

Die Bezeichnungsweise (2) für das llaumintegral entspricht 
der Vorstellung, dass die Volumenelemente rechtwinklige Parallel- 
epipede dx dy dz seien, wie sie von drei Schaaren den Coordi- 
natenebenen paralleler Ebenen ausgeschnitten werden. Wenn 
wir nicht gerade diese, sondern eine beliebige Eintheilung in 
Elemente im Auge haben, werden wir ein solches Volumen- 
element auch mit dt und demgemäss das Raumintegral mit 



(3) \fd 



bezeichnen. Die Begrenzung, bis zu der sich das Integral er- 
streckt, muss ausserdem noch angegeben werden. 

§. 37. 
Transformation von Raumintegralen. 

Die verschiedenen Arten der Raumeintheilung bei dreifachen 
Integralen findet ihren analytischen Ausdruck in der Einführung 
verschiedener Integrationsvariablen. Um eine solche Trans- 
formation auszuführen, denken wir uns die rechtwinkligen 
Coordinaten x^ y, e eines Punktes ausgedrückt als Functionen 
von drei neuen Variablen p, g, r, setzen also etwa 

(1) X = g?(p,g,r), y = ^(jp,(?,r), z = %{fi,q,r). 

Einem constanten Werthe einer dieser Variablen, z. B. p^ 
entspricht eine Oberfläche, auf der die einzelnen Punkte durch 

6* 



84 



Fünfter Abschnitt 



§.37. 



verschiedene Werthe von g, r unterschieden werden. Es wird 
80 der Raum (oder auch nur ein gewisser Raumtheil) von drei 
Schaaren von Oberflächen durchzogen, die wir die Flächen 
(^» 0' (*"' P)^ (P» ^) nenuen , von denen sich je drei in einem 
Punkte a:, y, sf schneiden und so diesen Punkt bestimmen. Die 
drei Flächenschaaren schneiden sich in drei Curvenschaaren, und 
auf einer dieser Curven ist nur eine der Variablen p^ g, r Ter- 
änderlich. Wir unterscheiden sie als p- Curven, g-Curveo und 
r- Curven. Die so erklärten Variablen p, g, r heissen auch 
krummlinige Coordinaten. 

Durch Differentiation der Gleichungen (1) ergeben sich Aus- 
drücke von der Form 

dx = adp 4" a'dq -\- a"dr 

(2) dy = bdp + Vdq -f h"dr 

dz == cdp -f- c'dq -\- c"dr, 

worin z. B. a = dx/dp ist und die übrigen Coefficienten ent- 
sprechende Bedeutung habend). Bezeichnen wir mit J5 da» 
Linienelement, d. h. die Länge der Verbindungslinie zweier un- 
endlich benachbarter Punkte, so ergiebt sich aus (2) 

(3) ds^ = dx^ -f dy^ + dz^ 

= edp^ + e'dg2 + e"dr^ 

+ 2gdqdr + 2g' drdp -f 2g" dpdq, 
worin 



e = a» -|- i« -(- c\ 

(4) e' = o'2 4- i'* + ^'^ 
e" = a"2 4- 6"« + c"^ 

Fig. 11. 



g = a' a" + 6' 6" + cf (!\ 
g' = a!'a + J"6 + c"c 

Fig. 12. 





*) Ueber den BegriflF des Differentials vergleiche man z. B. Cauchy, 
Calcul. differentiel. Gesammtausgabe von Cauchy's Werken, Ser. II., 
Bd. 4, S. 27, 47. 



«) 


i». 


ß) 


p + <^p. 


Y) 


i>. 


9) 


1>. 


«0 


l) + dl», 


^0 


J». 


/) 


l> + dp, 


«') 


P + dp, 



7. Transformation von Raumintegralen. 85 

Wir betrachten jetzt ein Volumenelement, welches von sechs 
jßhen begrenzt wird, die durch die constanton Werthe p^q^r^ 
h^JPi 3"l~^3!» r-{-dr bestimmt sind und das wir bei unend- 
1 kleinen dp^ dq^ dr als Parallelepiped betrachten können. 

Die acht Ecken dieses Parallelepipeds haben die Coordinaten 

g, r, 

g + dg, r, 

q, r-]-dr, 

i + da^ r + dr, 
q + dq, r + dry 
q, r + dr, 

q + rf«, r, 
1 die Kantenlängen erhält man aus (3): 

(aß) = iJdp, (ay) = V^ dq, (««) = V^ ^^ 

in die Quadratwurzeln und dp^ dq^dr positiv sind. 

Es sind dx^ dy^ dz die rechtwinkligen Coordinaten des 
Eiktee «' in Bezug auf ein Goordinatensystem , was seinen Ur- 
img in a hat, und folglich ist 

= ds co8(ds, x), dy = ds cos(ds, y), dz = ds cos(ds, z)^ 

3 wenn man also zwei verschiedene Punkte od mit den rela- 
311 Coordinaten dx^ dy^ dz und d' x^ d'y^ d* z betrachtet, so ist 

dxd'x -\- dyd'y -f- dz d' z = dsd's cos(ds d's). 

Bezeichnet man also mit o, o', o" die drei Kantenwinkel der 
rperlichen Ecke bei o, und lässt den Punkt a' der Reihe nach 
i ß^ y^ d zusammenfallen , so ergiebt sich aus (6) mit Hülfe 
i (4) und (5) 

g = yiV' cos CO, g' =r: yi^ cosgj', g" = yiT' cosco". 

Nach einem bekannten Satze der Stereometrie ist aber das 
[umen eines Parallelepipedons, dessen Kanten a, 6, o und 
sen Kantenwinkel a, /3, y sind, gleich 

abc^l — cos»« — cos*/3 — cos^y -f- 2cosa cos/3 cosy, 

l hiemach ergiebt sich liir unser Volumenelement 

dx = ^ee!€f' — g^e — (jf^e — g"^e'' + 2gg'g" dp dq dr. 

Wenn die Winkel gj, oj', cj" alle drei rechte sind, so heissen 
[f r orthogonale Coordinaten. 



86 Fünfter Abschnitt §. 3B. 

In diesem Falle, der in den Anwendungen fast allein Tor- 
kommt, sind g, g\ ^' = und der Ausdruck für d r vereinfacki.^ 
sich wesentlich 



(9) dt = |/7e' e" dpdqdr. 

Diese Ausdrücke hat man für dr in dem Integrale (3 
§. 36, einzusetzen, um das Integral auf die Goordinaten p, g, r 
transformiren. 

Die Transformation eines Doppelintegrals ist bierin A. s 
specieller Fall enthalten. Man hat nur die zu integrirendL ^ 
Function / in §. 36, (3) von z und die Functionen 9, ^ in (1. J 
von r unabhängig anzunehmen und ;i; == r zu setzen. Dau 
folgt im Falle orthogonaler Coordination 

(10) ^{fdxdy= ^^/Ye^dpdq, 
worin 

' = ©*+ (§!)■• ^ = (li)+(ID- 

Drei von einem Punkte auslaufende, in bestimmter Reihen' 
folge genommene Richtungen a, b, 0, die nicht in einer Ebene 
liegen, bilden ein Rechtssystem oder ein directes SysteiO) 
wenn für einen Beobachter, dem die Richtung a von den Füssen 
zum Kopfe läuft, die 6-Richtung in die c-Richtung durch eine 
Drehung von weniger als 180<^ von der Rechten zur Linken über- 
geht. Im entgegengesetzten Falle heisst a, 6, ein Linkssystem 
oder ein indirectes System. Ein Rechtssystem kann in ein 
beliebiges anderes Rechtssystem durch stetige Veränderung seiner 
Richtungen so übergeführt werden, dass dabei das System nicht 
durch ein ebenes hindurch geht. 



§. 38. 
Oberflächenintegrale. 

Häufig hat man Integrale zu betrachten, bei denen das 
Integrationsgebiet ein Theil einer krummen Oberfläche ist. 
Theilen wir ein solches Oberflächenstück irgendwie in Element« 
do ein, so ist das Integral 



(1) \f'fo 




Oberflächenintegrale. 87 

izwerth, dem sich die Summe der Producte fd o nähert, 
d Elemente do nach allen Dimensionen unendlich klein 
und wenn / der Werth einer auf der ganzen Oberfläche 
m Function in einem Punkte des Elementes do ist 

ein solches Integral durch ein Doppelintegral auszu- 
, können uns die Formeln des vorigen Paragraphen 
(Vir erhalten einen analytischen Ausdruck einer krummen 
be, wenn wir r = const. setzen. Dann bedeuten die 

§. 37, (1) eine krumme Ober- 
lie von einem Netze von Cur- '^* 

rzogen ist, deren eine Schaar, 
irven, durch constante Werthe 
bestimmt ist, während auf 
Ourven p einen constanten 
tat. 

ein Linienelement auf der 
• = const. zu erhalten, hat man dr = zu setzen 
et 

ds» = Edp^ + 2Fdp dq -}- G dq^, 

\ Fy G für e, (f\ d gesetzt ist, so dass also 

- = a+ (if)"+ m 

~ dpdq'^dp'dq'^dpdq 

«=©'+(ifT+(ii)" 

r Linien, p,p-\-dp^ 5? 3 + ^3 bilden hier ein Parallelo- 
das wir als das Flächenelement do ansehen. Die Seiten 
arallelogramms sind 

dsp = ^ dp, dSq = ^G dq\ 

ie Diagonale dieses Parallelogramms, und wenn o den 
bedeutet, den diese Seiten mit einander einschliessen, 

ds'^ = dsl -{- dsl -\- 2(1 Sp d Sq cos co, 
;lich nach (2) und (4) 

F = }ß~G cos oj. 



88 



Fünfter Abschnitt. 



§. 39. 



Für das Flächenelement do ergiebt sich aus (5) 

(6) do = dSpdSq smo = yEG — F^ dpdq. 

Wenn die Curvenschaaren orthogonal sind, so ist F 
und der Ausdruck für do wird 

(7) 



= o, 



do = iEG dpdq. 



§. 39. 
Der Gauss'sche Integralsatz. 

Es sei X irgend eine in einem endlichen Raamstücke v 
stetige Function der drei Coordinaten; das Raumstück r sei be- 
grenzt Ton einer Fläche 0, die in allen ihren Punkten, einzeke 
Linien und Punkte ausgenommen, eine bestimmte Normale hat 

Fig. 14. 







l 












A A 




^ 







•4-.. .-4; 




\ 


■\ 






X 



Die in das Innere von r gerichtete Normale soll mit n be- 
zeichnet sein. Es ist auch nicht ausgeschlossen, dass die Grenz- 
fläche aus mehreren getrennten Stücken besteht. Wir be- 
trachten das über r ausgedehnte dreifache Integral 

0) 'r==\\\'^dxdpd.. 

Die Integration nach x ergiebt hier, wenn wir zunächst an- 
nehmen, dass eine zur x-kxe parallele Linie die Fläche nur 
in zwei Punkten schneidet: 



(2) 



X 

dy dz I 



dX 

dx 



dx = dydz (X" — X'), 



wenn X', X" die Werthe der Function X in den Punkten mit 
den Coordinaten x\ y, z\ x'\ y, z sind. Nun ist das in der y#- 



§• 39. Der Gauss'sche Integralsatz. 89 

Sbeue gelegene Flächenelement dy dz die gemeinschaftliche 
Projection der beiden Elemente do\ do'\ die der über dy de 
stehende, der a:-Axe parallele prismatische Stab aus der Ober- 
fläche ausschneidet, und da n' einen spitzen, n" einen stumpfen 
Winkel mit der x- Richtung bildet, so ist 

dy de = do* co%{n' x) = — do" cos(n"x), 

^^d es ergiebt sich aus (2) 

(5) dydz f|^(ia; = — do'X'cos(w'a:) — do"X"co8(n"a:). 

Wenn die Fläche einen complicirteren Bau hat, so dass 
^e von der in dem Element dy de fussenden, der x-Axe par- 
^lelen Geraden n in mehr als zwei Punkten a/, a/', x"\ a/'", . . . 
geschnitten wird, so werden diese Punkte abwechselnd Eintritts- 
Und Austrittsstellen sein. Ihre Anzahl ist gerade und die Winkel 
(jh\ x% (n", x), (n'", x), . . . sind abwechselnd spitz und stumpf; 
es ei^^ebt sich 

(4) dyde {~ dx = dyde(—X'-}-T'—X"'-]-X"" — ...) 

und 

dp de = do'co8(n'a;) = — do"co8(n"a;) = d o"' cos (w'" x) = ..., 

und (4) lässt sich mit Benutzung eines Summenzeichens so dar- 
etellen: 

(5) dydz I -^ — da; = — S X cos (na:)do. 

Nehmen wir nun noch die Summe über alle Elemente d^d^er, 
so kommt jedes Element do der Oberfläche in der Gesammt- 
somme einmal vor und wir erhalten: 



(6) 



I II - — dxdydz = — X cos (war) do. 



worin sich das Integral nach do über die ganze Oberfläche 
erstreckt und unter n immer die nach innen gerichtete Nor- 
male zu verstehen ist. Der Formel (6) können wir noch zwei 
andere, ganz ähnlich gebildete an die Seite stellen, die wir er- 
halten, wenn wir die a;-Axe mit der y-Axe und der z-Axe ver- 
tauschen. 

E^etzen wir gleichzeitig die Function X durch zwei andere 
Functionen y, Z, und addiren die Resultate, so erhalten wir : 



\ 



90 



Fünfter Abschnitt. 



§. 3d. 



(" KIf +11+11)'" 

= — [Xcos(nrr) + Ycos(ny) -f Zcos(nj0r)] rfo, 




worin das Oberflächenintegral über die ganze Begrenzung dej 
Raumes r zu erstrecken ist. 

Dieser Satz, durch den ein Raumintegral von bestimmte! 
Gestalt auf ein Oberflächenintegral zurückgeführt wird, heisst 

Fig. 15. der Integralsatz von 

Gauss. 

Aus der Formel (7) er- 
halten wir ein ähnliches 
specielleres Theorem für 
die Ebene, wenn wir die 
Begrenzung des Raumes, 
auf den sich die Integra- 
tion bezieht , cylindrisch 
und von constanter Höhe 1 
annehmen. Setzen wir dann 
Z = und nehmen X, Y von z unabhängig an, so ver- 
schwinden in dem Oberflächenintegrale die auf die Grundfläche 
bezüglichen Bestandtheile , und wir erhalten, wenn wir mit df 
ein Element der Grundfläche, mit ds ein Element der Rand- 
curve der Grundfläche bezeichnen: 

Wir geben dieser Formel noch eine etwas andere Gestalt. 
In dem Randintegrale in (8) ist das Element ds als positiv an- 
zunehmen. Wir wollen aber jetzt die Randcurve in einem be- 
stimmten Sinne durchlaufen, den wir den positiven Sinn 
nennen wollen, und zwar in der durch den Pfeil angedeuteten 
Richtung, so dass die positive Richtung von n für den in der 
Richtung s Fortschreitenden zur Linken liegt. Bezeichnen wir 
also mit dx, dy die Projectionen von ds, und zwar mit Rück- 
sicht auf das Vorzeichen, so ist 

dx = cos(ny)ds dy = — cos(na:)ds, 

und wenn wir noch 

X = +F Y=- ü 



§. 40. Der Satz von Stokes. 91 

setzeD, so folgt aus (8) 

<'^ JI (If - If ) '^^ '^y = l^^*^^ + ""^y^- 

Hier bezieht sich das Doppelintegral auf eine beliebige, in der 
:cy-Ebene gelegene Fläche, das einfache Integral auf den Rand 
dieser Fläche, ü, V sind zwei beliebige, in dieser Fläche stetige 
Functionen. 

Der Sinn des Begrenzungsintegrals ist näher dadurch be- 
stimmt, dass s, n, z ein directes System bilden, wenn das 
Coordinatensystem x, y, z direct ist. 

§. 40. 
Der Satz von Stokes. 

Wenn man den Gauss' sehen Integralsatz statt auf die 
Ebene auf eine beliebige krumme Oberfläche anwendet, erhält 
man den Satz von Stokes. 

Wir betrachten ein durch irgend welche Curven begrenztes 
Stück S einer krummen Oberfläche, die wir wie in §. 38 durch 
zwei unabhängige Variable p, q analytisch darstellen, so dass 

dx = adp-\-a*dq 

(1) dy = bdp + Vdq 

dz = cdp -\- c* dq 

die Projectionen eines in der Fläche liegenden Linienelementes 
auf die Coordinatenaxen sind. 

Wenn wir p^ q als rechtwinklige Coordinaten in einer Hülfs- 
ebene darstellen, so wird das Flächenstück S durch ein be- 
grenztes Stück dieser Hülfsebene dargestellt, und wenn dann 
[7, V zwei stetige Ortsfunctionen in der Fläche S sind, also 
Functionen von j), g, so können wir die Formel (9) des vorigen 
Paragraphen anwenden und erhalten: 

(2) \\ (ly -^)dpdq = j (Udp + Vdq). 

Um den Sinn dieses Integrals genau zu bestimmen, wollen 
wir in jedem Punkte der Fläche S eine Normale v in dem Sinne 
ziehen, dass die Richtungen der wachsenden j), g, v ein directes 
System bilden. Dann entsprechen dp^ dg in dem Randintegrale 



92 Fünfter Abschnitt. §. 40. 

einem Elemente ds der Begrenzung von der Richtung, d&a^ 
ds^dn^v ein directes System bilden, wenn dn die in das Innex^e 
des Flächenstückes S gezogene Senkrechte auf ds^ v ist 

Wir nehmen nun drei neue stetige Functionen X, Y, Z itx 
der Flache S an und setzen 

,e>x 17= Xa -f Fi + Zc, 

^^^ V =Xa! -\- YV + Zc\ 

so dass das Randintegral die Form erhält: 
(4) j (Xdx + Ydy 4- Zdz), 

worin dann dx^dy^dz d^^ Projectionen von ds auf die Goor* 
natenaxen, mit Rücksicht auf das Vorzeichen, bedeuten. 

Um die Substitution auch in dem Flächenintegrale aus^^ 
führen, bedenken wir, dass nach der Bedeutung von a, 6^ 
a', h\ d die Relationen bestehen : 

8a_8jfl' a6_a6; PC _ dd 

dq~dp' cq~dp' dq~öp' 

und daher ist 

^ ^ dp dq dp ^ dp ^ dp 

cX , cY dZ 

dq cq dq 

Wenn nun X, Y, Z als Functionen von a;,y, xr gegeben sia^l- 
so folgt 

dX ax , , 8X . dX 

cp CX ' dy ^ CS 

d X , d X . if d X . f d X f 

-^— = q! -z h 6 ^i h c -5— , u. s. f., 

dq dx ^ dy ^ de 

und wenn man dies in (5) einsetzt, ergiebt sich 

^ ^ dp dq ^ ' \cy d» } 

+ (..._,. (If _ II) + („».-»„o(|l- 11). 

Da nun v überall auf der Fläche S senkrecht steht , so ist 
für jedes dx^ dy^ dz^ das den Bedingungen (1) genügt [§.37,(6)]: 

co%{v^x)dx -f- cos(v,y)dy -|- QO%{v,z)dz = 0, 



. 40. Der Satz von Stokes. 93 

nd folglich 

a C08(v,a:) + 6 cos(v,y) -(- c cos(v,z) = 0, 
a'co8(v,a;) -|- 6'co8(v,y) + cfcos(v,e) = 0, 

roraus mau durch Auflösung erhält, wenn k einen Proportio- 
alitätsfactor bedeutet: 

cos (v, x) ,= k{hc! — c 6'), 
7) co8(v,?/) = X{ca' — ad), 

cos(v, 2r) = A(a6' — ba!), 

ÜB ist aber nach bekannten Formeln 

C08(v,a;)' + cos(i/,y)* -|- co8(v,£r)« = 1, 

{hd — chy + (ca' — ocO« + {aV — ia')» 
= (a« + ft« + c2) (a'a + 6'a 4. c'a) — (aa' + bV + cc/p 

= JE? G — J'«, 
voraus 



A ^EG — F^ = 1, 

)der mit Benutzung von §. 38 (6) 

'8) kdo = dp dq. 

Um das Vorzeichen von A zu bestimmen, kann man, ohne 
lass k durch Null geht, durch stetige Veränderung die Rich- 
;angen j>, q, v mit x, y, js zusammenfallen lassen, vorausgesetzt, 
lass das Goordinatensystem x, y, e ein directes ist. Dann aber 
prird cos (v^z) = l, o' = , a und 6' positiv ; also ist auch k 
positiv, wie wir es in (8) angenommen haben. Nach den Formeln 
[7) und (8) ergiebt sich nun aus (6) 

(9) ( T. -r— )dpdq =\ cos(v,:r) ( , - ) 

+ -<-•») (I? - H) + -<-•') (tI - H )] "». 

and folglich aus (2) und (3) 

:■»> i [(f -1^) -<■"•')+ (II -n) -('•») 

In dieser Form ist jede Spur der Coordinaten p, q ver- 
ichwunden. Der durch die Formel (10) ausgedrückte Satz heisst 
1er Satz von Stokes. 



94 Fünfter Abschnitt. §. 41. 



§. 41. 

Transformation von Differentialansdrücken. 

Jacobi nat die Transformation mehrfacher Integrale zixr 
Einführung neuer Variablen in gewisse Differentialausdrücke be- 
nutzt, die in der mathematischen Physik häufig vorkommen^ 
deren Umformung ohne dieses Hülfsmittel sehr weitläufige Rech- 
nungen erfordern würde. 

Es seien U, V zwei stetige Functionen in einem i^endwi© 
begrenzten Raumtheile r, an dessen Grenze die Function V de 
Werth habe. Wir betrachten das Integral 

Hierin benutzen wir die Identitäten: 

cUdV ^ "^^ dx _ V — . 

ox ex dx dx^ 

- V — 
dUdV ^ ^ öy _ V — . 
dy dy dy dy^' 

dUcV^ dz _ y d^^ 

cz dz ""■ de dz^ ' 

wodurch Ä in zwei Theile zerfällt, deren erster 

8r|^ arl^ ,7^1 



dx ^ dy ^ dz 

sich nach dem Gauss' sehen Theorem in ein Oberflächen- 
integral verwandeln lässt, das aber wegen der Voraussetzung, 
dass V an der Grenze verschwinden soll, gleich Null wird. 
Setzen wir also zur Abkürzung 

d^U , d^U , dW 

(2) ^^ = ö^ + 8^ + a^' 

um hier eine später oft zu benutzende Bezeichnung einzuführen, 
so folgt: 



•^^ </ 



?ran8formation von Differentialausdrücken. 95 



Ä = — [{[v^Udxdydz, 



ihren nun in dem Integrale Ä nach §. 37 neue Variable 
wir 

= v{PA^r), y = i^ip.q.r), z = z(p,g,r), 

dx = adp -\- a'dq -j- a''dr^ 
dy = bdp^r 6'dg-f Vdr, 
dz = cdp -|- c'dq + c"dr 

ir wollen aber hier der Einfachheit halber annehmen, 
Coordinaten seien orthogonal, was für die meisten 
;en genügt. Dann haben wir die Relationen: 

a« + 62 4. c\ = a' a" + V V + d d\ 

a'2 -f- fe'2 _j. c'a, = d'a + 6"6 + C'c, 

a"2 + y'% j^ c"\ = a a' -j- 6 6' + c c', 

= dx^ -\- dy^ + di?2 = Qdp% _j_ g/rfga _p d'drK 

wir mit Hülfe der Relationen (6) die Gleichungen (5) 
indem wir z. B. mit a, 6, c multipliciren und addireu) 

e dp =:^ a dx -\- h dy -{- c dz^ 
d dq = a' dx -\- V dy -\- c* dz, 
e"dr = a"dx + V'dy + &'dz, 

3 ergeben sich die partiellen Ableitungen von p, g, r 
jer, z. B. 

9p a dp b dp c 

dx e' dy e' dz e 

ujh können wir die Ableitungen einer willkürlichen 
U nach x, y, z durch die Ableitungen nach p^ q^ r 
aassen ausdrücken: 

dU^dUadUa^dUa;^ 
ex dp e dq e' ^ dr e" 

dy ~ dp e '^ dq e! '^ dr e" ' 
\^U_cUc^,dU^.dU^ 
dz dp e ~^ dq ef ^ dr e" 

teilen nun das nämliche Gleichungssystem für eine 
iction V auf und bilden die Summe der Producte 
ader Gleichungen, um die in Ä unter dem Integral- 



96 Fünfter Abschnitt §. 4^1. 

zeichen stehende Function zu erhalten. Mit Rücksicht auf (^) 
ergiebt sich dann 

ex cjLcy ci/ cz cz 

e cp cp •" d 'cq cq ' c" er dr' 

und indem wir das Integral Sl auf die neuen Variablen traa^ais- 
formiren und für das Volumenelement nach §. 37 



dt = \ee^ef'dpdqdr 
setzen, erhalten wir 



--mffm +'"'"''' 



cp f e^ cq dq 



■{fe£dUdV\ 
f e" er er) 



Dies Integral können wir nun wieder nach dem Gauss 
sehen Theorem umformen, wenn wir 



f e cp cp op{f e cp } cp f e dp 

setzen, und die entsprechende Zerlegung in den beiden anderen 
Gliedern machen. Da nun an der Grenze des Gebietes F = 
angenommen war, so fällt wiederum das Oberflächenintegral weg 
und es ergiebt sich 



(11) Ä 



JJJ \cp }l e dp ^ dqf e' cq 



. r_ Wee' c U 



dp dq dr. 



Transformirt man das Integral Ä in der Form (3) auf die 
neuen Variablen, so erhält es die Form 

(12) Ä = — [[[VJV ^77^ dp dq dr, 

und da nun die Integrale (11) und (12) für eine willkürliche 
Function V übereinstimmen müssen, so folgt die Transformation 
des Ausdruckes J U auf die neuen Variablen: 



§. 42. Cylindercoordinaten. 97 

(13) z/r = 



1 



) e dp '^ cq)! t' cq '■ dt]! t/' dr] 



Die Quadratwurzeln, die hier vorkommen, sind alle mit 
positivem Vorzeichen zu nehmen. 

Es kommt also sowohl bei der Transformation 
der Raumintegrale, als auch des Differential- 
ausdruckes jd U nur darauf an, die Coefficienten 
e, ß', e*' in dem Ausdrucke für das Linienelement 
zu bilden. 

Wir heben noch den besonderen Fall hervor, dass nur für 
die beiden Variablen x, y zwei neue Variable |), q eingeführt 
werden, während z ungeändert bleibt. 

Ist dann 

€ und e' von z unabhängig und e" = 1, so folgt aus (13) 

(\Ä\ ^\^—J (l^\li'^\3L\l~i'^\ 

^ ^ dx^'^ dy^ " ^77\op f e dp ^ dq }/ e' dqj' 
und wenn, noch specieller, e = e* ist 

^^ cx^'^'dy^" €\dp^^cq^J' 



§. 42. 
I. Beispiel. Cylindercoordinaten, Polarcoordinaten. 

Wir wollen die abgeleiteten Sätze an einigen Beispielen er- 
läutern und wählen dabei solche, die auch bei Anwendungen von 
Nutzen sind. 

1. Wir nehmen zunächst die Cylindercoordinaten, d. h. 
Polarcoordinaten, in der a;y-Ebene, verbunden mit der un- 
yeränderten jer-Ordinate. Wir setzen also 

(1) X = r cos 9, y = r sin 9, z '=^ z^ 

so dass, was im Allgemeinen mit p^ q^ r bezeichnet war, hier 
r, 9, z ist. Dann ist 

dx = dr cos 9 — r sin 9 dg), 
dy = dr sing) -|- r cos 9 dg), 

Biemann- Weber, Partielle Differentialgleichungen. 7 



98 



Fünfter Abschnitt. 



§.41 iL 



und wir erhalten für das Quadrat des Linienelementes 

(2) ds^ = dx^ + dy^ + dz^ = dr^ 4- r« dy« + dz\ 

und es ist also e, e', e" gleich 1, r', 1 zu setzen. Danach wird 
das VodumeBelement 

(3) 

und femer 



dx = r dr d(p dz 



(4) 



. cU 

j ü = - ~ -— + ^ ^— 4- ^^^ 
r er ' r* c^)' ' cz^ 



1 c^lJ^ . cW 



und hierfür kann man auch setzen, wie eine einfache Rech- 
nung zeigt 

2. Räumliche Polarcoordinaton 

X = r sin ^ cos q> 



(6) 



y = r sin 0" sin q> 
z = r cos 0". 



Es ist hier r der Radius- Vector vom Coordinatenanfange bis 
zu einem veränderlichen Punkte; 9 ist der Winkel, den dieser 
Radius- Vector mit der z-kxe einschliesst (Zenithdistanz), und f 
ist der Winkel, den die durch r und die ^-Axe gelegte Meri- 
dianebene mit der ;r;8r- Ebene einschliesst, oder das Azimuth. 

Wenn wir 

0<r < O- < ;r 0^g)<2:r 

nehmen, so erhalten wir jeden Punkt, mit Ausnahme der Punkte 
der jer-Axe, ein und nur einmal. Um die Punkte der positiven 
oder negativen ;2r-Axe zu erhalten, hat man 0* = oder d' = % 
zu setzen, und q> ist unbestimmt. Den Nullpunkt selbst erhält 
man für r = ; 0* und q> sind für diesen Punkt beide un- 
bestimmt. 

Durch Differentiation von (6) ergiebt sich nun 

dx = dr sin^ cosg) -f- r cos-Ö* cosg) dd' — rsinO» sing? d(p^ 
dy = dr sinO* siny -j" ^ cosO* sin 9 d^ -j" ^'sinO* cosg> dg?, 
dz = dr cosO" — r sinO* dO", 

und daraus, wenn ds das Linienelement ist: 

(7) ds^ = dr» -f r2d^2 _|_ r^sm»»dq>^. 



£llipti8che Coordinaten. 



99 



!)a8 CoordinatensysteiD ist also orthogonal, und es ist 
e = l e* = f« c" = r« sin^d, 

ch das Volumenelement 

dt = r^ Bin^ drdd' dtp 



.jj_ 1 "^ 8f I 1 

r* dr "■ r*sin» 

r man auch setzen kann 



r er» ^ 



gsina- 



8^ 



dd^ 



asin«- 7— - 



+ 



8«f/ 



r»sin«d 8 9)«' 



r^sind d^ 



+ 



1 



e«J7 



r^siu««- 89)2' 



endlich auch so: 






gir — ;--— g sin d - /-- 

CT . 1 O'ö' 



dr 



sin^ 



8<& 



+ ZT 



1 



gjVrj; _ Vrü 
sin««- cq>^ 4 



§. 43. 
II. Beispiel. Elliptische Coordinaten. 

iVenn a, b, c irgend drei rieelle Grössen sind, die der Grösse 
80 auf einander folgen: 

a <, b <: c, 
hat die Oleichung für die Unbekannte A 









edes bestimmte Werthsystem x, y, jer drei reelle Wurzeln, 
rir mit p, (7, r bezeichnen, die der Grösse nach folgende 
haben: 



P<a<:q<:b<:r<c. 



7* 



100 



Fünfter Abtcbnitt. 



§.43. 



Man überzeugt sich daron am einfachste, wenn man iL als 
Absciflse in einem ebenen rechtwinkligen Coordinatenqrsteme an- 
sieht nnd 



/W = 



a — i"'~6 — i c — 1 



als Ordinate einer Corre darstellt Wenn k durch a oder durch 
h oder dnrch c geht, so geht f{l,\ Ton positiT unendlichen zo. 



Fig. 16. 



n^atiT unendlichen Wer- 
then über, und die Cur?» 
nähert sich nach beiden 
Seiten hin asymptotisch der 
A-Axe. 

Eine Parallele zur Ab- 
sdssenaxe in der Höhe 4-1 
schneidet diese Gurre also 
in drei Punkten, von denen 

der eine auf der n^ativen Seite Ton a, der zweite zwischen a 

und h und der dritte zwischen h und c liegt 

Für ein constantes i, ist (1) die Gleichung einer Fläche 

zweiten Grades, und diese (lache ist 




6 < il < c. 



ein Ellipsoid, wenn 

„ einschaaliges Hyperboloid, wenn . . 
^ zweischaaliges . . ^ . . 

Die ganze Schaar dieser Flächen heisst eine Schaar confocaler 
Flächen zweiten Grades, und aus (2) ergiebt sich, dass durch 
jeden Punkt x, y, z eine Fläche von jeder der drei Arten hin- 
durchgeht. Umgekehrt bestimmen je eine Fläche aus jeder der 
drei Arten die Werthe von a:«, %f\ z> eindeutig (den Punkt ar, y, z 
selbst aber achtdeutig). Die Werthe p^q^^r heissen die ellipti- 
schen Coordinaten des Punktes a:, y, z. Diese bestimmen den 
Punkt aber erst dann eindeutig, wenn noch bekannt ist, in 
welchem Octanten er liegt 

Um nun x, y, z als Functionen von is g, r auszudrücken, 
verfahren wir so: Wir setzen zunächst zur Abkürzung 

(3) 9W = («- ^)(*-^)(^-^). 

und wenn wir nun das Product 

bilden, so erhalten wir eine Fonction dritten Grades von A, in 



[3. EUipÜBolie Coordinaten. 101 

' Ä* den CSoefficienten 1 hat, und die für A = |>, A = g, A = r 
schwindet Es ist also nach einem bekannten Satze der 
^ebra 

glich 

x^ , _1^ , _£* , _ (A— j))(A-g ) (A-f) 

a — X '^ b — X~^ c — X ~ {a — X)(b — X)(c — Xy 

1 diese Gleichung ist in Bezug auf X eine Identität. Wenn 
' also (4) mit a — X multipliciren und dann X = a setzen, 
1 ebenso mit b — X und c — X verfahren, so ergiebt sich 

_ (g— !))(« — g)(a — r) 
^ — (b — a)(c — a)' ' 

' ^ — (c — 6) (a — ft) 



xr2 



_ (c—p)(c — q) (e — r) 



(a — c)(6 — c) 

d hierdurch sind a?^ ^^^ ^2 als Functionen von p, q, r dar- 
stellt 

Aus (4) erhalten wir noch ein anderes System von Formeln, 
nn wir nach X di£ferentiiren und dann A = p, 9, r setzen : 

g^^ , _Ji_ I f ' _ _ (P — <Z) (P — ^) 

I _?!_i __»'__ 1 ^' ^ {g[ — r){q — p) 

(a—qy'^ib-qy^ic-qr q>(q) 

__x«__ , __y2__ ^ _ (r — p) (r — q) 

(a — r)« ' (6 — rja »" (c — r)^ q> (r) 

1 weiter erhalten wir aus (5) die Gleichungen: 

+ 7A :x7jr -^-^+7-. :^. ^ = 0, 



(a — g) (a — r) (6 — q) (b — r) ^ {c — q) {c — r) 

x^ , v^ z^ 

+m ihf. T^^'^^. — .V7:r— v = 0, 



^a — r){a—p) ' (h — r) {b — p)^ {c — r) {c — p) 
x^ t/' JZ^ 



(o — j)) (a — g-) (ft — p) ( J — g) ^ (c — p) (c — 3) 

. denen man die erste etwa so ableitet, dass man ihre linke 
te nach (5) in die Form setzt 



102 Fünfter AbBchnitt. §. 4S. 

(g _ p) (fc _ c) + (b -p) (C - g) + (c-p) (g - b) 

(c — 6) (a — c) (b — ä) 

in der, wie man sieht, der Zähler verschwindet 

Wenn wir nun die Gleichungen (5) logarithmisch differ^ft- 
tiiren, so ergiebt sich 

^ j xdp . X da , xdr 

— 2dx = ^ -4 ±. -J , 

g — p ' g — q ' a — r 
^ ' " b — p ' b — q ' b — r' 

c — p ' c — q ' c — r 

Hiervon lässt sich die Quadratsumme nach (6) und (7) s^^ 
leicht bilden, und wir erhalten 

(9) ids' = (^ - g) ^ - '^ dp^ + (g - >•) (g - P) dg» 

^ (r-p)(r-q) 
vir) 

woraus zunächst zu ersehen ist, dass die elliptischen Coor^c^ 
naten orthogonal sind. Es ist femer 

V' _ (r — 1>) (r - g) 
4<p(r) 

Hieraus ergieht sich für das Volumenelement 

(11) dx = (♦^ — g) (* •_— PHg — -Pl^J^ ^'l^^ , 

SV — 9(1») 9(5)9 (r) 

wo sich das negative Zeichen unter der Wurzel dadurch erklärt, 
dass nach (2) <f>{p\ <p{r) positiv, ip(q) negativ ist 
Für z/ U erhält man nach (10) 

(12) (g-p) ir-p) (r-q) ^ ^ ^ ^^ _ ^^ ^-^ --^^ 

4- (r-p) V=^) ^^ ^ + (g -P) V'vÖÖ g^r-^- 

Dieser Ausdruck stellt sich noch einfacher dar, wann maa 



Ringoo ordinalen. 



103 



drei neue Variablen g, 17, g einführt, die durch die 
n definirt sind 



p) 



äq_ 
V-<iP(«) 



= dij, 



dr 



VvW 



= d5. 



so 



(g— |))(r — p)(r— g) 

4 ^ '^ 



^ 



(»• - 9) g|l + (r - P) g^ + (3 -i») ggi- 

. p^q^r elliptische Functionen der Variablen Si*?»5- 



§. 44. 
III. Beispiel. Ringcoordinaten. 

ein Kreis um eine Axe gedreht wird, die in seiner 
t, aber die Peripherie nicht schneidet, so entsteht 

e für einen solchen Ring passenden Goordinaten zu ge- 
)hmen wir die Rotationsaxe zur xr-Axe und legen ein 
isystem r^ z m 



inebene. 

[er Mittelpunkts- 
A a der Radius 
)8, 60 ist die 
Tangente vom 
nanfangspunkte 
a*. Wir setzen, 
y — 1 mit % be- 



Fig. 17. 




r -{- iz = h 



1 — e^+ 



%0i 



1 J^ ßÄ+tco' 

und d neue, an Stelle von r und z einzuführende 
able sind. Ausserdem setzen wir 

X = r cos 9, y = r sin 9. 

deutung der neuen Variablen zu erhalten, lösen wir 
ng (1) auf und finden: 



104 Fünfter AbBchnitt §. ^ 

[6) e^ -i^r^iz' "" -h^r — iz' 
multiplicirt man beides, so ergiebt sich 

(4) c«^ [(J + r)2 + z^] = (6 — ry + z\ 

woraus man ersieht, dass constanten Werthen von X die KI ^b 
eines Büschels mit imaginären Schnittpunkten entsprechen. 
Grenzpunkte dieses Büschels sind die Punkte jsr = 0, r = : 
Zu diesem Kreisbüschel gehört auch der gegebene Kreis, 
dem speciellen Werthe 

(5) X •= log -',=L= V 

.. 6-^ — ^ _ b^ I g» — gg e-^-j-c^ ^ 

^^^ 2 ~a~ a ' 2 ~ "S" 

entspricht. 

Dividirt man die beiden Gleichungen (3) durch einanc^^ 
so folgt 

oder 

(7) (r> + ^2 — 6») sin ö + 2 ft xr cos = 0, 

und dies giebt für constante cd die Kreise eines zweiten Büschels, 
deren Schnittpunkte die Grenzpunkte des vorigen sind und die 
die Kreise des ersten Büschels orthogonal schneiden. 
Aus (1) erhält man 

. _ ft (1 — e^ ^) 26 g^sino 

^^ *""" 1 + 2e^cosci -fe'^^' ^ "" 1 + 2e^ cosci + e*^ 

und folglich nach (2) 

(9) ds» = rfxä + dy-'' + dz^ = rfr» + di« + r»dq)' 

Aus §. 42, (5) erhalten wir, wenn wir 

(10) Ü U = V 
setzen, 



I. Ringrcoordinaten. 106 

r»l^^Cr= r» (g^ + g^) + ^ + ^ F, 

wenn wir auf die beiden ersten Glieder die Formel §. 41, (15) 
enden, so folgt mit Hülfe von (6) 

Wegen einer späteren Anwendung geben wir den Glei- 
igen (8) mit Hülfe von (6) noch die folgende Gestalt: 

6> — ab sin cj 



folglich 



f — — ^ 

c-^-a cos cö ' c -{- a cos o ' 

X = — r COS cp, 

c-f-acosö 

y = — i sin % 

^ c -j- a cos (D 

— ab 

sm o. 



c-\-a cos to 

Bisher waren A, (d, (p unabhängige Variable, die einen Punkt 
Kaume bestimmen; a und c sind mit X variabel; b ist con- 
it für das Ringsystem. Lassen wir aber jetzt X ungeändert, 
ileiben auch a und c constant und die Ausdrücke (13) stellen 
Coordinaten eines Punktes einer bestimmten Ringfläche 
3h die beiden variablen Parameter o und (p dar, und wenn 
L in (9) (2A = setzt, so erhält man den Ausdruck für das 
drat eines Linien elementes auf dieser Ringfläche, nämlich 

b^ 
{c -{- a cos (d)2 ^ ' ^ ^ 



^) ^orgl. über diese Umformang Riemann, Mathematische Werke, 
nfl., Nr. XXIY; G. Neumann, Elektrische Vertheilung in einem Ringe. 



Sechster Abschnitt. 

Funotionen oomplexen Arguments. 



§. 45. 

Definition einer Function complexen Arguments. 

Es sei in einer Ebene ein rechtwinkliges Goordinatensystem 
Xj y angenommen, so dass jeder Punkt der Ebene durch Angabe 
seiner Goordinaten x, y bestimmt ist Wenn wir aber die ima- 
ginäre Einheit i = y — 1 zu Hülfe nehmen, so können wir auch 
sagen, dass der Punkt durch die Angabe des Werthes der com- 
plexen Variablen 

(1) js = X -}- yi 

bestimmt ist; und so ist jeder Punkt der Ebene Träger oder 
Bild eines Werthes von xr. Umgekehrt entspricht auch jedem 
Werth von z ein eindeutig bestimmter Punkt der Ebene. Wenn 
man Polarcoordinaten einführt, also 

X = rcos^, y = rsind 

setzt, so kann man auch setzen 

(2) ^ = r(cosd -|- isiu'9') = re**. 

Die positive Grösse r = \x^ -f- y* wird der absolute 
Werth der Variablen z genannt. Der Winkel d' kann zwischen 
und 2 7t oder in irgend einem Intervall von dem Umfang 
2^, mit Einschluss der einen der beiden Grenzen, angenommen 
werden. 

Wenn man zwei complexe Grössen 

z = X -j- yi, Zi = Xi-\- yi i 

addiren will, so hat man ein Parallelogramm zu construiren, 
dessen eine Ecke im Nullpunkt liegt, und in dem die zwei an- 



Definition einer Function complexen Arguments. 107 



nden Ecken jr und z^ sind. Die gegenüberliegende Ecke ist 

der Punkt e -^ jb^. Ist #i unendlich klein, so hat 0, Zi 

eine bestimmte Richtung, und wir setzen dann auch Zi = dz 

dz = dx -\- idy. Durch die Grösse dz ist dann ein un- 

ch kleiner Fortschritt vom Punkte z aus in einer bestimmten 

*ttng gegeben. Die Tangente des Winkels, unter dem diese 

'Ung gegen die or-Axe geneigt ist, ist dann gleich dem Ver- 

iss dy : dx. Eine stetige Veränderung von z von einem 

:te a bis zu einem Punkte b wird durch eine Curve dar- 

Ut, die den Punkt a mit b verbindet, und dieser Uebergang 

auf unendlich viele Arten geschehen. Das Linienelement 

iner solchen Curve ist dann der absolute Werth des Diffe- 

als dz. 

Eine Function w der beiden Variablen x, y hat, wenigstens 
it sie eindeutig definirt ist, in jedem Punkte der Ebene 



Fig. 18. 



Fig. 19. 





i bestimmten Werth, und folglich gehört auch zu jedem 
he von z ein bestimmter Werth von w. Diese Zuordnung 

sich auch auf einen gewissen Theil der ;?- Ebene be- 

»nken, von dem wir aber stets annehmen, dass es ein Flächen- 

und nicht eine blosse Linie sei. Grehen wir von dem Punkt 

einem unendlich benachbarten Punkte z '\- dz über, so 
let auch w eine Aenderung, und wir bezeichnen den neuen 
h von w mit vo -j- dw. 

Trotz dieser eindeutigen Zuordnung der Werthe von w und 
)nen wir aber w noch nicht eine Function von jer, sondern 
äine Function von x und y. Damit w eine Function von z 
nuss noch eine weitere Bedingung erfüllt sein, die wir nach 
nann so fassen: 

Es wird w eine Function von z genannt, wenn 
dasDifferentialverhältniss dto/dz in jedemPunkte 



108 Sechster Abschnitt. §. 46. 

z einen von der Richtung von dz unabhängigen 
Werth hat. Ausgenommen können dabei einzelne 
Punkte sein, in denen dies Verhältniss über- 
haupt nicht endlich ist. 

Mit anderen Worten, es wird von einer Function f{z) des 
complexen Arguments z verlangt, dass sie einen Differential- 
quotienten in Bezug auf z besitze. 

Wenn diese Forderung erfüllt ist, so müssen wir denselben 
Werth des Quotienten dwjdz erhalten, wenn wir dy = oder 
da: = setzen, und so erhalten wir 

dw cw . ixv 

^ ^ dz 'dx dy 

Wenn umgekehrt die Bedingung 

,^. dw . dw 

^ ^ dx dy 

befriedigt ist, so folgt 

woraus der von dz unabhängige Werth (3) von dw/dz wieder 
hervorgeht 

Die Differentialgleichung (4) ist also die nothwendige und 
hinreichende Bedingung dafür, dass w eine Function des com- 
plexen Arguments z sei. 



§. 46. 
Conforme Abbildung. 

Die Differentialgleichung §. 45 (4) kann offenbar nicht erfüllt 
sein, wenn w reell oder rein imaginär ist. Es muss also to eben- 
falls complex sein, und wir setzen daher 

(1) w = u -\- iy, 

worin u und v reelle Functionen von x, y sind. Für diese B'unc- 
tionen ergeben sich aus §. 45 (4) die Bedingungen 



^u . . cv . /du , . dv 

dx ' ex \cy ' ty 



.dv\ 



oder, da hier der reelle Theil dem reellen, der imaginäre Theil 
dem imaginären gleich sein muss 



§.46. 



Gonforme AbbilduDg. 



109 



(2) 



du 

dx 



dv 



du 

8y 



dv 
dx' 



und wenn man diese beiden Gleichungen nach x und y differen- 
türt und addirt oder subtrahirt, so erhält man 



(3) 



82u a^u ___ 

cx^ ' dy^ ~~ ' 



d^v . dH _ 

dx^ "^ ay« "~ 



Zur geometrischen Veranschaulichung nehmen wir eine zweite 
Ebene zu Hülfe, in der m, v rechtwinklige Goordinaten eines 
Punktes sind, und nennen diese Ebene die tt'- Ebene, während 
die o: 2^- Ebene auch die ;8r-Ebene heisst. Dann wird, soweit u^v als 
Functionen von ^, y gegeben sind, jedem Punkt der jsr-Ebene ein 
Punkt der w;- Ebene zugeordnet, und wenn die Functionen u, v 
stetig sind, so bewegt sich der Punkt w in seiner Ebene stetig, 
wenn sich z stetig verändert. Es entsprechen Linien und Flächen- 
stücken in der jer-Ebene Linien und Flächenstücke in der u?-Ebene, 
und die Zuordnung der Punkte ist eine gegenseitig eindeutige, 
wenigstens so lange die Veränderung auf gewisse Gebiete be- 
schränkt bleibt. 

Eine solche gegenseitige Zuordnung zweier 
Gebiete nennt man eine Abbildung, also hier 
eine Abbildung der ^-Ebene auf die u;-Ebene. 

Die geographischen Karten Fig. 20. 

sind solche Abbildungen von 
Theilen der Erdoberfläche auf 
die Ebene der Karte. 

. Eine Abbildung, die durch 
eine Function w des complexen 
Arguments vermittelt wird, hat 
aber eine sehr bemerkenswerthe 
geometrische Eigenthümlichkeit. 
Nehmen wir drei unendlich be- 
nachbarte Punkte jßT, z\ jer" in 
der ;8r-Ebene und die entsprechen- 
den Punkte m;, w\ w" in der 

w-Ebene, so ist nach der Definition der Function complexen 
Arguments 




(4) 



w — w 

z' — z 



w 



n 



W 



z*' — z 



110 Sechster Absohnitt §. 46. 

oder auch 

(5) 

Ist nun 



m;" — w z" — z 

XV* — XV z' — z 



Z* — Z= Q'e^\ Zf' — Z = p"c»>", 

m;' — w; = r' ^p\ w" — w = r" e«>", 
so ergiebt sich aus (5) 



oder 

,#/ ^f ^// 



Q _ r 



-^ = yy ip' — 9 =i> — 1>. 

Hierdurch aber ist die Aehnlichkeit der beiden Drei 
ecke (z^ /, /'), (xc^ w\ w") ausgedrückt. Eine Ausnahme va 
dieser Aehnlichkeit kann nur da eintreten , wo das Differential- 
verhältniss (4) Null oder unendlich wird, weil dann (5) nicht 
mehr aus (4) gefolgert werden kann. Wir nehmen an, dass dies 
immer nur in einzelnen Punkten eintritt. 

Die Aehnlichkeit unendlich kleiner Dreiecke lässt auf die 
Aehnlichkeit unendlich kleiner, einander entsprechender Figuren 
überhaupt schliessen, und man nennt daher diese Abbildung 
in den kleinsten Theilen ähnlich oder auch conform. 

Die Aehnlichkeit erstreckt sieh natürlich im Allgemeinen 
nicht auf Figuren von endlicher Ausdehnung; aber die Gleich- 
heit entsprechender Winkel ist, abgesehen von den oben 
erwähnten Ausnahmepunkten, allgemein. 

Die Beziehung zwischen der u;- Ebene und ir-£bene ist eine 
gegenseitige, denn wenn w eine Function des complexen Argu- 
ments z ist, so ist auch umgekehrt z eine Function des complexen 
Arguments w\ und es ergiebt sich ein System richtiger Gleichungen, 
wenn man in (2) die Variablen u, v mit x, y vertauscht 

Um eine Anschauung von einer conformen Abbildung durch 
eine Function complexen Arguments zu erhalten, sucht man, 
wie es ja bei Landkarten auch geschieht, zunächst ein soge- 
nanntes Netz zu gewinnen, d. h. man sucht die beiden Gurven- 
Bchaaren in der einen Ebene auf, die den zu den Goordinaten- 
axen parallelen Geraden der anderen Ebene entsprechen. Hat 
man diese Linienschaaren in beiden Ebenen mit hinlänglicher 
Dichtigkeit verzeichnet, so ist es ein Leichtes, zu einer beliebig 



§. 4HL Conforme Abbildung. 111 

gegebenen Figur der einen Ebene das Bild in der anderen Ebene 
mit beliebiger Genauigkeit einzutragen. 

Nehmen wir z als Function des complexen Arguments w an, 
and setzen also 

(6) g = X-}- yi = f{w) =f(u -f i y), 

so sind X und y reelle Functionen der reellen Variablen u, v. 
fet etwa 

(7) x = (p (m, v)y y = if (w, v), 

so erhalten wir in der a:i/-Ebene zwei zu einander orthogonale 
Cur venschaaren , wenn wir einmal v = const, dann u = const. 
setzen. Wir können also (wie in 8. 37) u und v als krumm- 
iiDi^e Goordinaten in der xy-Ehene ansehen. 

Bezeichnen wir mit ds das Linienelement in der xy-Ehene^ 
*ö ist 

(8> ds« = dx^ -\- dy^ = (Jx -}- idy) (dx — idy). 

Bezeichnen wir mit/' (w) die derivirte Function von f(w) und 

'^^i'k F die conjugirte Function von /, d. h. die Function, die aus 

-^ durch die Vertauschung von i mit — i in den Cocfticienten 

^^t^teht, endlich mit g' und w' die mit z und w conjugirten 

^B-riablen x — iy% ^ — *<\ so ist 

z=f{wl 2f = F{w\ 

ds^ = dz dz' = f {xc) F' (w') dw dw\ 

j>, r \ ex , . cy ex . ex 

f(w) = - \- t -^ = t — , 

•^ ^ ' du ^ öu cu rv' 

^d wenn wir also 

(9) 3f=/'WF(«.')=(gy+(l^y 

setzen, so folgt 

(10) dx^ -}- dy^ = 3/ (dt(« + dv^). 

Die reelle Function yjtfist die lineare Vergrösserung 
oder der Maassstab des Bildes. Er ist von einer Stelle zur 
anderen veränderlich, hat aber für jede Stelle des Bildes einen 
bestimmten Werth. 

Wenn zwei Flächenstücke conform auf eine dritte al)gebildet 
rind, so sind sie auch auf einander conform abgebildet, und 
daraus ergiebt sich der Satz, dass zwei Functionen tt\^ u:^ 



112 



Sechster Abschnitt. 



§• 



I. 



des complexen Arguments z auch Functionen von ei 
ander sind. 

Wir geben weiterhin für die conforme Abbildung eini| 
Beispiele, müssen aber zuvor noch einige andere Punkte d 
Functionentheorie erörtern. 



§. 47. 
Integrale von Functionen complexen Arguments. 

Wir grenzen in der :z;t/-Ebene ein Gebiet durch eine ge- ■ 
schlossene Curve ab, in dem die beiden Functionen m, v vor":« 
x^ y endlich und stetig sind, und wenden den für die Eben^ 
specialisirten Gauss' sehen Integralsatz [§. 39 (9)] an. Da — 
durch erhalten wir 



(1) 






Hierin beziehen sich die Doppelintegrale auf das Innere des 

abgegrenzten Gebietes, die einfachen Integrale auf dessen Be- 

Fiir 21. grenzung, und zwar so, dass das Gebiet im 

positiven Sinne umkreist wird, und dx, dy die 
mit Rücksicht auf das Zeichen genommenen 
Projectionen des Randelementes ds auf die 
:r-Axe und die y-Axe sind. (Man sehe die 
Fig. 21, in der die Begrenzung beispielshalber 
aus zwei Stücken bestehend angenommen ist) 




Wenn nun 



(2) 



w = u -\- iv 

Function des complexen Arguments 

(3) z = x^iy 

ist, so verschwinden die beiden Flächenintegrale nach §. 46 (2), 
und es folgt 



(4) 



(vdx -}- udy) = 0, (tida: — vdy) = 0. 



Wenn die erste dieser Formeln mit i multiplicirt und zur 
zweiten addirt wird, so ergiebt sich: 



$• 47, Integrale von Functionen c.omplexen Arguments. 113 



oder auch 
(6) 



[ (M + iv) {dx 4- idy) = 0, 
tvdz = 0, 



und hierin bedeutet dz den Zuwachs der Variablen ^r, der einem 
Fortschritt im positiven Sinne um das Element ds auf der Grenz- 
CQFTe entspricht; w ist der Werth der Function, der irgend 
einem Punkte des Elementes ds entspricht. Wir haben also 
den Satz: 

* 

1. Das über die Begrenzung eines Flächenstückes 
genommene Integral 






dz 



hat den Werth Null, wenn im Inneren des 
Flächenstückes die Function tv endlich und 
stetig ist. 

Es ist nur eine andere Ausdrucksweise für diesen Satz, die 
ui^H zu einer Definition des Integrals einer Function %c zwischen 
zwei Grenzen führt: 

Man nehme zwei Punkte c und z in der ^-Ebene an, und 

^^^'tinde diese beiden Punkte durch zwei beliebige Curven s^ 

^"^4 S|. Diese beiden Curven begrenzen zusammen ^ig, 22. 

f^*^ Flächenstück, und wenn wir annehmen, dass 

^^ diesem Flächenstück w endlich und stetig sei, 

^ Iconnen wir den Satz 1. darauf anwenden. Die 

^^enzung setzt sich aber jetzt aus den beiden 

^iren Sj und s^ zusammen, aber so, dass die 

^^ire 5s i"^ ^®r Richtung von c nach xr, s, in 

^^ Richtung von z nach c zm durchlaufen ist. 

^^s Randintegral zerfällt demnach auch in zwei 

**beile, die einander gleich und entgegengesetzt sind. Wenn 

'^^n aber in dem Integrale längs der Curve Si die Richtung der 

•-iQttegration umkehrt, so muss man, gemäss der Definition von dz 

gleichzeitig das Vorzeichen ändern, und folglich haben die von 

c nach z genommenen Integrale auf den beiden Curven s, und 

^\ denselben Werth, den wir mit 




Bien an n -Weber, Partielle DifTt^rentialgleichungen. 



8 



114 Sechster Abschnitt. § — 



ff 

I 



icdz 



bezeichnen. Das Integral ist also nur eine Function 
Grenzen c und ^r, und zwar ist es, da sein Differentialquoti 
w von der Richtung dz unabhängig ist, eine Function des c 
plexen Arguments z. 

Es ist dabei aber darauf zu achten, dass zwei Integir 
tionswege 5,, $3 nur dann immer denselben Integralwerth 
geben, wenn in dem von ihnen eingeschlossenen FlächenstiE 
kein Unstetigkeitspunkt der Function w liegt Wir Sprech, 
also noch den Satz aus: 

2. Das zwischen den Grenzen c und z genomme 
Integral 

lüdz 




j 



ist eine Function complexen Arguments d 
oberen Grenze, und ist vom Integrationswej 
unabhängig, so lange dieser bei seiner Veränd 
rung nicht über einen Unstetigkeitspunkt hi: 
weggeht. 

Die Function u; = l/(£r — a) wird in dem Punkte a u: 
endlich. Das Integral dieser Function, über eine den Punkt ^ 
Fig. 23. umschliessende Linie wird daher nicht gleich 1^ 
Null sein. Wohl aber wird es von der Gest»-!^ 
dieser Gurve unabhängig sein, da uj in dem vo^ 
zwei solcher Curven s und h umschlossen^^ 
Ringgebiet endlich und stetig ist Wir könn^"» 
also zur Bestimmung dieses Integrals für di« 
Curve k einen Kreis mit dem Mittelpunkt a urft«! 
einem beliebigen Radius c wählen. Setzen wir also für die 
Punkte der Kreisperipherie 

z — a = c e«'^, 

so ist auf der Peripherie 

dz = icef^f'dq) = i(z — a) dtp 
und folglich 




27t 



C^) l-/i!« = \f'^'^ = 2- 



\ 



|. 48. Der Satz von Cauchy. 115 



Der Satz von Cauchy. 

Wenn die Function w =f(js) in einem Gebiete T mit der 
Begrenzung $ endlich und stetig ist, und auch eine stetige Deri- 
nrte/'(jef) hat, so wird die Function der Variablen t 

,(,) = m=.m 

üi demselben Gebiete endlich und stetig sein, und sie gestattet 
^o die Anwendung des Theorems 1., §. 47, d. h. es ist das über 
^e ganze Begrenzung s genommene Integral 

j t — ü 

Hier bedeutet t die Integrationsvariable und z gilt bei der 
^^tegration als constant. Hieraus aber erhält man 

^^d nach der Formel (7) des vorigen Paragraphen 

^0 das Integral ebenfalls über .s zu erstrecken ist. 

Diese Formel rührt von Cauchy her. Sie gilt auch, wenn die 
Kindlichkeit des Difierentialquotienten /' (js) nur im Allgemeinen, 
ä. h. mit etwaiger Ausnahme einzelner Punkte vorausgesetzt wird. 
Und zeigt alsdann, dass solche Ausnahmepunkte bei einer stetigen 
Function von complexem Argument nicht vorkommen können. 
Denn da der Punkt z ein innerer ist, so bleibt in dem Integral (2) 
die Function unter dem Integralzeichen durchaus endlich, und die 
Differentiation des Integrals nach z kann unter dem Integral- 
zeichen ausgeführt werden. Es ergiebt sich so für die Diiferential- 
quotienten von jeder Ordnung: 

,o^ d/(f)_j_ r mdt 

^ ' dz ~ Ini J \t — zy 

a» **/Öl = i^-3_... « 1* _f(t)dt_ 

^ ' dz' 27t f J {t — ^)" + »" 

8* 



116 Sechster Abschnitt. §. 4d. 

I. Eine Function complexen Arguments, die in einem 
Gebiete endlich und stetig ist, hat also in diesem 
Gebiete endliche und stetige Derivirte jeder 
Ordnung. 

Aus (2) ergiebt sich, wenn z und s/ irgend zwei Punkte des 
Gebietes T sind 

W /(')-/W = '-,i/l ,_y_^y 

Nehmen wir nun an, dass das Gebiet T die ganze unendliche 
Ebene umfasst, und dass die Function /(^) auch für ein unend- 
liches i dem absoluten Werthe nach unter einer endlichen Grenze 
bleibt, so können wir in (3) 

i = JBe»>, dt= Re^'Pidfp 

setzen und R ins Unendliche wachsen lassen, d. h. wir können 
die Integration über einen unendlich grossen Kreis erstrecken. 
Dann wird aber das Integral auf der rechten Seite von (ö) 
gleich Null, weil B im Zähler nur in der ersten, im Nenner in 
der zweiten Potenz vorkommt und die Integrationsgrenzen und 
2 7t endlich sind, und es folgt f(z) z=zf(z*). Damit ist der Sato 
bewiesen : 

n. Eine Function complexen Argumentes, die in d^^ 
ganzen Ebene endlich und stetig ist, und auc^l^ 
im Unendlichen nicht unendlich wird, ist notfc». ' 
wendig eine Constante, und wenn sie im Unen(3- ' 
liehen verschwindet, so ist sie identisch Nul 1- 

Es sei jetzt das Gebiet T als ein um den Nullpunkt b^' 
schriebener Kreis mit dem Radius c angenommen. Dann ist i"*^ 
dem Integral (2) der absolute Werth von t fortwährend glei<?i* 
c, während der von z, so lange z ein innerer Punkt ist, klein^^ 
als c ist. Der absolute Werth von z/t ist daher ein echt©^ 
Bruch, und es ist nach der bekannten Summenformel für di^ö 
geometrische Reihe: 



1 l , z , z'^ , ^ ^' 




n 



n = 

Da sich nun in dieser unendlichen Reihe die Integration^ 
gliedweise ausführen lässt, so folgt aus (2) 



00 



(6) fi^) = 2J ^"-^^ 

fl -0 



■. . « 



1_ 



}.4a Der Satz von Cauchy. 117 

wenn 

gesetit ist 

Es lässt sich also die Function f{g) in eine Reihe ent- 
wickeb, die nach Potenzen von z fortschreitet, und diese Reihe 
ist conyergent in einem Kreise, dessen Mittelpunkt der Nullpunkt 
ist, und dessen Peripherie bis an den näclistgelegenen Unstetig- 
keitspunkt von f{g) hinanreicht. Denn so weit kann das kreis- 
ionnige Gebiet T ausgedehnt werden. Dieser Kreis wird der 
Convergenzkreis genannt 

Die Entwickelung (6) ist nichts anderes als die Mac- 
Laurin'sche Reihe, und ihre Goefticienten i^« lassen sich mit 
Hülfe der Relation (4) auf die bekannte Form bringen : 

(«^ ^- = 1724:^7. •^■•"'(*^)- 

Setzt man in dem Integral (7) 

t == ce«>, dt = itdtp, 
so kann man die An auch in die Form setzen 

(9) An = ^--^ I /(ce«'0 (r-^'^'i'dq). 

Setzen wir noch 

^ wird das allgemeine Glied der Reihe (6) 
(10) iT^ = Q" ^ j* f^ce''n e'« (•'-''> dip, 



— n 



'^d dieser Ausdruck zeigt, wenn man sich auf den Satz stützt, 
^^88 der absolute Werth einer Summe niemals grösser ist als 
*^® Summe der absoluten Werthe der Summanden, dass die Con- 
^^''genz der Potenzreihe (6) für jeden inneren Punkt von der 
^^ einer geometrischen Reihe ist, d. h. so, dass es einen echten 
^ch h giebt, für den «-" V^ mit unendlich wachsendem n nicht 
^^^Udlich wird, und dass also das Product ti* Un für jedes noch 
^ grosse i mit unendlich wachsendem n gegen Null convergirt. 
Setzen wir xo ■=f{z) — -4o, so ergiebt sich aus (6) 

f^l) w = A^g -f A^z^ + ^3-^ H , 

^^d durch diese convergente Entwickelung wird jedem Punkte in 



118 Sechster Abschnitt. §. 4a 

der Umgebung des Nollpanktes der r- Ebene ein Pankt in isr 
Umgebung des Nullpunktes in der ic- Ebene zugeordnet Dies 
gilt auch umgekehrt, wenn Ai Ton Null Tersehieden« also der 
Diff&rentialquotient d ir dz für 5 = nicht Null ist. Dann ent- 
spricht jedem Punkte in der Umgebung des NuUpunktes der 
IC-Ebene auch nur ein Punkt in der Umgebung des Nullpunktes 
der 5-Ebene und man erhält aus (11) eine Reihenentwickelang 
in der Form 

(12) I = BiK -J- B,ir» -i- B^K^ -J 

Wenn aber der Coeffident Ai verschwindet, dann erhalten 

wir aus (11) _ 

>ir = r>J, — ^5-J , 

u nd wir können also, wenn A^ Ton Null Terschieden ist, 

) -4j -r Jj ^ nach ganzen Potenzen Ton £ entwickeln. So 

erhalten wir: 

(13) ) IT =r Ol j -i- o,** -^ Oj^' ---••% 

worin a^ = }As isL und wenn also A^ Ton Null Terschieden ist, 
so können wir hieraus eine Entwickelung für 3 ron der Form 

(14) z = b^}K~b^)V^ -^b,}V^-^ 

ableiten. Setzen wir 

IT = pf"^ ]irr=]pe«, 
so sind Q und 9 Polarcoordinaten in der Ebene« und die zweite 
dieser Formeln zeigt, dass ) ir sein Vorzeichen ändert, wenn 9 
um 2x wachst, wenn man also einen einmaligen Umkreis ui^ 
den Nullpunkt in der ir-Ebene macht 

Es ist also M eine zweiwerthige Function Ton w. 

Elinem Winkel in der ir- Ebene, der seine Spitze im Null'' 
punkt hat, entspricht ein doppelt so grosser Winkel in de^ 
r-Ebene. 

In diesem Falle, der also dadurch gekennzeichnet ist» dass ii^ 
Nullpunkt dtc dz rerschwindet, tritt in dem Nullpunkt seibat ein^ 
Verletzung der Aehnlichkeit in den kleinsten Theüchen auf. 

Um auch in diesem Falle eine eindeutige Beziehung zweien 
Flachen auf einander zu erhalten, muss man sich die tp-Eben^ 
durch zwei Blatter überdeckt denken, die aber beim ümkreisei» 
des Nullpunktes ähnlich wie die Umgange einer Schraubenflache 
gegenseitig in einander übergehen, wobei das eine Blatt das 
andere durchdringen muss. Solche Flachen heissen nach Rie- 



$.49. 



Stetige Fortsetzung. 



119 



mann Verzweigungsflächen und die Punkte, um die sie sich 
winden, Yerzweigungspuukte. Die Linien, in denen sich die 
beiden Flächen gegenseitig durchsetzen, werden auch Ver- 
zweigungsschnitte genannt. 

Verzweigungspunkte treten immer dann nothwendig auf, 
wenn es sich um die conforme Abbildung zweier begrenzter 
Flachen auf einander handelt, von denen die eine in der Be- 
Krenzang eine Ecke hat, während der entsprechende Theil der 
Begrenzung der anderen glatt verläuft. 

Um diesen wichtigen Umstand etwas genauer darzulegen, 
nehmen wir an, dass die Begrenzung einer Figur in der ^r-Ebene 



Fig. 24. 




*i 




im Punkte z = eine Ecke habe, 

in der die beiden Begrenzungsstücke 

unter dem Winkel an zusammen- 

stossen, so dass dieser Winkel im 

Inneren der abzubildenden Fläche 

liegt Führen wir eine neue Va- 
riable gl ein durch die Substitution 

^ = ff , so wird, während Zi einen 

Halbkreis um den Nullpunkt be- 
^hreibt, e einen Bogen von der — 
Grösse a« beschreiben, und es ist 

also die Ecke in der jer- Ebene auf ein glatt begrenztes Stück in 
^er jTi- Ebene conform abgebildet. Soll nun diese Ecke in der 
t<^* Ebene gleichfalls auf ein den Nullpunkt umgebendes, glatt 
'^^Srenztes Stück abgebildet werden, so wird Zi eine eindeutige 
''^unction von to sein, und sich also in der Form 

(15) Zi = to (Oq -\- a^tv -{- a^w^ -f- •••) 

entwickeln lassen. Hieraus aber folgert man für z eine Ent- 
^ickelung von der Form 

(16) jer = «;« (6o + biic + b^iv^ H ), 

^enn die Coefficienten &0)^n"* Constanten sind, von denen 6o voJ^ 
^ull verschieden ist 



§. 49. 
Stetige Fortsetzung. 

Macht man in der Formel §. 48 (6) die Substitution z — c 
fiir z und ersetzt dann wieder f{z — c) durch /(^), so über- 



120 Sechster Absehnitt. 

tragen sich die im vorigen Paragraphen für den Nullpon 
geleiteten Resultate auf einen heliebigen Punkt c. Es < 
sich eine Entwickelung von der Form 



oc 



(1) / w = 2 ^- (* - <')"' 



« = 



in der An die Bedeutung hat 

und diese Reihe convergirt in einem aus dem Punkte c be 
benen Kreise, der bis zur nächsten ünstetigkeitsstelle der Fr 
f(z) reicht 

Nimmt man in diesem Kreise einen zweiten Punkt c' an, s 
man eine Entwickelung von/(^) nach Potenzen von z — & auf 
deren Convergenzkreis möglicherweise über den der Rei 
hinausreicht, und kann so die Function f(z) durch P< 
reihen stetig fortsetzen. Es kann dabei der Fall vorkc 
dass die Convergenzkreise immer kleiner und kleiner werde 
dass man mit dieser stetigen Fortsetzung nicht über ein g 
Gebiet hinauskommt Hat aber die Function f(z) in einei 
liehen Theil der Ebene nur eine endliche Zahl von Unsteti 
punkten, so tritt dieser Fall nicht ein, und man kann die 
tion /(*) über die ganze Ebene stetig fortsetzen. Freilich 1 
sich dabei für dasselbe Gebiet von z verschiedene Wert! 
f{z) ergeben, je nach dem Wege, auf dem man die stetige 
Setzung in ein solches Gebiet gefuhrt hat 

Wenn die Function f{z) in einer durch den Punkt c 
den Linie den Werth hat^ so haben auch alle ihre DiflFer 
quotienten in c den Werth 0, und die Formel (1) zeigt 
die Function f(z) in dem ganzen Convergenzkreise um 
Werth hat Dasselbe gilt auch für die durch stetige 
Setzung entstandenen Gebiete, und wir erhalten den Satz: 

Eine Function von z^ die in einem Li 
stück verschwindet, muss identisch 
schwinden, so weit sie stetig ist 

In derselben Weise wie die Werthe s = c lässt sich bei 
tionen, die für z =z x, noch endlich und stetig sind, dieser 
behandeln, und man kommt auf den früheren Fall zurück 
die Substitution Zi = 1 z. Man erhält also in diesen Fäll 



r 



$• ^' Reciproke Radien. 121 

eine Function y (jg) eine Entwickelung nach fallenden Potenzen 
von i: 

<'i6 ausserhalb eines Kreises mit hinlänglich grossen Radien 

convergirt. Man spricht aus diesem Grunde in der Functionentheorie 

^OA einem unendlich fernen Punkte und man kann diese 

ilusdrucksweise auch der Anschauung zugänglich machen, wenn 

JDau als Träger der Werthe von js nicht eine Ebene, sondern 

eine Kugelfläche betrachtet, die man etwa durch stereographische 

ft'cvjection aus der Ebene ableitet. 



§. 50. 
Beispiel I. Reciproke Radien. 

Wenn js =/(te;) eine ganze lineare Function von w ist, und 
^ == x -[- « y, tc = u -{- iv gesetzt wird, dann werden x und y 
Un^sre Functionen von u und v, und es entsprechen constanten 
Wöxihen von u und v zwei Schaaren auf einander senkrechter 
gep^der Linien. Die Abbildung ist hier eine vollkommen iihn- 
'^^ fae, die verbunden ist mit einer Drehung. Auf diesen ein- 
'^^V^en Fall gehen wir hier nicht näher ein. Es sei zunächst 

1 u — r 



x^ + V' = 



^®*^lich haben wir 

(2^ v(x^-}'y') + y = 0, 

u (x^ -\- y^) — X = 0. 

Die M-Curven und die 6'-Curven sind hier zwei Schaaren von 
*7'^«i8eu, deren Mittelpunkte auf der y-Axe und auf der .t-Axe 
^8en, und die alle durch den Coordinatenanfangspunkt gehen. 
*^i« Kreise jeder Schaar berühren einander (^Fig. 25). Es sind 
^^^r die ganzen Ebenen z und iv eindeutig auf einander be- 
logen. Dem unendlich fernen Punkte der einen Ebene entspricht 
^«r Nullpunkt der anderen. 

Dieser Abbildung lässt sich eine andere geometrische Deu- 
tung geben. Haben wir einen Kreis mit dem Radius c, so können 



122 



Secheter Abschnitt. 



wir einen inneren Punkt £r und einen äusseren jSi einander zuordnei 
die auf dem gleichen Radius so zu einander liegen, dass der Kreii 
radius c die mittlere Proportionale zwischen ihren beiden Abstände 
r, Vi vom Mittelpunkte ist. Nehmen wir c = 1 an, so wird als* 
rvi = 1. Man construirt den Punkt js^, wenn man durch js dH 
kleinste Sehne legt und in ihren Endpunkten die Kreistangente 
zieht, die sich in dem Punkte jSi schneiden (Fig. 26). Auf diese 
Weise wird die ganze Ebene z auf sich selbst abgebildet, un 

Fig. 26. Fig. 26. 





zwar so, dass jeder innere Punkt einem äusseren und jeder äusseret 
einem inneren entspricht Der Nullpunkt und der Unendlichkeits--' 
punkt entsprechen einander. 

Diese Abbildung heisst die Abbildung durch reciproke 
Radien. 

Man kann nun noch eine dritte Abbildung hinzufügen, in- 
dem man jedem Punkte ir, den in Bezug auf die x-Axe symme- 
trisch gelegenen Punkt z'i entsprechen lässt. Die Abbildungen gi 
und Zi entsprechen dann einander wie das Original seinem Spiegel- 
bilde, d. h. sie gehen durch Umklappen um die x-Axe in voll- 
ständige Deckung über. Setzen wir aber 

js = X 4- yi, j3'i = x^ -{- yjt, xr^ = oti — y^«, 
so ist 



X = rcosO", 
y = r sin 0", 



Xi = ri cos ^, 
J/i = — ri sin ^, 

und folglich 

(3) • ze\ = l 

und es stimmt also die Abbildung von auf Zi mit der durch 
(1) vermittelten Abbildung der tr-Ebene auf die jer-Ebene über- 
ein. Es folgt daraus, dass diese Bilder in den kleinsten Theilen 
ähnlich sind, und daraus ergiebt sich weiter, dass die Abbildung 



§.51. Abbildang durch lineare gebrochene Fanotionen. 123 

durch reciproke Radien gleichfalls in den kleinsten 
Theilen ähnlich, aber spiegelbildlich ähnlich ist. 



§. 51. 

Beispiel IL Abbildung durch lineare gebrochene 

Functionen. 

Die Function, die wir im vorigen Paragraphen betrachtet 
haben, ist ein specieller Fall der linearen gebrochenen Function 

worin a, a, /3 reelle oder imaginäre Gonstante bedeuten. Bei 
<^er Abbildung durch diese Function entspricht jedem 
^reis in der i4;-Ebene ein Kreis in der ;8r-Ebene und 
umgekehrt, wobei jedoch auch gerade Linien als Grenzfalle 
▼on Kreisen auftreten können. Um sich hiervon zu überzeugen, 
''Qdenke man, dass die Gleichung eines Kreises in der uv-Ebene 
^8 eine lineare Gleichung zwischen den drei Variablen 

M« 4" ^^ **» ^ 

'^d folglich auch, wenn w und w* conjugirt imaginär sind, als 
lineare Gleichung zwischen 

Wiio\ tf, iv' 

***8e8tellt werden kann, etwa in der Form 

(2> Aww' + JBw; + B'w' + C = 0. 

Hierin kann^ reell angenommen werden, und wir setzen es 
darum nicht gleich 1, weil die Gleichung (2) auch für die 
B^c^e Linie gelten soll, wenn man A = setzt. Dann sind 
^^ ^ conjugirt imaginär und C ist reell. Macht man aber in 
^*!fc die Substitution (1), indem man noch 

, f z — a 

^tzt, so erhält man eine Gleichung von derselben Form wie (2) 
^^•ischen den Variablen zz\ z^ z\ die also wieder einen Kreis in 
&er £r-Ebene darstellt 

Die Gonstanten a, a, /3 lassen sich so bestimmen, dass drei 
Bedingungen befriedigt werden, z. B. so, dass drei gegebenen 



124 



Sechster Abscliniirv. 



Punkten der einen Ebene drei gegebene Punkte der anderen 
entsprechen sollen. 

Als Beispiel nehmen wir einen Kreis mit dem Radius c um 
den Nullpunkt in der ;er- Ebene, und verlangen, dass die Kreis- 



Fig. 27. 




•I- 100 

■ <.- 



.'''..■■ 







rr-i 



r '.ff ^ 



w 



Peripherie der imagi- 
nären Axe und das 
Innere der Kreisfläcbe 
der Halbebene der 
negativen u in der 
\c - Ebene entsprechen 
soll. Damit ist die 
Substitution (1) nooh 
nicht vollkommen be- 
stimmt, sondern 



bleiben noch drei reelle Constanten verfügbar. Um diese 
bestimmen, wollen wir festsetzen, dass der Mittelpunkt des Kreisel 
also der Punkt ^ = 0, dem Punkte t(7 = — a entsprechen sollt 
worin a eine positive Constante ist; sodann soll dem Pankt>^ 
der Kreisperipherie z -= c der Punkt i^ = und dem Punkt>^ 
z:=z-^c der Punkt m? = ± t oo entsprechen, dann erhalten wir 



(3) '" = «7+7' 

und diese Function giebt also die conforme Abbildung eine 
Kreisfläche in der £r-Ebene auf eine t(7- Halbebene, bei der di 
Punkte der einen Fläche denen der anderen gegenseitig ein 
deutig entsprechen, und bei der entsprechende Punkte imme 
stetig mit einander fortrücken. 




§. 52. 
Beispiel HL Confocale Kegelschnitte. 

Wir betrachten noch als letztes Beispiel die Function 
(1) z = cos tr, 

worin die Function cosinus für ein complexes Argument durch 
die Gleichungen 

cos(ti -|- iv) = cosM cosii; — sinw sintv 

(2) 



gt;_j_^t; 
COSIÜ = - ö 1 



sin t y = t 



. c*' — e-' 



§.fil 



Confocale Kegelschnitte. 



125 



definirt ist. Es ergiebt sich hieraus 






(3) 



■ X = cos u cos t V, 
y = i sin u sin it;, 
nnd wenn man u und v eliminirt, so folgt: 

x^ y2 



lit- 



w 



cos^tt; 
cos^u 



sinair 
sin* w 



= 1, 



= 1. 



Es entspricht also einem constanten v eine Ellipse, deren 
^nnpunkte die Coordinaten a; = + 1 , y = haben. Einem 
<^nstaDten u entspricht eine Hyperbel mit denselben Brenn- 
punkten; u und V sind elliptische Coordinaten in der 
Ebene. Um alle Werthe von p- 23 

^ jf und jeden nur einmal zu 
^balten, hat man v von 
^ 00 und u von — ;r bis -|- ^ 
S^hen zu lassen. Wenn näm- 
"ch V von bis unendlich 
St^ht, so erhält man eineSchaar 
^*© ganze Ebene einfach über- 
ziehender Ellipsen, deren erste 
"**" t? = sich auf die Ver- 
nndungsstrecke der beiden 
^«"ennpunkte y = 0, a; = ± 1 
^'^ÄÄmmenzieht; und wenn u von — sr bis + ^ geht, läuft bei 
^*ÄHtantem v der Punkt a;, y auf einer dieser Ellipsen gerade 
p^tixioal herum. Zwei Werthe w und n — n entsprechen den 
en Aesten derselben Hyperbel. Liegt u zwischen — ^ n und 
3C, so ist X positiv, und man erhält dann den den Brenn- 
I^^i:xlct rc = -j- 1, y = umschliessenden Ast. 




Siebenter Abschnitt. 



Differentialgleioliungen. 



§. 53. 
Definition und Eintheilung. 

Ist die Grösse y eine Function von einer oder mehreren un- 
abhängigen Veränderlichen, so kann ihr Zusammenhang mit 
diesen unabhängigen Veränderlichen in verschiedener Weise aus- 
gedrückt sein. Der einfachste Fall ist der, dass die unabhängigen 
Variabein und die Function durch eine Gleichung mit einander 
verbunden sind, in welcher ausser ihnen nur constante Grössen 
vorkommen. Eine solche Gleichung nennt man eine endliche 
Gleichung zwischen den Veränderlichen, und es soll mit diesem 
Namen ausgesprochen sein, dass in der Gleichung nur endliche 
Grössen, also keine Differentiale, auch keine Verhältnisse von 
Differentialen vorkommen. Im Gegensatze zu den endlichen 
Gleichungen zwischen den veränderlichen Grössen stehen die 
Differentialgleichungen. 

Unter einer Differentialgleichung verstehen wir eine 
Gleichung, welche ausser den unabhängigen Veränderlichen und 
der Function noch einen oder mehrere Differentialquotienten der 
Function enthält 

Wir unterscheiden gewöhnliche Differentialgleichungen 
und partielle Differentialgleichungen. Wird y als Function 
von nur einer Variablen x angesehen und kommen demnach in 
der Differentialgleichung nur die nach dieser einen Variablen x 
genommenen Differentialquotienten vor, so heisst die Gleichung 
eine gewöhnliche Differentialgleichung. Soll dagegen die 
Function von mehreren Variabein abhängig sein, und enthält 



§. 54. Das vollständige Integral. 127 

die Differentialgleichung die partiellen Differentialquotienten 
nach mehreren Yariabeln, so wird die Gleichung eine partielle 
Differentialgleichung genannt. 

IVir theilen die Differentialgleichungen (die gewöhnlichen 

^e die partiellen) in verschiedene Ordnungen ein. Eine 

Differentialgleichung von der n*«" Ordnung ist eine solche, in 

welcher Differentialquotienten von der n^^ Ordnung und keine 

hölieren vorkommen. 

Wir unterscheiden lineare Differentialgleichungen und 
^ichtlineare. In einer linearen Differentialgleichung kommen 
lie Function y und ihre Differentialquotienten nur in erster 
Potenz vor und keine Producte der Function mit den Differential- 
L^otienten oder der Differentialquotienten unter einander. Eine 
EeMTohnliche lineare Differentialgleichung n*«' Ordnung ist danach 
'on der Form 

woi*in Oo, Ol, . . . üni X Functionen von x allein oder auch con- 
^tante Grössen sind. Ist X = 0, so heisst die lineare Diffe- 
rentialgleichung homogen. 



Lineare Dif%rentialgleio]iuiigen. 

§. 54. 

Die willkürlichen Integrationsconstanten. 
Das vollständige Integral. 

Um einen ersten Einblick in die Natur der Lösung einer 
gewöhnlichen Differentialgleichung zu erlangen, gehen wir aus 
von einer endlichen Gleichung zwischen x und i/, die ausser 
diesen veränderlichen Grössen noch eine gewisse Anzahl von 
Constanten enthält. Durch n mal wiederholte Differentiation 
leiten wir aus dieser primitiven Gleichung n neue Gleichungen 
her, von denen die erste keinen höheren Differentialquotienten 
als den ersten, die zweite keinen höheren als den zweiten, u. s. f., 
die letzte keinen höheren als den n^^^ enthält. Aus dem so 
gewonnenen Systeme von n Gleichungen und der primitiven 



128 Siebenter Abschnitt. §. 55. 

Gleichung können wir n constante Grössen eliminiren. Das 
Resultat wird eine gewöhnliche Diflerentialgleichung n**' Ord- 
nung sein, welche n constante Grössen weniger enthält als die 
primitive Gleichung, aus der sie hervorgegangen. 

Durch die primitive Gleichung ist y als Function von x so 
bestimmt, dass die Differentialgleichung befriedigt wird. Eine 
Function y, die der Differentialgleichung genügt, heisst eine 
Lösung (oder auch ein Integral) der Differentialgleichung, und 
die Auffindung der Lösung heisst die Integration der Diffe- 
rentialgleichung. 

Aus der vorher angestellten Betrachtung geht hervor, dass 
eine endliche Gleichung zwischen or und t/, die einer Differential- 
gleichung n^ Ordnung Geniige leistet, n Constanten enthalten 
kann, die in der Differentialgleichung nicht vorkommen. Diese 
nConstanten sind völlig unbestimmt, wenn nichts als die Diffe- 
rentialgleichung gegeben ist. Man nennt sie daher die willkür- 
lichen Constanten des Integrals, und die endliche Gleichung 
heisst das vollständige Integral der vorgelegten Differential- 
gleichungen n*" Ordnung, wenn wirklich n willkürliche Con- 
stanten darin vorkommen, die sich nicht auf eine geringere An- 
zahl reduciren lassen. Im Gegensatze dazu nennt man eine 
endliche Gleichung zwischen x und j/, die der Differential- 
gleichung M*«' Ordnung genügt, ein particulares Integral, wenn 
sie weniger als n willkürliche Constanten enthält 



§. .')5. 
Homogene lineare Differentialgleichungen. 

Wir betrachten nun eine homogene lineare Differential- 
gleichung n*«' Ordnung 

(1) «0 rf-J + «. d^i + ••• + «.-. ^ 4- any = 0. 

Es sei y rrr y ein particulares Integral. Dann wird 
auch y z= cY ein solches sein. Denn nach der Voraussetzung 
wird die Differentialgleichung erfüllt, wenn man statt // darin Y 
schreibt, also 

d^Y fZ»»-! y 

(2) «0 -j^i + «. ^^ 4 + «« r = 0. 



$.56. Homogene lineare Differentialf^leichungen. 129 

Wird nun aber cY für y gesetzt, so kommt auf der linken Seite 
nor noch der für alle Glieder gemeinschaftliche Factor c hinzu, 
80 dass auch jetzt deren Summe verschwindet. 

Sind ferner y = Yi und y = Y^ particulare Integrale, so 
tann man daraus ein neues Integral 

bilden. Dieses neue particulnre Integral ist dann von Fj und Yj 

oicht unabhängig, sondern aus ihnen linear zusammengesetzt. 

Dagegen heisst ein Integral Y^ von Y^ unA Y^ unabhängig, wenn 

CS sich nicht in die Form Ci Yi -f" ^a ^2 bringen lässt. Ueber- 

^Äupt werden k Integrale Yj, l'^, ... Yj^ der homogenen linearen 

Differentialgleichung von einander unabhängig genannt, wenn 

sich keine constanten Goeffieienten OC], «21 ••• ^fc) ^i^ nicht alle 

v'erschwinden, so bestimmen lassen, dass sie der Gleichung 

a, Yi + «2 1', + \- auYk = 

genügen. 

Man sieht nun leicht, dass eine Differentialgleichung n^*' 
Ordnung nicht mehr als n unabhängige particulare Integrale 
lia^ben kann. Denn sonst könnte man jedes mit einer willkür- 
lichen Constanten multipliciren und erhielte durch Addition der 
r*roducte ein neues Integral, das mebr als n willkürliche Con- 
^ta-xiten enthielte i). 

Hat man aber n von einander unabhängige particulare Inte- 
^''Äle gefunden, so ist 

<^'^:> y = Ci Fl + C, Y2 H \-Cn Yn 

^^s vollständige Integral der homogenen linearen Differential- 
K^^ichung w*" Ordnung, und Ci, Cj, ... Cn sind willkürliche Con- 
m. Daraus lässt sich jedes particulare Integral 




^) Die nothwendige und liinreicbeode Bedingung dafür, dass die Func- 
|l^^^^en y^ Yf, ... Ym linear unabhängig sind, ist, wie eich leicht zeigen 



(t, die, dass die Determinante 




Null rerscbieden ist. Hätte man aber » -f 1 unabhängige Integrale 
^ &<» y,. ... yii-hi der Differentialgleichung (2), so wäre 

d^Yv (1^—^ Yv 

a. -— - + rt| ■ ■_. + •■' + ünY, - 

'^r •'=1, 2, ...w + 1, und die Determinante dieses Gleichungssystemes 
^'^Te von Null verschieden. Diese Gleichungen könnten ulso nur befriedigt 
^in, wenn alle CoefUcienten üq, a„ ... an gleich Null wären. 

Riemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen. {) 



130 Siebenter Abteksitt. §. 

herleiten, indem man den Constanten bestimmte Wert 
beilegt 

Wenn ein particolares Integral als bekannt Toraosgesetzt wi 
so lasst sich dadurch die Anffindong eines weiteren anf « 
Integration einer Differentialgleichung derselben Form, aber ^ 
niedrigerer Ordnung, und anf eine Quadratur zurückfuhren. 

Wenn nämlich T wie oben ein particulares Integral < 
Differentialgleichung (1) ist, so führe man eine neue unbekani 
Function r ein und setze 

(4) ,= rfcrfa-. 

• • • 

Differentürt man nun (4) wiederholt so folgt 
jf = r j rdx, 

(5) di=^\'^'''^'^ 



rfx> 



rfx* I ' dx dx 



worin die Differentiation bis zur n^^ Ordnung fortzusetzen ist 

Wenn man diese Gleichungen der R^e nach mit a^j Oa 
a..s, ... multiplicirt und addirt, so erhalt man, wenn man 
Ton Y befiriedigte Gleichung (2) berücksichtigt, auf der rech 

Seite einen Ausdruck, in dem das I tdx nicht mehr rorkom 

der die Function r und seine n — 1 ersten Differentialquotien 
linear und homogen enthalt, und der rerschwinden muss, w« 
Jf eine Losung Ton (1) sein solL Es ist daher die unbekan 
Function v durch eine Differentialgleichung derselben Form 
(1), aber nur Ton der (w — !)•• Ordnung bestimmt. 

Nehmen wir n =^ 2 an, so lasst sich diese letzte Different 
gleichung. wie überhaupt jede lineare Differentialgleichung en 
Ordnung, allgemein integriren, und daher ist die ToUstand 
Integration einer linearen homc^enen Differentialgleichung zwei 
Ordnung auf Quadraturen zurückgeführt, wenn ein particub 
Integral gefunden ist 

Nehmen wir. um dies naher darzulegen, die gegebene EM 
rentialgleichung in der Form an: 



§• 56. Homogene lineare Differentialgleichungen. 131 

« 2 + ''£ + '' = " 

und wenden die Formeln (5) an, so erhalten wir zur Bestimmung 
von V 

Dividirt man durch Yv^ so kann man diese Gleichung auch 
so schreiben: 

dx 
oder: 

Hiemach wird aber das allgemeine Integral von (6) 

— f ad» _ 

e '^ dx 



(8) y = ^\ 



72 



und die Integrationsconstanten sind die beiden additiven Con- 
stanten der Quadraturen. 



§. 56. 

Homogene lineare Differentialgleichungen mit 

Constanten Coefficienten. 

Es sei die homogene lineare Differentialgleichung n*®' Ord- 
nung gegeben: 

(1) «0 d^ + «• a^ + • • • + «»-> d? + «-y = 0. 

worin ao, ai, ... a«-!, a« reelle constante Grössen sein sollen. 
Wir können leicht particulare Integrale finden. Setzen wir z. B. 

y = e"* 
mit constantem oe, so ist 

dy „ d^y „ d*^y 

Führen wir diese Werthe in die Differentialgleichung ein, so 
ergiebt sich 

&'^(aQ(x>'^ -\- aitt"— * 4" ••• "h «n-i« + «n) = 0. 

9* 



132 Siebenter AbsckaiSL §. 

Dies kAcn nicht anders der Fall sein, als venn die Klamm« 
Crosse = vird. Die constante Grösse o ist also eine War 
der Gleichung 

rl) ^*«) = Ol«" — ai«*-"' — --• — a^^ia -I- a, = 0. 



bezeichnen die n Wurzeln der Gleichung mit et,, a^ .. . 
nnd betrachten zunächst den Fall, dass sie säunmtlich Ton e 
ander Terschieden sind. Dann haben wir m tob einander mu 
hängige particnlare Integrale der Diffeientialgleichnng. nämli 



Das Tollständige Integral ist demnach 

(3; 3f = c,^.' — c,ev c 

Hat die Gleichung m^™ Grades, welcher a genügen mnss, ims 

nare Worzeln, so kommen diese immer paarweise conjngirt i 

d. h. die eine ist von der Form ^ -^ 2t\ die andere von 

Form H — if. Es seien z. B. oe, nnd a, solche conjagirt im 2 

nare Wurzeln 

ai = « — ^L 

o, = tt — IL 
dann ergiebt sich 

= €^' '(^1 -j- c^ cosAX -j- (Ci — c,) t sin!« | 

Da nun Ci und Cj willkürliche Constanten sind, so können 
dafür zwei andere einfuhren, indem wir setzen 

c^ — c^ = i^. 

(<•! — «"t) » = *i. 
Dadurch erhalten wir 

rjr*»- -i- Cj<^' = ^'(ticosix -^ l;}Sin4.x). 

Das eben angewandte Verfskhren erleidet eine Modificati 
wenn die Gleichung in a nicht lauter verschiedene Wurzeln t 
Man erhält die Lösung in diesem Falle am einfachsten - 
folgendem Wege: 

Wir bezeichnen die linke Seite der Differentialgleichung 
svmbolisch mit DiirX setaen also 



$.57. Schwingungen einer Magnetnadel. 133 

Bezeichnet nun a zunächst eine von x unabhängige veränder- 
liche Grösse, so ergiebt sich aus dieser Definition 

(5) D(&") = Cip{u), 

worin <p(a) als ganze Function n**«* Grades von a durch (2) 
definirt ist. Wenn wir nun die Formel (5) wiederholt nach a 
differentiiren, wobei die derivirten Functionen von ^'(a) mit 
tp'(a), 9"(a) . . . bezeichnet sind, so erhält man, wenn man be- 
denkt, dass man die Reihenfolge der Differentiation nach x und 
oaeh a vertauschen, also 

^tzen darf: 

D{x€f'') = 6«'[a:9)(a) + 9?'(a)J, 
S) D (ira ^*) = e«' [x^ 9^ («> + 2 x q>\(x) + 9)"(a)], 

Ist nun a eine mfache Wurzel der Gleichung 9 = 0, so 
t g,(a) = o, y'(a) = 0, ..., 9)(»*-i)(a) = 0, und die Glei- 
luugen (6) zeigen unmittelbar, dass man für eine solche Wurzel 
^na.u m unabhängige particulare Integrale erhält: 

Zerfallen also die Wurzeln der Gleichung 9? = in Gruppen 

'lÄ je m, tili, ... unter einander gleicher, so ist n = m-{-Wi-| , 

^<1 die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) ist 

> y =f{x)€^' 4- /i(a:)c«i* + ..., 

>rin /(o:), /i (a?), ... willkürliche ganze Functionen der Grade 

1, »«1 — 1, ... sind, deren Coefficienten, n an der Zahl, die 

llkürlichen Constanten der Integration sind. 

§. 57. 
Anwendung. Schwingungen einer Magnetnadel. 

Wir wollen als Beispiel die folgende Differentialgleichung 
Leiter Ordnung betrachten 

'^lin £ und n positive Constanten sind. Diese Gleichung kommt 
^ Anwendungen häufig vor. Sie drückt z. B. die Schwingungen 
^^Her Magnetnadel aus, wenn y die als klein vorausgesetzte Ab- 



134 



Siebenter Abschnitt. 



§• 



lenkung aus der Gleichgewichtslage und x die Zeit bedeutet 
ist dann angenommea, dass auf die Nadel eine mit y proporl 
nale Richtkrafb und eine mit der Geschwindigkeit dy jdx p 
portionale, der Bewegung stets entgegengesetzte Dämpfung e 
wirken. 

Die quadratische Gleichung für 04, a, wird hier 

(2) «« + 2ea -r n« = 0, 

wenn wir zunächst « = annehmen, so wird a =1 -^in^ u 
die allgemeine Lösung Ton (1) ist 

(3) y = -4 sin n X + B cos n x, 
wofür man auch 

(4) y = ^sinii(x — a) 

setzen kann, wenn A und a die Integrationsconstanten si 
y ist hier eine rein periodische Function von x. Der Coefficienl 



Fig. 29. 




(positiv genommen) hei 
die Amplitude derSchw 
gung. Die Periode ist 
= '1% m und wird , wc 
X die Zeit bedeutet, 
Schwingungsdauer genau 
Die Constanten ^ a ka 
man bestimmen, wenn 
einen speciellen Werth von x, etwa für x = 0, die Werthe 1 
y und von «f y rfx gegeben sind. Für x == a ist y = 0. i 
wenn wir also den Fall der schwingenden Magnetnadel im Ai 
behalten« so ist «i der Zeitpunkt» wo y durvh die Gleichgewicli 
läge geht« Nehmen wir x, y als rechtwinklige Coordinaten 
so wild y durch eine Sinuslinie dargestellt iFig. 29). 

Wenn f von Null verschieden ist, so sind zwei (oder di 
Falle zu unterscheiden. Die Wurzeln von i2) and nämlich 

« = — .f f: 1 1 »* — fK 

Es sei M > f. also die beiden Werthe von « imaginär. I 
allgemeine Losung kann dann, wenn 

«^«eCK wird, in der Form dars^stell: werdea 

oder, w«£n m^n die willkürliche Con>ian:e «1 =r annimmt: 
i5> « = AiT^*^ <ii:»'x. 



§. 57. 



Schwingungen einer Magnetnadel. 



135 



Man erhält die Maxima und Minima von y aus der Gleichung 
dyldx= 0, also aus 

(6) er^*'{n' cosn'x — e sinn'a:) = 0, 

aod wenn man einen Winkel (p einfuhrt, der durch 



tg(p = 



W 



7t 



definirt ist, der zwischen und -^ liegt, und um so kleiner ist, 
je kleiner s ist, so sind die positiven Wurzeln der Gleichung (6) 

, 7t 

n'.r, = - — 9) 4- 3r, 
n'Xi = -^ — (f + 27t, 



Die zugehörigen Werthe von y erhält man aus (5), also die 
^ussersten Lagen, wo die Magnetnadel ihre Bewegung umkehrt: 

yo = Äe^*^ cos 9?, 

— t/i = -4c~*'» cos 9, 

2/2 = As-^'i cos 9, 



^nd daraus, da n'(ri — j^o) = ^^'(''2 — ^1) = 

67t 



= 7t ist: 



log(— j/i) — logt/o = 
logya — log(— //O = 



n' 



a TT 



n' 



Die geroeinsame Differenz dieser Logarithmen wird nach 
^au8s das logarithmische Decrement genannt, während 
^^Jn' die Schwingungs- y Fig. 30. 

^auer heisst. Die Beohachtung 
dieser beiden Grössen dient zur 
*^e8tiuiinung von n und e. 

Die Bewegung der Nadel 
'^^ also hier gleichfalls oscillatorisch, aber mit stets abnehmen- 
^^^ Amplitude. 




136 Siebenter Abschsitt. §. 5d. 

Betrachtet man z und ^ wieder als rechtwinklige Coordi- 
naten, so erhält man die Cnire Fig. 30 (a. t. S.j. 






*^. ö:?- 



Fortsetzang. Aperiodische Schwingung. 

Wenn nun aber f > n ist. dann werden die Wurzeln a 

reell, und wenn wir in = )f* — m- setzen, so ist m positiv and 
kleiner als £. und das allgemeine Integral unserer Differential- 
gleichung §. 57, (li wird 

«1) y = ?-*-^ar— ' — Ae-'). 

worin u und h die Integratiocsconstanten sind, die sich be- 
stimmen lassen, wenn tur x = die Werthe Ton y und dy ilx 
gegeben sind. Man erhält 

Eis sind nun wieiler zwei Fälle zu unterscheiden: 

1. Wenn n und h entsesen^resetzte Vorzeichen haben, ^^ 
kann weder v noch «/v »ix tur einen endlichen Werth von x s&^' 

Pi^ 31 schwinden; es wird ato^ 

IT für ein negativ uneo^ 
liches X unendlich grO^ 
und für ein positiv unen^^ 
liches X unendlich klei^ 
Es wird sich also die Magn^ '^ 
uadel « welche anfanglid'^ 
Lage sie auch haben mB^^ 
ohne die Richtung ihrer EWwegung umzukehren, asymptotisch <S^ 
GleicbiTewiohtslaire nahem iFic. ol\. 

-. Wenn die Consta:;ton ii, h das gleiche — nehmen wir ^^ 
das positive — Vorreicheu haben, so wird y = für einen Wer*^ 
X- von ^•. und «i v -ix ^= tur einen Werth x., und zwar ist 

l , (I l . a (£ — in) 

also X- 3> X;. Für ein unendlich grvusses negatives x wird If 
negativ unendlich grv^ss und tiir ein unendlich grosses positives 



X 



Systeme linearer Differentialgfleichan^en. 



137 



Fig. 32. 



ilich klein. Wenn z. B. die Magnetnadel durch einen 

chen Stoss aus der Gleichgewichtslage gebracht ist, so 

I bis zu einem gewissen Maximum der Ablenkung gehen, 

sie zur Zeit Xi er- 

ind von da an sich 

chgewichtslage wie- 

rmptotisch nähern 

I. In beiden Fällen 

eine oscillatorische 

Lg nicht möglich, 

. nennt daher diesen 

aperiodisch« 
bleibt noch ein dritter Hauptfall übrig, nämlich der, dass 
ät, dass also die Gleichung §.57, (2) zwei gleiche Wur- 
. In diesem Falle ist die allgemeine Lösung der Diffe- 
eichung (1) 

y = (ax -\- b) e~**, 

Vorgang ist gleichfalls aperiodisch. Sie ist von der Art, 
31 zeigt, wenn a = ist, sonst von der Art der Fig. 32. 




§. 59, 

teme linearer Differentialgleichungen mit 
Constanten Coefficienten. 



Integration eines Systems gewöhnlicher linearer Diffe- 
leichnngen mit mehreren abhängigen Variablen kann 
irch fortgesetzte Differentiation und Elimination aller 
gen Variabein bis auf eine auf die Integration einer 
tialgleichung von entsprechend höherer Ordnung zuriick- 

Man kann aber auch umgekehrt ein System von Diffe- 
leichungcn höherer Ordnung durch Einführung neuer 
In an Stelle der Differential quotienten auf ein System 
erentialgleichungen zurückführen, in dem nur erste Diffe- 
uotienten vorkommen. Wir wollen hier noch ein solches 
betrachten, das wir in Bezug auf die Differentialquotienten 
it annehmen: 



133 



Siebenter Abschnitt. 



59. 



(1) 



dx ~ 

dy^ _ 

dz ~ 



^mVi -h ^uVi ^Ci.jf, 



m 



^fl yi — C,, y, -1 h Ctn Sfm 






= ^«1 Vi — <*-«yi — •• 



^nS^at 



worin die o^k Constanten sein sollen. 
Setzt man hierin Tersuchsweise 

(2) y, =aie^', y, = a,e^', . . . y, = o,^*, 

so erhält man aus (1 ) zur Bestimmung der Constanten Oi, O}, 
... a«. il die Gleichungen 

(^11 — ^)ai — ^n«i -^ r <^i«ö» = 0. 

/3) ^aifli -^ (f?i — ^>as — ••• -^ «^.o« = 0, 

^«löi -^ ^«afla — • -r (^« — ^)o« = 0, 
und wenn die Constanten a,, a«. ... a« nicht alle gleich Null sein 
sollen, so muss. wenn wir zur Abkürzung 

setzen, a eine Wurzel der Gleichung 

(5) i(Ä) = 

sein. Setzt man für k eine Wurzel dieser Gleichung ein, ^ 
kann man aus (3) die Verhältnisse a^ : a^i --- i a^ bestimiP^^^ 
während ein gemeinschaftlicher Factor h willkürlich bleibt jl^^ 
ist die Gleichung U) vom ii*^*» Grade und hat n Wurzeln ili, ^' 
... A,.. denen n Systeme der Constanten «i, a^^.,. a^ entsprecb^^' 
Man erhält dann die allgemeine Lösung der Differenti^^' 
gleichungen (1 1 in der Form 

yi = A, flijC^i' -^ A,(i,,c^«' -^ *«ai,e^'. 



i6) 



worin Ap Aj. ... A„ die willkürlichen Constanten sind. 



K Systeme linearer DiffereDtialgleichungen. 139 

Diese Betrachtung gilt zunächst nur für den Fall, dass die 
chnng (5) n von einander verschiedene Wurzeln hat. Sie 
aber auch in einem anderen Falle: Nehmen wir an, dass 
einen Werth A nicht nur die Determinante L, sondern auch 
sämmtlichen Unterdeterminanten von n — tn -\- l Reihen 
chwinden, dann sind für diesen Werth von A 

dLjX) d^^^L{kl 

^W. dA ' *"' ' d;>-i 

zh Null, und k ist eine (mindestens) m fache Wurzel von 
) = 0. Dann aber bleiben m von den Goefficienten %, aj, 
i„ nach den Gleichungen (3) willkürlich i), und wir erhalten 
aus dieser einen Wurzel m von einander unabhängige 
dculare Lösungen. Daraus ergiebt sich der Satz: 

Die Ausdrücke (6) stellen die allgemeine Lö- 
sung der Differentialgleichungen (1) dar, wenn 
für jede mfache Wurzel der Gleichung L{1) = 
alle n — w + 1-reihigen ünterdeterminanten von 
L(A) verschwinden 2). 

Nun kann aber die Gleichung L{k) = auch eine m fache 
rzel haben, ohne dass alle n — m -|- 1 - reihigen ünter- 
irminanten verschwinden. Dann erhalten wir aus (2) nicht 
genügende Anzahl von particularen Lösungen, und in diesem 
B kann man sich die nöthige Anzahl von Lösungen nur da- 
:h verschaffen, dass man in (2) die Cocfficienten a^, a^, ... Un 
t als constant, sondern als ganze rationale Functionen von 
(Stimmt, wie oben in §. 56. Die allgemeinere Untersuchung 
^r Frage lässt sich sehr vollständig und einfach durchführen 
Hülfe der Theorie der linearen Substitutionen und ihrer 
isformation, auf die wir hier nicht eingehen können 3). 
In der Theorie der unendlich kleinen Schwingungen, in der 
unabhängige Variable x die Zeit bedeutet, ist es von grosser 
htigkeit, dass diese Variable nicht ausserhalb derExponential- 
tion, die in diesem Falle einen imaginären Exponenten hat. 



») VergL Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, 2. Aufl., §. 27. 

*) Wenn man in diesem Falle durch Differentiation und Elimination 
irentialgleichungen höherer Ordnung mit nur einer abhängigen Variablen 
in will, 80 erhält man mehrere Differentialgleichungen von niedrigerer 
(t«r Ordnung, deren jede nur eine abhängige Variable enthält. 

•) Vergl. Weber, Lehrbuch der Algebra, Bd. 2, 2. Aufl., §. 41, 42. 



140 Siebenter Abschnitt. 

vorkommt. Dies kann also nach dem eben bewiesenen Sat 
dann eintreten, wenn die bestimmende Gleichung (5) gleicl 
zeln hati). 

§. 60. 

Berechnung bestimmter Integrale durch die Integ 

von Differentialgleichungen. 

Man kann nach Dirichlet's Vorgang durch die Int< 
linearer Differentialgleichungen gewisse bestimmte Integi 
mittein, wovon hier einige Beispiele folgen. Man setze 

u = I c^^^'cosaT 77=, 



V« 

da 



[ ha ' «« 

J V« 





worin h eine positive Constante sei, und betrachte diei 
grale als Function der Variablen x. Für den besonderen 
X = erhält v den Werth und für u ergiebt sich 






» — ha 

V« 



= I e- 





oder durch die Substitution a = /3^ da = 2ßdß: 



« = 2fc-*,^d/3 = y| (§.12). 





Durch Differentiation von (1) findet man: 

-Y- = — I ß-*« Va sin a:r da, 
dx J ' 

(2) 

e-*" y« cosax da. 



dx~ J 





*) Dies ist, wie in Thomson and Tait, Natural philosophy 
ist, von Lagrange und Laplace übersehen worden; yerg 
Rayleigh, Theory of sound, 2»^ edition, vol. 1, p, 109. 



f> 60. Berechnung bestimmter Integrale. 141 

Andererseits erhält man aber durch Differentiation nach a 

d r- 

-5— (e-*"V« cosax) 

da ^ ' ^ 

1 i«W ha^n ' I e-^'' cos ccx 

= — Är-*"ya cosao; — xe-^^ya sinaa; -| — 



2 V« 



-=- (e-^^Vä sin ax) 



1 ^wenn man diese Formeln nach a zwischen den Grenzen 
1 OD integrirt, so verschwinden die linken Seiten und es er- 
l>t sich nach (1) und (2) 



T dv . du , 1 ^ 



V, U. 



Wenn man nochmals nach x differentiirt, so erhält man 
^raus vier Gleichungen, aus denen man v, dvjdx und dHjdx^ 
miniren kann, und man wird auf eine lineare Differential- 
Eichung zweiter Ordnung für u geführt. Es ist aber besser, 
^ beiden Gleichungen (3) direct, ohne diese Elimination, auf- 
lösen. 

Zur Bestimmung der Integrationsconstanten hat man noch 
^ beiden Bedingungen 



für 



a; = ist w = 1/t-, V = 0. 



Wenn man die Gleichungen (3), so wie es in den Formeln 
gedeutet ist, mit u, v und dann mit — t;, u multiplicirt und 
L^mal addirt, so folgt 



,/ du dv\ , / du . dv\ , 1 , « 1 •\ a i 

T / du . dv\ ( du dv\ . L 

id wenn man hier mit a;, fc multiplicirt und addirt: 

(k* + X«) (« g + t; g) + 1 a; («« + .») = 0. 



142 Siebenter Abschnitt. §. 60. 

Nun ist aber 

2{udu -f vdv) = d(u^ — r«), 
und es ergiebt sich also 



d log (k» — t;2 ) _ ^5 _ _ rflog) t» + g* 

Üies lässt sich nun unmittelbar integriren und führt, mit Rück- 
sicht auf die Bedingungen (4), zu dem Resultate 



r2 



(6) M« . 

Wenn wir zweitens die Gleichungen (5) mit — k und x 
raultipliciren und wieder addii*en, so ergiebt sich 

k 
(fca + x^-) {udv — vdu) = - (m« -f ü«) dx, 

und dies kann man leicht auf die Form bringen 

d— , rf , 

ti 1 & 



und durch Integration mit Rücksicht auf (4) 

arctg-^ = iarctg|-, 

wenn der Bogen arctg beiderseits zwischen — -^x and -| x 

2 
genommen wird. Setzen wir 

(7; arc tg -j. = t, 

so folgt hieraus 

und mit Rücksicht auf (6) 

ti = -^ - cos - #;, 

(8) ^ T 

v = — ^ '- sin rr if. 

]* jfci _j- a:2 2 ^ 

Damit sind die Werthe der Integrale fl) bestimmt Macht 
man darin noch die Substitution a = /3«, so kann man die 



§. 61. Zweites Beispiel. 143 

Integrationsgrenzen für ß auch von — oo bis -f"® ausdehnen 
und erhält 

f l^ 1 

I <f-*/^ cosß^xdß = -u — !-- — cos - ^, 

— OD 

+ » - 

f er'f iinß^xdß = -^^- — sin J- ^, 

— OD 

was sich mit Benutzung der imaginären Einheit i auch in die 
eine Formel znsammenfassen lässt: 

(9) «-(»-<*).*' dß = -7 /" c > ■ 



— 00 



kann man nach dem Satze §. 9 die positive Grösse k 
in Null übergehen lassen. Dann nähert sich ^ bei positivem x 
der Grenze Va^i ^^^ ^^^ erhält aus (9), wenn man x = l an- 
nimmt 

+ CO _ 

(10) ^i^^dß = ]/f (1 + 0, 



— 00 



oder in reeller Form 

+ 00 +00 — 

(11) |cos(^»)d/3 = [sin(^*)rf/3 = y|. 



— 00 - 00 



§. 61. 
Zweites Beispiel. 

Wir leiten nach dieser Methode noch ein anderes bestimmtes 
Integral ber. Es sei 

+ 00 

(1) o = I e -"*cosax da, 

— 00 

woraus durch Differentiation : 

+ 00 

do r V • 

(2) ^ — = — I e-" asma^aa. 



-1«. 



144 Siebenter AbschDÜt. 

Anderei^eits erhält man durch Differentiation nach a 
der-"* sinaa; = — 2^-*** asinaxe^a -\- xer-°^ eo^uxda: 

woraus durch Integration zwischen den Grenzen — qo und - 
nach (1) und (2): 

(3) 2^ + a:co = 0, 
und durch Integration 

(4) (ö = Ce * 
worin C von x unabhängig ist. Es ist aber für rc = 

+ OD 

CD = [^«Ma = y/^ [§.12, (3)], 
und mithin ergiebt sich 

(5) I er-"* co^axda = |ä c * . 

— 00 

Substituirt man a y^ für a und setzt g = a: V^, worin da 
p ein positiver, q ein beliebiger Parameter ist, so folgt die et^ 
allgemeinere Formel: 

+ « 

(6) 



e-P"* cosgada = 1/- e ^^ 



00 



oder auch, indem man das Integral in zwei gleiche Th€ 
zerlegt 



(7) 





I g-pa* cos gada = ^ 1/- e *'*. 



§. 62. 
Nicht homogene lineare Differentialgleichungen. 

Die Integration der nicht homogenen linearen Differents 
gleichungen lässt sich nach einem Verfahren von Lagrange i 
die Integration einer homogenen Differentialgleichung und i 
Quadraturen zurückführen. 



82. Nicht homogene lineare Differentialgleichungen. 145 
Wir nehmen üq = l an, so dass die gegebene Gleichung 

da:" "^ ^ da?"-* "^ ' da: ' ^^ ' 

ST in abgekürzter Form geschrieben 

D{y) = X 

itet, worin o^, ... Omi X gegebene Functionen von x sind. 
Wir wollen annehmen, dass die homogene Gleichung 

D{v) = 

Liständig integrirt sei, dass also n von einander unabhängige 
sungen v^, v^, ... Vn der Gleichung (3) gefunden seien. 

Wir lassen nun tij, t^Q^ • • • ^n ein noch zu bestimmendes 
stem von Functionen von x bedeuten und setzen 



) y = «1 r, + U-i Vj H f- Un V» = 21j *** ^'^ ' 

id wollen nun die Functionen Uu so bestimmen, dass die Diffe- 
iotialgleichung (1) durch (4) befriedigt wird. 

Wenn wir den Ausdruck (4) nach x diflFerentiiren , so er- 
sten wir zwei ähnliche Summen, von denen wir die eine jedoch 
eich Null setzen, wodurch eine Bedingungsgleichung für die u 
'j»eben ist. Wir setzen dann die Difterentiation fort und ver- 
irren jedesmal ebenso, ausgenommen bei der letzten, n*®** Diffe- 
itiation. 

Bezeichnen wir die successiven Differentiahiuotienten irgend 
öl* Function u zur Abkürzung mit u\ n", . . . «(^*>, ... so bilden 

also das folgende System von Gleichungen : 

y = UuuVk 

y(») = 2: Wk v<«) + X, 2; v\^ - ^> tti = X. 

Wenn wir die Gleichungen (5*) der Reihe nach mit 
a»_i, ... a,, 1 multipliciren und addiren, so folgt 

D{y) = ^UuD{Vk)-^ X, 

4 da nach Voraussetzung D{rk^ = ist, so ist die Gleichung (1) 

^UBann- Weber, Partielle Differentialgleichungen. \{) 



146 Siebenter Abschnitt. §. 62. 

befriedigt, wenn die Functionen u^ aus den Gleichungen (5*») be- 
stimmt werden. Diese sind aber für die Unbekannten dujc/dx 
linear, und ihre Determinante ist von Null verschieden i). Sind 
dann die Diflferentialquotienten duu/dx gefunden, so erhält man 
die Functionen Uu selbst durch je eine Quadratur, die noch eine 
additive Constante mit sich bringt, und der allgemeine Aus- 
druck für y erhält die Form 

(6) y = ^ Wfc Vk + Ci t;i + Ca t?a 4 [- Cn v«. 

Nehmen wir z. B. n = 2 und die vorgelegte DiflFerential- 
gleichung in der Form 

so ergeben sich zwei Gleichungen (5^): 

Vxu\ + vawi = 0, 

^ ^ ViUx -Y V2th = ^1 

und daraus durch Auflösung, wenn wir 

(9) Vi V2 — t'2 Vi = ^ 

setzen : 

(10) z/wi = — Va X, ^U2 = Vi X. 

jd ist jedenfalls von Null verschieden, denn sonst würde sich 
gegen unsere Annahme aus (9) ein constantes Verhältniss Vi : i-j 
ergeben, und man erhält also aus (10) 

(11) M, = J '-J , «i = J^ 

Danach lässt sich die Endformel in folgender Gestalt dar- 
stellen : 

Wir bezeichnen die Integrationsvariable in (11) durch den 
Buchstaben |, müssen dann aber bei jeder Function in der Be- 
zeichnung ausdrücken, ob das Argument x oder | zu nehmen ist. 

Wenn wir dann unter c, Ci, Cj willkürliche Constanten ver- 
stehen, so ergiebt sich aus (1 1) und (6) für das allgemeine Inte- 
gral der Differentialgleichung (7) 

X 

(12) y = j X(S) [», (I) V, (x) - V, (I) V, (x)] ^^ + c, y, (x) + c, f, {x) ; 

C 

es kommen hier nur scheinbar drei willkürliche Constanten vor, 
*) Vergl. §. 55, Anmerkung. 



f. es. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. 147 

denn eine Aenderung von c bedingt nur eine Aenderung von 
€i und c,, und wir verlieren also nichts an Allgemeinheit, wenn 
wir für c irgend einen speciellen Werth setzen. 

Die Function ^ lässt sich aus den Coefüicienten der Diffe- 
rentialgleichung durch eine Quadratur finden. Es ist nämlich 
Qach der Definition von Vi^ v^ 

Vi -(- av\ -|- ^^1 = ö, 

Vi + ötvi -j- bv^ = 0, 
md daraus: 

t?i vi' — Vi v'i -j- a {vi Vi — Vi Vi) = 0, 
)der, was dasselbe ist 



dx 



= — az/. 



Hieraus ergiebt sich durch Integration, da a eine gegebene 
unetion von x ist, 

— fadx 

13) ^ = 06-^ , 

orin die Gonstante C (oder die untere Grenze in dem Inte- 
''^le) von der Wahl der particularen Integrale Vj, Vj abhängt. 



§. 63. 
Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. 

Bei der Integration der partiellen Differentialgleichungen 
Nudelt es sich um die Bestimmung einer Function von mehreren 
■^Abhängigen Variablen aus einer Gleichung, die die partiellen 
^leitungen dieser Function nach den Variablen enthält 

Pf äff und Jacobi haben die Integration partieller DiflFe- 
•'itialgleichungen erster Ordnung mit einer unbekannten Func- 
^^i allgemein auf die Integration eines Systems von gewöhn- 
^hen Differentialgleichungen zurückgeführt 

Wir wollen hier nur eine specielle Art dieser Gleichungen 
•^as näher betrachten, die man, wenn auch in einem etwas 
*<ieren Sinne wie bisher, als linear bezeichnet 

Es seien x^ Xi^ ajj, ... Xn ein System von n -j- 1 Variableu 
^d. X, Xi, Xa, . . . X„ gegebene Functionen dieser Variablen. 

Es soll eine der Variablen, etwa x, als Function der übrigen 
i) ^s, . . • Xn so bestimmt werden, dass die Gleichung 

10* 



148 Siebenter Abschnitt. §. 63. 

(,) x=x.^+x.g + ... + x.^_ 

befriedigt ist. Diese Gleichung ist zwar in Bezug auf die Diffe- 
rentialquotienten von X linear, nicht aber in Bezug auf die 
Function x selbst, die in beliebiger Weise in den X vorkommen 
kann. Wir haben hier also nicht mehr die Sätze, die bei den 
homogenen linearen Differentialgleichungen so nützlich sind, dass 
man eine Lösung mit einem willkürlichen constanten Factor 
multipliciren kann, ohne dass sie aufhört, eine Lösung zu sein, 
und dass die Summe zweier particularer Lösungen wieder eine 
Lösung ist. 

Wir nehmen eine Integralgleichung von (1) an, die eine 
willkürliche Constante c enthält, und denken uns diese Litegral- 
gleichung in die Form gesetzt 

(2) a>(a;, Xi, a^ai ••• ^n) = c, 

so dass die Constante c in cl> nicht mehr vorkommt. 

Durch Auflösung der Gleichung (2) nach x würde sich x 
als Function der Variablen arj, iCj, ... rc„ und der Constanten c 
ergeben. Wenn wir nun (2) in Bezug auf eine der Variablen 
a?i, ... Xn differentiiren, so folgt 

(3) 8^ 8^ + 8f - 

^^ 'dX dXy,^ dXy, 

und danach geht die Gleichung (1) über in folgende: 

(4) X^* + Xi^*+... + X„Jf = 0. 

^ OX ÖXi ' ' OXn 

Diese Gleichung muss erfüllt sein, wenn (2) eine Integral- 
gleichung von (1) ist; sie muss zunächst nur unter Zuziehung 
von (2) identisch in Bezug auf c, arj, iCg, ... iCn befriedigt sein. 
Da aber c eine willkürliche Constante ist, die in (4) nicht vor- 
kommt, so muss die Function O der Gleichung (4) identisch 
in Bezug auf x, Xi^ x^^ ... Xn genügen, und es ist also O eine 
Lösung der partiellen Differentialgleichung (4), die nun in Bezug 
auf O wirklich linear ist, dafür aber eine unabhängige Variable 
mehr enthält als die Gleichung (1). 

Hat man irgend eine Lösung O der Gleichung (4), in der 
die Variable x vorkommt, so giebt uns auch umgekehrt die 
Gleichung (2) eine Lösung von (1). 



Partielle und gewöhnliche Differentialgleichungen. 149 



§. 64. 

Zurückfübrung auf gewöhnliche Differential- 
gleichungen. 

Wir betrachten nun mit Jacobi das System gewöhnlicher 
fferentialgleichungen: 

V dx\ Xj dx^ Xa dXn Xn 

^ 'dx~'X' Tx ~1C' '" dx~'X' 

&8 sich auch symmetrischer so darstellen lässt: 

2) dx : dxt : ••• : dXn = X : Xj : ••• : X«. 

Wir wollen annehmen, dass wir dieses System vollständig 
itegrirt haben, d. h., dass wir daraus Xi^ x^^ •,• x„ als Func- 
ionen der unabhängigen Variablen x und von n willkürlichen 
instanten C|, c^, ... Cn bestimmt haben. 

Wir nehmen femer an, dass die Lösung in der Form dar- 
stellt sei: 

/l (^? ^l> ^1^ • • • *^n) ^ ^1» 
I /s (•*'> ^li •*'Ji ••• »^n) = ^ai 



rin/i,/j, .../n bekannte Functionen der Variablen sind, und 

Cj, . . . Cn die willkürlichen Constanten, die in den Functionen / 

'bt vorkommen sollen. Durch Auflösung der Gleichungen (3) 

^It man dann a?i, rr,, . . . Xn als Functionen von x, c^, Cq, ... d«. 

Solche Gleichungen, die wie (3) eine Constante auf der 
^en Seite abgesondert enthalten, die auf der anderen Seite 
cbt vorkommt, nennt Jacobi speciell Integrale, zum Unter- 
biede von Integralgleichungen, worunter er irgend eine 
l^chung zwischen den Variablen und Constanten versteht, die 
^ch die Lösungen der Differentialgleichungen befriedigt ist. 

Wenn wir nun eine der Gleichungen (3) differentiiren, so 
fgiebt sieb 

|$d. + |/;d., + . ..+ »/;... = «, 

Wid folglich nach (1) oder (2) 



150 Siebenter Absebnitt. §.64. 

(4) xU^^ X,t^-^ ^ i,|A = o. 

^ cx * rxj ex. 

Diese Gleichung mässte zunächst wiederum mit Hülfe der 
Gleichungen (3i befriedigt sein. Da aber die Gonstanten 
r^. €^ ... r« in f4i nicht Torkommen, so muss <4) identisch be- 
friedigt sein, und man schliesst also, dass die Functionen 
/i-/s« ..-/• Lösungen der partiellen Differentialgleichung 
§. 63, i4t sind. 

Ist aber andererseits 0(x, X|. x,. ... x^) eine Function der 
Variablen x. x,, . . . x.. so denken wir uns mit Hülfe der Glei- 
chungen (3) die Xj. x^ ... X. eliminirt wodurch sich ergeben mag. 

0(x. Xj, x^ ... X.) = /7(x, Ci, r^ ... Cl, 

wenn /7 ein Functionszeichen bedeutet Setzen wir hierin für 

Cj, c^. . . . c, wieder die Functionen /;- /j. /» ein, so ergiebt 

sich die Identität: 

und hieraus durch Differentiation 

r0 cn ^r/Ic/k 



C0 


ex 


c/i ex 

^ r/7 ef\ 
ett cxi 


r0 




^en e/t 



e X, r/k r x, 

Multipliciren wir diese Gleichungen der R^e nach ^^ 
X. X,, ... X« und addiren, so ergiebt sich mit Rücksicht auf (^' 

ib' A Aj t --• — A^ T — = X -: 

rx cxi rx« r x 

Xehmen wir X xon XuU Terschieden an. so ergiebt sich, 3^ 
die Differentiälgleichnnsr §. 63, «4^ nur dann befriedigt ist w^^ 

r/7 

= 0. 

ex 

also n Ton X unabhängig ist Damit sind wir dann zu folg^^ 
dem Satze eelanst: 

Die allgemeinste Lösung der partiellen Dif f^ 
rentialcleichune 



$.66. Differentialgleichuugen zweiter Ordnung. 151 

(7) . X II + Xi ^ H h x„ J^ = 

OX CXi CXn 

ist 

(8) o = n (f ,,/,,... fn), 

wenn IT eine willkürliche Function von /i,/j, 

• • • Jn 18 t. 

Die Annahme, die wir hier gemacht haben, dass X von 
Null verschieden sei, ist aber unwesentlich, da es keinen Sinn 
haben würde, alle X, A\, ... X„ gleich Null anzunehmen, und 
da weder in der DiflFerentialgleichung (7) noch in dem Sy- 
steme (2) die Variable x irgendwie vor den anderen :r,, a:,, ... x» 
ausgezeichnet ist. 

Hiernach sind die Aufgaben, die allgemeine Lösung der 
partiellen Diflferentialgleichung §. 63, (l) zu tinden, und das 
System gewöhnlicher DiflFerentialgleichungen (2) zu integriren, 
wesentlich dieselben. Freilich aber ist auch hier hervorzu- 
heben, dass, wenn auch diese allgemeine Integration gelungen 
ist, in physikalischen Anwendungen die Hauptschwierigkeit, 
nämlich die Bestimmung der willkürlichen Function, 
liäufig erst beginnt Darüber lässt sich nichts Allgemeines 
^Ägen. Wir werden später bei Beispielen genaueren Einblick 

• 

>^ den Sachverhalt gewinnen. 



§. 65. 

Lineare partielle Differentialgleichungen 

zweiter Ordnung. 

Die nächst einfache Art von linearen partiellen Differential- 
(jleichungen sind die von der zweiten Ordnung, auf die viele 
Physikalische Fragen führen, in denen die Zeit und die räum- 
lichen Coordinaten die unabhängigen Variablen sind. Die all- 
Remeine Form einer solchen Gleichung ist bei zwei unabhängigen 
Variablen x und t 

ex« ' dxdt ' dp ^ ^ ex ^ ^ et ^ 

'^nd besonders wichtig ist der Fall, dass sie homogen sind, dass 
«l80 s = ist. 



152 Siebenter Abschnitt. §. 6! 

Sind die Coefficienten 7, m, ti, j), q^ r constante Grössei 
80 ist es leicht, particalare Lösangen der homogenen GleichuD 

ex» corr^* et- ex ^ et 

zu finden. Wir setzen, analog dem Verfahren in §.56, i 
diesem Falle 

wo a, /) Constanten sind. Dann ist 

eu e H , 

_ = ««, ^ = /j«, 

cjr* exet et* '^ 

Folglich geht die partielle Differentialgleichung über in 

u {Za> + maß -f nß* +i>a + 5/* + r} = 0. 

Hier haben wir die Klammergrösse = zu setzen. Dadurch e 
giebt sich eine quadratische Gleichung in a und ß. Wir könni 
also die eine der beiden Grössen, etwa /), beliebig wählen, ur 
erhalten zu jedem Werthe Ton ß aus der Gleichung zwei b 
stimmte zugehörige Werthe Ton a. Es giebt also eine unendlicl 
Menge zusammengehöriger Werthe von a und /), welche der ß 
dingungsgleichung 

/a> 4" ^^ß + w/J* -L- j>a -f- 5/5 + r = 

genügen, und folglich haben wir auch unendlich yiele particuli 
Lösungen der partiellen Differentialgleichung. 

Hierin liegt ein wesentlicher Unterschied der partiellen u 
der gewöhnlichen Differentialgleichungen, da die letzteren i 
eine endliche Anzahl unabhängiger particularer Integrale 
sitzen. 

Sind t'i, ('1, l\, . . . particulare Lösungen der homogei 
linearen partiellen Differentialgleichung, so kann man jede 1 
einer willkürlichen Constanten multipliciren und erhält dai 
Addition der Producte wieder eine Lösung der homogenen Gl 
chung, auch in dem Falle, wo /, m, n, j), g, r nicht constant, s< 
dem Functionen der unabhängigen Variablen jr, t sind. Auf di< 
Weise setzt sich aus den unendlich vielen parÜcularen Lösung 
eine allgemeinere Lösung zusammen, die demnach unendlich vic 
willkürliche constante Grössen enthält. 



.65. Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 153 

Die AufBnduDg der particularen Lösungen dieser Glei- 
hongen ist hiernach, wenigstens bei constanten Goefficienten 
m, . . ., mit gar keiner Schwierigkeit verknüpft. Man kann 
[so auch allgemeine Lösungen leicht herstellen. Mit solchen 
[Igemeinen Lösungen, in denen die Constanten willkürliche 
Berthe haben, ist aber so gut wie nichts gewonnen. Vielmehr 
egt bei den Aufgaben , die auf partielle Differentialgleichungen 
.bren, der wichtigste Punkt der Frage darin, die Constanten so 
i bestimmen, dass gewisse Nebenbedingungen erfüllt werden, die 
arcb die physikalischen Voraussetzungen des gerade vorliegen- 
en Problems gegeben sind, und für die man fast in jedem ein- 
)lnen Falle besondere Wege einzuschlagen hat. 



I 



■it. 



Achter Abschniti. 



BesseFsche FunctioneiL 



> 66. 



>• 



Entwickelung tod cos*« in eine F<*urier"sche Reih^- 

Wir hibea im Tierten Abscfanin gesehen, dass sich ei^® 
periosüsohr Function ei^srr Variable;: nach sinos und cosinns ^^ 
Vielticbrü eines Winkels ^itvickeln lassl. Insbesondere S^ 
hören hierher die rationalrn Fanct>>ne:: Ton sinos und cosi^^^ 
selbst« und besondrrs also die Poteiize:: dieser Functionen. 

Eine hierher get'-ri« Anf«be, die zahlreiche AnwenduB^^^ 
fest^ttri. uni die wir daher hier eiü^rehender betraditen. ist d%^ 
die Functio:: o>:«s*o f^r irzreni eir*n pcüsitiTen gannaihligen Cl^* 
j^Mjen:en m iiL ei::e r.aob. o>sai::is der VieUichen Ton m ft>^^ 
sohreitende Reibe n er.r«ickrir. Wir ert.ahen in diesem F^U* 
eine endliche Reibe. Am einfachstes: planet nuui za dies^^ 
Aasdracke durch BecaUTUf des Vizv^xischen Lehrsatzes, t "^ 
üe Forsirl:: vbfrschtlich darrastel-rr. seixen wir lur A*^' 
tuTTi::*: 

:isi wr'iri: is::- der. bir..ML:sch*i: Lehrs&iz in der bekannter* 
F:r=: jlt. 

n « 






Entwickelung von oos^ta in eine Foarier'sche Reihe. 155 



'enn wir daher in (2) a = c*% b = er-*" setzen, so er- 
ich 

^JUv) n{n — v) 

enn wir in dieser Reibe je zwei Glieder zusammenfassen, 
ich weit vom Anfang und vom Ende abstehen, so erhält 






^^' _ /gca»— fi)«« I g— (2*— n)<«\ 



n(y) n(n — V) 

= ry/ \ rr/ 7 008(2 V — n) ß}, 

i7(r) 77 (n — v) ^ ^ 

1 Falle eines geraden n bleibt dann noch ein einzelnes 
Terth V = i n entsprechendes Glied übrig. 
enn wir also 

••""* cos** (ö = - to + ^1 cos (ö + 62 cos 2 (ö -}"••• H" ^n COS n» 

80 ist nach §. 33, III. 

7t 

2** f 
bfn = — I cos^cocoswcöda), 



e Vergleichung mit (5) ergiebt, dass bei geradem n nur 
raden, bei ungeradem n nur die ungeraden Glieder in (6) 
all verschieden sind, und dass, wenn n — m gerade ist, 

n(n) 



bm = 



ir können also den Satz aussprechen: Es ist 



ft 
f cos*» 



Co cos mcjdcj = 0, 




i — m ungerade oder negativ ist und 

7t n(n) 



"" " (-i "•) " (-1 "') ' 



n — m gerade und positiv oder Null ist. 



156 Achter Abschnitt. §. 67. 



§. 67. 

Die Entwickelung von e«*co»" in eine trigonometrische 

Reihe. 

Das zuletzt gefundene Resultat kann dazu verwendet werden, 
eine Function, die durch eine nach Potenzen von cosco fort- 
schreitende Reihe dargestellt ist, in eine trigonometrische Reihe 
zu verwandeln. Es sei 

OB 

(1) /(cos o) = ^ an cos" (ö 

n = 

eine convergente Potenzreihe, und es sollen in 

(2) /(cos oj) = — Co + Cj cos cö -|- Cj cos 2 ß} -|- Cs cos 3 ß} -|- • • • 



die Coefficienten 



n 



(3) Cm = - /(cosoj) cosmcjdci) 



bestimmt werden. Setzen wir die Reihe (1) ein, so ergiebt sich 

rr 
2 f ^ 

c« == — I >. aHCosmcocos"(oe{c} 



5 n = 



cos m ß} cos** ß) ä CO. 

n=0 



Durch die zweite von diesen Formeln ist Cm durch eine un- 
endliche Reihe ausgedrückt, in der nach §. 66 (9) alle Glieder 
verschwinden, in denen n < m oder n — m ungerade ist. Setzen 
wir also n = w + 2v, so durchläuft v alle Werthe 0, 1, 2, ... 
und wir erhalten, wenn wir aus §. 66 (9) den Werth 



7t 

I 





einsetzen: 

am + 2v il(w + 2v) 




(4) c«. = 2 , 



§. 68. Die BeBsel'Bchen Functionen. 157 

Wir wollen dies auf den Fall 

/(cosoj) = e>**<^*" 

anwenden, worin x eine Variable sein soll. In diesem Falle ist 
nach der bekannten Reihenentwickelung für die Exponentialreihe 

i"a:" 

und es ergiebt sich aus (4) 

(5) c^ = 2i~ ^^ ^ ^ 




^^ 77(1;) 77 (m + v) 



§. 68. 
Die BesseTschen Functionen. 

Unter dem Namen BesseTsche Functionen führen wir 
eine unbegrenzte Reihe von Functionen ein, die wir durch die 
unendlichen Reihen 

- (-1)'© 



(1) J„(^^) = ^^^^^^^-^^-^-.^y „ = 0,1,2,... 

definiren, so dass also in der Formel (5) des vorigen Paragraphen 

(2) Cn, = 2i^Jn,(x) 

wird. Die Reihen für J„(a:) lassen sich in ausführlicher Form 
auch so darstellen: 

(3) Jn{x) = 



2.4...2nl 2.2n + 2 ' 2.4.2n + 2 .2n + 4 
und beispielsweise 
(4) J^(x)=l-^+ "^^ 



2.2 ' 2.4.2.4 

wofür wir auch J{x) setzen, und 

X x^ x*^ 

(5) J,ix) = ^ - 2-2^ + 2.2.4.4.6 " - 

Diese Reihen sind, wie der Vergleich mit den bekannten 
Potenzreihen fiir e*, sina:, cosa: ... lehrt, für alle reellen und 
complexen Werthe von x convergent, und zwar um so besser, 



158 Achter Abschnitt. §. 6a 

je grösser der Index n ist Sie definiren also analytische Func- 
tionen der complexen Variablen x. 

Aus (2) erhält man einen Ausdruck für die Bessel'schen 
Functionen durch bestimmte Integrale, den wir jetzt noch ab- 
leiten wollen. Es ist nämlich mit Rücksicht auf (2) und §. 67 (3) 



7t 



H 



e*'*«°"*"cosna)da) = i^Jn(x), 





Wenn man hierin 



2 cos n CD = e«~" + c-»»»*" 
setzt, so folgt 



rt 





wofür man auch, wenn man im zweiten der beiden Integrale — a> 
für cj substituirt, setzen kann 

(6) i^J^{x) = Y" U»<'««»*«+"">dc}. 



— 7t 



Da hier unter dem Integralzeichen eine Function mit der 
Periode 2 sr steht, so kann das Integrationsintervall ( — ;r, -|- n} 
durch irgend ein anderes Intervall von der Grösse 2« ersetzt 
werden. Substituirt man dann noch ä/2 — cd für o und be- 
achtet, dass 



Jti 



ist, so ergiebt sich 

(7) Jn(x) = 2~ I e»^*'^*"-**"^dc}. 



— rt 



Setzt man darin 
g«(xBinw-n«) — - cos(a;sinc} — noj) 4" tsin(a;sina) — ncö), 

so verschwindet auf der rechten Seite der imaginäre Theil, und 
es bleibt 



+ ^ 



Jn(x) = -^ I cos(a:sincö — noj) dc} 

(8) 

= — I cos (a;sin w — ncö) rfco. 



— n 



-I 



-69. Relationen zwischen den BeBsel'schen Functionen. 159 

Dies ist die gesuchte Darstellung von Jn{x) durch ein be- 
mmtes Integral. 
Daraus speciell für n = 



J{x) = — cos (x sin o) d g), 





riir man auch setzen kann 



2 

J (x) = — cos (x sin (o)d(o. 



§. 69. 

Stationen zwischen den BesseVschen Functionen ver- 
l^i edener Ordnung und die Differentialgleichung für 

die Bessel'schen Functionen. 

Die BesseTschen Functionen, wie sie im vorigen Para- 
^phen definirt sind, haben, wie schon die Reihenentwickelungen 
'gen, mannigfache Analogien mit den trigonometrischen Func- 
nen, und in physikalischen Anwendungen spielen sie vielfach 
^e ähnliche Rolle. Aehnlich wie die trigonometrischen Func- 
nen bei der Integration von linearen Differentialgleichungen 
t Constanten Coefficienten auftreten, so sind die Bessel'schen 
nctionen Integrale von gewissen einfachen linearen Differential- 
Eichungen mit veränderlichen Coefficienten, die in vielen physi- 
lischen Problemen vorkommen. Indem wir diese Differential- 
Eichung ableiten, erhalten wir zugleich einige wichtige Re- 
rsionsformeln für die BesseT sehen Functionen. 

Es ist nach der Definition §. 68 (1) 

_ - (- ^>' (I) 

. (- 1)' (I) 
2) Jn^^(^)-^^nrvrn{n+v+ry 



160 Achter Abschnitt §.69. 

oder, wenn wir in den letzten Formeln v — 1 an Stelle von v 
setzen , so dass die Summation von v = l bis f = oo zu er- 
strecken ist: 

(3) Jn + ^{x) = -^' ^^^ 




^^JI(v-l)77(n + v) 

Hiemach bilden wir durch Addition von (1) und (3) und 
Benutzung der Formel 

ni7(n — 1) = /7(«) 

2/ 

""-' -f- "•+> = V2; Tlfn -1) "^ " ,^ ~ff(v)i7(«+v)~ 

und folglich nach der Definition von Jn die erste Recursions- 
formel 

eine Formel, die für jedes positive n gilt, aber für n = nach 
unseren bisherigen Definitionen nicht mehr anwendbar ist, es sei 
denn, dass man JLi = — Ji setzen wollte. 

Wenn wir ferner (3) von (1) subtrahiren, so findet man 
ebenso : 

, , _,., ^) '■+ ^" 

Andererseits ist aber nach §. 68 (1) 

(t\ii + »»— 1 
_ _ i_ ^»+^*-) 

<^^ ~ 2 ^, /7(v) 77(« + V) 

und es ergiebt sich 



68. Relationen zwischen den Besserschen Functionen. 161 

B die zweite RecursioDsformel ist. 

Auch diese Formel ist für n = nicht mehr ohne weiteres 
irendbar. Man findet aber durch Differentiation der Reihe 
68 (4) unmittelbar 

d auch diese Formel ist in (5) enthalten, wenn man J_i ^z-^J^ 
zt 

Nun können wir durch einfache Elimination eine lineare 
Bferentialgleichung zweiter Ordnung ableiten, der die Function 
genügt. 

Wenn wir in (4) und (5) n in n — 1 verwandeln, so folgt 

f «/n — 1 — e/n — 2 -t" ''m 

^ 2 — , = c/n—a — Vw 

d wir haben so vier Gleichungen, aus denen Jn-t, Jn—\i c7n+i 
eliminiren sind. Wenn wir (4) und (5) addiren, dagegen (7) 
d (8) subtrahiren, so sind bereits Jn^i und Jn-a eliminirt, 
i es ergeben sich die beiden Gleichungen 

1 

dJn-i n — 1 

dx X 



^ — jZ — — — \7 — «Ai-l — Jni 



iir man mit Benutzung von (9) auch setzen kann 

dc7,-i _ n — 1 dJn / n{n — l) \ 

' dx ~ X dx ^\ X' V ' 

ler durch Differentiation von (9) 

dx dx^ ~^ X äx x^ "' 

L wenn man dies in (11) einsetzt, so folgt die gesuchte 
Terentialgleichung 

AltBann- Weber, Partielle Differentialgleichnngen. n 



162 Achter Abschnitt. §. 

Diese Gleichung gilt aach noch für n = 0, wofür sie 
Form annimmt 

(13) ^+1^^J=0. 

Der Differentialgleichang (12) lässt sich eine für man 
Zwecke geeignetere Form geben, die man leicht durch Diffei 
tiation bestätigt: 

(^*) '-^^^ + - '1^) ^ ' «^-c) = »• 

und für w = 

Aehnlich lässt sich (9) in folgende Form setzen 

(16) ^/;/^> = :r..r._,(x,, 

und wenn man in (10) n durch n -{- 1 ersetzt 
(M\ dx-'J n{x)_ j 

von denen (17) auch noch für n = gilt, (16) aber wieder 
unter der Voraussetzung, dass J^i = — J^ gesetzt wird. 

§. 70. 
Integralformeln für die BesseTschen Functionen. 

fline Reihe wichtiger Theoreme über die BesseTscl 
Functionen ergiebt sich aus der folgenden Betrachtung. W< 
tt und V Lösungen der beiden Differentialgleichungen 

cT?i + *- = ^ 

sind, worin 9 und if irgend welche Functionen Ton x sein köno 
so erhält man, wenn man diese Gleichungen mit v und u mu 
plicirt und subtrahirt: 

d«N d^v 

und wenn man die Identität 



§. 70. Integralformeln für die Besserschen Functionen. 163 

d^u d^v d / du dv 



V 



d^v d / du dv\ 

"" dx^^ dx\ dx dx) 



dx^ 
benutzt, so erhält mau das folgende Theorem: 

Sind XI und v Lösungen der Differential- 
gleichungen (1), so ist 

L V -^ M -7— = I (?(; — w)uvdx A- const. 

dx dx } ^ ^^ 

Setzt man hierin irgend zwei Werthe von x ein und sub- 
trahirt die entstandenen Resultate von einander, so fallt rechts 
die Constante heraus, und es bleibt ein bestimmtes Integral. 

Hiervon machen wir zunächst die folgende Anwendung. 

Wir setzen: 

M = ]-X Jn (ax), V = V*^ Jn (ß X\ 

worin a, ß von x unabhängig, sonst aber beliebige, auch ver- 
änderliche, von Null verschiedene Grössen sind. Dann ergiebt 
sich aus §. 69 (14) 

4 n» — 1 , ^, 4 ns — 1 

9 = «» - -j-^-.-, ^ = ß^- - -^^. 

t — ff = ß^ — a^. 
Die linke Seite der Formel (2) wird jetzt 

(s) .(j.m''t"-''-'-^-if^^- 

und es ist nach §.69 (10) (wenn darin n in w -|- 1 und x in ax 
und ßx verwandelt wird) 

dJn(ax) n ^ j 

' dx X '^'•("^) "" «^~+i(a-^)i 

/^ ' =-Jn{ßj0) — ßJn^lißx), 

woraus sich für (3) der Ausdruck ergiebt 

X [ßJu{ax)Jn^i(ßx) — aJn{ßx)Jn^i(CiX)]. 

Nimmt man daher die Formel (2) zwischen den Grenzen 
und 1, so folgt 

11. ßM^)Jn^l{ß) - CcJn(ß)Ju+r(a) 



1 



= (ß-^ — «2) xJn{cCX)Jn{ßx)dx, 



11* 



164 Achter Abschnitt. §. 71. 

Diese Formel gilt auch noch, wenn eine der beiden Grössen 
a, /J, etwa /J = ist Denn ist n.>> 0, so verschwinden beide 
Seiten von II. und für n = erhält man 

1 a 

III. «J, (a) = «2 xJo(ax)dx = xJo(x)dj\ 



was sich unmittelbar durch Integration von §. 69 (16) für v = 1 
verificiren lässt. 

Wenn ß = a wird, so wird die Relation II. eine Identität. 
Wenn man aber zunächst in Bezug auf ß differentiirt, und dann 
ß = a setzt, 80 ergiebt sich eine weitere Relation : 

IV. e7n(a) J« + i(a) + a[e7n(a)e7n + l(a) — e/nCaj/n + i («)] 

1 

= 2a I xJn((^xy dx. 



Diese Relationen finden mannigfache Anwendungen. Wir 
wollen sie zunächst dazu anwenden, die Wurzeln der trans- 
cendenten Gleichungen 

e7n(Ä;) = 0, 

die wir auch kurz die Wurzeln der Functionen Jn nennen, 
zu discutiren. 

§. 71. 
Die Wurzeln von e/„. 

Ueber die Wurzeln von Jn können wir zunächst Folgendes 
aussagen : 

1. Der Werth x = ist eine Wurzel von jeder der 
Functionen Jn, mit Ausnahme von Jq^ und es ist 
Jo (0) = 1. 

Dies folgt unmittelbar aus den Entwickelungen §. 68 (3), (4). 
Ebenso : 

2. Ist a eine Wurzel von Jni so ist auch — « eine 
Wurzel derselben Function. 

3. Jn(x) hat keine rein imaginären Wurzeln. 
Denn setzen wir x = i6, worin b eine nicht verschwindende 



§.71. Die Wurzeln von Jn. 165 

reelle Grösse ist, so erhält die Reihe §. 68 (3) lauter Glieder 
Ton demselben Vorzeichen, nnd kann also nicht verschwinden. 

4. Jn hftt keine complexen Wurzeln. 

Denn wenn a -\- bi eine complexe Wurzel wäre, also 
/«(a-f bi) = 0, so müsste, da die Coeflicienten in der Ent- 
"Wickelung von J{x) alle reell sind, auch Jn(a — bi) = sein. 
^Venn aber a und b beide von Null verschieden sind, so ist 
a -f biy — (a — bi)^ gleichfalls von Null verschieden. Setzen 
^ir femer 

Jn[{a 4- bi)x] = U+iV, Jn[{a - bi)x] = U -iV, 

orin £/, V für ein reelles x reell sind, so ist 

Jn[(a + bi)x]Jn[(a — bi)x] = U^ + F^ 

so wesentlich positiv. 

Setzen wir daher in der Formel g. 70, IL 

a = a + 6f, ß = a — bi, Jn(n) = 0, Jn(ß) = 0, 

» folgt 

x{U^ + V^)dx = 0, 



id dies ist unmöglich, da ü und V nicht identisch ver- 
bwinden. 

Wir haben uns also in der Folge nur noch mit den reellen 
^sitiven Wurzeln von Ji, zu befassen. 

5. Zwei auf einander folgende «/«, wie e/„ und 
Jn+it haben keine gemeinschaftliche Wurzel 

Denn wäre ß eine solche gemeinschaftliche Wurzel, so 
örde aus §. 70, IL für jedes beliebige a folgen: 

1 

xJn((^x)Jn(ßx)dx = 0. 


Dass dies aber unmöglich ist, erkennt man, wenn man a 
^ ß übergehen lässt. 

Aus den Formeln §. 69 (16) oder (17) ergiebt sich hieraus 
^>ch als CoroUar: 

6. Keine Function Jn hat mit ihrer Derivirten 
eine positive Wurzel gemein (x = ist eine mehr- 
fache Wurzel von J«, sobald n >> 1 ist). 



1 

1 



1 

1 



166 Achter Abechnitt §. T 

Bedeuten a und ß zwei der Grösse nach auf einander fo 
gende positive Wurzeln von e/i,, so können wir uns y=za^J^{p 
als Ordinate einer Gurve darstellen, die in den Punkten a, 
durch die Abscissenaxe geht. Es folgt daraus, dass der Diffc 
rentialquotient t/' zwischen a und ß mindestens einmal Null wir 
oder mit Rücksicht auf §. 69 (16), dass in diesem Intena! 
mindestens eine Wurzel von Jn^\ liegt. Ebenso aber schliesse 

wir aus S. 69 (17), das 
^' in demselben Intervall ein 

Wurzel von Jn^i liegt, un 
aus der Gombination diese 

beiden Ergebnisse ersieb 

man, dass auch nur j 
eine Wurzel von Jn-\ und Jn + i im Intervall liegt. Den 
angenommen, es liegen in dem Intervall zwei Wurzeln vo 
Jn-ii etwa «', /J', so müsste nach dem zweiten Satze in dei 
Intervall («', ß') auch eine Wurzel von Jn liegen, was der A.B 
nähme widerspricht, dass a und ß zwei auf einander folgend 
Wurzeln von Ji, seien. Aehnlich schliesst man für J^ + 1. Alsc 

7. Zwischen zwei auf einander folgenden posi 
tiven Wurzeln von J^ liegt eine und nur eiti 
Wurzel sowohl von Jn-\-\ als von J«_i. 

Auf n = angewandt, ergiebt sich natürlich nur, da 
zwischen zwei auf einander folgenden Wurzeln von J^ eine ui 
nur eine Wurzel von J^ liegt. 

Ist Un die kleinste positive Wurzel von e/i», so kann m* 
wenn w >> ist, aus §. 69 (16) schliessen, dass zwischen u 
On eine Wurzel von Jn-i liegt, und aus 7. folgt, dass es i' 
eine sein kann und also die kleinste positive Wurzel cß^-i ^ 
Jn_i sein muss. Also haben wir noch den Satz: 

8. Die kleinsten positiven Wurzeln a„ von 
wachsen mit n zugleich. Zwischen und 
liegt nur die eine Wurzel «n-i von Jn-i- 

Dass die Wurzeln von Jn mit n ins Unendliche wach^ 
ersieht man aus der Reihe 

ö ci~L i ö "T" 



2.2n + 2 ' 2.4.2w + 2.2n + 4 ' 

die sich für jedes endliche x mit unendlich wachsendem n <^ 
Grenze 1 nähert 



§b 71. Die Wurzeln von Jn- 167 

Hiernach erhalten wir folgendes Bild von der Lage der 
Wurzeln von Jn. Es seien 

C«) 0C, (« ) 06 ... 

die der Grösse nach geordneten Wurzeln von Jqi 

öfi, «i, «1, oci" ... 
die in gleicher Weise geordneten Wurzeln von Ji, dann ist 

a <C «1 <C «' < «i <C a" < a'i <C • • • > 
und Entsprechendes gilt für die Wurzeln von Jj: 

«1 <C «a < «i <C «2 <C «ä <C ^' < • • • 
und ebenso für die höheren Jn. 

Endlich können wir noch über die Wurzeln von Jo (x) einen 
Schloss machen. 

Wir setzen in der Formel §. 70 (1) und (2) 

u = Y^Jq (x\ V = sin(ar — a), 

worin a eine positive oder verschwindende Wurzel von Y^Jo(x) 
ist Dann ergiebt sich 

nnd in §. 70, L ist 



XU setzen. Dann wird diese Formel, wenn wir a als untere 
Grenze nehmen 

ilZmi^r \ dJo(x) , 8in(a: — a) T / ^ </~ / \ t / \ 

**•*' A \ X 

X 

f sin {x — n) ^ . . , 

a 

'^d wenn man a? — a = ;r setzt 

0) >/r+^,7.(« + ^) = - j«i5i? - «_) j,(-,)da;. 

u 

Hieraus folgt, dass Jq {x) nicht in dem ganzen Intervall 

^*» * 4" *)» iii dem^sin(a; — a) positiv ist, einerlei Zeichen haben 

?^^ii, weil Bonst die linke Seite von (1) das entgegengesetzte 

^i^chen hätte wie die rechte, d. b. es muss zwischen a und 



168 Achter Abtehnitt. 

a -{- M eine zweite Wurzel Ton J^ (x) liegen. Damit 
wiesen: 

9. Die FnnctioneTofx) hat unendlich Tiele pc 
Wurzeln. Die kleinste tou ihnen ist k 
als M und der Abstand je zweier auf eis 
folgender ist ebenfalls kleiner als x. 

Nach den Ton Hansen berechneten Tafeln i) ergi( 
für die kleinste positive Wurzel Ton J^{x) der Werth 

a = 2,4048, 

und man erhalt auf zwei Decimalstellen genau: 

Differenz 

!. = Jt^ 3.115 
«■ = 5.520 ' 

«" = »'«^ 3 13? 
«™ = 11,791 ^'^^^ 



ei" = 14,931 
a" = 18,071 



3,140 
3,140 



Man sieht, dass sich die Differenzen wachsend der 
ziemlich schnell annähern. 



§. 72. 
Die Function S(e), 

Der Einfachheit halber betrachten wir jetzt nur n 
in Anwendungen am meisten vorkommende B essel' sehe F 
Jq der Ordnung 0, die wir auch mit J(x) bezeichnen, 
der Differentialgleichung §. 69 (15) 

'» '-^ö + (• + ,^) V-«-« = 

genügt, die wir in den vorangehenden Paragraphen dui 
schiedene Ausdrücke für alle endlichen, reellen sowohl f 
plexen, Werthe von x dargestellt haben. Es drängt sich 2 



') Abgedrackt in der Schrift von Lommel: „Studien 
BestePschenFanctionen^. Leipzig 1868. Zu erwähnen sind nooH: 
mann, Theorie der BeBserschen Functionen. Leipzig 1867. G 
Mathe WS, A treatise on Beseel Functions. London 1895. 



§. 72. Die Function 8(2). 169 

die Frage nach dem zweiten particularen Integral der Differential- 
gleichung (1) auf. Wir gehen dabei aus von dem Ausdrucke 
§. 68 (6): 



J{x) = Y- ^■*^''*'"do, 



wofür auch 



— ;r 



n 



(2) m = \ \ 



g-tXC08W Jß, 





gesetzt werden kann, und wenn wir hierin die Substitution 

cosG) = 1 — 2.S, ao = 



VTa-Ts) 

machen, so ergiebt sich 

1 

(3) J{x) = — . 

^ J ys(l-s) 

Wenn wir nun eine Function 

(4) U "'-■ ""^^ 



-i/z C e" 




einfuhren, so ergiebt sich, wenn 

(5) 2ix = £1 

gesetzt wird: 



s) 



S 
2 



(6) }j2ixnJ(x) = e ' ü, 

und wenn man dies in die Gleichung (1) einführt, und die Diffe- 
rentiation nach X durch die nach z ersetzt, so folgt für C7 die 
Differentialgleichung : 

(7) ^_^>_Lc;=o 
^ ' de^ dz ^ iz^ • 

Es ist aber nach (4) 

„. d2f7 df/, 1 .- 1 j- e"ds r 1, r^ ^^ 



1 

= 7-^\ts [e"\s(l-s)\ ds, 



170 Achter Abschnitt. §. 72. 

wonach also die Differentialgleichung (7) thatsächlich befriedigt 
ist. Man sieht aber hieraus noch weiter, dass, sobald z einen 
positiven reellen Theil hat, die Differentialgleichung (7) auch 
dann noch befriedigt ist, wenn in dem Ausdrucke IJ an Stelle 
der Grenzen und 1 irgend zwei der Grenzen 0, 1, — oo ge- 
nommen werden, dass also z. B. auch die Function 

(9) S(.) = ]/- J JZ.sJl'-s) 



— OD 



der Differentialgleichung (7) genügt, und wenn man dann in (6) 
an Stelle von V die Function S setzt, so erhält man ein zweites 
particulares Integral der Differentialgleichung (1). 

Die Function S {z) betrachten wir also jetzt näher. Wir 
formen sie erst etwas um, indem wir für — zs eine neue In- 
tegrationsvariable, die wir gleichfalls mit s bezeichnen, einführen, 
wodurch sich ergiebt 



00 



(,o) s w = f f -T^^- ■ 

Bei der Integration soll hierin die Variable s alle reellen 
positiven Werthe durchlaufen. Zur Bestimmung des Vorzeichens 

nehmen wir an, dass dabei j/^ positiv sei, dass yi -|- sjz für 
s = den Werth -[- 1 habe und sich mit s nach der Stetig- 
keit ändere, und dass die Quadratwurzel unter dem Integral (10) 
das Product dieser beiden Wurzeln sein soll. Dann hat das 
Integral (10) für jedes z einen völlig bestimmten Werth, aus- 
genommen für ein reelles negatives^, wofür zwei ver- 
schiedene Werthe möglich sind, nämlich 



— r CD 



(11) S(z) = -=\—^ — T ^W= I , ^' 

'^^f'O + f) '^-•l/-'C-+') 

wenn jetzt die Wurzeln alle positiv genommen sind. 

Will man also S{z) zu einer eindeutigen Function von z 
machen, so muss man in der Ebene, in der nach §. 45 die com- 
plexe Variable z dargestellt wird, längs der Axe der negativen 
reellen Zahlen einen Schnitt legen, dessen beide Seiten wir als 
die positive und die negative unterscheiden wollen, an dem 



§. 72. 



Die Function S(z), 



171 



jeder der beiden Werthe (11) stattfinden kann. Ausserhalb dieses 
Schnittes ist dann die Function S(js) überall eindeutig und stetig 



Fig. 84. 




-X 



-a 



S 



i»o 



bestimmt, und je nachdem 

man sich von der positiven 

oder von der negativen 

Seite her dem Schnitte 

nähert, erhält man den 

einen oder den anderen 

der Werthe (11). Wenn 

wir nämlich z = — a-]-bi 

setzen, a reell und positiv 

und b auf der positiven 

Seite des Schnittes positiv, auf der negativen negativ annehmen, 

femer 

a — s = r cos 0, 

setzen (s. Fig. 34), so ist, wenn 

1. s <:a, 6 > : 



6 = r sin 0" 



0<»<2, 



2. s > a, 6 > : 



n 



^<»<n. 



und %• nähert sich, wenn sich b von positiven Werthen her der 
Grenze Null nähert, im Falle 1. dem Werthe 0, im Falle 2. dem 
W^erthe n. Es ist dann weiter 



i 






Va — s — bi 



y r (cos - — isin ^j 



\a — bi 

und hierin muss, da die Quadratwurzel für s = in -j- 1 über- 
gehen soll, die \a — bi so genommen werden, dass sie für 6 = 
in den positiven Werth \^a übergeht, wenn Y^ positiv genommen 
wird. Lassen wir also b von positiven Werthen in Null über- 
gehen, so wird 



1. s < 



2. s > 



- 1 









mit positiven Zeichen der Quadratwurzeln. Ebenso aber kann 
man schliessen, dass, wenn b von negativen Werthen her in Null 
übergeht, im zweiten Falle — i an Stelle von i zu treten hat. 
Daraus ergiebt sich: 



172 Achter Abschnitt. §. 73. 

< 

In der Formel (14) gilt das obere oder das 
untere Zeichen, je nachdem man sich von der 
positiven oder der negativen Seite her dem 
Schnitte nähert 



§. 73. 

Darstellung der BesseTschen Functionen durch die 

Function S(z). 

Mit Hülfe der Function S{js) lässt sich zunächst die Diffe- 
rentialgleichung der Besser sehen Function J vollständig inte- 
griren, d. h. es lässt sich auch das zweite particulare Integral 
finden. Diese Gleichung lautet nach §. 69 (13) 

und hat als erstes particulares Integral die Function «/, die sich 
nach §. 72 (3) in der Form darstellen lässt: 

ein Ausdruck, der für alle complexen Werthe von x gilt. Nach 
dem im vorigen Paragraphen Bewiesenen ist aber ein zweites 
davon verschiedenes Integral von (1) 



(3) O = =^ = -7= S{2ix). 



00 



Diese Function ist aber nicht mehr in der ganzen a;- Ebene 
eindeutig, sondern sie hat da, wo jsz=2ix negativ, also x positiv 
imaginär ist, die oben festgestellten beiden verschiedenen Werthe 
§. 72 (11). Wir geben dieser Formel noch eine etwas andere 
Gestalt. Ist ^sr reell und negativ, so ergiebt sich durch die Sub- 
stitution — sz^ — jsds für s und ds: 



— M 



worin \ — e positiv ist; und durch die Substitution s — js^ für s 



§. 73. Darstellung der Besserschen Functioneu. 173 

und es ergiebt sich aus §. 72 (11) 

(4) S(z) = yZTl^c'* j(^) 4- »'«'SC- s). 

Hierin ist unter S (z) der Werth zu verstehen, den die 
Function S annimmt, wenn man sich von der positiv imagi- 
nären Seite her dem negativen reellen Werthe js annähert. Nach 
§. 49 gilt aber die Formel (4) auch für complexe Werthe ^, so- 
weit die darin vorkommenden Functionen stetig sind. Die Func- 
tion J hat aber überhaupt keine Unstetigkeit, während die Func- 
tionen S {z) und S ( — z) nur beim Ueberschreiten der reellen 
Axe, und zwar die erste auf der negativen, die zweite auf der 
positiven Seite, unstetig werden. Demnach gilt die Formel (4) 
för alle z mit positivem imaginärem Bestandtheile. 

Führt man wieder x durch die Formel z =^ 2ix ein, so gilt 
«Iso die Formel (4) in der Halbebene, in der x einen positiven 
reellen Theil hat 

Um die Quadratwurzel richtig zu bestimmen, setzen wir 

x = Qef9^ (»>0, — |<9<|. 

Dann ist 

^orin yi einen positiven reellen Bestandtheil hat, und es 
orgiebt sich aus (4) 

«uie Formel, die gültig ist, so lange x einen positiven reellen 

^®8tandtheil hat, wenn '^2nx so genommen wird, dass es 
ebenfalls einen positiven reellen Bestandtheil hat. 

Da nun hier jeder der beiden Bestandtheile auf der rechten 

^te der DiiFerentialgleichung §. 72 (1) genügt, so können wir 

*** Bessel'sche Functionen zweiter Art, d. h. als zweites 

Particulares Integral der DiflFerentialgleichung für die Function 

©ine Function K{x) definiren durch 



174 



Achter Abschnitt. 



(6) %)l2^K{x) = e '^' *^ S(2ix) — e^' *^ S (— 

Wenn x reell und positiv ist, kann man diesen Ai 
für die Function J(x) und K{x) eine elegante Gestalt 
Wir gehen aus von der Definition §. 72 (10): 



(7) 



S{2ix) 



und setzen darin 



(8) 






%x 

2 + ^ = S + 1. 
^ tx ' 



Nehmen wir x reell und positiv an, und lassen J 
1 bis 00 gehen, so geht s durch rein imaginäre Werl 
bis ioo. Nun war zwar in (7) s reell genommen; abei 
Wendung der Sätze über die Integration auf complex< 



Fig. 35. 



(§. 47) kann man auch für s 
grationsweg von bis i oo 
Denn in dem Kreisquadrant 
i 00 in der Ebene der c 
Variablen s hat die Functioi 
(7) unter dem Integralzeich 
keinen Unstetigkeitspunkt, 
lieh ist das über die B( 
dieses Quadranten genomm 
gral gleich Null. 
Es verschwindet aber femer das über die Kreii 
nommene Integral, wenn der Radius unendlich wird, un 
können die beiden Integrationswege 0, oo und 0, t oo d 
ander ersetzt werden. Nun ist nach (8) auf der Linie 




ni 



V 



.y 



fi = e* V^ VS— 1, 



itx 



ds = ixd^y 
und es ergiebt sich also aus (7) 



§. 74. Potenzentwickelung für die Function S (z). 175 

f « J VI» - 1 ' 

und wenn man »in — » verwandelt: 

r « J VS* — 1 

1 ' 

Setzt man dies in (5) und (6) ein, so erhält man 

« J VI» - 1 

(9) 



§• 74. 
Potenzentwickelung für die Function S{g). 

Die durch das Integral §. 72 (10) definirte Function S(e): 

V^i l/s(i + -) '^^Jv^^+s) 

nähert sich für ein unendlich wachsendes ^er dem Grenzwerthe 1 
(§. 12), und der erste Difl'erentialquotient von S(e) nach wird 
fiir ein unendlich grosses z unendlich klein. 

Für jp = erhält 8{z) den unbestimmten Ausdruck X 00. 
Eine partielle Integration giebt uns aber Aufschluss über das 
Verhalten der Function für z = 0. 

Man erhält nämlich durch DifiFerentiation noch s: 



d[e-'\og(\s + VT+s)] 
= - e- log (V^^ + i7T's)ds + ---^''^' 



2\s(z + s) 
und daraus durch Integration zwischen den Grenzen und od: 



176 Achter Abschnitt. §. 74. 

(2) logz = 2\ e-'\og Cfs -^ i^l^s) ds -\-ffß' 



.-- + «) 

Ist z reell und positiv, so sind die Logarithmen hier reell 
zu nehmen. Dadurch sind sie durch die Stetigkeit in der ganzen 
jer-Ebene bis an den längs der negativen reellen Axe verlaufenden 
Schnitt eindeutig bestimmt. 

Wenn js in Null übergeht, so wird 

2| e-'log(V"s -[- V^r-f- s) ds = I c-'log4sds = 2log2 — C, 



worin C die Euler'sche Constante 0,577... bedeutet [§.23(13)], 
und wir erhalten also aus (1) und (2) das Theorem 

(3) lim j 1/ ^ S(a) + log^ 1 = 2log2 — a 

Diese Grenzbestimmung bahnt uns den Weg zu einer neuen 
Entwickelung der Function S {x) und damit also auch der 
Besser sehen Functionen J(x) und K{x). Diese sind nämlich 
Lösungen der Differentialgleichung 

(^> d^ + id^+^ = ^' 

die durch die Function 

befriedigt wird. Um die Gleichung (4) allgemein zu integriren, 
machen wir den Ansatz 

(6) O (X) = J(x) log X - ± ti|^ (f )" , 

worin die unbestimmten Coefficienten Cv so zu bestimmen sind, 
dass die Differentialgleichung (4) durch (6) befriedigt wird. Durch 
Differentiation von (6) ergiebt sich 

(^) d^ = di^"g^ + i-^(^>-g 77 W^ (2) ' 

oder, wenn man durch x dividirt, und dann unter dem Summen- 
zeichen V durch v -[- 1 ersetzt: 



Potenzentwiokelung für die Function S(z), 177 

il? — i^l A. L J( ) 

X dx ''^ X dx ^^^ ' x^ ^^^ 



■^2 ^^n{yy{v-\-i)\^) ' 





1 durch nochmalige Differentiation von (7) 

da« d^J . , 2 dJ 1 T, X 

, 1 ^ (- l)V. + i(2v -h 1) /^Y' 
^2;^^ /7(r).'(i' + l) V2; * 



Addirt man (6), (8), (9), so ergiebt sich, da J" der Differential- 
»ichung (4) genügt, für die c» die Bedingung 

n 2 ^ O- X^ (- ir (C r + i - cQ /fV' - ft 

^ a? dx "^;^ n{vy \:i) """• 

Andererseits erhält man aus (5) 

l) 2 dJ ^ _ ^ ( - 1)' /iV' 

a; da; ^^n{v)^(y'\-l)\l) ' 

d die Vergleichung von (10) und (11) ergiebt 



c,+. c, ^^^, 




^aus man allgemein schliesst 




Cr _ Co 4- 1 + 2 + 3 H — 


4.1. 
V 



Die so gebildete Reihe (6) ist für alle Werthe von x con- 
^gent, weil der Coefficient Cy mit unendlich wachsendem v nur 
endlich wird, wie logv [§. 23 (7)]. 

Die Constante Co bleibt der Natur der Sache nach un- 
^timmt, denn ändert man Co in Co, so tritt zu O nur ein Glied 
f Form (Co — ci) J{x) hinzu, was gleichfalls der Differential- 
'ichung (4) genügt. 

Nun ist aber nach §. 72 (6), (9j 



'ti 



S{zl 



inn B =1 2ix gesetzt wird, gleichfalls ein Integral von (4) und 

Hi«BAan-W«b«r, Partiell« Differentialgleichongen. 12 



178 Achter Abschnitt. §. 75. 

muss also in der Form ÄO(x) -|- BJ(x) darstellbar sein. Die 
Constante B können wir = annehmen, wenn wir über Cq 
dementsprechend verfügen. Die Vergleichung des Unendlich von 
Q^{x) und S{z) [Formel (3) und (6)] zeigt dann, dass ^ = — 1 
sein muss und man hat also: 

(») .-|/i.w=|'^^(J)-, 

und aus^der Grenzgleichung (3) folgt 
(15) Co = 2 log 2 — a 



§. 75. 
Obere Grenze für die Function S{z). 

Es ist nun weiter zu untersuchen, wie sich die Function 
S{z) verhält, wenn z ins Unendliche wächst. Diese Betrachtung 
bahnt uns den Weg zur Ableitung gewisser Reihenentwickelungen, 
die nach fallenden Potenzen von e fortschreiten, die sich, ob- 
wohl sie nur halb convergent sind, zur Berechnung von S{z) 
für grosse Werthe von z eignen. 

Wir machen Gebrauch von dem bekannten Satze, dass der 
absolute Werth einer Summe zweier complexer Ausdrücke seiner 
Grösse nach zwischen der Summe und der Differenz der absoluten 
Werthe der Summanden liegt, und dass der absolute Werth einer 
beliebigen Summe, also auch eines Integrals, nicht grösser ist, 
als die Summe der absoluten Werthe der Summanden. 

Ist also r der absolute Werth von ^, so ist der absolute 

Werth von 1 -| für ein positives s grösser als 1 oder 

Z T 

10® nachdem s kleiner oder grösser als r ist), und dem- 
nach ist nach §. 74 (1) 
(1) Absoluter Werth von S{z) ^ 

Macht man die Substitution sr für s, und setzt 



§' 76. Obere Grenze für die Function S(z). 179 

r « J Vs (1 — s) r » J Vs(s — 1) 

so ist also der absolute Werth von 5(;er) nicht grösser als A-\-li. 
Wir betrachten zunächst den Ausdruck B. Da in diesem Inte- 
gral s immer grösser als 1 ist, so folgt 



B< 



I 00 

Y n J ys tri ' 



und mrenn man s durch s -|- 1 ersetzt: 






f ^ 





\ 



also nach §. 12 

(2) B<e--< 1. 

AVeniger einfach ist die Betrachtung von A, 
yiir Terstehen unter c einen beliebigen echten Bruch und 
setzen 

r « J Vs(i — s) r « J v.s(i — s) 

Hier ist nun, da in dem ersten Integral 1 — 5 >■ 1 — c, 

ds 



r « J v« (1 — s) l' Ä (i — c) J yi 





OD 



<i/_ j: <^-"_^«^ _i_ 



r/rf ^"^^ < i/r e-^c [ _.,,^^ 

r « J Vs(i — s) r 5» J ]'s (1 — 



s) 



Y^ JVsri — s) ' 



•r p 



, Vs(l-s) 

yod es «rgiebt sich also, dass der absolute Werth von S (z) kleiner 
Ut ftU 



180 Achter Abschnitt §. 76. 



1 + -7-i= + V^ 
yl — c 



■re 



Nun hat die Function '^rn e-^^ einen Minimalwerth fiir 
r= l/2c, wie man leicht durch Differentiation findet, und es 
ist also der absolute Werth von S(a) kleiner als 



■ + 7T^ + yf»«"'- 



V 

Hierin kann nun c ein beliebiger echter Bruch sein, irxDd 
wenn man c von bis 1 gehen lässt , so erhält dieser Ausdrixck 
einen Minimumwerth. Es kommt aber hier nicht auf die ge- 
naueste Grenzbestimmung an, und es genügt, wenn wir et«^wa 
c = Vj setzen , wodurch der vorstehende Ausdruck kleiner als 
3,5 wird. Wir haben also den Satz: 

Der absolute Werth der Function S (z) li^gt 
für alle reellen und imaginären Werthe von. : 
unter einer endlichen Grenze g^ die kleiner als 
3,5 ist. 



§. 76. 
Halbconvergente Reihe für 8{z). 

Die Differentialgleichung §. 72 (7): 

. dm du 1 

<^) ^^ - rf^ + 47^ ^ - ^ 

wird befriedigt durch 

U = S{z) 



und 



U = e^^J {!-;), 



und folglich sind nach §. 73 (4) zwei particulare Lösungen di^^^' 
Gleichung : 

(2) S, = S(^), S, = e* S(— z). 

Die Function S(z) war in der ganzen xr- Ebene eindeutig ^^' 
stimmt, und hatte an der negativen reellen Axe eine Unstetig' 
keit, während S{ — z) seine Unstetigkeit an der positiven reell^^ 



f 78. Hslbconvergente Reihe für S(z), 181 

ixe hat Für jeden nicht auf der reellen Axe liegenden Punkt 
st aber sowohl Si als S^ eindeutig bestimmt und ändert sich 
tetig, 80 lange die reelle Axe nicht überschritten wird. Wir 
ersacben jetzt die Differentialgleichung (1) durch eine nach 
allenden Potenzen von js fortschreitende Reihe zu inte- 
riren, und setzen, wenn o» die noch zu bestimmenden Goeffi- 
enten sind: 

?.?= 2 (- ^yc^viv + 1);^— «. 

v=zO 

Setzt man dies in die Differentialgleichung ein, so ergiebt sich : 

) = ;;2 (- 1)' [«'+>(" + 1) - a. (v + 0*] ^'-'^ 

Man hat also 

_(2v+l)« a 

"'+'- ~ir+i~ 4 

' setzen, und daraus findet man, wenn man a^ = l annimmt: 

_ (1.3 ... 2v— ly 
^"^ 1.2...V.2«' 

Dafür kann man auch setzen: 

. _ 77(2 v)g 

' *' "" 2*»'77(i/)3' 

Nach einer schon früher angewandten Formel (§. 26) ist 
^t* für grosse n näherungsweise 

) n{n) = V2^^'*n'"*'^ 

^^ei als Correction ein sich der Einheit nähernder Factor hin- 
^tt, dessen Logarithmus kleiner ist als l/12n, und daraus 
*halt man für grosse Werthe von n den genähert richtigen 
'^sdmck 



>) ». = i^r-»-» = 1/ 



2 n(log» — 1) 

— e 
Ttn 



182 Achter AbschDÜt. §. 

ein Ausdruck, der mit unendlich wachsendem n stärker unendl 
wird, als die n** Potenz jeder endlichen Grösse, und folglich 
die Reihe (3), die wir für U angenommen hahen, für jedes e 
liehe z divergent. 

Um aber den Ausdruck £7, der, wie man sagt, der Di 
rentialgleichung formell genügt, wiewohl er an sich keine 
deutung hat, für die Theorie der Differentialgleichung verwert! 
zu können, nehmen wir eine beliebige ganze Zahl n an, i 
setzen 

n 



V— 2 



dz 

v = 

^=i:(-i)'f(f+i)a»^ 



und hieraus ergiebt sich nach (4) für Un die nicht homo^ 
lineare Differentialgleichung 

(»> ^ - ^ + iV= ^- = (- -K- + 0'-'-"- 

Diese Differentialgleichung wollen wir nun nach der Meth 
des §. 62 [Formel (12)] integriren. 

Die beiden particularen Integrale der verkürzten Gleichü 
die wir dort mit Vj, v^ bezeichnet haben , sind hier Sj, Sj, "i 
da hier a = — 1 ist, so haben wir nach §. 62 (13) und nach 



= e» \S{z) 



dz 'dz 

Es ist also 

eine Gonstante, für die man nach §. 74 (1) aus j? = oo d 
Werth 1 erhält, und mithin ist J = e* zu setzen, 
ergiebt sich dann, wenn wir die Integrationsvariable mit % 1 
zeichnen : 



$.78. Halbconvergente Reihe für S(z). 183 

:iO)ü,=(-lY(n-\-iya,jle'-'^S{t)S(-,)-S(e)S(-t)]ß-, 

-\^ AS{z)-\-Be'S{—z). 

Hierin können wir c beliebig wählen; dann aber sind die 
)D8tanten Ä^ B durch Un und S(z) völlig bestimmt. 

Für ;8r = ± i 00 wird nun £/»=!, S(z) = 1 , €'S(— z) 
bestimmt; wenn wir also c so wählen, dass das Integral für 
= + »00 Terschwindet, so ergiebt sich A = ly B = 0. Wir 
2en nun, je nachdem der imaginäre Theil von z positiv oder 
Sativ ist 

bei, wenn reell sein sollte, die Wahl des Zeichens beliebig 
1 und lassen t als Integrationsvariable durch reelle positive 
ärthe von bis 00 gehen, so dass 5 die reelle Axe nicht über- 
^reitet Dann ergiebt sich aus (10) 

L) S(z) = ün + 



d es kommt jetzt noch darauf an, den absoluten Werth dieses 
^grals in Bezug auf seine Grösse zu schätzen. Setzen wir 



t positivem 6, so ist r der absolute Werth von z und es ist 
f absolute Werth von z 4^ it^ da b und t positiv sind: 

Va» + (ft + t)^ = Vr2 + e2 + 2bt > V*M^- 

Femer ist nach dem in §. 75 bewiesenen Theorem, da der 
Bolute Werth von e^«* gleich 1 ist, der absolute Werth von 

i (e=P**)S(z ± it)S(— z) — S(— z if it)8(z) 

-iner als 2^* (jf < 3,5) und mithin ist der absolute Werth des 
'Wers, den man begeht, wenn man S(z) durch Un ersetzt, 
einer als 



^»•("+ö'«-iW>- 



w, wenn man t durch rt ersetzt, kleiner als 



184 Achter Abschnitt. §. 76. 

Das hierin vorkommende Integral geht durch die Substitu- 
tion ^ = tg CD in folgendes über 



— — ==— r^ = COSCö^dcD 



' ' 

und ist also immer kleiner als V« ^- ^^^ finden aber einen 
asymptotischen Ausdruck für unendlich wachsende n, wenn wir 
die Substitution machen 

» V2ns 



00 _ jao 



ds 






VTr«»"^" V2«j .. 2s\^ 



V' (■ + t) 

Nun ist bekanntlich 

n 



tl 



und folglich 

,. 1 ds f e-'ds ,r- 

lim — == — p^ = yjt, 

also ist angenähert 

Wenn wir also endlich in (12) für a« den genäherten Werth 
(7) und für n -{- V2 das genäherte n setzen , so ergiebt sich als 
asymptotischer Werth für die Fehlergrenze 

7) • 

Dieser Ausdruck wird zwar bei festgehaltenem r mit unend- 
lich wachsendem n unendlich gross. Wenn aber n < r ist, so 
kann er doch, wenn r hinlänglich gross ist, unter einen beliebig 



r7. BeBtimmte Integrale mit Bessel'schen Functionen. 185 

^ebenen Werth herunter gebracht werden. Wir haben daher 
\ folgende Theorem: 

1. Die Entwickelung 

ist, wenn n nicht grösser als der absolute Werth 
r von t ist, richtig bis auf einen Fehler von der 
Ordnung 0. 

Dieser Satz ist richtig in der ganzen Ebene e^ und da die 
mme auf der rechten Seite von (14) als rationale gebrochene 
nction von e stetig ist, so folgt, dass die Unstetigkeit, die, wie 
r gesehen haben, der Function S(z) anhaftet, nur in dem Gor- 
stionsgliede enthalten sein kann. Setzt man n = 1 , so folgt, 
88 man S(js) bis auf eine Grösse von der Ordnung 2g^€r-^r^^ 
sich 1 set^n kann. 

Aus den Formeln (5), (6) §. 73 kann man dann entsprechende 
ttwickelungen für die Functionen J(x)^ ^{^) erhalten, und wir 
Iren hier den Satz an: 

2. Für unendlich grosse x ist genähert, d. h. bis 
auf einen Fehler von der Grösse 

2 1/- Q'^e-^x~~^: 



fi^ 



2 cos l- — x\ 

j(^)= — V4___;, 

2 sin {— — x) 

was sowohl für reelle als für complexe x gültig 
bleibt. 

§. 77. 

bestimmte Integrale mit BesseTschen Functionen. 

Erstes Beispiel. 

Die BesseTschen Functionen haben nebst manchen anderen 
^alogien auch noch die Aehnlichkeit mit den trigonometrischen 



186 Achter Abschnitt. §. 77. 

Functionen, dass sich manche bestimmte Integrale, in denen diese 
Functionen vorkommen, einfach auswerthen lassen. Wir geben 
hiervon einige Beispiele. 

Gehen wir aus von der Darstellung der Function J(x), die 
wir in §. 72 (2) gegeben haben: 

n 

(1) J{x) — - I ^-»'«««"'dca, 



80 erhalten wir nach Umkehrung der Integrationsfolge mit Be- 
nutzung von §.14 (4) 

OD i? ® 

(2) [e-^''J{hr)dx = - \d(o j e-(a + t6coEcu)x^>j; 





7t 



=-f- 

7CJ a 



da 1 



-^ bi cos o \[ai _u J2 

Hierin sind a, b Constanten und a war als wesentlich positiv 
vorausgesetzt. Nach dem Satze §. 49 muss aber hier auch noch 
Uebereinstimmung der rechten und linken Seite für complexe 
Werthe von a stattfinden, in soweit auf beiden Seiten stetige 
Functionen der complexen Variablen a stehen. Dies findet aber 
statt, so lange der reelle Thcil von a positiv ist, und der reelle 

Theil von ^a^-\-b^^ der dann nicht verschwinden kann, gleich- 
falls positiv ist. Setzen wir also s -^ ia an Stelle von a, so 
folgt 

CO 

Va' + i^ — a^-f 2 Bai 

Nun bleibt das Integral für £ = convergent, wenn a von 
b verschieden ist, wie sich aus dem asymptotischen Ausdruck 
§. 76 (16) nach §. 7 ergiebt, und wir können also beiderseits s 
in Null übergehen lassen. Um den Grenzwerth der rechten Seite 
zu finden, setzen wir 

s^ -\-b^ — a2 = r cos qp, 

(3) ' . 

2sa = r sin 9 , 

und erhalten: 

(4) -; -— - - - = -7= (cos ^ — i sin ^ ) • 



OQ 

I 



§. 7a 



Zweites Beispiel. 



187 



Nehmen wir s und a positiv an, so liegt (p zwischen Null 

und Ä, und in (4) ist yr positiv zu nehmen. Wenn aber s 
in Null übergeht, so nähert sich 9? der Grenze oder der Grenze 
Ä, je nachdem b^ — a* positiv oder negativ ist; und es ergiebt 
sich folgendes Resultat: 



(5) 



00 

' 



62 < aK 



]^^ — b^ 

Trennen wir hier das Reelle vom Imaginären, so ergeben 
sich folgende vier Formeln: 



00 

(co%axJ{bx)dx = -. - - - 



(6) 





00 



(7) 



l %\naxJ{bx)dx = 


CD 

I co%axJ{bx)dx •= 



00 

f 1 

I smaxJ(bx)dx=^7-^^=^- 

' 



J« > a2; 



«2 > ^2. 



Die Aenderung des Vorzeichens von b hat, da J(x) eine ge- 
rade Function ist, keine Aenderung zur Folge. Aendert man das 
Vorzeichen von a, so muss in der letzten Formel (7) das entgegen- 
gesetzte Zeichen kommfen. Für a = b werden beide Seiten un- 
endlich. 



§. 78. 
Zweites Beispiel. 

Wir betrachten das unbedingt convergente Integral 

dx 



(1) 



00 

I s\r\ axJ{bx) 



X 







und ersetzen J(bx) darin durch den Ausdruck §. 68 (9) 



188 Achter Abschnitt. §. 



n 
8 



J{bx) = — I cos (6 X sin w) d o. 



Wir erhalten durch Umkehrung der Integrationsfolge rÄTür 
(1) den Ausdruck 



n 

äs OD 

dx 



(2) - d(o I sin ao: cos {hx sin o) 



Nun besteht die Relation 
2 sin a a; cos (6 a; sin (o) = sin {a -\- b sin w) x + sin (a — h sin c j ) jt, 
woraus man erhält 

2 l sinao; cos (hx sino) — = I sin(a -[- 6 sin 0)0; — 



00 
-(- I sin a — b sin 0)0; — . 







Nehmen wir die Gonstanten a und b positiv an, so hat 
erste Integral der rechten Seite, da auch sin (b immer positiv ^ *t 

den Constanten Werth ^. Dasselbe gilt von dem zweiten Lc»*^- 
gral, wenn a > 6 ist, weil dann a — & sin co immer positiv ist. 
Ist aber a < 6, so hat das zweite Integral den Werth -| — 2 



n 



c 



oder — — , je nachdem (b kleiner oder grösser als arcsiim "^ 
jd 

ist (§. 13). Demnach haben wir 



[ 



Ax it 

sin ax cos (bx sin o) — = *' * ^ ^» 

0/ Jd 



= 9 5 a <C 6, ßJ <C arc sm ^ , 

= 0; a <C fr, o >• arc sin -r- 

o 

Demnach erhält das Integral (2) den Werth 1, wenn a ::: 

2 a 

ist, und den Werth — aresin ti wenn a < 6 ist, und wir 

it 



§.78. 



Zweites Beispiel. 



189 



halten das Resultat 



(3) 



00 

l smaxJ(bx) -^ = |; a > 6, 



arc sin t > a <C o. 





a 



Die Werthe von arc sin j schliessen sich für a = b stetig 



7t 



an die Werthe ^ an und werden für 6 = oo verschwindend 
klein. Betrachten wir das Integral als Function der positiven 

Fig. 36. 




— b 



Variableu i, so wird diese Function durch die in Fig. 36 dar- 
gestellte Curve anschaulich gemacht 

Wir wollen endlich noch das folgende Beispiel anführen: 

Es ist nach §. 68 (9) 



(4) 



2 ? 
J(x) = - I cos(a:sinco)dG). 







Bedeutet also ß eine beliebige positive Grösse, so ist, wie sich 
durch Umkehrung der Integrationsfolge ergiebt: 

\J{ax)du 2 f . r cos(aa?sinG))da 



Hierin lässt sich das Integral nach a mittelst der Formel §.19(3) 
ausführen, und man erhält 



71 

2 



(5) 










Da man a: in — x verwandeln kann, ohne die linke Seite zu 
ändern, so kann man die rechte Seite auch in die Form setzen: 



190 Achter Abschnitt. §. 79. 



1 f 

-^ I cos(t/3a:8inß})dco 



und erhält dann mit Benutzung von (4): 

,_, [J(ax)da n ^..^ . 



§. 79. 

Darstellung willkürlicher Functionen durch 

Bessel'sche Functionen. 

Wenn wir in der Formel II. (§.70) n = nehmen und n^ «h 
§. 69 (6) Ji(a?) ^=L -- J'{x) setzen, so folgt 



und die Formel §. 70, IV. ergiebt: 
1 

(2) 2a f xJ{axYdx = — J{a)J'{a) — ocJ{a)J"{a) + aJ'(a^y^ 



wofür man mit Benutzung der Differentialgleichung §. 69 (1- «3) 
auch setzen kann: 



1 



(3) j xJ{axydx = i [J(a)2 + e7'(a)«J. 



Besonders einfach und wichtig werden diese Gleichung^ ^*' 
wenn u und ß zwei Wurzeln von einer der beiden Gleichun^^^^ 

(4) J(x) = 
oder 

(5) J'(x) = 

sind. Wenn dann u von ß verschieden ist, so ist 
(6; \xJ{ax)J(ßx)dx= 



und 



^. 79. Darstelluug willkürlicher Functionen. 191 



7) 



1 

{ xJ(axydx = ^J'(u)^ oder ^ J{ay, 



6 nachdem a eine Wurzel von (4) oder von (5) ist. Mittelst dieser 
!{.e8ultate können wir eine willkürliche Function / (z) von rc, die 
n dem Intervall von bis 1 gegeben ist, durch eine Reihe dar- 
stellen, die nach Bessel' sehen Functionen fortschreitet, und die 
len F QU rier 'sehen Reihen analog ist. Es fehlt freilich noch 
1er Beweis, dass diese Entwickelung allgemein möglich ist; aber 
lie Möglichkeit der Entwickelung vorausgesetzt, erhält man die 
Porm der Entwickelung. 

Lassen wir a die der Grösse nach geordneten positiven 
Wurzeln der Gleichung (4) durchlaufen und setzen 

a 

so erhält man, wenn man (8) mit J{ßx)xdx multiplicirt und 
«tegrirt, worin ß irgend eine bestimmte dieser Wurzeln be- 
1 eiltet, nach (6) und (7) 

19) Ä^J'ißy = 2 [f{x)J{ßx)xdx 



r, wenn ß in (8) die ebenso geordneten Wurzeln von (5) 
Bind 

(lO) Ä^J{ß)^ = 2 ^f{x)Ji,ßx)xdx. 



Setzen wir in der Formel (1) /S = 0, so ergiebt sich, wenn 
« eine positive Wurzel der Gleichung (5) ist 

(11) [xJ{ax)dx = 0. 

•' 



Daraus geht hervor, dass die Formel (8) für diesen Fall 
^ur anwendbar ist, wenn 

1 

\j\x)xdx = 



'*t Ist diese Bedingung aber nicht erfüllt, so setze man 



192 Achter Abschnitt. §.7 



(12) fix) = ^0 + 2 ^«^(«^) 

und erhält 

1 

(13) A, = {f{x)xdx, 



während die übrigen Aa nach wie vor duixh die Formel (lO) 
bestimmt sind. 

Durch einen Grenzübergang können wir aus (9) [oder auc^l 
aus (10)] eine Formel ableiten, die dem Fourier'schen Integra 
analog ist. 

Zu diesem Zweck schreiben wir unter der Voraussetzung C^) 
die Formel (8) zunächst so: 



Um nun das Intervall von bis 1 beliebig auszudehn^^^) 
setzen wir xlh und A/Ä an Stelle von x und A und erhalten, 
wenn mr f(x/h) wieder mit/(a;) bezeichnen: 

/ w = ± tJ«. 1 /« -^ (t) -^ (x) "*■ 



Wir nehmen jetzt an, dass/(:r) = ist, wenn x einen ^^^ 
gebenen Werth a überschreitet, und setzen h ^ a voraus. Da- "^^^ 
ist auch 

(u) m = ± -,J^-^, \m J {T} ^ (x) '''■ 

u 

Es seien nun a^, Oj, «g, ... die auf einander folgenden W" 
zeln von J{x\ Wir setzen 

(15) «. = Äf., Ä = I 
und erhalten aus (14) 

a 

(16) f{x) = ^ i^^^. p(A) J-(|,a:) J-(^A) UX. 

Lassen wir nun A unbegrenzt wachsen, so wird ö v 
endlich klein; es hat daher eine beliebige endliche Anzahl V 



§.79. Darstellung willkürlicher Functionen. 193 

Anfiingsgliedern der Reihe (16) auf das Ergebniss keinen Ein- 
lluss, und wir begehen keinen merklichen Fehler, wenn wir 
Hf rr a, unendlich gross werden lassen. Es ist aber näherungs- 
»eise für grosse x [§. 76 (16)] 

'7)^W = j/1 cos {x - f), J'i.) = - |/A sin(. - f). 

nd es ist also für unendlich grosse v 

IC mi 



4 2 ' 

»rin n eine unendlich grosse ungerade Zahl ist, die um 2 
chst, wenn v um 1 wächst, hiernach ist fv — |,_i = ä für 
\ unendlich grosses v, und folglich nach (17; 

jth.r(h^,y = I sin (a, - ly = |, 

o 



a 





i der Grenzwerth dieser Summe ist das bestimmte Integral 
O /(^) = \j(^x)^d^ \f{k)J{^k)kdL 



Jnn die Function / es gestattet, können wir a hier ins Unend- 
tie wachsen lassen und erhalten die dem Fourier' sehen 
hrsatz ganz analoge Formel 



CO 



f(x) = I J{^x)^d^ |/(A)J(|A)ArfA. 



Die Begründung dieser Formel, wie wir sie hier gegeben 
ben, ist nicht streng. Ein strenger Beweis ist von P. du Bois- 
iymond gegeben '). 



') Mathematische Annalen, Bd. IV. 



Blemann- Weber, Partielle I)ifri>renti:ilKU'ic}iui)(ireii. |3 



ZWEITES BUCH. 



GEOMETRISCHE 

UND 

MECHANISCHE GRÜNDSÄTZE. 






I 



Neunter Abschnitt. 



Lineare infinitesimale Deformation. 



§. 80. 
Drehungen, Schraubungen und Richtungssysteme. 

Um die Anwendungen von partiellen Differentialgleichungen 
auf die Physik richtig verstehen zu können, sind einige Betrach- 
tungen geometrischer Natur über die Bewegung der den Raum 
stetig erfüllenden Materie vorauszuschicken. 

Um eine Drehung eines Körpers um eine Axe genau zu be- 
schreiben, denke man sich selbst in die Axe gestellt und bezeichne 
die nach dem Zenith weisende Richtung der Axe als die positive. 
Die Drehung heisst eine Rechtsdrehung oder eine positive 
Drehung, wenn sie dann vor den Augen her von rechts nach 
links erfolgt, im entgegengesetzten Falle eine Linksdrehujig 
oder negative Drehung. Dieser Unterschied lässt sich in 
keiner Weise begrifflich definiren, sondern nur an Objecten der 
Aussenwelt, zunächst am menschlichen Körper, demonstriren. Die 
Drehung des Uhrzeigers ist für den auf dem Zifferblatte Stehen- 
den eine Linksdrehung. Vertauscht man die positive Axen- 
richtung mit der negativen, so ändert sich auch der Sinn der 
Drehung. 

Wenn sich ein Körper längs einer Axe verschiebt und gleich- 
zeitig dreht, so vollführt er eine Schraubenbewegung oder 
Schraubung. Unter den Schraub ungen giebt es gleichfalls 
zwei wesentlich verschiedene Arten, die als Rechtsschraubung 
und Linksschraubung unterschieden werden. Eine Rechts- 
schraubung ist die, deren Drehung eine positive ist, wenn die 



198 Neunter Abschnitt. §. 81. 

positive Axenrichtung in der Richtung des Fortschrittes ge- 
nommen ist Man kann diese Regel der Anschauung und dem 
Gedächtnisse so einprägen: 

Eine Rechtsschraubung vollführt der rechte Arm, 
wenn er sich ohne Zwang bewegt, also z. B. so, dass der 
rechte Arm vorgestossen wird, und gleichzeitig der Rücken der 
Hand von oben nach aussen gedreht wird. 

Rechtsgewunden sind die meisten im täglichen Leben be- 
nutzten Schrauben, die Korkzieher, die meisten Schneckenhäuser 
(doch giebt es auch links gewundene). 

Wie wir schon früher (§. 37) festgesetzt haben, bilden drei 
von einem Punkte auslaufende, nicht in einer Ebene gelegene 
Richtungen, in einer bestimmten Reihenfolge 1, 2, 3 genommen, 
ein Rechtssystem (directes oder positives System), wenn jede 
von ihnen in die folgende übergeht durch eine positive Drehung 
von weniger als 180^ um die dritte. Hierbei ist 1 wieder auf 3 
folgend anzunehmen. Es giebt nur noch einen zweiten Fall, 
nämlich den, dass jede in die folgende durch eine negative 
Drehung übergeht Ein solches System heisst dann ein Links- 
system (indirectes oder negatives System). Man erhält ein 
Rechtssystem, wenn man die drei ersten Finger 1, 2, 3 
(Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger) der rechten Hand ohne 
Zwang ausstreckt, während man die beiden letzten 
Finger einschlägt. 

Wenn wir die Punkte des Raumes zur analytischen Dar- 
stellung auf ein rechtwinkliges Goordinatensystem beziehen, so 
werden wir, wenn nicht das Gegentheil ausdrücklich hervor- 
gehoben ist, immer annehmen, dass die Goordinatenaxen in der 
Reihenfolge x^ y^ z ein Rechtssystem bilden. 



§. 81. 
Lineare Deformation. 

Wir denken uns nun eine einen Raumtheil stetig erfüllende 
Substanz, deren Theile beweglich sind, aus einer Lage in eine 
andere gebracht Ein Punkt m dieser Substanz, der vor der 
Verschiebung die rechtwinkligen Coordinaten a;, y, z hat, möge 
durch die Verschiebung in die durch die Coordinaten X, Y, Z 
bestimmte Lage übergegangen» sein. Wenn dann zwischen den 



f 



§• 81. Lineare infinitesimale Deformation. 199 



ufsprünglichen und den veränderten Coordinaten von m eine 
Beziehung der folgenden Form besteht: 

(1) r = /S + /?,./; + /3,y + /33^, 

w-orin die Coefficienten von x^ j/, z unabhängig sind, so wollen 
wir die hierdurch ausgedrückte Veränderung des Systems eine 
lineare Deformation nennen. Sie ist dadurch ausgezeichnet, 
d&ss Punkte, die ursprünglich auf einer Geraden, auf einer Ebene, 
Auf einer Fläche zweiten Grades etc. liegen, auch nach ein- 
Setretener Deformation auf einem Gebilde derselben Art liegen. 
Setzen wir noch 

Bo ergeben die Gleichungen (1) 

x' = e»i ^ + «2 y + % ^1 
C2) t/' = ßrX + ß,y-\-ß,z, 

g' = y^x -\-y^y^-yzZ, 

und t! ^ f/ sind die relativen Coordinaten des Punktes in nach 
eingetretener Verschiebung, bezogen auf den Punkt, der im ur- 
sprünglichen Zustande im Goordinateuanfangspunkte lag. Wir 
^trachten jetzt aber nur unendlich kleine oder, wie wir auch 
s&gen, infinitesimale Deformationen, d. h. wir sehen 

oi — x, y' — y, ^ — z 
und folglich 

«1 — 1, «a, «3, 
^1» ^2 — 1> /^s» 

yi7 ^2» ya — 1 

als unendlich kleine Grössen erster Ordnung an und 
vernachlässigen unendlich kleine Grössen höherer Ord- 
oang gegen die von niedrigerer Ordnung. 

Denken wir uns zwei solche Deformationen nach einander 
ausgeführt, so werden nach der zweiten die Coordinaten des 
Punktes m in der dritten Lage durch Ausdrücke von der Form 

dargestellt : 

X = KiX -\- ar,y -f- OiZ , 

(3) y" = ß\x' -\- ß',y + ßW, 

z = yix -{- y2y + yzz . 



200 NeuDter Abschnitt. §. 82. 

und das Ergebniss kann auch durch die einzige Deformation 
erreicht werden, die den Ausdruck hat 

f = ß'-x-\-ß-iy-{-ß'i0, 

wenn 

ai' = «i «1 + «i |3, -f «3 n ^ 

«2 = «x 0(2 -(- «2 /^a "|~ ÖC3 ^2 ßtC. 

gesetzt ist. Vernachlässigt man aber unendlich kleine Grössen 
höherer Ordnung, so wird 

, .. ai' = «1 -|- «i — 1, 

oci' = 02 -f- ai, etc. 

und man sieht, dass man zu demselben Ergebnisse kommt, wenn 
man die beiden Deformationen in umgekehrter Ordnung aus- 
führt. Man kann dies anwenden, um eine gegebene Deformation 
^^ mehrere einfachere zu zerlegen. 

§. 82. 
Drehung. 

Unter den linearen Deformationen ist als Specialfall die 
Bewegung eines starren Körpers enthalten. Denken wir uns 
nämlich ein rechtwinkliges Coordinatensystem mit einem starren 
Körper in fester Verbindung, so dass es die Bewegungen des 
Körpers mitmachen muss, so hat der Punkt m in Bezug auf 
dieses Coordinatensystem immer dieselben Coordinaten x^ y^ z. 
um also die Coordinaten a/, y', e' von m nach eingetretener 
Verschiebung in dem ursprünglichen Coordinatensysteme zu 
finden, hat man die aus der analytischen Geometrie wohl be- 
kannten Formeln für die rechtwinklige Coordinatentransformation 
anzuwenden , und es werden also a/, t/', z' durch die Formeln 
§. 81 (2) dargestellt, zwischen deren Coefficienten die Relationen 
bestehen : 

< + ß? + ri' =h «7«. + ßiß, -f- ny^ = 0, 

(1) < + ß,' + Vi = 1, «.«1 + ßs ßi +nn = 0, 

«3' + ß'z + 7! = 1, «i«2 + A^2 + y.n = 0. 



§.82. 



Drehung. 



201 



Diese Gleichungen gehen aber mit den erlaubten Vernach- 
lässigusgen in folgende über: 

«1 = h Ai + 72 = 0, 

ßi = h yi + «3 = 0, 

Vi = li «2 + ft = 0, 
und wenn wir also 

— ßs = 72 = P^ 

— yi = «3 = (?, 

— a.2 = ßi = r 

setzen, so werden die Gleichungen, die eine unendlich kleine 
W^nänderung eines starren Körpers ausdrücken, nach §. 81 (2): 

af = X — ^y + (?^i 

z' =L z — cix-\- py. 

Man kann diese Lagenänderung nun wieder in drei partielle 
Vorlegen, von denen die eine, die aus (2) erhalten wird, wenn 
^^Tx q und r = setzt, so dargestellt ist: 

x' = X, y' = y — pz, z' = z -\^ py. 

Die Bedeutung dieser partiellen Verschiebung ist aus der 
7^istehenden Fig. 37 zu ersehen. Sie besteht (bei positivem p) 
^^ einer positiven Drehung mit dem 
^^endlich kleinen Winkel p um die 
**Axe. Ganz entsprechende Bedeu- 
^^Hg haben die beiden anderen Coni- 

ponenten der Verschiebung, die in 

Drehungen mit den Winkeln // und r 

Xim die Axen y und z bestehen. 

Bei der durch (2) ausgedrückten 

Deformation werden alle Punkte der 

durch die Gleichungen 

(3) X : y : z = p : q : r 

dargestellten geraden Linie in ihrer ursprünglichen Lage bleiben. 
Die Bewegung besteht also in einer Drehung um diese gerade 
Linie als Axe. Wir setzen 



Fig. 37. 




(4) üi = \p'-]-q' + r^ 

mit positivem Vorzeichen der (Quadratwurzel und bestimmen die 



202 Neunter Abschnitt. §. 83. 

positive Richtung der Axe so, dass sie mit den Coordinatenaxen 
die durch die Gleichungen 

(5) p =z CD cos a, g = o cos /S, r = o cos y 

bestimmten Winkel a, /5, y einschliesst. 

Die Verschiebung, die irgend ein Punkt a:, y, £! erlitten hat, 
ergiebt sich nach (2) 

D = ^(ry — qz)^ + {pz — rx)^ + {qx—py)'^ 

= \(p^-^q^ + r^) {or^ + y^ + z^) — {px-^qy -^rz^-. 
Setzen wir 

(6) X = Q cos a, y = Q cos 6, z = q cos c, 

so ist nach (5) und (6) 

px -\- qy -{- rz = (oq (cosacosa + cos6cos/3 -|- cosccosy) 

= (OQ cos 0, 

worin © den Winkel zwischen dem Radius -Vector q und der 
Drehungs'axe bedeutet, und es ergiebt sich 

(7) 2) = CO p sin = G) d , 

wenn d den senkrechten Abstand des Punktes a;, y, z von der 
Drehungsaxe bedeutet. Demnach ist g) der unendlich kleine 
Winkel, um den sich das System gedreht hat, und die Drehung 
um die Axe hat den positiven Sinn, wie man erkennt, wenn 
man die Drehungsaxe mit der x-Axe zusammenfallen lässt. 



§. 83. 
Dehnung. 

Wir wollen unter einer Dehnung eine solche Deformation 
verstehen, bei der drei auf einander rechtwinklige Rich- 
tungen ungeändert geblieben sind. Um eine solche Deforma- 
tion analytisch darzustellen, nehmen wir zunächst ein specielles 
Coordinatensystem |, i^i t-, dessen drei Axen mit den als un- 
veränderlich vorausgesetzten Richtungen zusammenfallen. Dann 
geben die Gleichungen §. 81, (2) 

(1) r = Af, V = ^i/, i' = vt. 



§. 83. Dehnung. 203 

worin k — 1, ft — 1, V — 1 die Zunahmen der Längeneinheit 
in den drei Axenrichtungen und also unendlich kleine Grössen 
erster Ordnung sind. Nun kehren wir zu dem ursprünglichen 
Coordinatensysteme x, j/, z zurück und drücken den Zusammen- 
hang zwischen den Coordinaten |, i?, S und a;, y, z durch die 
Formeln aus: 

^ = (h^ + CL2V + (ht, S = «lÄJ + ii2/ + Ci^, 

(2) y = bi^ + b^ri -{-b^t, ^ = a^a: + 62^ + a^z, 

^ = Cil + C2I? + Csg, ? = Oaar + ftsy + c,^, 

und derselbe Zusammenhang besteht zwischen den Coordinaten 
j/, y\ z* und f ', iy', g'. Hierin genügen die Coefficienten a, 6, c 
den Bedingungen für die orthogonale Coordinatentransformation 
[§• 82, (1)]. 

Aus (1) und (2) folgt aber 

}f = 6iA| + b^\ir\ -{- 63 vg, 
z' = CiAg -f Cafti^ + Cjvf, 

und daraus mit Benutzung des zweiten Systemes (2) 

x' = ax + y'y + ß'z, 

(3) y = y'x-\-ßy + a'z, 

z' = ß'x + a'y + y^?, 
worin 

a = ajl?,-{- a^(i -f- a.^v^ a' = 61 Ci A -|- fcj C3 ft + 63 C3 v, 

(4) ß = b{k-\-b^^^-^b.Jlv, ß'= CiaiA + c^Oj/Lt + CsOsV, 

Hierin sind, obwohl die 04, 61, ... endliche Grössen sind, 

«— 1, ^ — 1, y- 1, «', ß\ y' 

unendlich kleine Grössen erster Ordnung, die fiir k = fi = v=l 
in Null übergehen. 

Der wesentliche Unterschied der Formeln (3) gegenüber den 
allgemeinen Formeln §. 81, (2) besteht darin, dass hier die an 
symmetrischen Stellen stehenden Coefficienten a', /S', y' paarweise 
gleich sind, d. h. der Coefficient von y in af gleich dem von x 
in y' u. s. f. 

Es ist aber noch nachzuweisen, dass diese Form der Glei- 
chungen (3) genügt, um eine reine Dehnung auszudrücken. Um 



204 Neunter Abschnitt. §. 83. 

diesen Nachweis ohne zu grosse Rechnung zu fuhren, beuut^rssen 
wir eine Function zweiten Grades: 

(5) f{x,y,z) = «x-^ + ßtß + yz^ + 2(x!yz + 2ß'zx + 2/ .*r- y, 
durch die die Formeln (3) so dargestellt werden können: 

(6) ^ = ^/'(^), y' = lf'(y)^ ^ = ^/'(•^)> 

wenn /'(jc), /'(y), /'(^) die Derivirten you f(x^y^z) bedeuten. 

Wird nun durch ein Formelsystem (2) irgend ein uo mies 
Coordinatensystem J, iy, g eingeführt, so geht /(o?, y, i?) in ^ine 
ganz ähnliche Function über: 

(7) /(^,y,^) = q>(^,n.il 

und man erhält durch Differentiation dieser identischen Gleicht:!, ng 
nach I, 1?, g : 

(8) |' = l.<p'(|), V = J<p'(,y), g' = ^y'(g), 

d. h. die charakteristische Form der Ausdrücke (3) g^ 1^ 
durch beliebige rechtwinklige Coordinatentransform. ^' 
tion nicht verloren. Nun kann man, wie aus der Theo^Än^ 
der Flächen zweiten Grades bekannt ist, das Coordinatensyst^^ni 
ausnahmslos so bestimmen, dass 9(1,17,^) die Form erhält: 

(Man hat nur die Hauptaxen der Fläche zweiten Grades / = } 
als Axen der |, iy, 5 zu wählen) , und dadurch gehen d ^® 
Formeln (8) geradezu in die Formeln (1) über, die der Ausdruc^^^ 
für eine Dehnung sind. 

Die Massenpunkte, die im ursprünglichen Zustande in eine 
Kugel mit dem Radius l liegen, also der Bedingung 

(9) ^' + V' + t'^ P 
genügen, erfüllen nach eingetretener Deformation ein EUipsoid 



(1«) k + '7. + ii ^ ^^- 

Die Volumina K und E dieser beiden Körper sind 



Ä = — l\ ^ = X '^^^^ ' 



und folglich ist 



§. 84. Allgemeine infinitesimale lineare Deformation. 205 

. E- K . ^ 

oder mit den erlaubten Vernachlässigungen 

(11) ^ = (A - 1) + (^ - 1) + (1/ - 1) = A + ^ + r - 3. 

Diese Grösse, die das Verhältniss der Volumenzunahme zum 
ursprünglichen Volumen ausdrückt, wird die räumliche Dila- 
tation genannt. Nach den ersten drei Gleichungen (4) erhalten 
wir dafür auch den Ausdruck 

(12) ^ = a + ß-^Y — ^. 
der für jedes beliebige Coordinatensystem gilt. 



§• 84. 
Die allgemeine infinitesimale lineare Deformation. 

Die allgemeine infinitesimale lineare Deformation, die wir, 
wie in §. 81, durch die Formeln ausdrücken: 

(1) y' = ßi^ + ß2y -^ ß,^. 

lässt sich nun immer darstellen als das Ergebniss der Zusammen- 
setzung einer Drehung mit einer Dehnung. Sind diese beiden 
letzten in der Form angenommen: 

(2) y' = y — P^ + rx, 

z* = z -- (IX -{- py\ 

x' = ax ^ y'y + ß' z, 

(3) y' ^y'x-^^ßy +a'^, 

z' = ß'x-{-a'y-\- yz, 

so ergiebt sich aus ihnen nach der durch §. 81, (4) ausge- 
drückten Regel der Zusammensetzung die Deformation (1), wenn 
wir setzen : 

«1 = a, /^3 = «' — Pi ^2 = «' + jP^ 

(4) ß, = /3, y,=ß'- q, a, = ß' + q, 



206 Neunter Abschnitt. §. 84. 

und daraus 
(5) 

und da bei der Rotation (2) eine Volumänderung nicht eintritt, 
so ist auch hier die räumliche Dilatation 

(6) ^ = a -f ^ -f y _ 3 = «1 + /3j + ys — 3, 

d. h. gleich der Summe der um 1 verminderten Diagonalcoeffi- 
cienten i). 



*) Vergl. Dirichlet, Untersuchungen über ein Problem der Hydro- 
dynamik, §.3. Dirichlet's Wi'rke, Bd. 2, S. 277. 



Zehnter Abschnitt 



VeotoreiL 



§. 85. 
Felder, Skalare und Vectoren. 

Die Physik hat es nicht nur mit dem absoluten Räume der 
Geometrie zu thun, sondern mit dem mit Materie erfüllten Räume, 
oder, allgemeiner zu reden, mit einem Räume, dem in jedem 
Punkte gewisse Eigenschaften zukommen. Ein begrenzter oder 
unbegrenzter Raum, der in jedem seiner Punkte der Träger einer 
wohl definirten Eigenschaft ist, heisst ein Feld. So spricht man 
von einem Temperaturfelde, einem Geschwindigkeitsfelde, einem 
Kraftfelde u. s. f., und es hat dabei auch keine Schwierigkeit, 
anzunehmen, dass sich mehrere Felder verschiedener oder auch 
derselben Qualität überdecken, d. h. gleichzeitig denselben geo- 
metrischen Raum einnehmen. 

Die Qualitäten, die zur Definition eines Feldes dienen, können 
von zweierlei Art sein. Im einfachsten Falle ist es eine blosse 
Ortsfunction, die sich von Punkt zu Punkt, stetig oder unstetig, 
ändert, auch in einem Raumstücke constant sein kann, wie etwa 
die Temperatur, die Dichtigkeit, die Concentration einer Lösung, 
und vieles Andere. Solche Ortsfunctionen werden Skalare oder 
skalare Grössen und die entsprechenden Felder skalare 
Felder genannt. 

Die Eigenschaft des Feldes kann aber auch eine Ortsfunction 
sein, mit der in jedem Punkte eine bestimmte Richtung ver- 
bunden ist. Solche Eigenschaften heissen Vectoren oder 
Vectorgrössen. Dahin gehören als erste Beispiele Geschwindig- 



208 Zehnter Abschnitt. §. 

keiten und Kräfte. In jeder Vectorgrösse ist eine skalare Gros 
enthalten, nämlich eben die Ortsfunction, die man erhält, we 
man von der Richtung absieht. 

Dieser Skalar wird die absolute Grösse oder der Tens 
des Vectors genannt, oder auch, wenn von der Gesammtheit d 
Punkte eines Feldes die Rede ist, die Feldstärke. 

Die zu dem Vector gehörige Richtung nennen wir auch < 
Vectoraxe. 

Zur Veranschaulichung denke man sich den in einem Punl 
vorhandenen Vector durch eine Strecke dargestellt, die in c 
Richtung des Vectors aufgetragen ist und eine dem Tens 
gleiche (oder proportionale) Länge hat. Es geht dann dui 
jeden Punkt eines Vectorfeldes eine gerichtete und begren: 
Strecke, die ein Bild der Vectorgrösse ist, aber auch selbstän( 
als Vectorgrösse betrachtet werden kann. Wir bezeichnen di( 
so definirten Strecken in der Folge gleichfalls als Vectoren. 

Ein unter allen Umständen getreues Bild eines Vectorfeld 
das zugleich eine der wichtigsten Anwendungen dieses Begrif 
bietet, erhält man, wenn man sich, wie im vorigen Abschnit 
einen Raum mit einer Materie erfüllt denkt, deren Theile 1 
weglich sind, etwa wie bei einer Flüssigkeit, einer zäh 
Masse oder einem elastischen Körper. Ist diese Materie in I 
wegung, so kommt in einem bestimmten Augenblicke jedem ihi 
Punkte eine nach Richtung und Grösse bestimmte Geschwind 
keit zu. Oft ist es aber zweckmässiger, nicht sowohl die C 
schwindigkeit selbst, als den von einem Punkte der angeno 
menen Materie in einem unendlich kleinen Zeitelemente 
durchlaufenen, als geradlinig zu betrachtenden, unendlich kleir 
Weg als Bild des Vectors zu betrachten. Wir wollen dies 
Vector kurz die Verrückung nennen. Seine absolute Gröt 
ist zwar unendlich klein, steht aber zu der willkürlich angeno 
menen unendlich kleinen Zeit d^ in einem endlichen Verhä 
nisse. 

Zur Bezeichnung von Vectoren bedienen wir uns vorzu 
weise der Buchstaben des grossen deutschen Alphabets. 

Ein Vector 3( hat in jedem Punkte eine bestimmte Ri< 
tung X und bildet also mit irgend einer anderen Richtung 
einen bestimmten Winkel, der zwischen 0^ und 180® gelegen 
Die rechtwinklige Projection von 91 auf l heisst die Comp 
nente des Vectors nach der Richtung l. Ist Ä < 



§. 85. Felder, Skalare und Yeotoren. ' 209 

Tensor ron 9t und (J, X) der Winkel der beiden Richtungen J, A, 
so ist 

(1) Äi = AcosQ.k) 

das Maass für diese Projection, das also positiv oder negativ ist, 
je nachdem der Winkel (Z, A) spitz oder stumpf ist. 

Die Punkte eines Feldes werden analytisch durch ihre auf 
ein rechtwinkliges Axensystem bezogenen Coordinaten ^, y, z be- 
stimmt. 

Ein Yector 91 ist vollständig bestimmt, wenn seine Compo- 
nenten nach den drei Coordinatenaxen gegeben sind. Sind diese 
Componenten Ax^ Ay^ Ag^ so ist 

(2) A = y'A% + AI + AI 
der Tensor, und 

(3) cos {k,x) = -j-, cos (A, y)z= ^, cos (A, ^) = -j- 

^ud die Richtungscosinusse des Vectors, und nach (1) ist 

(4) Ai = AxCos{l,x) + Ay cos (l,y) + ^,co8(Z,^). 

Bei einer Parallelverschiebung des Coordinatensystems bleiben 
die Vectorcomponenten ungeändert. Dreht man aber das Coordi- 
^atensystem mit Festhaltung des Anfangspunktes, so hängen die 
Irenen Vectorcomponenten mit den alten durch dieselben Formeln 
zusammen, wie die neuen Coordinaten eines beliebigen Punktes 
mit den alten. 

Die Resultante zweier von einem Punkte auslaufenden 

Vectoren 91, S ist nach Grösse und Richtung die Diagonale 6 

des aus 9( und SB zu construirenden Parallelogramms, und ebenso 

kann man die Resultante von drei und mehr Vectoren bilden. 

Jeder Vector ist die Resultante seiner drei Componenten. 

Sind -4x, Ay, Az und JB«, Jiy, Ss die Componenten von 91 
und 9, so sind nach dieser Definition 

(5) A^ + U.. Äy + By, A.-^B. 

die Componenten der Resultante von 9( und S. Man nennt 
^686 Resultante ß von 91 und 33 auch die Summe der beiden 
Vectoren und setzt in symbolischer Bezeiclmung 

(6) g = sji _^ 53^ 

[ Die Bedeutung einer Summe aus mehr als zwei Vectoren ist 

! KitaiBBn-W«ber, Partielle Differentialgleichungen. J4 



210 * Zehnter Abschnitt. §. e 

hiernach von selbst klar, und man sieht, dass diese Summe tc 
der Reihenfolge der Summanden unabhängig ist. 

Wenn die Axe eines Yectors S ungeändert bleibt, sein Te 
sor A aber in qA verwandelt wird, worin q irgend eine positL 
Function des Ortes sein kann, so entsteht ein neuer Vector, A 
mit Q % bezeichnet wird. Unter — 91 verstehen wir einen Vect€ 
der denselben Tensor, aber entgegengesetzte Richtung wie 3 bj 

Ein Vector, dessen absolute Grösse gleich Null ist, hat keL: 
bestimmte Richtung. Ein solcher Vector ist die Resultante zwei 
gleicher und entgegengesetzter Vectoren, 91 — 91, und wird mit 
bezeichnet 

§. 86. 

Darstellung eines Vectors durch eine lineare 
infinitesimale Deformation. 

Wir veranschaulichen nun die in der Vectortheorie au3 
tretenden Grössen durch die schon im vorigen Paragraphen et 
wähnten Verrückungen einer Materie. Wir setzen dabei ab« 
jetzt die Vectorcomponenten als stetige und differentürba: 
Functionen der Goordinaten x^ y, z eines Feldpunktes voraus. 

Wir verstehen unter der Umgebung eines Feldpunktes \ 
den Inbegriff aller Punkte m\ deren Entfernung von m eine ui 
endlich kleine Grösse b nicht übersteigt, wobei jedoch b als vöUi 
unabhängig von der unendlich kleinen Zeitgrösse dt zu betrachte 
ist. Wir setzen von beiden Grössen voraus, dass die höhere 
Potenzen gegen die niedrigeren vernachlässigt werden dürfe: 
nehmen aber keinerlei bestimmtes Verhältniss zwischen b ud 
dt an. 

Ist 91 ein Geschwindigkeitsvector, so gehen durch die Ve: 
rückung im Zeitelemente dt alle Punkte der Umgebung von m i 
eine neue Lage über, und es ergiebt sich leicht, dass diese Vei 
änderung eine lineare infinitesimale Deformation is 
wie wir sie im neunten Abschnitte betrachtet haben. 

Sind nämlich x^ t/, z die Goordinaten des Punktes m un 
X -]- dx, y + dy, z -\- dz die des Punktes m' vor der Ve 
rückung, so sind dx^ dy^ dz die relativen Goordinaten von ni i 
Bezug auf m. Setzen wir dann zur Abkürzung, wenn q> eir 
stetige Function der Goordinaten ist 



§.87. Carl und Divergenz eines Vectors. 211 

und bezeichnen wie früher mit Äx^ Äy, Ag die Gomponeuten von 
9, 80 sind nach der Verrückung die Coordinaten 

von m: von w': 

X -\- Äxdt^ X -{- dx -}- {Ax 4- dAx)dt, 

y-^Aydt, y -}- dy -\- {Ay-{- dAy)dt, 

g -\' Agdt, z -^ dz -{- {Ag -\- dAg)dt. 

Wenn also nach eingetretener Verrückung die relativen Coordi- 
naten Ton m' in Bezug auf m mit d'x^ d*y^ d* z bezeichnet werden, 

so ergiebt sich 

d* x = dx -\- dAxdt, 

12) d!y = dy + dAydt, 

d' z -= dz + dAgdtj 

und diese Formeln stellen also eine lineare infinitesimale De- 
formation [wie in §. 84, (1)] dar, wenn 

(3) ft= l^de, ^, = i+|4.'d^, ^3= ^Adt, 

cx ^ cy cz 

'^ cx ' '' dy oz 

gesetzt wird. Diese Deformation lässt sich nun wie oben in zwei 
P&rtielle Deformationen zerlegen, die wir jetzt einzeln zu be- 
^i^hten haben. Zunächst aber ist noch zu bemerken, dass die 
Natur dieser Deformation, von dem willkürlichen constanten 
Factor dt abgesehen, durch den ursprünglich gegebenen Vector 
vollständig bestimmt ist und in keiner Weise von der Lage 
^^s Goordinatensystems abhängen kann. 



§. 87. 
Curl und Divergenz eines Vectors. 

Fassen wir, wie im vorigen Paragraphen gezeigt ist, einen 
»ector 31 als Geschwindigkeit auf, so können wir aus ihm in 
Völlig eindeutiger Weise, und ohne Benutzung des Coordinaten- 
^Btems, einen zweiten Vector G ableiten, wenn wir in jedem 

14* 



212 Zehnter Abschnitt. §. 88 

Punkte die Drehungsaxe der linearen Deformation als Vectorax: 
nehmen und als Tensor eine Grösse, die dem Drehungswinke 
gleich oder proportional ist Wir wollen ihn gleich dem Doppelte 
der Drehungsgeschwindigkeit setzen und den so definirten Ve« 
tor & mit Benutzung des englischen Ausdruckes den Curl da 
Vectors 91 nennen: 

(1) 6 = curl 91. 

Der Curl ist hiernach unabhängig vom GoordinatensysteiM 
erklärt. Wenn aber Ax^ Ay^ Az die Gomponenten von 91 si 
so erhält man für die Gomponenten von 6 nach §. 84 (5) 

cAz dAy 



a = 



(2) Cy 



c\ 



dy dz 

cAx cAg 

cz dx 

cAy dA 



— • 

cx cy 

Ausser der Drehung ist in der den Vector 9t darstellend— 
linearen Deformation noch ein zweiter Bestandtheil enthalte 
nämlich eine Dehnung, die nach den Formeln (3) des vorig« 
Paragraphen und nach §. 84 leicht bestimmt werden kann. I^ 
räumliche Dilatation dieser Deformation ist eine durch 91 voll - 
bestimmte , vom Goordinatensysteme unabhängige s k a 1 a r" 
Grösse, die wir die Divergenz des Vectors 91 nennen. S - 
hat den folgenden Ausdruck 

(3) ? AivA = '^^- -f M^ + 4^. 

^ ^ ^ öx ^ cy ^ dz 

Die Divergenz des Gurles von 91 ist, wie di 
Formeln (2) zeigen, immer gleich Null. 



§. 88. 
Der Gradient eines Skalars. 

Wir betrachten jetzt ein skalares Feld, und es sei S die da 
Feld bestimmende Ortsfunction, die wir als stetig und differentiir 
bar voraussetzen. Wir ziehen von einem Punkte m des Felde 
aus eine gerade Linie L in einer beliebigen Richtung und be 
zeichnen mit s den Abstand eines Punktes m! auf dieser Lini 



§. 88. Der Gradient eines Skalars. 213 

von m. Unter dem Gefälle von S in der Richtung L ver- 
stehen wir dann den Grenzwerth des Verhältnisses (S — S')/s, 
wenn sich m' dem Punkte m unendlich annähert Dieser Grenz- 
werth ist gleich dem Differentialquotienten — dS/ds^ wenn wir 
S als Function der Variablen s auffassen. 

Unter dem Gefälle der Function /S schlechtweg, ohne 
Angabe einer Richtung, verstehen wir den grössten unter allen 
Werthen, die das Gefalle in den von m auslaufenden Richtungen 
hat; und da dieses grösste Gefälle in einer bestimmten Rich- 
tung stattfinden wird, so können wir diese Richtung zur Axe 
eines Vectors ® machen, dem wir das grösste Gefalle selbst als 
Tensor geben. 

Diesen Vector & nennen wir den Gradienten von S und 
bezeichnen ihn mit 

(1) ® = grad S. 

Diese Definition des Gradienten ist wiederum von dem Coordi- 
natensysteme völlig unabhängig. Zu seiner Darstellung wenden 
wir aber ein Coordinatensystem an. Es seien a, /3, y die Winkel, 
die die Richtung L mit den Goordinatenaxen bildet. Dann ist 

/rt\ dS dS , öS a \ ^S 

(2) :^- = -— cosa A- TT- C08/3 4- -^ cosy. 
^ ^ öS dx ^ cy cjs 

Wir nehmen an, dass die Diff"erentialquotienten dS/cx^ 
dS/dy, dS/djs nicht alle drei verschwinden, und setzen 

(3) — -— = 6r cos a, — -— = Gr cos 0, ——-•= G cos c, 

^ ^ dx öy dz 

w " = m+ 0+ (0- 

Dann sind a, 6, c die Winkel, die eine gewisse Richtung Lo niit 
den Axen x, y, z einschliesst, und wenn wir mit den Winkel 
zwischen den beiden Richtungen L und Lq bezeichnen, so ist 
nach (2) 

(5) -|^= ÖCOS0. 

^ ds 

Man sieht hieraus, dass die Richtungen, in denen das Ge- 
fälle einen constanten Werth hat, einen Kreiskegel mit der 
Axe Lq erfüllen, und das Maximalgefälle Q fällt in die Rich- 
tung Lq, Demnach sind 



214 Zehnter Abschnitt. 

f^ ^ 

^' — — dx' 

(«) ^' = - H ' 

die Componenten des Vectors ® und die Grösse 
Tensor dieses Vectors. 

Das Quadrat von 6r, also die Grösse 

"•(«)= 01)'+ (ID'+(ID". 

ist Yom Coordinatensysteme unabhängig. Die Grössi 
heisst nach Lame der erste Differentialpa 

von iSfi). 

Die Gleichungen (6) zeigen nach §. 87 (2), dass 
des Vectors ® verschwindet. 

Es ist femer 

(8) div® = -^-^^-^, 

und wenn wir also das Zeichen gebrauchen 

^^^ ^-^-^ + 8^ + 8^' 

SO folgt 

(10) div grad S = — A S, 

Die Grösse AS, die auch der zweite Differen 
meter von S heisst, spielt in der mathematischen F 
wichtige Rolle. Sie ist, wie aus der Definition hervoi 
dem Coordinatensysteme gänzlich unabhängig, was 
durch Rechnung leicht bestätigen lässt. 

Die Punkte, in denen ein Skalar S einen constan 
hat, erfüllen, wenn wir von einzelnen Punkten des 
oder Minimums, in denen die drei Differentialquotient« 
drei verschwinden, absehen, gewisse Flächen, die man 
flächen nennt. Aendert man den constan ten Werth 
erhält man eine Schaar von Niveaufiächen , deren o 



^) Lame, Le^ons sur Telasticite und Le^ons sur les 
curvilignes. 



$.89. Gauss'scher und Stokes'soher IntegraUatz. 215 

Trajectorien die Carmen stärksten Gefälles sind. Die Tangenten 
dieser Gurren stärksten Gefälles geben überall die Richtung des 
Vectors @ an. 

Denn nach bekannten Sätzen der analytischen Geometrie 
sind die durch (6) bestimmten Grössen 6r^, 6ry, Gg proportional 
mit den Kichtungscosinussen der Normale an die Fläche iS=const. 



§. 89. 
Der Gauss'sche und der Stokes'sche Integralsatz. 

Wir haben im fünften Abschnitte zwei Sätze über räumliche 
Integrale und Flächenintegrale abgeleitet, die ihren einfachsten 
Ausdruck erst in der Sprache der Vectorgeometrie finden. Hier- 
her gehört zunächst der Gauss 'sehe Integralsatz: 

Wenn dt ein Element des begrenzten Ilaumes t ist und do 
ein Element seiner Oberfläche, wenn ferner n die nach innen 
gerichtete Normale dieser Oberfläche ist, und X, F, Z drei im 
ganzen Räume stetige Functionen des Ortes sind, so ist nach 
§• 39 (7) 

J \dx dy ' ce J 
= — [Xcos(n,a:) -f- rcos(w,y) -(- Zcos(n,jer)] do. 

Wenn nun hierin für X, F, Z die Componenten eines 
'^öctors ?l gesetzt werden, dessen nach der Richtung n ge- 
^^mmene Componente An ist, so nimmt dieser Satz nach §. 85, 
V^) und §. 87, (3) die einfache Gestalt an: 

'• fdiv9ldr = — [Ando. 

In dieser Form erscheint der Gauss 'sehe Satz in einer 
8Ätizlich vom Coordinatensysteme unabhängigen Form. 

Aehnlich verhält es sich mit dem Satze von Stokes §.40,(10) 



= Uxdx + Ydy + Zdz). 



Dieser Satz bezieht sich auf ein begrenztes Stück einer 
**^mnmen Oberfläche, deren Element do ist; dx, dy, de sind die 



216 Zehnter Absctmitt. §. 1 

Projectionen eines Elementes ds der Begrenzungscurve des Fläche 
Stückes. Ueber die dabei in Betracht kommenden Richtungen g 
die Bestimmung, dass das Element dfs, die von ds in das Inne 
der Fläche gelegte Normale dn und die auf beiden senkrecfa 
Richtung dv in der Reihenfolge (ds, dn, dv) ein Rechtssystc 
bilden. Wenn nun wieder X, F, Z die Componenten ein 
Vectors % sind, so steht unter dem Randintegrale das Eleme 

?) 7 7) IT 
Agds^ und die Grössen — , • • • sind die Component 

dy c z 

Gt, Cy^ Cg des Curls 6 von 9t; also ist der Factor von do c 
Gomponente Cr dieses Curls und wir haben den Stokes'sch. 
Satz in der folgenden, vom Coordinatensysteme unabhängig 
Form: 

IL {Cdo = {Agds, 

wobei die positive Richtung von i/, die positive Richtung von. 
und die Richtung vom Rande nach innen ein Rechtssystem bilde 
Man kann also etwa die positive Richtung von v an irge: 
einem Punkte der Fläche willkürlich annehmen und dann m 
der ganzen Räche nach der Stetigkeit ändern, dann ist dur< 
diese Regel die positive Richtung von s an jeder Stelle A 
Randes eindeutig bestimmt, auch wenn die Randcurve & 
mehreren Stücken besteht. Wenn aber die Fläche selbst su 
mehreren getrennten Theilen besteht, so kann in jedem v« 
ihnen die positive Richtung von v beliebig angenommen werde 
Bei einer einfach umrandeten Fläche kann man den Sil 
der Integration auch dadurch angeben, dass eine fortschreiteni 
Bewegung längs v und gleichzeitige Drehung in der Richtung r 
eine Rechtsschraubung ist. 



§. 90. 

Ausdruck des Curls in einem beliebigen 

Coordinatensysteme. 

Der Stokes'sche Satz führt zu einer einfachen Darstellui 
der Componenten des Curls in einem krummlinigen Coordinate: 
Systeme, das wir der Einfachheit halber orthogonal annehm< 
wollen. Es sei ;>, ^, f also ein beliebiges krummliniges, ab 



j. 90i Transformation der Goordinaten. 217 

orthogonales Coordinatensystem und 

das Quadrat des Linienelementes (§. 37). Wir nehmen an , dass 
üe Richtung der wachsenden p^ g, r ein Rechtssystem bilden; 

/edpj Y^ dq^ yV' dr sind die Projectionen des Elementes ds auf 
lie Richtungen p, q, r. 

Es ist dann, wenn Apj Äq^ Är^ A^ die Componenten des 
^ectors % nach den Richtungen p, g, r, ds bedeuten, nach 
|. 37 (6): 

2) A^ iedp -}- Aq]f^dq + Ar^J'dr 

= Ads cos (-4, ds) = Agds. 

¥ir nehmen nun d|) = an, legen also das Element äs in die 
*läche (9,r) und grenzen in dieser Fläche durch eine geschlossene 
)aT?e 8 irgend ein beliebiges Flächeustück ab. Dann ergiebt 
ich nach (2) mit Benutzung yon §. 40 (2), wenn die Integration 
iber dieses Flächenstück und seine Begrenzung erstreckt wird: 

= {(A, ^'dq-\-Ar VV' dr)= | A,ds, 

Qd das letzte Randintegral ist nach dem Stok es' sehen Satze, 
^oa Cp die Componente von curl !{1 in der Riclitung p bedeutet, 
^ch §, 89, IL gleich 



) 



{Cpdo = {{Cp i77' dq dr. 



Da die Flächenintegrale (3), (4) für jedes beliebige Flächen- 
^cli gelten, so folgt, wenn man dieselbe Betrachtung für die 
p), (p, g)- Flächen durchführt: 

C = ^ f'^' V'^' ^r _d\'7' A,\ 
** V'e'«" \ ^2 rr r 

'~ v'?^v 8"r" cp r 

Vec' V cp er )' 



218 Zehnter Abschnitt. §.91. 



§. 91. 
Stromlinien und Wirbellinien. 

Ist 91 ein Yector in einem Felde, so erhalten wir, wenn wir, 
von einem beliebigen Punkte m ausgehend, in der VectorrichtaDg 
zu einem unendlich benachbarten Punkte tn' übergehen und tod 
hier aus diese Construction fortsetzen, eine Gurve, und wenn wir 
den Ausgangspunkt m verändern, so ergiebt sich eine doppelt 
unendliche Curvenschaar im Räume, die analytisch durch die 
Differentialgleichungen 

dx : dy : dz = Äx : Äy : A, 

bestimmt ist. Diese Curven wollen wir Stromlinien nennen, 
weil sie in jedem ihrer Punkte die Richtung der Strömung an- 
geben, wenn wir uns den Vector durch eine in Bewegung be- 
griffene Flüssigkeit darstellen. Es beziehen sich in diesem FaU^ 
diese Curven nur auf einen bestimmten Zeitmoment. Im All- 
gemeinen werden sie mit der Zeit veränderlich sein. 

Es sei nun 6 eine bestimmte von diesen Stromlinien, a^^ 
der wir die Länge s von einem beliebigen Punkte aus in d^ 
jeweiligen Richtung der Vectoraxe positiv zählen. Wir legen i 
jedem Punkte dieser Linie ein unendlich kleines Flächenelem^c 
do senkrecht zu der Tangente an 6 in diesem Punkte, also aa^ 
senkrecht zu dem Gurvenelemente ds. 

Legen wir durch alle Punkte eines dieser Elemente (f * 
die zugehörigen Stromlinien, so werden sich diese alle ^ 
ihrem weiteren Verlaufe nur unendlich wenig von 6 entfernt 
und es werden sich auch keine zwei von ihnen durchschneide 
so lange wenigstens Ax^ -4y, Ag endlich und nicht alle dr^ 
gleich Null sind. Diese Curven bilden in ihrer Gesammth^ 
einen Strom faden. Den Querschnitt eines Stromfadens, d^ 
dem Stromfaden entlang veränderlich sein kann, bezeichnen w^ 
mit q. 

Wenden wir auf ein zwischen Si und s^ verlaufendes un^ 
durch die beiden Querschnitte ^i, q^ begrenztes Stück unsere 
Strorafadens den Gauss'schen Integralsatz (§. 89, I.) an, so ^^ 
giebt sich, wenn Sx < «a ist, da an der äusseren Begrenzung d ^ 
Fadens An = 0, an den Endflächen q^ , q^ des Fadens An glei 
Ax und — A^ und dx = qds ist: 



{.91. Stromlinien und Wirbellinien. 219 

(1) I gds div?[ = yl^g, — Ai qi, 

oder, wenn man nur ein unendlich kurzes Stück des Stromfadens 
betrachtet: 

(8) dvy^l=i^p. 

^ ' q ds 

In dem besonderen Falle, in dem 
(3) div« = 

ist, ergiebt sich hieraus, dass Äq längs eines Stromfadens con- 
stftnt ist, und dass sich also der Querschnitt q imigekehrt pro- 
portional mit dem Tensor A ändert. In diesem Falle befindet 
sich der Curl S eines jeden Vectors % Eünen für den Vector 6 
construirten Stromfaden nennen wir einen Wirb elf aden (nach 
Helmholtz). Das Product Cq heisst das Moment des Wirbel- 
fadens. Es hat längs des ganzen Wirbelfadens einen un- 
veränderlichen Werth. 

Kehren wir zu den Stromfäden zurück und bezeichnen mit 
Q die Dichtigkeit der Flüssigkeit, durch deren Strömung wir 
flen Vector 31 darstellen, die auch eine Function des Ortes sein 
«ann, so ist qgA die Flüssigkeitsmenge, die durch den Quer- 
schnitt q eines Stromfadens hindurchgedrückt wird, und das 
Integral 

«I 

C*) I gds div 9 ^ = A^ q^ q^ — A^ q^ q^ 

^Bt der Zuwachs an Flüssigkeitsmasse, den das Fadenstück 
^wi^lien $1 und s^ erfahren hat. Ist das Fadeiistück unendlich 
Wein und von der Länge ds, so ist dieser Zuwachs also gleich 

qds div Q 51 ; 

*^Qzeichneu wir aber mit dg die Zunahme der Dichtigkeit, so ist 
^uf der anderen Seite die Zunahme an Masse =qdsdQ^ und 
daraus ergiebt sich 

(5) ÖQ = div p 91. 



220 Zehnter Abschnitt. §. 92. 



§. 92. 

Kraftlinien. 

Man giebt dem Gauss'schen Integralsatze noch eine andere 
geometrische Deutung, bei der % wieder einen beliebigen Vector 
bedeutet. 

Wir nehmen irgend ein zu der Richtung s der Stromlinien 
senkrechtes Flächenelement q und legen durch dieses Strom- 
linien in einer mit Ä proportionalen Dichte, so dass, wenn m 
eine constante Grösse ist, die Anzahl der durch q gelegten Linien 
gleich mAq ist. Während wir also bei der Erzeugung des 
Stromfadens angenommen haben, dass sich eine angefangene 
Stromlinie unbegrenzt fortsetze, müssen wir jetzt annehmen, 
dass diese Linien, je nach dem Werthe von Ä^ aufhören oder 
neu anfangen. Diese Linien sollen Kraftlinien heissen; sie 
fallen ihrer Richtung nach mit den Stromlinien zusammen. 
Legen wir an derselben Stelle wie q ein Flächenelement do^ 
dessen in einem bestimmten Sinne genommene Normale n mit 
s den Winkel (s, n) einschliesst, so ist die Anzahl der durch 
dieses Element im Sinne n gehenden Kraftlinien gleich 

mAdo cos (s, n) 
oder 

mAndo; 

die Zahl ist negativ zu rechnen, wenn die Durchdringung von 
do in der dem n entgegengesctzen Richtung geschieht 

Wenn wir also jetzt den Gauss'schen Integralsatz auf einen 
beliebigen Raumtheil r anwenden, so zeigt sich, dass das Integral 

m I divM dr. 



über einen Raum r erstreckt, gleich der Anzahl der aus der 
Begrenzung dieses Raumes austretenden Kraftlinien ist, 
und, auf ein Raumelement angewendet, ist mdiv^dt die Zahl 
der aus dem Raumelemente dt austretenden, also im Inneren 
von dt entspringenden Kraftlinien. Die eintretenden Kraft- 
linien werden hierbei negativ in Rechnung gebracht; diese 
erlöschen oder versinken in dem Elemente dt. Wenn div9l ver- 
schwindet, so wird keine Kraftlinie neu entspringen oder ver- 



ji.92. Kraftlinien. 221 

sinken, und in diesem Falle stimmen die Kraftlinien mit den 
Stromlinien überein. 

In einem Raumtheilc, in dem divM einen positiven Werth 

hat, werden Kraftlinien neu entspringen, während in solchem, 

wo div9l negativ ist, Kraftlinien verschwinden. Die ersteren 

heissen Quellen, die anderen Senken (oder negative Quellen). 

Es kommt oft vor, dass die Quellen auf einen unendlich 

kleinen Raumtheil beschränkt sind. Ein solcher Raumtheil, den 

man in endlicher Entfernung als Punkt ansehen kann, heisst 

Quellpunkt. Istc der als endlich angesehene Werth des über 

einen solchen Raumtheil erstreckten Integrals 



1 



div91dr, 

so ist für jede einen solchen Punkt umschliessende Fläche 

Ändo = — c. 






Nehmen wir eine Kugelfläche vom Radius r, die den Quell- 
punkt als Mittelpunkt hat, und bezeichnen mit do ein Flächen- 
element auf der Einheitskugel, so ist do = r^do 



1 



An da = — -- 



und folglich ist der Mittel werth von An auf einer solchen 
Kugel 

— c 

*^^T Tensor des Vectors 91 wird also bei der Annäherung an 
^en Quellpunkt unendlich gross, und zwar in derselben Ordnung 
wie i/r«. 

In einem Felde, wo div5t verschwindet, kann eine Kraftlinie 
^^der entspringen noch endigen. Die Kraftlinien verlaufen also 
*^ einem solchen Felde in Canälen vom Querschnitte g, so dass 
^ 2 längs eines solchen Canals constant ist. Mau kann den 
J^^ctor dann auch als Verschiebung einer incompressiblen 
^liiasigkeit darstellen, die dann in eben diesen Canälen, die mit 
^^U Stromfäden zusammenfallen, hinströmt. Daher haben die 
betören, deren Divergenz verschwindet, auch den Namen 
^^^lenoidale Vectoren erhalten i). 

^) Von d atoXY^y^ die Röhre. 



222 Zehnter Abschnitt. §. 93. 



§. 93. 
Potential vectoren. 

Einen Vector, dessen Carl im ganzen Felde verschwindet, 
nennen wir einen Potentialvector. Ist @ ein solcher Vector 
and sind E^, E^ E, seine Componenten, so ist 

(1) E^dx + Eydy -j- E,dz = — dt 

ein vollständiges Differential eines Skalars — i^. Es ist also 

(2\ ir___£* ^__5* £:—_£* 

und. die Function ^ heisst das Potential des Vectors 6. 
Diese Function ist nur bis auf eine additive Constante bestimmt, 
und man kann sie erhalten, wenn man von einem festen Punkte |)o 
zu dem veränderlichen Punkte p längs einer beliebigen Curve 
das Integral nimmt: 



(3) * = ~ f 



E^ds, 



worin E, die Componente von 6 in der Richtung von s be- 
deutet. 

Der Stokes'sche Satz zeigt, dass das Integral 



(4) fj5,ds = 



ist, wenn man es über eine geschlossene Gurve erstreckt, die 
man als Begrenzung einer ganz in dem Vectorfelde verlaufenden 
Fläche betrachten kann. 

Man nennt ein Feld einfach zusammenhängend, wenn 
es so beschaffen ist, dass jede in sich zurücklaufende Gurvc 
die Begrenzung eines ganz in dem Felde gelegenen Flächeu- 
stückes ist Ein solches einfach zusammenhängendes Feld ist 
z. B. der ganze unendliche Raum, oder der Raum ausserhalb 
einer Kugel, oder auch ausserhalb mehrerer, einander nicht 
schneidender Kugeln, und hierin wird auch nichts geändert» 
wenn an Stelle der Kugeln andere Flächen treten, die aus 
Kugeln durch stetige Formänderung abgeleitet sind. Ebenso ist 
der Raum innerhalb einer Kugel oder einer aus der Kugel ab- 



J,«. FotentislTectoren. 323 

gddteten Fläche, oder der von einer solchen Fläche nach aussen 
nnd von einer oder mehreren von ihnen nach innen begrenzte 
lUnm einfoch zueanimenhängend. 

Um auch ein Beispiel ron einem mehrfach zusammen- 
bügeDden Felde za hahen , denke man etwa an den Raum 
iimerhalb oder ausserhalb einer Ringfläche, die durch Rotation 
eines Kreises um eine in seiner Ebene liegenden, aber die 
Peripherie nicht schneidenden Axe entsteht. Die mehrfach zu- 
sammenhängenden Felder werden durch gewisse Trennungs- 
flächen, die man Querschnitte oder auch Sperrflächen 
neDnt, deren beide Seiten zur Begrenzug hinzugenommen 
«erden, in einfach zusammenhängende Felder verwandelt, so 
1. B. das Feld ausserhalb des oben beschriebenen Ringes durch 
eioeo ebenen Schnitt, der darch den inneren Aequatorkreis he- 
gKut ist 

In einem einfach zusammenhängenden Felde ist das Inte- 
(nl(4) über jede geschlossene Gurve gleich Null, und die Func- 
tion^ ist dann in diesem Felde überall eindeutig und stetig. 

In eioem mehrfach zusammenhängenden Felde kann es ge- 

*chloB8ene Linien geben, über die das Integral (4) nicht ver- 

ichwindet, und es giebt dann Flächen, auf deren beiden Seiten i^ 

^rschiedene Wertbe hat. So stellen in der beistehenden Fig. 38 die 

'>6iden schraffirten Kreise den Meridianschuitt des oben erwähnten 

'^ngea dar. In den zwei Punkten a, a', die einander unendlich nahe 

J'Ogen, hat i> zwei verschiedene Werthe, deren Unterschied das 

''*»er die Carve (aco') ge- Yig. 88. 

''**n»meoe Integral 

[.E-rfs 

'**• Dagegen ist das Inte- 

5*'al über die ganze Be- 

l^önzung (aea'b'&ba) wie- 

•**r gleich Null, und hierin 

*^Den sich die beiden Be> 

'**iidtheile über (a'b') und über (6 a) gegenseitig auf. Folglich 

'**ben die Integrale über (aca') und {hc'b') denselben Werth, 

*ttd der Werthunterschied der Function ijj zu beiden Seiten der 

^Perrfiäche ist längs dieser ganzen Fläche constaut. Wenn 

^ftA also den Integrationsweg von einem beliebigen Punkte a' 

^Um Ausgangspunkte zuriicklührt. so erhält unter Umständen 




f 



224 jTZehnter Abschnitt. §.94. 

die Function i^ in diesem Punkte einen von dem Ausgangswerthe 
verschiedenen Werth. Die Function ist dann mebrwerthig. 

Wir müssen also einwerthige und mehrwerthige 
Vectorpotentiale unterscheiden: 

In einem einfach zusammenhängenden Felde 
ist jedes Vectorpotential einwerthig. 

In einem mehrfach zusammenhängenden Felde 
giebt es mehrwerthige Vectorpotentiale, die erst 
durch Anlegung von Querschnitten zu ein- 
werthigen Functionen werden. An diesen. Schnit- 
ten sind diese Potentiale unstetig und erleiden 
beim Durchgange durch eine solche Fläche 
sprungweise Aenderungen, die aber längs einer 
und derselben Querschnittfläche constant sind. 

Es kann aber auch in mehrfach zusammenhängenden Feldern 
einwerthige Vectorpotentiale geben. Dies findet z. B. dann statte 
wenn die Componente E, in jeder in einer Grenzfläche 
liegenden Richtung gleich Null ist. Dann hat ^ an jeder Grenz- 
fläche einen constanten Werth, und wenn man den Uebergang 
von einer Seite eines Querschnittes zur anderen durch eine a.uf 
der Grenze liegende Curve vermittelt, so ist das über diese 
Curve genommene Integral 



-r 1 



f jE,ds = 0. 



Wir wollen noch auf die Analogie dieser Sätze mit den 
sechsten Abschnitte besprochenen Sätzen über die Integration 
von Functionen eines complexen Argumentes aufmerksam mach^^* 



§. 94. 
Vectoren mit verschwindender Divergenz. 

Den Potentialvectoren stehen als ein nicht minder wichtige 
Specialfall die Vectoren zur Seite, deren Divergenz verschwind 
Wir haben schon oben gesehen, dass der Curl eines jeden Vecto 
diese Eigenschaft hat. Es gilt aber auch der umgekehrte Sa**^^' 

1. dass jeder Vector mit verschwindender Dive^" 
genz als Curl eines anderen Vectors dargestellt 
werden kann. 



L Vectoren mit verschwindender Divergenz. 225 

■ 

Es sei € ein gegebener Vector, der der Bedingung 

div 6 = 
igt, und wir suchen einen Vector % zu bestimmen, so dass 

e = curia 

L Dieser Vector 91 kann selbstverständlich nur bis auf einen 
tif hinzutretenden willkürlichen Potentialvector bestimmt sein. 
(2) zu befriedigen, setzen wir 91 als Curl eines dritten Vec- 
9 voraus, also 

91 = curl », 
6 = curl curl S3. 

Wenn man aber die Componenten des Vectors curl curl S 
dt, so giebt eine einfache Rechnung aus (4) 

öx 

n J wie früher die Bedeutung hat: 

_ 8^ 82 8» 

8a:«'+" 8y2 "•" dz^' 

Hiemach wird also die Gleichung (2) durch (3) befriedigt, 
I wir 99 den Bedingungen unterwerfen: 

/^ JBx = Cr, ^ By = Cyy ^ Bs = Cs-, 

div S = 0. 

Wir haben hier vier Differentialgleichungen für die drei 
itionen B^^ By^ Bg^ die aber nicht von einander unabhängig 
da aus den drei ersten 

^ div S = 

Wir werden im folgenden Abschnitte sehen, dass die 
rentialgleichungen (6) z. B. immer dann eine Lösung haben, 
^ Cx^ Cy^ Cm in einem endlichen Kaumstücke beliebig gegeben 
und ausserhalb dieses Raumstückes verschwinden, und dass 
i, wenn div 6 verschwindet, auch die Gleichung (7) befriedigt 

Hier wollen wir über die Integration dieser Gleichungen 

Folgendes bemerken: 

Angenommen, es sei Bg^ By irgendwie bestimmt, so dass sie 
beiden ersten Gleichungen (6) genügen. Dann giebt die 
3hung (7) dBg/dz^ also Bg, bis auf eine willkürliche Func- 
von X und y. Wir setzen daher 

B. = b: -\- x{^,y). 

Umaan-Wtbtr, Purtielle Differentialgleichungen. J5 



I 



226 Zehnter Abschnitt. §. 94. 

worin B', irgend einer bestimmten Annahme über diese willkür- 
liche Function entspricht. Aus den Gleichungen (6) folgt aber 

CiS dz 9jBr ' 

und folglich 

(9) z/5; = - a + a>(^,t/), 

worin 0{x^y) eine (durch B[ bestimmte) Function von a?, y allein 
ist. Aus (8) ersieht man, dass die letzte Bedingung (6) be- 
friedigt wird, wenn 

(10) L^ 4-^ = _ a>(x,v) 

gesetzt wird. Hiemach ist also die Bestimmung des Vectors S 
auf die Integration der drei Gleichungen 

(11) ^B,= -a, JBy = ^Cy, dX = —0 

zurückgeführt, und unser Satz ist bewiesen, wenn wir voraus- 
setzen, dass die Differentialgleichung 

(12) z/9 = -^ 

für jede gegebene Function ^ eine Lösung hat 

Für diese Betrachtungen ist nicht erforderlich, dass q im 
ganzen Räume gegeben sei; wir können uns auf die Betrachtung 
eines beliebig kleinen Kaumthciles beschränken, und auch für 
die Function tp nur nach den Werthen in diesem Raumtheile 
fragen. Dann hat aber die Differentialgleichung (p unendlich 
viele Lösungen. 

Ein CoroUar aus diesen Sätzen ist noch der Satz: 

2. Jeder Vector lässt sich in einen Potentialvector 
und in einen Curl zerlegen. 

Ist nämlich 91 ein gegebener Vector, so setzen wir 

(13) 91 = S 4- g 

und bestimmen eine Function <p aus der Differentialgleichung 

^ (f z=z — div 91 ; 
wenn wir dann 33 gleich dem Gradienten von 9, also [§.88(10)] 

5) = grad 9?, div 9J = div 91 
setzen, so ist divß = und 6 ist also nach 1. ein Curl. 



Elfter Abschnitt. 

Potentiale. 



§. 95. 
Vorbereitung zum Green'schen Satze. 

Es seien U^ V zwei skalare Functionen. Aus ihnen lässt 
sich ein Vector 21 = 31(17, F) ableiten, dessen Gomponenten die 
folgenden sind: 

cx ox 

Dieser Vector ist unabhängig vom Goordinatensysteme. Denn 
nehmen wir eine beliebige gerade Linie, auf der wir von einem 
willkürlichen Anfangspunkte die Abscissen | zählen, so können 
wir jede Function von a?, y, z längs dieser Linie als Function 
von I ansehen. Insbesondere sind also auch x^ j/, z selbst Func- 
tionen von I, und es ist 

(2) ^ = cos (S, x), ^ = cos (I, !/), ^ = cos (!,;&). 

Hiernach ergiebt sich aus (1) 

(3) Ä^ = A^ cos (S, x)-\- Ay cos (S, y) -j- A, cos (|, z) 

öl 8{ 

15* 



228 Elfter AbBchnitt. §. 

Wenn wir also ein neues rechtwinkliges CoordinatensysI 
I, 1}, g einfuhren, so erhalten die Ausdrücke für die Com 
nenten von % nach diesen neuen Axen genau dieselbe Form 
für die Axen a?, j/, z. 

Aus (1) ergiebt sich zunächst nach §. 87 (3) 

(4) div31= Ü^V — VdU, 

wenn unter ^ CT, wie in der Folge stets, der zweite DiflFerent 
Parameter 

verstanden wird. 

Wir grenzen einen Raumtheil t durch eine geschloss« 
Fläche ab, in dem die Functionen ü, V stetig sind i 
stetige Deriyirte haben. In jedem Punkte der Oberfläche 
denken wir uns eine Normale n in das Innere von z 
zogen. Dann ist nach (3): 

und die Anwendung des Gauss' sehen Satzes auf den Rauc 
ergiebt 

(5) |(fr^F-F^I7)dr = -j(l7|i^-F|^)do, 

worin sich die Integrationen auf alle Elemente dt und do ' 
X und erstrecken. 



§. 96. 
Specialisirung der Function Z7. 

Wenn wir in der zuletzt abgeleiteten Formel [/"= 1 
nehmen, so ergiebt sich für jede in dem Gebiete r mit iL: 
ersten Ableitungen stetige Function V 

Es sei ferner q ein variabler Punkt des Gebietes x mit c 
Goordinaten a, 6, c und p ein Punkt mit den Coordinaten x, y. 



J. 96. 



Speoialiairnng der Funotion U. 



229 



Die Entfernung der beiden Punkte sei r, so dass 
(2) 



r = V(a; — a)« + {y - b)* -^ {z - c)K 
Durch Differentiation ergiebt sich: 



r 



X — a 



da 




r» 




ai 








r 


— 


y 


6 


ei 

r 




i» — 


c 



a»i 

r 



— — 7ir + ^" ">5~~' 



r ^ _ 1 , o (y - ft)^ 

8»i 
_ ^ =, _ 1 . 3 (f^^' 

8c r3 ' de» r^ "^ r-^ 

luid daraus folgt durch Addition die Identität: 



f3) 



-^ -i- = 0, 
r 



^enn bei der DifiFerentiation die Coordinaten a, 6, c als yer- 
Änderlich, a?, y, als fest gelten. 

Wenn nun der Punkt p ausserhalb des Gebietes r liegt, so 
Können wir ohne Weiteres Ur=i l/r setzen, und erhalten aus der 
Formel §. 95 (5) 



(*) 



r ' 




do = 0. 



Liegt aber der Punkt p innerhalb r, so wird l/r als 
Function des Punktes g in jp unendlich, und wenn wir daher 
^ie Formel auch jetzt noch auf Fig. 39. 

^==l/r anwenden wollen, müssen 
^^ den Punkt p durch eine Hülle fc, 
^® "wir als eine mit dem willkür- 
lichen Radius q um den Punkt p als 
Mittelpunkt beschriebene Kugelfläche 
^liUelimen, von dem Gebiete r aus- 
J^Wiessen. Das so veränderte Gebiet 
^^^ichnen wir mit r*. 

Machen wir also diese Annahme, so ergiebt die Formel 
§• »5 (6) für das Gebiet r* 




230 Elfter Abschnitt. ^ . 96. 



(5) 



^V^- + 




dö* = 0. 



Das Oberilächenintegral enthält .hier als Bestandtheil das I^nte- 
gral über die Oberfläche der Kugel k. 

Bezeichnen wir nun mit da ein Element der Kugel soiit 
dem Radius 1 (Einheitskugel), so ist ein Element einer Ku^gel- 
fläche mit dem Radius r 

(6) do = r^doj, 

und ein Volumenelement, das von zwei concentrischen Elemeat^en 
do in der Entfernung dr und dem zugehörigen Stücke eixies 
Kegelmantels mit der Spitze in p begrenzt ist, hat den Ausdruck 

(7) dr = r^drdc). 

An der Oberfläche von k fällt die Normale n mit der Rioli- 
timg r zusammen und es ist also dort 

gl 

(^) ^-n = - r 

Hiernach ist der auf h bezügliche Bestandtheil des Fläche :^^ 
integrals in (5) 

(9) ß||rd«,4.|Fd«, 

worin sich die Integration nach da auf die ganze Kugelfläcl^^ 
mit dem Radius 1 erstreckt und unter dem Integralzeichen r = ^^ 
zu setzen ist 

Wenn im Punkte p die Function V und ihre Differentiale 
quotienten endlich sind, so ist auch 

_ = _ _ cos(r,^) + -^ co8(r,y) + -^ cos (r,^) 

in |) endlich, wenn auch sein Werth von der Richtung abhängt^ 
in der man in den Punkt p hineingeht. 

Wenn* wir daher jetzt die Hülle k unendlich klein werden^ 
also q gegen Null convergiren lassen, so nähert sich 



1 






der Grenze Null, und wenn die Function V im. Punkte |> den. 



§. 97. Der Green'Bche Satz. 231 

Werth V^ hat, so hat der andere Bestandtheil des Ausdrucks (9), 
weil die Fläche der Einheitskugel = 4ä ist, den Grenzwerth 

(10) lim [ Fdo = 43rFp. 

In dem Raumintegrale der Formel (5) fehlt nun an dem 
über das ganze Gebiet z genommenen Integrale der über den 
Raum von X; genommene Bestandtheil, der nach '(7) den Aus- 
druck hat: 



1 



^Vrdrdo^ 



und der also, wenn wir noch voraussetzen, dass dV im Punkte p 
endlich bleibt, mit q zugleich unendlich klein wird. Nach alle- 
dem nimmt (5) die Form an: 

/• /•/ ^1 

1 8F 



(11) 4«Fp = — 



r 

J 




worin sich jetzt die Integration in Bezug auf ix auf das ganze 
ursprüngliche Gebiet x und die Integration nach do auf dessen 
Begrenzung erstreckt. Von der den Punkt j> umgebenden Hülle i 
ist in der Gleichung (11) jede Spur verschwunden. 

Aus (4) und (11) ergiebt sich ein specieller Fall, den man 
erhält, wenn man F= 1 annimmt. Es wird dann ^F= 0, 
a F/ a » = 0, und folglich 



(12) 



Sn 



do = oder = 4ä, 



je nachdem der Punkt p ausserhalb oder innerhalb der Fläche 
liegt. Ist 1^ eine der Differentialgleichung ^^ = genügende 
Function, und ist ^ -f~ V^ ^^ ^0°^ Gebiete x stetig, so ergiebt 
sich hieraus mit Benutzung von (1), wenn j) ein innerer Punkt ist: 

(13) fl^dö = — ^n. 



§. 97. 
Der Green'sche Satz. 

Wir setzen nun die Formeln §. 95 (5) und die daraus ab- 
geleitete Formel §. 96 (11) unter einander: 



232 



Elfter Abschnitt 



o = jirjü-UJr)dr-l(u^-r^) 



0, 



4«Fp = 



^F^- II- 




Sie gelten gleichzeitig, wenn ü und V mit ihren ersten 
virten im Gebiete r stetig sind, und wenn wir also die erst^ 
der zweiten subtrahiren, so folgt 



FOD 



(1) 



4jrF„ 



=K--^) 



^VdT 



-1 



VjdüdT 



+ 



\ r/ ön ön 



do. 



Wir verstehen nun unter der Green'schen Function des 
Raumes r eine Function G eines Punktes q dieses Gebietes, die 
den folgenden Bedingungen genügt: 

1. Im Räume r ist G überall, mit Ausnahme ein^^ 
Punktes |), endlich und stetig und hat stetig^ 
Derivirte. 

2. Ist r die Entfernung der beiden Punkte p und <!' 
so ist die Function (r + l/r auch in dem Punkte f 
stetig. 

3. Im ganzen Gebiete r ist z/6r = 0. 

4. An der Grenze des Gebietes r ist G = 0. 

G ist hiernach eine Function der beiden Punkte p und 
Bei der Definition gilt q als variabel, p als fest. 

Den Bedingungen 1., 2., 3. genügt die Function — 1/r 8elt>^ 
nicht aber der Bedingung 4. 

Ist eine solche Function G bekannt, so können wir in c9^ 
Formel (1) U= 6r -|- 1/r setzen. Dann ist d U= und wir erhalt^^ 



(2) 



4« F. 



= 1 



GdVdx 



-1 






und diese Formel ist es, die unter dem Namen des Green'sch 
Satzes bekannt ist. 

Wir scbliessen aus diesem Satze zunächst: 
1. Es giebt für einen gegebenen Raum r, für ein 
gegebenen Punkt 2> nicht mehr als eineGreen'sc 
Function. 



§. 97. Der Green'sohe Satz. 233 

Denn angenommen, es gebe zwei solche Functionen, G und 
Cr'y 80 ist die DifiFerenz G — G' eine Function, die in dem ganzen 
Gebiete r mit ihren Derivirten stetig ist. Es ist aber ausserdem 
im Inneren von r überall ^ (G — G') = 0, und an der Grenz- 
fläche überall G — 6r' = 0; setzen wir also in der Formel (2) 
V = G — G\ so ergiebt sich F^ = 0, d. h. es ist 6r = G' im 
ganzen Räume r. 

Die Formel (2) löst uns femer, wenn die Green' sehe 
Function bekannt ist, die Aufgabe: 

2. Es soll eine Function F gefunden werden, die im 
ganzen Räume t mit ihren Derivirten stetig ist, 
wenn die Werthe von ^V im Inneren von r und 
die Werthe von V an der Oberfläche von r ge- 
geben sind. 

Die Formel (2) giebt nämlich unmittelbar aus diesen Daten 
die Function V in einem beliebigen Punkte p und zeigt ausser- 
^leni, dass es nur eine Lösung der Aufgabe giebt 

Die Bestimmung der Function G selbst ist ein specieller 
Fall dieser Aufgabe und gelingt nur in besonderen Fällen. Ihre 
Bestimmung ist eine Fundamentalaufgabe in der Theorie der 
partiellen Differentialgleichungen und ihren Anwendungen auf die 
inathematische Physik. 

Wir beweisen noch den folgenden Satz über die Green *sche 
Function. 

3. Bezeichnet man die Green'sche Function, um ihre 
Abhängigkeit von den beiden Punkten jp, q anzu- 
deuten, mit Gp^q^ so ist 

Der Beweis ergiebt sich so: Wir nehmen die beiden Green'- 
schen Functionen Gp^^q, (^Pt.q ^^^ dasselbe Gebiet r und schliessen 
^on diesem Gebiete die beiden Punkte jpi, pa durch kleine Kugeln 
*i9 ig mit den Radien q^^ Q2 aus. Auf das so geschaffene Ge- 
biet V wenden wir die Formel (5 j §.95 an, indem wir ü=Gp^^q^ 
'^== Gp^q setzen, und verfahren dann ebenso wie in §. 96. Wir 
^«•halten dann 

(^) 4« rö —G ^ {(g ? ^^-« — G ^^^il.\ do 



284 Elfter Absohniti §. 98. 

und daraus, da 6rp^,g, Gp^q an der Grenze verschwinden, 

wie bewiesen werden sollte. 



§. 98. 
Unstetigkeiten. 

Wir wollen nun annehmen, dass in dem Felde r eine Fläche 
liege, in der V und seine Differentialquotienten unstetig sind. 
Wir nehmen an, dass die Functionen 

dV dv dV 



F, 



dx' ~dy' dz 




im ganzen Gebiete r mit Ausnahme der Fläche bestimmte, 

stetig veränderliche Werthe haben, dass diese Werthe aber in 

„. ^ zwei unendlich benachbarten Punkten auf 

beiden Seiten von <J um eine endliche 

Grösse verschieden sind. 

Wir ziehen, wie die Fig. 40 zeigt, 
durch jeden Punkt der Fläche <J eine Nor- 
male f/, die wir in einer beliebigen, aber 
über die ganze Fläche festzuhaltenden 
Richtung positiv nehmen, und nennen die 
Seite der Fläche <J, die auf der Seite der 
wachsenden v liegt, die positive Seite dieser Fläche. Die Werthe 
von V in benachbarten Punkten auf den beiden Seiten von <J 

unterscheiden wir als F"*" und F", und bezeichnen analog auch 
die Differentialquotienten. 

Es lässt sich dann die Formel §. 96, (H) anwenden, wenn 
wir beide Seiten der Fläche <J mit zu der Begrenzung von r 
rechnen. Auf der positiven Seite von <J ist dann dn =^ dv^ auf 
der negativen dn = — dv anzunehmen. Der Punkt j> soll nicht 
auf der Fläche ö liegen. 

Bezeichnen wir also mit dö ein Element der Fläche ö und 
beziehen die Integration nach dö auf diese ganze Fläche, wäh- 
rend do die ursprüngliche Grenze des Gebietes r (ohne ö) durch- 
läuft, so ergiebt die Formel §. 96, (11) 



Unendliobe Felder. 



235 



4«r, = — 



r 



r cn dn 



do 



-i[aTr-G4r]T+ 



(y 



r+ 






Hierin ist, um daran zu erinnern, r die Entfernung des 
ctes p Yon einem Punkte des Integrationselementes dt, do^ 
und es sind demnach die Integrale noch Functionen der 
dinaten des Punktes p. 

Die Formel (1) gilt selbstverständlich auch, wenn 6 aus 
reren getrennten Stücken besteht, oder, was dasselbe ist, 
i im Gebiete r mehrere verschiedene Unstetigkeitsflächen 

D. 



§. 99. 
Unendliche Felder. 

Wir nehmen jetzt wieder das in der Formel §. 95 (5) vor- 
nende Flächenintegral 



K^^-^m^- 



Fig. 41. 



Üe Veränderung zu untersuchen, die eintritt, wenn sich das 

% ins Unendliche erstreckt 

Wir nehmen einen festen Punkt P und bezeichnen mit B 

die Entfernung des Punktes P von 
dem Elemente do. Ist wieder dco 
ein Element der mit dem Radius 1 
um P beschriebenen Kugel, so ist, 
wenn der Winkel (n, R) spitz ge- 
nommen wird (siehe Fig. 41) 

do = R^do cos(n, B), 
und das Integral (1) lässt sich also 
auch so darstellen: 

Kü~— V ^^-) cos (n,B)iJ2daj. 
dn cn) ^ ' 

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Grenz- 
s 80 beschaffen und der Punkt P so gewählt sei, dass 




236 Elfter Absohnitt §. 99. 

jeder Strahl 22 die Fläche in einem und nur in einem Punkte 
trifft. Dann erstreckt sich die Integration in Bezug auf do in 

(2) einfach über die ganze Einheitskugel, also über ein end- 
liches Gebiet. Es ist leicht zu sehen , welche Modificationen in 
dieser Beziehung eintreten, wenn diese Voraussetzung nicht ge- 
macht wird. Für unseren Zweck ist dies nicht erforderlich. 

Nehmen wir nun an, die Functionen CT, V seien im ganzen 
unendlichen Räume gegeben. Es soll aber vorausgesetzt sein: 

(3) für B=oo ist Cr=0, F=0, 

^'4t' ^'4t ^''''"''^' 

wenn l eine beliebige Richtung ist; das heisst, die letzten 
Producte sollen, wie gross auch B angenommen wird, be- 
stimmte endliche Grenzen nicht überschreiten. Es ist nicht 
erforderlich, anzunehmen, dass diese Producte für jB = oo be- 
stimmte endliche Grenzwerthe haben. Um sich in einem ge- 
gebenen Falle davon zu überzeugen, ob diese Bedingungen 
erfüllt sind, genügt es, die Richtung { nach einander mit den 
drei Goordinatenrichtungen x^ i/, z zusammenfallen zu lassen. 
Unter diesen Annahmen werden die Producte 

im Unendlichen verschwinden, während das Integrationsgebiet 
für dco, wie auch die Fläche sich verändern mag, immer das- 
selbe bleibt Wenn wir daher die Grenzfläche allerseits ix** 
Unendliche hinausrücken lassen, etwa wie eine Kugel, deren 
Radius ohne Grenzen wächst (oder auch sonst beliebig), so wird 
sich das Integral (2) der Grenze Null nähern. 

Ist wieder r die Entfernung des Punktes p von d©^ 
Punkte q mit den Goordinaten a;, y, z^ so ist 

i?a_ = - _cos(r,a;), ..., 

und die Forderung (3) ist für die Function U erfüllt, wenn "^^^ 
U= l/r annehmen. Denn JB und r sind die Entfernungen iJ^*' 
selben Punktes q von den beiden festen Punkten P, p und t^ / ^' 
hat also den Grenzwerth 1, wenn q ins Unendliche rückt. W^^^ 



- J 



■1, 



99. 



unendliche Felder. 



237 



in fiir die Function V beliebige Unstetigkeitsfiächen 6 vor- 
mden sind, so ergiebt die Formel §. 98 (1) 

) 



4 « Fp = 



JV— — 

r 



[\cv) \dv) J 



r 






ierin erstreckt sich das Integral nach dv über den ganzen un- 
idiichen Kaum, und unsere Ableitung zeigt zugleich, dass die 
)er V gemachten Voraussetzungen genügen, um die Convergenz 
eses Integi*als sicher zu stellen. 
Setzt man, Yorläufig nur zur Abkürzung. 

) z/F== — 47rp, 

» (^:r-(^D-=— . 

erhält die Formel (4) die einfachere Form: 



/» 



) 



Vp = 



gdx 



+ 



sdö . 






d diese Formel zeigt, dass eine Function F, die im Unend- 
hen den Bedingungen (3) genügt, und abgesehen von einzelnen 
ichen 6 mit ihren ersten Ableitungen stetig ist, eindeutig 
stimmt ist, wenn im ganzen unendlichen Räume z/Fge- 
)€n und an den Flächen ö die Unstetigkeiten von V und 
des nach der Normalen genommenen Differentiahiuoticnten 
[eben sind. 

Die Stetigkeit von q ist hierbei keineswegs vorausgesetzt, 
1 es ist z. B. die Annahme zulässig, dass q nur in einem end- 
len Kaumtheile von Null verschieden, sonst überall =0 sei. 

Durch diese Betrachtungen lässt sich auch der Green' sehe 
iz [§. 97 (2)] auf den Fall eines ins Unendliche ausgedehnten 
bietes t übertragen, wenn wir lür diesen Fall zu den die 
een'sche Function G definirenden Eigenschaften §. 97, 1., 2., 3., 4. 
ch die weitere hinzufugen. 

5. Im Unendlichen soll G = und R^dG/dl end- 
lich sein. 



238 



Elfter Abschnitt. 



§.ioa 



ii« 



§. 100. 
Das Newton'sche Potential. 

Die zuletzt abgeleitete Formel (8) ist mit Rücksicht auf die 
Definitionen von p, £, 17 eine blosse Identität. Sie enthält eine 
Darstellung einer gewissen, sehr allgemeinen Stetigkeitsbedin- 
gangen unterworfenen Function V durch bestimmte Integrale. 

Wenn wir uns aber auf einen anderen Standpunkt stellen 
und ausser den Flächen 6 die Functionen 9, 6, 17 als beliebig 
gegebene annehmen, so dient die Formel (8) zur Definition einer 
Function F, und es entsteht die Frage, ob diese Function V 
dann auch wirklich den Bedingungen (5), (6), (7) des vorigen 
Paragraphen genügt. 

Die drei Bestandtheile, aus denen der angegebene Ausdrack 
von V besteht : 



(1) 



p = 



gdr 



F = 



sda 



« = 



'7 

dv 



heissen Potentiale, zum Unterschiede von anderen Bedeutungen, 
in denen dies Wort wohl sonst noch gebraucht wird, Newton'sche 
Potentiale mit Rücksicht auf die Bedeutung dieser Functionen 
in der Theorie der Kräfte, die nach dem Newtoh'schen Gravi- 
tationsgesetze wirken. Wir wollen zunächst die Function ^ 
allein betrachten, in der wir aber ein für allemal voraussetzen 
wollen, dass q nur in einem endlichen Theile des Raumes voi^ 
Null verschieden sei; ausserdem wollen ¥är die Function ^ 
überall endlich annehmen und beliebige Unstetigkeiten ^^ 
Flächen zulassen. Die Function q möge die Massendichti^' 

keit und 

Qdt = dm 



das Massenelement heissen. Wir denken dabei zunächst 
nicht an die mechanische und physikalische Bedeutung dieö^' 
Ausdrücke und schliessen z. B. keineswegs den Fall aus, dasd ^ 
auch negativ sei. 

Die Function F kann als Specialfall, oder genauer gesagt, 
Grenzfall der Function P aufgefasst werden. Denken wir 
nämlich die Fläche als einen unendlicli dünnen Körper 



8 



loa 



Das Newton'sohe Potential. 



239 



er Dicke dv und bilden das Potential P für diesen Körper mit 
er Massendichtigkeit ^, so wird dm z= gdvdö 

2) P = j^.»", 

nd wir brauchen nur gdv = e zu setzen, so geht P in 2^ 
ber. Da b endlich sein soll, so muss hierbei q mit unendlich ab- 
ehmenden dv unendlich gross werden. 

€ heisst die Flächendichtigkeit und F ein Flächen- 
lotential. 

Ebenso lässt sich O als Grenzfall von F betrachten. Wir 
lenken uns zu diesem Zwecke über der Fläche 6 eine parallele 



^he 6' in der unendlich kleinen Ent- 
ernnng dv^ so dass jedem Punkte von ö 
ler Punkt von ö' gegenüber steht, der 
lurch die Normale dv getroffen wird, 
^as Flächenelement d ö sei mit der 
lachendichte — e belegt, das gegenüber- 
tehende Element dö' mit -|- £'. Es ist 
Mm das Potential dieser Doppelfläche, 
enn / die Entfernung des Punktes p 
m dö' ist: 



Fig. 42. 




) 



Wir nehmen dann die Dichtigkeit e' so an, dass 

I e'dö' = edö, 

h., dass auf gleichen Flächenstücken von <J und <J' gleiche, 
3r entgegengesetzte Massen liegen. Wenn wir dann noch nach 
H Taylor' sehen Lehrsatze 

J^ _ 1 j r ^^ 

2en, so ergiebt sich aus (3), (4) und (5) 



F = 



6 - dv dö , 
dv 



d dies geht in O über, wenn r^ = edv gesetzt wird, so dass 
•ch hier £ für ein unendlich kleines dv unendlich gross wird. 



240 Elfter AbBohnitt. §. 101. 

Die Function O heisst daher das Potential einer Doppel- 
schicht und f} die Dichtigkeit der Doppelbelegung. 



§. 101. 
Die Kraftcomponenten. 

Das räumliche Potential 

gdz 



(1) F = 



r 



in dem sich, wie wir festgesetzt haben, das Integral nach dt 
auf ein endliches Gebiet r erstreckt, ist eine Function der 
Coordination a:, y, des Punktes p. Wir sagen, das Potential 
beziehe sich auf den Punkt p. Es ist dann r die Entfernung^ 
dieses Punktes von dem Integrationselemente dz. Liegt dec> 
Punkt p ausserhalb des Raumes r, so nennen wir ihn einecx 
äusseren Punkt, lieber die Convergenz des Integrals ist danx:^ 
kein Zweifel, weil r nicht unter einen gewissen positiven Wert\::i 
heruntersinkt. Dass aber auch die Convergenz nicht aufhört^ 
wenn der Punkt p ein innerer Punkt ist, worunter wir ein&xi 
Punkt verstehen, der dem Gebiete r angehört, ergiebt die Eir^- 
führung von Polarcoordinaten um den Punkt j?. Denn bezeichnet 
wie früher dco das Flächenelement auf der Einheitskugel, sc 
können wir nach §. 96 (7) 

(2) dt = r^drdco 
setzen und erhalten 

P = Qrdrdfo^ 

wo nun die Function unter dem Integralzeichen im Integrations- 
gebiete nicht unendlich wird. 

Wir bilden nun noch eine zweite Function, die durch Diffe- 
rentiation des Ausdruckes von P unter dem Integralzeichen ent- 
steht Es ist nämlich 

(3) r^ = ia- xy -\-(b- yY + (c - g)\ 

. . r {a — x) cosa 

^^ Yx ~ rä" ~~ ~ "^' 

wenn a den Winkel bedeutet, den die von p nach dr bin g^ 



'•*: 



§. 101. 



Die Kraftcomponenten. 



241 



zogene Richtung r mit der positiven a:-Axe bildet. Es ergiebt 
sicli dann eine Function 

8' 



/• 



(5) 



X = 



ex 



dwcosa 



und diese Function geht durch die Substitution (2) in 

(6) X = I pcosadrdo) 

über, woraus man schliesst, dass auch dieses Integral conver- 
gent ist 

Wenn wir nun die Function X in Bezug auf x zwischen 
den Grenzen Xo und x integriren, während wir y und z constant 
Ittsen, so ergiebt sich, wenn wir die Integration unter den 
Integralzeichen ausfuhren: 

Xq 

^enn Po den Werth von P für a: = x^ bedeutet, und daraus 
^olgt wieder durch Differentiation 



(7) 



X = 



ÖP 
dx 



Die Grösse X hat folgende Bedeutung: 

Wenn auf den Punkt ^ eine Kraft wirkt von der Intensität 
•^Z^*, die, wenn dm positiv ist, von p nach dem Elemente dw 
gerichtet ist, und wenn dm negativ ist, die entgegengesetzte 
Achtung hat, so kann diese Kraft angesehen werden als eine 
^i^ziehung oder Abstossung, die das Element dm auf den 
"unkt |) ausübt, und das durch dmjr^ ausgedrückte Wirkungs- 
8©8etz dieser Kraft ist das Newton'sche Gravitationsgesetz. 

Die in der Richtung der positiven a;-Axe genommene Com- 
P^Jiente dieser Kraft ist 

dX = - - cosa, 

'^^d wenn nun eine ebensolche Kraft von sämmtlichen Elementen 
**^ ausgeht^ so ist der durch (3) gegebene Ausdruck von X die 
^^sammtcomponente der Wirkung des Körpers r auf 
*exi Punkt p. 

^l«m ABB -Weber, Partielle Differentialgleichungen. ^ß 



242 Elfter Abschnitt. §. 102. 

Dieselbe Betncbtiing lasst sich aber in Bezog auf die jf-Axe 
and die ^-Axe anstellen, and es ergeben sich so die drei Com- 
ponenten X, Y, Z der Wirkung des Körpers t auf den Punkt p 
als die partiellen Ableitungen des Fotentiales nach den drei 
(Joordinaten x^y^ z: 

rx ry rz 

Der Ausdruck 
(9; dF = Xdx — Tdy — Zdz 

ist ein vollständiges DifferentiaL 

Wenn auch noch Flächen 6 vorkommen, die mit Massen 
oder mit einer Doppelschicht belegt sind, so wird in diesen Be- 
trachtungen gar nichts geändert wenn der Punkt p nicht gerade 
auf einer dieser Flächen liegt und wir erhalten die Componenten 
der Gesammtwirkung auf den Punkt p in der Form 

(10) x = ^-;, y = |{, z = g, 

(11) dV= Xdx — Ydy — Zdz, 

worin V die Bedeutung §. 99 (8) hat 



§. 102. 
Stetigkeit der Functionen F, X, F, Z, 

1. Die Functionen F, X, Y, Z sind stetige Func- 
tionen des Punktes p auch beim Durchgange 
durch eine Fläche, in der q unstetig ist (aber 
nicht beim Durchgange durch die Fläche 6). 

Wir beweisen die Stetigkeit der Function T, indem wir be- 
merken, dass die Schlüsse unverändert auf die Functionen X, T, Z 
anzuwenden sind. 

Die Eigenschaft der Stetigkeit einer Function V besteht 
darin, dass die Schwankungen der Function V kleiner bleiben 
als eine beliebig kleine gegebene Grösse ^, wenn die Ver- 
schiebungen des Punktes p kleiner sind als eine hinlänglich 
kleine Grösse d. Dass V stetig ist, so lange der Punkt p ausser- 
halb des Integrationsgebietes r liegt, folgt aus den allgemeinen 
Sätzen über Stetigkeit von Integralen als Functionen eines Para- 



1Ü2. Stetigkeit der Funotionen F, X, Y, Z, 243 

tere. Denn in diesem Falle ist die zu integrirende Function 
ganzen Integrationsgebiete eine endliche und stetige Function 
• Lage von p. 

Wenn aber p ein innerer Punkt ist, so nehmen wir ihn 
endlicher Entfernung von der Fläche <J an und umgeben 

mit einer Hülle, die etwa die Gestalt einer Kugel haben 
g und die das Gebiet r in zwei Theile r® und r* theilt, wenn 
der von der Kugelhülle umschlossene Raum, r* der übrig- 
ibende Theil von r ist. 

Liegt p in der Nähe der Oberfläche von r, so wird die 
lle über das Gebiet hinausreichen können. Die hierdurch 
»tehenden Weitläufigkeiten können wir aber einfach durch 
t Bemerkung umgehen, dass wir den Raum r beliebig aus- 
inen können, wenn wir in den hinzugekommenen Theilen q = 
nehmen. 

Die Function V zerfallt also jetzt in die beiden Bestand- 
ile V^ und F*, von denen der erste aus der Integration über 
der zweite aus der über r* herrührt. 

Wir nehmen nun die Hülle zunächst so klein an, dass V^ 
edem Punkte in ihrem Inneren kleiner als i/,z/ wird, was 
:en der Convergenz des Integrals V immer möglich ist. Die 
ikte im Inneren dieser Hülle sind aber für den Raum r*- 
aere Punkte und folglich ist V* eine stetige Function von p^ 
ünge p in der Hülle bleibt, man kann also die Grenze ö für 
Verschiebung von p so klein machen, dass die Schwankung 

V* kleiner als V«-^ wird, und dann ist also die Schwan- 
g von V kleiner als z/. 

Da wir angenommen haben, dass der Körper r und die 
chen 6 ganz im Endlichen liegen, so sind F, X, Y, Z im 
mdlichen gleich Null. Das Verschwinden lässt sich noch ge- 
ler 80 bestimmen: 

2. Bedeutet B die Entfernung des Punktes p von 
einem festen Punkte, z. B. dem Goordinaten- 
anfangspunkte, so sind die Producte 

BF, UaX, Ä^r, R^Z 

im Unendlichen endlich. 

Dies ist aus den Ausdrücken für F, X, Y, Z durch In te- 
le ohne )Veiteres zu ersehen. 

IG* 



244 Elfter Abschnitt. §. 103. 

§. 103. 
Die Differentialquotienten von X, F, Z. 

Die auf einen äusseren Punkt p bezogenen Functionen 
X, Y, Z können nach den Coordinaten dieses Punktes beliebig 
oft diflferentiirt werden, indem man die DiflFerentiation unter dem 
Integralzeichen ausführt. Für einen äusseren Punkt haben diese 
Functionen also DiflFerentialquotienten jeder Ordnung, die stetige 
Functionen des Ortes sind. 

Für einen inneren Punkt kann aber schon die erste DiflFe- 
rentiation von X, Y, Z nicht mehr durch DiflFerentiation unter 
dem Integralzeichen ausgeführt werden, weil man auf diese Weise 
auf divergente Integrale geführt wird. 

Zur Untersuchung des DiflFerentialquotienten der Function 

[ Q{a — x)dx 



(1) ^ = J^7t 



müssen wir also einen anderen Weg einschlagen, auf den uns 
Gauss gewiesen hat\). 

Die Dichtigkeit p soll zunächst als eine stetige differentiir- 
bare Function des Ortes in dem Räume r angenommen werden. 

Fig. 43. Fig. 44. 




1 




1 



Wir geben dem Punkte p^ der jetzt ein innerer sei, eine 
Verschiebung in einer beliebigen Richtung l von der Grösse e, 

In der Abhandlung : „Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im 
verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden anziehen- 
den und abstossenden Kräfte." (Gauss' Werke, Bd. V. Auch in Ost- 
wald's Classikern.) 



Die Differentialquotienten X, Y, Z, 245 

b 80 gross ist, dass sie ihn aus diesem Raumtheile heraus- 
nd bezeichnen den Werth von X für die neue Lage p' 
it X'. 

ken wir uns aber den ganzen Raum r mit seiner Masse 
Richtung I um e rückwärts geschoben, so kommt />' 
tnit p zur Deckung, und wenn wir den neuen Raum 
^zeichnen, so kann X' auch dadurch gefunden werden, 
das Integral (1) für den Punkt p, aber über den Raum 
in. 

Räume r und r' haben einen Theil Tq gemein; r^ sei 
ü des Raumes r, der durch die Rückwärtsverschiebung 
., der also dem Räume r allein angehört Ebenso sei 
heil des Raumes t', der nicht in r enthalten ist. 

deuten die Integrationsgebiete tQ^x^.x^ dadurch an, 

für das Element dz setzen dro, är^, dx^. 
dehnet q die Dichtigkeit in einem Punkte q und 
Mchtigkeit in dem Punkte ^', der aus q durch Ver- 
g um e in der Richtung l entsteht, beides in der ur- 
^hen Lage des Körpers, so ist q' in r, und q in x^ gleich 
setzen. 
*aus ergiebt sich nach (1) 

Y [ Q (^ — ^) ^^0 _i [ Q (q — ^) dxi 

J r» ' J r» ' 



— x) dt 



^ - J v^ + J — ^ 



2 



lieh 

X>-X^f(p'-P)(a-.) 
e J er^ 



=1 

in nun 6 unendlich klein wird, so gehen die Räume Xi 
1 Schichten über, die der Oberfläche aufgelagert sind, 
imen des über dem Element do stehenden Theiles der 
r, von der Dicke dv ist, wenn dv positiv nach innen 
t ist: 

dx2 = dodv = edo cos(J, v), 

an der Grenze von x^ der Winkel (Z, v) stumpf ist : 
dtj = — edo cos(Z, v). 



246 Elfter Abschnitt. §. 104. 

Es ist femer 

,. X'— X cX 

hm = ^rr ' 

e cl 

wobei so zu differentiiren ist. dass x. y, z als FanctioDen tod I 
aufgefasst werden. Unter dem Integralzeichen in Bezug auf d x^^, 
ist aber ebenso 



lim 



P — P _ cj^ 

e cl 



wobei die Differentiation so zu verstehen ist, dass a, 6, c a"B- * 
Functionen Ton l anzusehen sind. 

Der Raum To fällt in der Grenze mit r zusammen ; Tj un -^^ 
Ts bedecken zusammen die ganze Oberfläche und in r^ gelr^- — ^ 
q' in Q über. Wir erhalten also 

• 

Das nach dt genommene Integral ist die x-Componente decr - 
Wirkung einer Massenyertheilung mit der Dichte cq/cI^ unc^ 
das Integral nach do ist die x-Componente einer Oberflächen^ ^ 
belegung Ton der Flächendichte q cos (?, v) , und folglich ist 
c X cl eine stetige Function der Lage von p. 

Dasselbe gilt aber auch noch, wenn p nicht im ganzei 
Räume stetig ist. so lange sich nur p in einem Raumtheil ver-T: 
schiebt in dem keine Unstetigkeit von q liegt Denn theilt ma^r~ . 
den Raum r in zwei Theile r^ und t\ so dass p ia x' liegt udi» ^ 
Q in t' stetig ist, so zerfällt X in zwei Theile X' + X", un _^ 
da p in Bezug auf r" ein äusserer Punkt ist, so hat X" stetig 
Difterentialquotienten jeder Ordnung. 

Da nun die nämliche Betrachtung auf die Functionen F, 2 
anwendbar ist, so haben wir den Satz: 

3. Die Componenten X. F. Z haben in einem Rau''^3i- 
theile. in dem die Dichtigkeit q stetig und dif be- 
reut urbar ist, in jeder Richtung? stetige Derivirr te. 



§. 104. 
Bestimmung von J V und der Unstetigkeiten von 

Von Wichtigkeit ist nun, wenn V ein Potential ist, ^^ 
Kenntniss von J V und der Unstetiirkeiten von V und sei^*'" 



S.104. 



Bestimmung von J F. 



247 



DeriTirten an den Flächen 6. Wenn die Function V in dem 
Punkte |) mit den Coordinaten rr, y, z durch das Integral 



(1) 



yv = 



9<lr , 

r -^ 



/• 



siiö 



1 



r 



cv 



f/<J 



definirt wird, so können wir, wenn p ein äusserer Punkt ist, 
unter den Integralzeichen diflPerentiiren, und wir erhalten 



/• 



z/J-p = 



pz/ -- dt -\- 
r I 



/• 



r 



1 



ri — rfö. 



Bnd da -^ — = ist, so folgt für einen äusseren Punkt 



(2) 



JVp = 0. 



Ist aber p ein innerer Punkt, so schneiden wir durch eine 
'^«liebige geschlossene Fläche aus dem Räume r einen Theil r^ 
J^^raus, der den Punkt j^ und, möglicher Weise, auch einen Theil 
^' der Fläche ö enthält. Den übrigen Theil des Raumes r be- 
zeichnen wir mit r*. Entsprechend den beiden Räumen r^ und r* 



zerfällt Fp in zwei Theile 



(3) r, = VI + r* 

^^d wenn wir durch die Bezeichnung dr^, dö^ andeuten, dass 
8^ch die Integration auf r^ und 6^ erstrecken soll, so ist 

^ • ^* 1 

r 



:*) 






gdr^ 



edö^ 



4- 



V 



cv 



d6\ 



"ierin kann p jeden beliebigen Punkt des unendlichen Raumes 
bedeuten. Entsprechend wird der zweite Bestandtheil von T^, 
Jefinirt : 



/• 



[5 



fp — 



pc/r" 



/• 



r 



1 
r 



c V 



dö\ 



Da der Punkt p im Inneren von r« liegt, so ist er für den 
Haum t* ein äusserer Punkt, und die Function F* genügt daher 
im Räume r® der Differentialgleichung 

(6) 



z/ f; = 0. 



248 Elfter Abschnitt. §. 1(^ 

Aus demselben Grunde ist V* im Inneren von %^ stetig, um 
wir haben daher an der Fläche ö^ 

(7 \dv ) \öv J - ' 

(F*)+ — (F*)~ = 0. 

Wenn wir nun auf die Function F® die [Formel §. 99 (4 
anwenden, so ergiebt sich 

+j[(r«)+_(FT]^dtfo, 

wofür man mit Rücksicht auf (6) und (7) auch setzen kann 

(S) ,.., = _|.r^^-f[(|E)*-(|-:)-]^ 



+ 






cv 
und wenn man aus (8) und (4) V^ eliminirt, so folgt 



. 1 

r 






und diese Formel gilt für jeden Punkt p im Inneren von ^ 
und sie gilt andererseits für jeden beliebigen, aus t heraus 
geschnittenen Raumtheil x^. Nehmen wir zunächst den Rannr 
theil x^ so, dass er die Fläche 6 ausschliesst, so fallen in (£ 
die Integrale in Bezug auf d6^ weg, und es folgt, dass i 
jedem Raumtheile ausserhalb dieser Flächen die Differential 
gleichung 

(10) ^V = — 4.71Q 

befiiedigt sein muss, da, wenn z/F-f-4«p in ii^nd einec 
Raumtheile nur positiv oder nur negativ wäre, die Bedingung (S 
für diesen Raumtheil nicht befriedigt sein könnte. 



jf< i(M. Bestimmung von dV, 249 

Ebeoso schliesst man, dass in jedem Theile 6^ der 
Fläche 6 

"" [(|-0*-Q"+-]r-<^-----*'')^= <• 

sein muss. Es ist nun daran zu erinnern, dass r die Ent- 
fern ixng zweier Punkte |), g (mit den Coordinaten rc, y, jer und 
0> 6, c) ist, dass in (11) q^ ein Punkt 
der Flache <y* und |> ein beliebiger 
PunJct in dem die Fläche 6^ umgeben- 
den Saume %^ ist. 
üs ist aber 

r 1 8 r cos (r, v) 

uncL folglich nach (11): 

"^> '[(i^r-(i^r+-'] 

-j_ (F+ -_ K"" — 4Äiy) co8(r, 1/) = 0. 

Lässt man p auf der Verbindungslinie (p, (;) fortrücken, so 
^^^rt sich r, nicht aber co8(r, v). Es ist also (12) nur be- 
"^^^gt, wenn in jedem Flächen theile 6^ 

^^^ hierin können p, £, iy beliebig gegebene Functionen sein. 

Die Gleichung (10) wird die Differentialgleichung von 
^^•l)lace genannt 




Zwölfter Abschnitt. 

Beispiele zum Potential. 



§ 105. 
Das Problem des Potentials gegebener Massen. 

Wir haben in §. 97, 2. nachgewiesen, dass eine Function 
im ganzen unendlichen Raum eindeutig bestimmt ist durch foL 
gende Bedingungen: 

1. Es ist überall /^F= — 43rp, wenn q eine gegeben 
stetige oder unstetige Function des Ortes ist 

2. An gewissen gegebenen Flächen ö ist V in der Weis* 
unstetig, dass 

(i-:r- (i-:r= — '■ "*---=-.. 

wenn s und tj an den Flächen 6 gegebene Functionen 
sind und v die Normale der Fläche 6 in einem behebS 
angenommenen Sinne positiv gerechnet, bedeutet 

3. Abgesehen von den Flächen ö ist V überall stetig nra 
hat stetige Derivirte. 

4. Ist li die Entfernung des variablen Punktes, auf d^ 
sich V bezieht, von einem festen Punkte (dem Coor<: 
natenanfangspunkte z. B.), so ist für 12 = oo 

F = 0, R^^ endlich, 

öl 

wenn dV/dl die Derivirte von V in einer beliebige 
Richtung / bedeutet 



§. 106. Potential einer homogenen Kugel. 251 

£8 handelt sich also bei der Bestimmung Ton V um die 
Integration einer partiellen Differentialgleichung, für 
deren Lösung gewisse Stetigkeitsbedingungen vorgeschrieben sind. 

Die Integration dieser DüferentialgleichuDg ist aber durch 
die Formel §. 99 (8) allgemein und vollständig geleistet und es 
kann sich daher bei der Behandlung von besonderen Fällen nur 
noch darum handeln, die in jener Formel vorkommenden drei- 
und zweifachen Integrale zu vereinfacheu. Dazu führt bisweilen, 
einüacher als die Umformung der Integrale, eine directe Inte- 
gration der Differentialgleichung auf einem anderen Wege. 

Wir geben hierfür einige Beispiele. 



§. 106. 
Potential einer homogenen Kugel. 

Wir nehmen an, dass keine Unstetigkeitsäächen 6 im Felde 
enthalten seien, und dass die räumliche Dichtigkeit q nur eine 
Function der Entfernung r vom Coordinatenanfangspunkt sei, 
dass also die Masse in concentrischen homogenen Kugelschichten 
vertheilt sei. 

Es folgt dann aus den Symmetrieverhältnissen, dass auch 
V nur eine Function von r sein kann. 

Wenn wir daher den Ausdruck J V nach §. 42 (11) auf 
Polarcoordinaten transformiren , so ergiebt sich für V die Diffe- 
rentialgleichung 

Hieraus folgt durch einmalige Integration, wobei die Inte- 
grationsconstante dadurch bestimmt wird, dass d(rV)/(lr nach 4. 
für ein unendliches r verschwinden muss 



drV 
dr 



CO 

= 4ä I TQd 



und durch nochmalige Integration, da r V für r = verschwinden 
muss 

r 00 

<2) ^'=t\ '^'' f '^'^^ 







252 



Zwölfter Abschnitt. 



§.1 



Dieser Ausdruck lässt sich durch partielle Integration ui 
formen. Es ist nämlich 

d (r I r(fdrj = dr I rgdr — r^Qdr 

r r 

und daraus ergiebt sich durch Integration von bis r 



also 
(3) 



'* • OD ^ 

dr rgdr = r rqdr -\- l r^Qdr^ 

r r 

V=47t {rQdr-\-— ir^gdr. 

r 



Nun ist ^nr^Qdr die Masse dm einer unendlich dünner 
Kugelschale vom Radius r, von der Dicke dr und der Dichtigker 
Q und wenn wir also mit m die Masse der ganzen Kugel mc:.w( 
dem Radius r bezeichnen, so ist 



4;r 



r^Qdr = m. 



5 



Es wird also 



(4) 



= ^ + [^ 



Dieser Formel können wir folgenden Ausdruck geben. NennF==?D 
wir kurz innere Massen die, die dem Mittelpunkte näher sii »d 
als p, äussere die, die weiter entfernt sind, so können wir sage^ ^n: 

Das Potential einer concentrischen Masse'^HD- 
vertheilung, bezogen auf einen Punkt p, i si 
gleich dem Potential der im Mittelpunkte v^ r- 
einigten inneren Massen, vermehrt um d ^ks 
Potential der äusseren Massen im Mitte I- 
punkte. 

Nehmen wir an, es sei q constant im Inneren einer KoCT^l 
vom Radius c, und g = ausserhalb dieser Kugel, so ergi©** 
uns die Formel (8) für einen inneren Punkt, weil darin die ers*© 
Integration jetzt nur bis c auszudehnen ist 



§.106. Potential einer homogenen KugeL 253 

(5) Vi = 2nQ (c^ — ^*) + -j^ Qr^ = 2n;c^Q — -^ qv^. 

Für einen äusseren Punkt fällt das erste Integral in (3) 
ganz weg und das zweite erhält die constante obere Grenze c. 
Folglich ergiebt sich für einen äusseren Punkt 

(6) ^" = 1-^7- 

Man sieht, dass für r = c beide Ausdrücke denselben Werth 

-^ ^%c* erhalten. 

Die Ableitungen nach r sind 

dVi _ _ £^ dVa _ _^ £! 

dr ~ 3 ^^' dr~ ~ 3 ^ r^' 

4 
und geben für r = c den übereinstimmenden Werth — -o Q^c. 

Die zweiten Ableitungen aber geben für r = c verschiedene 
Werthe. Wenn man V als Ordinate zu . der Abscisse r aufträgt, 
8o erhält man als Bild dieser Function V eine Curve, die sich 
*U8 einem Parabelbogen von r = bis r = c und einem 
J^yperbelartigen Curvenstück dritter Ordnung von r = c bis 
^ ^=: oo zusammensetzt, und beide Curvenstücke haben in dem 
Punkte r = c dieselbe Tangente (Fig. 46). 

Wenn der massenerfüllte Raum eine von zwei concentrischen 
Kugeln begrenzte homogene Schale ist, so haben wir dreierlei Räume 
^unterscheiden, 1. den Hohlraum Fi- 4e 

im Inneren der Schale, 2. den 
^^^halenförmigen Raum, 3. den 
^^iQseren Raum. Wir wollen das 
Potential für diese drei Räume 
**Äit Fl, Fa, Fj bezeichnen, und 
'^^t Ci, e^ die Radien der inneren und der äusseren Kugel. 

Man erhalt die gesuchten Potentiale, wenn man die nach 

(5) und (6) für die beiden Kugeln gebildeten Ausdrücke von 

einander subtrahirt, und dabei beachtet, dass der Hohlraum für 

^>^de Kugeln ein innerer, die Schale für die eine Kugel ein 

^^nerer, für die andere ein äusserer, und endlich der Raum 

^^isierhalb der Schale für beide Kugeln ein äusserer ist. So 

uDidet man 




254 Zwölfter Absohnitt. §. 106. 



(7) n = 2.po,'_^ra_ifi£i 



3 



? 



_^7tQ C^ — C^ 
r^ — 5 • 

ö r 

Wenn wir hierin c^ — Ci unendlich klein werden lassen und 
p (ca — Cj) = £ setzen, so ergeben uns Fj, Fj^ die Potentiale 
einer Flächenbelegung auf der Kugel. V-^ bezieht sich auf den 
Innenraum und V^ auf den Aussenraum. Man erhält, wenn 
man dann c, = C2 = c setzt 

Fl = 4jrc£, 

(6) y 4.71 c^s 

» — - ^-■-• 

Für r = c stimmen beide Ausdrücke überein, dagegen haben 
die Differentialquotienten 

^ ^ dt ' dr r2 

die Differenz — 4jr£. 

Hieraus können wir endlich noch das Potential einer kugel- 
förmigen Doppelschicht ableiten. 

Wir denken uns also wieder zwei Kugelflächen mit den 
Radien Ci^ c^^ auf denen gleiche und entgegengesetzte Massen 
flächenartig ausgebreitet sind. Die Dichtigkeiten müssen also 
im umgekehrten Verhältniss der Flächen, oder was dasselbe ist, 
der Quadrate der Radien stehen. Ist also die Dichtigkeit auf 
der ersten Kugel — £, so ist sie auf der zweiten scf/c^. Wir 
erhalten also das Potential nach (8) 

r = — — !M^a,z:iL) V =0 

1 /» ' ^ 

und wenn also nun Cj = Cj = c und «(Cg — c^) = r^ wird: 

Fl == — 4jn?, F3 = 0. 

Es ist also der Unterschied Fg — Fj = 43n^, wie es sein 
muss. F, und F3 sind hier constant und folglich ihre Ableitungen 
überall = 0. 



17. Potential eines Ellipaoids. 255 



§. 107. 
Potential eines Ellipsoids. 

Das dreifache Integral, durch welches das Potential eines 
it homogener Masse erfüllten Ellipsoids ausgedrückt ist, lässt 
)h auf ein einfaches elliptisches Integral zurückführen. Es 
3bt eine grosse Zahl von Lösungen dieses sowohl durch seine 
tthematischen Schwierigkeiten, als durch seine mannigfachen 
(Wendungen berühmten Problems^). Dirichlet hat zuerst 
rauf hingewiesen, dass man auf sehr einfache Weise zwar 
:ht zu einer Ableitung, wohl aber zu einem vollständigen Be- 
18 des Resultates gelangen kann, wenn man an dem bekannten 
sdruck die charakteristischen Eigenschaften des Potentials 
106) nachweist. Diesen Weg wollen wir hier, als den kür- 
zten, einschlagen. 

Es seien a, i, c die Halbaxen des Ellipsoids, und 

^2 1/2 ^2 

^2 I J2 ~ c^ 

ne auf die Hauptaxen bezogene Gleichung. Wir betrachten 
neben noch die durch die Gleichung 

^rgestellte Flächenschaar, die, wenn k durch positive Werthe von 
bis OD geht, eine Schaar die gegebene Fläche umschliessender 
»nfocaler Ellipsoide darstellt. Ist l negativ, so stellt (2) ent- 
^er ein inneres EUipsoid oder ein Hyperboloid dar. Betrachten 
^ den Punkt p mit den Coordinaten x^ t/, z als gegeben, so ist 
) eine cubische Gleichung für A, und diese hat dann und nur 
'^n eine positive Wurzel, wenn x^ y, z ein äusserer Punkt 

der Fläche (1) ist. Diese positive Wurzel, die wir hinfort 
ter l verstehen wollen, ist dann vermöge (2) eine Function 
*^ «, y, jer. Wenn der Punkt p auf die gegebene Fläche rückt, 

geht X in Null über. 



^) Die wichtigsten Abhandlungen über diesen Gegenstand sind in 

•t Wald' 8 „Classikem der exacten Wissenschaften", Nr. 19, zusammen- 
stellt. 



256 Zwölfter Abschnitt. 

Wir beweisen nun, dass, wenn q die constante Dichti^^ \ 

im Inneren des Ellipsoids bedeutet, die Function ^ 



für einen inneren Punkt, 



(4) 



T' f /, ^ y*. '* \ «'s 



für einen äusseren Punkt, wenn D die Bedeutung hat 



den charakteristischen Bedingungen §. 105, 1^ 2^ 3^ 4. genüg'^^^S^ 
Um dies nachzuweisen, bilden wir zunächst die Ableitung nach x^^ ^* 

cVi { z ds 

(6) 



CVa c, [ X ds 



wobei zu bemerken ist, dass Va auch in Bezug auf die unter'^a: 're 
Grenze iL differentiirt werden muss, dass aber das hiervon herzK- ^r- 
rührende Glied wegen der Gleichung (2) wegfallt. Wenn de^^ er 
Punkt p an die Oberfläche rückt, so wird iL = und es mnrsmrd 
Va = Vi und dVa ex = c Vi. ex. Ebenso sind an allen andere^^o 
Stellen V und cVjcx stetige Functionen von p. Demnach genün^ gt 
unsere Annahme den Bedingungen 3. 

Ist a die kleinste, h die grösste unter den ELalbaxen d es 

Ellipsoids, und 

r« = x2 -L y« -!- z\ 
so ist nach (2) 

(7) a« + A < r« < 6* + A, 

und folglich wird iL mit r zugleich unendlich; ausserdem ist 



^ abc ' 



and wenn s > A ist 



yz«. Potential eines Ellipsoids. 257 

X^ t/2 z^ 

<r 1 — - ^ - <" 1 

^ a^ + s b^-^-s C2 + S ^ 



Saraus folgt 



ds "licahc 



L da jer dem absoluten Werthe nach kleiner als r ist, so ist 
ci absoluten Werthe nach 



T' 



öa: ^ ^ ^ («^ + «//• 3 y(a2 4- ;l)8' 

i mit Rücksicht auf (7) 

B für A = Go endlich bleibt. Da man hierin x mit y und mit 
rertauschen kann, so ist auch die Bedingung 4 befriedigt, und 
il hier keine Flächen 6 vorhanden sind, so bleibt nur noch 
) Differentialgleichung in 1., §. 105, nachzuweisen. 
Zu diesem Zwecke bilden wir aus (6) 

8« F.. c, f ds 



dx^ — -'-^1 (a2 + s)i)' 
^raus 

Es ist aber 

dlog^ _ i /_1_ . _ i _ , _ i _\ 
^ ds 2 Vaä + s ^ 624.5 ^ c2 j_ 5/ 

80 

1 

Für einen äusseren Punkt erhalten wir, wenn wir den Werth 
on D fiir s == A mit D^ bezeichnen: 

^ 8a:2 — ^^9J (a2-f-s)i>"^(a2 + A)A 8i«^ 

md daraus, wenn man die entsprechenden Ausdrücke für die 
^erentiation nach y und e bildet: 

Biemann-Weber, Partielle DifTerentialgleichungen. yj 



258 Zwölfter Abschnitt. §. 1 

darin lässt sich das Integral mit Hülfe der Formel (9) aasfubr 
und man erhält: 

Andererseits ergiebt sich durch Differentiation der die Fai 
tion X definirenden Gleichung (2): 



'öx 



2x r x^ y* _i ^' 1 

(13) _iy-. = r_^L_^_^?L_ + _f!_]8i 

^6^ + ^ [(a2+Aj^^(fe^ + Z)«^(c2 + A)«j8y 



X 






^r x>_ , _y> . £^ IdX s 

c» + A L(a^+A)a "T (62_^A)a "^ (c^ + 'L)«] 'dzlc^-^-k 

woraus, wenn man mit den rechts stehenden Factoren mal 
plicirt, addii-t, und einen gemeinschaftlichen Factor abwirft: 

(IA\ J^ ^^ J^Slj^ ^ ^ — 2 

^^ a^-f Ä ^x^ h^^kcy^ c^-^Xcz~ 

und hiemach erhält man aus (12) 

(15) /l Ta = 0. 

Damit ist nachgewiesen, dass die durch (3) und (4) gegebe 
Function Vi und Ya die charakteristischen Eigenschaften d 
Potentials hat, und dass sie also das Potential eines homogem 
dreiaxigen EUipsoides wirklich darstellt 

§. 108. 
Ellipsoidische Schale. 

Nachdem das Potential eines homogenen EUipsoides gefand( 
ist, können wir leicht das Potential einer von zwei EUipsoidi 
begrenzten Schale berechnen. Man hat nur das Potential d 
inneren EUipsoides von dem des äusseren abzuziehen. 

Wir betrachten hier den besonderen Fall, dass die beide 
EUipsoide ähnlich und ähnlich gelegen sind, und es möge 



§. 106. 



Ellipsoidische Schale. 



259 



wenn a*, 6>, c* die Quadrate der HalbaxeD des inneren Ellipsoides 
sind, die des äusseren mit 

bezeichnet sein. Lassen wir dann d unendlich klein werden, so 
erhalten wir eine Flächenbelegung, die aber nicht über die 
ganze Oberfläche constant, sondern mit dem unendlich kleinen 
Normalabstand der beiden Flächen proportional ist. Wir be- 
leichnen, wie bei der Kugelschale, mit Vi das Potential für 
€inen Punkt im Hohlraum, mit Fj für einen Punkt zwischen 
beiden Flächen, und mit Fg für einen äusseren Punkt. Wir 
wollen nur F^ und F3 genauer betrachten, da die Punkte der 
Schale selbst für den Grenzfall ohne Interesse sind. Wird das 
•Potential für das innere Ellipsoid mit F, für das äussere mit 
^' bezeichnet, so ist 

(4) r, = rt- Vi, F. = f; - f». 

Wir haben nun nach §. 107 (3) 



k-^ 



r,= 



afl 



V* ^ \ ds 

(1 + «)-!- s 6«(l-|-Ä)+s c»(l-f Ä) + syD" 

V 

^©nn If aus D hervorgeht durch die Vertauschung von a, ft, c 
^^o\t Oj, 6i, c^. Wenn man darin s = (1 -f- d) s' setzt, und dann 
^en Accent bei s' wieder weglässt, so kommt 

^md folglich 
(6) 



Fl = nqi I ^, 



D 

f 

woraus das merkwürdige Resultat folgt, dass das Potential 
Yx von a?, y, unabhängig ist. 

Um Fj zu bilden, haben wir die Formel §. 107 (4) anzu- 
wenden. In dem Ausdruck für F« ist die untere Grenze A' die 
positive Wurzel der Gleichung 



^ + 



^ + 



= 1, 



o»(l + d) + X' ^ 62(1 + d) + A' "T- c«(l + Ö) + A' 
'»»d wenn wir also hier auch s = (1 -\- ö) s' setzen, so wird 
ft» 8» die untere Grenze X" = ).' / (l -\- ö) , und X" ist die posi- 

17* 



260 Zwölfter Abschnitt 

tive Wurzel der Gleichung 

ai -^ l" ^ 4* -i- A" ^ c* -4- Ä" 
Es ist dann 

r- = , p I (i + « - ^ - ^ - ^) 

und folglich 

k 

/-x 1- f /i ** y* •«* \ ''« 

ir 

Wir lassen jetzt, um zur Flächenbel^ung überzugehen ' 
unendlich klein und p unendlich gross werden, jedoch so, S^ 
^d einen endlichen Werth behalt Dann wird in dem Ausdrc^ 
(7) der erste Theil unendlich klein« weil nicht nur die bei^ 
Grenzen zusammenfallen, sondern auch noch der DifferentL'i 
quotient nach iL*' für d =r rerschwindet [wegen der Gleicho.: 
§. 107 (2)] und es ergiebt sich 

(3) r3 = :rp«[^. 



A 



während der Ausdruck (6) für V^ auch für den Fall eines ?tf 
schwindenden d üoch gilt Man sieht« dass die FunctioneD 
und T] an der Oberdäche stetig in einander übergehen. 

Die Flachendichtigkeit i können wir entweder in der ol^ 
angedeuteten Weise geometrisch bestimmen, oder auch nach 3 
Formel §. KU il3) 



* er 






Ziehen wir durch die Fläche des Ellipsoides im Punk 
JT. V, r eine Normale i\ nach aussen positiT« so ist V~ = I 

al>,^ o.mstan: und urV ri~=0. Femer V^= Fj und dah 

r r 



c r 



- = — 4ar«. 



Bilden wir .iiesen Aus.iruofc raoh der Formel tS), in J 
nach der Ditferenüatioa a = iX also /> = 1 zu setzen ist. w^ 



B. Ellipsoidische Schale. 261 

[I>ifferentialquotient für einen Punkt der Oberfläche zu nehmen 
folgt: 

* ^ 4 läi ^^^ ^^' ^^ "^ ^ ^^^^^' ^^ + ö^ ^^^ ^""^ '^T 

Es ist aber nach bekannten Formeln der analytischen Geo- 



co8(r,a:) = ^, co8(r,y) = ^, co8(r,^) = ^, 
:in zur Abkürzung 

letzt ist, und es ist daher nach §. 107 (14) 

^ C08(i', a:) + g^ C08 (r, y) + gj cos(v, ä) = ^, 
d die Flächendichtigkeit nach (9) 

2^ 

In den Scheiteln des EUipsoides wird z. B. die Dichtigkeit 

od od od 

V«' 2*' T'- 

Der Werth von pd lässt sich einfach durch die gesammte 
der ellipsoidischen Schale enthaltene Masse in darstellen. Es 
nämlich die Masse des inneren EUipsoides 

4jr , 
— abCQ 

id die des äusseren 

^ ahcQ v/r+ö' = ^ aftce (l + I «) 

r ein unendlich kleines d. Folglich ist die Masse der Schale 

m = 'InahcQÖ 
tid daraus 

m 

AnabcTp 



Dreizehnter Abschnitt 



Kngelfnnotionen. 



§. 109. 
Die Green'sche Function für eine KugeL 

Wir haben in §. 97 eine Green*8che Function G als 
Function Ton zwei Punkten p^ q^ im Inneren eines begrei 
Raumes r definirt, die, als Function Ton q betrachtet, inner 
T der Differentialgleichung 

(1) JG = 

genügt, und an der Oberflache des Raumes x yerschwii 
ausserdem sollte die Function G -^ l'i^pq^ wenn {jpq) die 



Fig. 47. 




femung der beiden Punkt 
und q ist, nebst ihren A 
tungen in x stetig sein. 

Wenn die Green^sche F 
tion bekannt war, so kon 
wir. wie wir gesehen haben. 
Differentialgleichung z/ F = 
für den Raum % unter der 
aussetxung lösen, dass die F 
tion F an der Oberflache 
X beliebig gegeben war. 
wollen nun die Function G tur den F^ bestimmen, dass 
Raum X durch eine Kugeldaohe mit dem Radius c begrenzt 
Daxti tuhrt eine sehr einütche elementar* geometrische 
trachtunc. wenn wir uns daran erinnern« dass nach §. 96 
reciproke Werth ir^cd rweier Punkte als Function des e 
Ton ihnen immer der DirerenUiUleichuns: ^ F = genügt 



lO. Bestimmung eines Potentials in einer Kugel. 263 

Es sei p ein Punkt innerhalb der Kugel, im Abstand r vom 
gelmittelpankt Zu jedem Punkte p kann man einen be- 
minten zugehörigen äusseren Punkt p* finden, der auf dem- 
ben Radius in der Entfernung r' vom Mittelpunkte liegt, und so, 
BS e die mittlere Proportionale zwischen r und r' ist, dass also 
I rr' -= cK 

Dieser Punkt j/ heisst der harmonische Pol von p. Man 
nn ihn leicht aus dem Satze construiren, dass p in der Ebene 
B Kreises liegt, in dem der von p* auslaufende Tangenten- 
gel die Kugel berührt. Der Punkt q möge auf einem Radius, 
r mit r den Winkel y bildet, in der Entfernung q vom Mittel- 
nkte liegen. Rückt der Punkt q auf demselben Radius fort- 
ireitend auf die Kugelfläche nach q^, so werden die beiden 
eiecke (ogol>) und {pp'q^)] einander ähnlich; denn sie haben 
Dselben Winkel y^ und|es ist wegen^(2) 

(öi)):(ojo) = (ogo): (oj)')- 
Hieraus folgt also auch 



\ 



ipqo) r{p'qo) 
Wenn q variabel ist, und p und folglich auch p' fest, so bleibt 
ungeändert, und wenn wir daher 

6 = ^ ' ' 



r (p' q) (p q) 
^zen, so bleibt diese Function, da p' ein äusserer, q ein innerer 
inkt ist, im Inneren der Kugel mit Ausnahme des Punktes p 
dlich und stetig, und sie hat wegen (3) alle charakteristischen 
genschaften der Green'schen Function. 

Derselbe Ausdruck giebt uns auch die Green'sche Function 
r den Aussenraum der Kugel, wenn p und q äussere Punkte 
id und pf im Inneren liegt. 

§. 110. 

Bestimmung eines Potentials in einer Kugel bei 
gegebenen Oberflächenwerthen. 

Die jetzt bestimmte Green* sehe Function wenden wir nun 
^ Lösung der Aufgabe an, eine Function V zu bestimmen, die 



I 



264 Dreizehnter Abschnitl 

im Innern der Kugel mit ihren Derivirten stetig ist 
UifferentialgleichuDg ^ r= genügt, nnd die an derO 
in eine dort gegebene OrtsfiiDCtioD O übergeht. Diese 
wird jetzt gelöst dorch die Formel §. 97 (2), in der wi 
ilie Function (4j des Torigen Paragraphen und für r 
femung der Punkte p^ q zu setzen haben. Bezeichnen 
Q den Abstand des Punktes q vom Kugelmittelpunkte, 
die nach innen gerichtete Normale n mit der Richtung 
nehmenden q zusammen, und die angeführte Formel gic 

(1) 4« V, = [ ^ ff. — L- - _!_] do. 

Darin ist do ein Oberflächenelement der Kugel, u 
der Werth dieser Function in einem Punkte dieses E 
In dem nach q differentiirten Ausdruck ist nach der 
tiation g = c zu setzen. 

Es ist aber, wenn der Winkel zwischen r und g i 
zeichnet wird, 

(p q) = Vr» — 2rpco8y + p«, 

{p*q)= K^ — 2r'pcosy + (>S 
und folglich 

.o\ _8_ [c ^_J[ 1 1 c r^ cos y — g ^ rcosy 

^ ^ dg[r (p'q) (p q)] "" r "TT^jP (^ 

Gehen wir mit diesem Ausdruck an die Oberfläche 
g = c und (j>'g) = - (pq) [§. 109 (3)], so dass sich 
Ausdruck (3) wegen rr' = c^ ergiebt 

-7 — X— H: (»^ COS y — c) — r cos v -\- cl = —, 

{pqY \c^^ ^ ^^ J c{pq 

Demnach folgt aus (1) 

(4) 4;rc Fp = O 

J ) c« — 2crcosy -f r«' 

oder, wenn wir zur Vereinfachung c = 1 setzen: 

(5) 4 :r Fp = ^ • 
^ '^ J ^ y 1 — 2rcosy-f-r«* 

Man sieht es diesem Ausdruck nicht auf den ersi 
an, dass, wenn p auf seinem Radius in den Oberflächen 



§. 110. Bestimmung eines Potentials in einer Kugel. 265 

rückt, Vp den Werth ^o annimmt, den in dem Punkte Pq hat 
Denn es hat der Ausdruck den für r = 1 verschwindenden Fac- 
tor 1 — r«, während andererseits das Integral für r = 1 un- 
endlich wird. 

Um diesen Punkt aufzuklären, legen wir die Axe eines 
f olarcoordinatensystems auf der Kugelääche durch den Punkt 
jp^ 80 dass Pq der Nordpol wird. Es ist dann y das Gomplement 
<ier geographischen Breite, und wenn if die geographische Länge 

ist, so wird 

do = sinydydi^'. 

Der Ausdruck (5) ergiebt dann 

in n 

(6) A^^7 _ /i .,x f ^.,. r ^ sinydy 



4arrp = (l — r2) f d^ f -_=. 

J ^ Vi — 2rcosy + ra 

wir setzen 



in 



(7) ^|4>rf* = 0, 



80 dass % eine Function von y allein ist, die das arithmetische 
Mittel der Werthe von O auf einem Parallelkreis ist Dann 
wird (6) 

n 

sin ydy 



(8) ],_-^J ^^^-^_. 



cos y + r^ 



Um den Grenzwerth dieses Ausdrucks für r = 1 zu er- 
mitteln, nehmen wir einen beliebigen Winkel ri zwischen und % 
und setzen 

(9) V, = '-=Jl l __®±lll 

U 



J Vi — '^r 



2 i ]l — 2 r cos y -f- r' 



_, * , I sin ydy 



1 — r^ r ( 

2 J iTzr 



2r cosy -f" r* 



und hier verschwindet nun der zweite Theil für r = 1 , weil die 
Function 1 — 2 r cos y -\- r^ für r = 1 und tl ^ y "^ ^^ nicht 
▼erschwindet. Es handelt sich daher nur noch um die Bestim- 
mung des Grenzwerthes des ersten Theiles. Ist aber ®q ein 
Mittelwerth der Function @ in dem Intervall ^ y ^ ?y, so ist 



266 Dreizehnter Abschnitt. §. I 

nach dem Mittelwerthsatz 

(10) f ---®-^°zJy — - = 0. [^_=fe£y_-, 

J Vi — 2rcosy + r2» J V 1 — 2r cosy 4- r»' 



und es ist das unbestimmte Integral 

sinydy 1 1 






Vi — 2rco8y -f- r»^ "^ yT^ 2 r cos y -f- r«' 

setzen wir also die Grenzen ein, so wird das Integral (10) 

1 0, (-1 \ V 

r " \1 — r yi_2rcosi2 + rV 

Wenn wir also die Glieder, die für r = 1 verschwinden, w< 
lassen, so ergieht sich aus (9) 

was für r = 1 in ©0 übergeht. Da nun aber iy beliebig kl( 
angenommen werden kann, so ist, wenigstens wenn ö für y -== 
als stetig vorausgesetzt wird, 0o nichts anderes als der Wer^ 
von im Punkte |)o> und aus (7) geht hervor, dass, wenn ^ 
im Punkte 'p^ stetig in einen bestimmten Werth <Po übergeba^i 
0^ = ©0 ist Das war die Forderung, der die Function Vp g^ 
nügen sollte. Unsere Analyse giebt uns aber noch etwas Weitere^ s 
sie zeigt, dass, wenn die Function O im Punkte p^ nicht stetm( 
in einen bestimmten Werth übergeht, wenn also ihr Grenzwerfcl 
abhängig ist von der Richtung, in der man in den Punkt p^ hi'n- 
eingeht, dann die Function Vp auf dem nach|>o führenden Badix2S 
in den Mittelwerth aller um p^ herum stattfindende n 
Functionswerthe O übergeht. 



§. 111. 
Potential im Aussenraum einer Kugel. 

Man kann auf demselben Wege die Lösung der Gleichung 
jdV=0 finden für den Aussenraum einer Kugel, wenn die 
Werthe von V auf der Oberfläche gegeben sind, und noch die 
Bedingung hinzukommt, dass V im Unendlichen verscbwindeo 
soll. .Man gelangt zur Lösung dieser Aufgabe aber noch ein- 



§. 111. Potential im Aussenraum einer Kugel. 267 

facher durch Benutzung eines allgemeinen Satzes, der auch für 
manche andere Anwendungen nützlich ist, und der sich unmittel- 
bar aus einer besonderen Form der Differentialgleichung 

^F = 

ableiten lässt Wenn wir nämlich den Ausdruck ^ V nach §. 42 
(11) auf Polarcoordinaten r, -Ö*, q> transformiren und 

(1) Y7r= J7, logr = A 
setzen, so erhält die Gleichung z/ F = die Form 

(2) ^'^ ^ ü \ ^ ^ dW 1 8«t7_ 
^^ dk^ 4 "■ sinö- 8^ "^ sin«-»- 8*> "" ' 

und diese Gleichung bleibt ungeändert, wenn A in — A oder, 
was dasselbe ist, r in 1/r verwandelt wird. 

Statt 1/r kann man auch c^/r setzen, wenn c eine beliebige 
Gonstante ist. 

Wenn also 

(3) F = JP(r, ^, ^) 

eine Lösung der Gleichung ^F=0 ist, so er- 
hält man daraus eine zweite 

und wenn die erste dieserFunctionen fürr = 
endlich bleibt, so wird die zweite für r = od 
verschwindend klein. 

Wir haben oben zwei Punkte, die auf demselben Radius 
vector liegen und vom Nullpunkt die Abstände r und c^/r haben, 
harmonische Pole in Bezug auf die Kugel mit dem Radius c ge- 
nannt. Lässt man jeden Punkt seinem harmonischen Pole ent- 
sprechen, so erhält man eine Abbildung des Raumes auf sich 
selbst, bei der dem Inneren der Kugel das Aeussere entspricht 
und umgekehrt. Man nennt dies die Abbildung durch reci- 
proke Radien. Wendet man dies Verfahren auf die Formel (4) 
des vorigen Paragraphen an, so erhält man eine Function 

worin rlo ein Element der KugelHäche mit dem Radius c, 



268 Dreizehnter A.b8chnitt. §. 112. 

r der Abstand des Punktes vom Kugelmittelpunkt, y der Winkel 
zwischen den Radienvectoren nach |> und nach do und <P eine 
an der Kugelfläche willkürlich gegebene Function ist. Diese Func- 
tion r, als Function von p betrachtet, genügt der Differential- 
gleichung ^F= 0, ist im ganzen Aussenraum der Kugel end- 
lich und stetig und im Unendlichen verschwindend klein und 
nimmt an der Oberfläche der Kugel den Werth ^ an, wobei 
in Unstetigkeitsstellen der Function <P der Grenzwerth für r = c 
nach der Vorschrift des letzten Paragraphen zu definiren ist 



§. 112. . 
Die einfachen Kugelfunctionen. 

Wenn man die Function V für einen inneren Punkt, die in 
§. 110 (5) durch ein Integral über die Kugeloberfläche dar- 
gestellt ist, in eine Reihe nach steigenden Potenzen von r ent- 
wickeln will, ist es zunächst erforderlich, die Grösse 

(1) ü = , ^ 

yi — 2rcosy -f r« 

nach steigenden Potenzen von r zu entwickeln, was gestattet ist^ 
so lange r < 1 ist. Wir setzen diese Entwickelung mit un- 
bestimmten Goefflcienten in der Form an: 

(2) jj = p^ _^ rP^ _|. ^2p^ _^ ... 

CO 

Hierin sind die Goefflcienten P» oder P» (cos y) ganze ratio* 
nale Functionen von cos)', auf deren Bildungsgesetz wir zurück- 
kommen. Sie werden Kugelfunctionen und zwar Pn(co8y) 
die Kugelfunction n*«' Ordnung genannt. 

Zum Unterschiede von den gleich zu erwähnenden all- 
gemeinen Kugelfunctionen heissen sie auch einfache Kugel- 
functionen. 

Um hieraus die Entwickelung von V selbst zu erhalten, 
bilden wir zunächst aus (1) und (2) durch Diflferentiation nach r: 

2rcosr — 2r2 ^ ^ ^. . . 

■ - — ^_..^^_ _ _ ^ 2 n r" Pn (cos y). 

Vi _2rcosy + r^' t^^ ^ ^ 



§. 112. Die einfachen Kugelfunctionen. 269 

und daraus durch Addition von R 

1 - r2 
yi — 2rcosy + r» ^^^^ 



= ^(2n+l)r^Pn(coBy). 



Hiernach ergiebt sich nach §. 110 (5) 

(3) 4ä Fp = ^ (2n + l)r~ [ 0gPn(cosy)do. 

n=0 •' 

Hierin bedeutet, um daran zu erinnern, r den Abstand des 
Punktes p vom Kugelmittelpunkte o, q einen Punkt des Ele- 
mentes do der Kugelfläche, y den Winkel (p o q) und Oq den 
Werth der Function <P im Punkte g. 

Zur Vereinfachung des Ausdrucks wollen mr festsetzen, dass 
in einem Punkte g, in dem O unstetig ist, unter Oq der im 
§. 110 definirte Mittelwerth aller um q stattfindenden Werthe 
von zu verstehen sei. 

Wenn wir den Punkt p auf dem Radius r in die Kugel- 
fläche hineinriicken lassen, so geht, wie wir gesehen haben, die 
durch §. 110 (5) definirte Function Vp in 0p über. Machen wir 
denselben Grenzübergang auf der rechten Seite von (3), so folgt 

(4) 4.7t0p = ^ (2n + 1) [ 0qPn(cosY)do. 

Die Richtigkeit dieser Formel würde aus dem Abel' sehen 
Satze (§. 25) folgen, wenn die Convergenz der Reihe feststände. 
Diese ist unter gewissen, sehr allgemeinen Voraussetzungen über 
die Function O von Dirichlet bewiesen i). Für die Anwendung 
auf die Integration der partiellen Differentialgleichungen der 
mathematischen Physik genügt aber die durch die Betrachtungen 
des §. 110 bewiesene Formel 

(5) 4nOp = lim "V (2n+ l)r'» \ 0qPn{cosy)do, 

wobei es auf die Convergenz der Reihe an der Grenze r = 1 
nicht weiter ankommt. 



') Dirichlet's Werke, Bd. L, S. 283. 



270 Dreizehnter Abschnitt. 



§. 113. 
Die allgemeinen Kugelfünctionen. 

Die Coefficienten der Entwickelung (4) der Fun 
also die Functionen 

(1) ro = ^\'^^ j 0,P«(co8y)do, 

heissen die allgemeinen Kugelfünctionen. Es si 
tionen der Goordinaten eines Punktes auf der Einh 
nämlich des Punktes, in dem der Radius r diese Eu( 
trifft. 

Wenn wir der Einfachheit wegen jetzt den Inde: 
lassen, so ergiebt sich aus §. 112 (3) 

(2) r=^f-^ !(-). 

Um die Bildung von F^*> deutlicher zu übersehei 

wir Polarcoordinaten mit beliebigem Pol und Anfangt 

Fig. 48. ein. Ist d der Polabstand und 9 die geog 

Länge, so seien r, 9, ^ die Polarcoordii 

Punktes p und 1, 9', ^ die von q. N< 

Formel der sphärischen Trigonometrie ist 

(3) cosy = cosO^cos^ -f" sindsin-^c 

(4) = 9 — 9'. 
Femer 

do= sinyd0^d9' 
und folglich 

(5) r(-> = ^^^^ f dq)' { 0(d'\ 9')Pn(cosy)sind'c 



Da Pm) ^e schon erwähnt, eine ganze rationale 
von cos y ist, so wird y"> nach (3) eine ganze rationale 
von cos^, sinO^ cos 9, sin-Ö* sin 9. Von der willkürlichen 
O hängen in P"> nur die Coefficienten dieser Function, 
gewisse Anzahl willkürlicher Constanten ab. 

Die durch die Formel (2) ausgedrückte Function 




§. 113. Die allgemeinen Kugelfunctionen. 271 

der DifferentialgleichuDg -^F= 0, und wenn wir /iV nach 
§. 42 (11) auf Polarcoordinaten transformiren, so erhalten wir 
fiir F die Differentialgleichung: 

^^ *" 8ra "^sin-^' g-Ö" ' sin«"» 8g?a — "• 

Setzen wir hierin den Ausdruck (2) und setzen in der so 
entstehenden Entwickelung die Goefficienten der einzelnen Po- 
tenzen von r gleich Null, so ergiebt sich für r<'»> die partielle 
Differentialgleichung : 

.-. 1 "^^'""^ 8^ , 1 gare«) , , , .xvf«) n 

oder, wenn man für -O* die Variable af = cos-ö* einfuhrt: 
(8) ^ + _L_ ^-±_ -I- n(n + 1) r(«) = 0. 



1 
ä 



Da die Function iJ = (1 — 2rcosy -f" ^^) ^^® Function 
▼on f, d, 9 gleichfalls der Differentialgleichung -J iJ = genügt, 
so erhält man für die Entwickelungscoef&cienten dieser Function, 
d. b. für die Functionen Pn(co8y), dieselbe Differentialgleichung: 

/gx ^ ^ 8a; ^ 1 ^'A(^^!yJ 

^ dx ' 1 — a;2 892 

+ n(n + l)Pn(cosy) = 0. 

Setzt man darin -9^ = 0, so wird cosy = cosO* = x und 
P»(co8y) geht in die Function Pn{^) über, die von q> unab- 
hängig ist Die Differentialgleichung (9) bleibt aber auch dann 
noch richtig und giebt eine lineare Differentialgleichung zweiter 
Ordnung für Pn{x) 

d(i - x^) -f^ 
(10) ^_^- + n{n +l)Pn = 0, 

oder auch 



ebnter Absobnitt. 



§■ 114- 
Darstellung der einfachcD Kugelfuoctionen. 



Am einfachsten erhält man den Auednick ßir die Ku j 
functioneo P„, wenn man in 



(1) 



ü = 



1 



y 1 — 2 r cos y + r* 
den binomischen Lehrsatz anwendet. Nach diesem Satze 
nämlich 

(2) \» --; — " Tä " ' 1.4" 
wofür auch gesetzt werden kann 

(3) .. „„r^_^ n(-2h)_ 



2.4.6 



(1-«) " = Si 



Wir setzen jetzt in (1) coay = X und in (3) 



n(h) 



"" = 2 (-'»"ilCTO^^Ei "'>'"''*" 



n(2A) 



r*+*x»-' 



dann wird 

^*^ ■'* = »'S S ^' ^^ 2*+*i7(Ä)iJ(ft)iI(Ä — *) ' 

und um die Functionen P^ zu finden, hat man diesen Ausdr' 

nach steigenden Potenzen von r zu ordnen. Wir setzen 

h -\- k= n, Ä — fc = n — 2», 
und haben für ein festgehaltenes n für h alle der Bedingung 

genügenden ganzen Zahlen zu setzen. Dann ergiebt sich ans 
n(2n — 2h) 



J' = 2'-2(-i)'5rB(„- 

, 112 ('2) erhält man 



■h)n(n-ik)nik) 







|. 116k Darstellung der allgemeinen KugelfunotioDen. ^73 

«n AQidm€k, der, ausführlicher geschrieben, so lautet: 

^"^ ^" = - 1.2.3...n X 

I 2.(2n— 1) ^ 2.4.(2n— l)(2n— 3) * 

Es ist also Pn eine ganze rationale Function n**° Grades von 
*» die entweder nur gerade oder nur ungerade Potenzen von x 
Es ist beispielsweise 

Pi=x, 

3 1 

2 * ""2 

5 , 3 

2^'-2 



P, = i «» _ i, 






T> 35 , 15 , , 3 
^ 63 , 35 , , 15 



§. 115. 
Darstellung der allgemeinen Kugelfunctioneu. 

Um die Entwickelungscoefficienten I^"> in der Function V 
^* Xl3 (2)] in definitiver Form zu erhalten, haben wir in der 
^*^€5tion Pn (cos y), die in §. 113 (5) vorkommt, die Variablen 
» ^'j y, ip' von einander zu trennen. Es ist darin zu setzen 

^"*J cosy = GOS'& coS'ö'' -f- sinO" sin^' coso, cd = 9 — g>'. 

DaP»(co8y) eine ganze Function n^^ Grades ist, so können 
sie nach den Potenzen 

(sin^ sind"' coso)^ v = 0, 1, ... n 

SfJ***«»» ttiad die Coefficienten dieser Darstellung sind ganze 
^•'•cöonen von cosO-, cos^'. 

WoBn wir uns femer der Formeln §.66 erinnern, nach denen 

«» dargestellt wird durch 

cosvo, cos(t; — 2)(ö, cos(v — 4)0, ... 

«•▼•btr, Partielle Differentialgleichungen. 18 

CkM. K^&. w '^ --i 




274 Dreizehnter Abschnitt. §. 115. 

SO sehen wir, dass sich Fn(cosy) auch ordnen lässt nach den 
Functionen 

sin^O^ sin*^' cosvgi, v = 0, 1, 2, ... n 

und also in der Form darstellbar ist: 

(2) Pn {cos y) = ^ C^'^ sin"-^ sin^^' cosvö, 

0,r» 

worin die Coefficienten V^^ ganze rationale Functionen von cos^, 

cosO*' sind, die sich überdies nicht ändern, wenn cos^ mit cosO^' 
vertauscht wird. 

Zur Bestimmung dieser Coefficienten fuhrt uns nun die 
Differentialgleichung §. 113 (9). Setzt man nämlich in diese 
Differentialgleichung den Ausdruck (2) ein, so erhält man eine 
Summe, die nach cosrci geordnet erscheint, und in der jeder 
• einzelne GoeflBcient verschwinden muss. Es kommt dies darauf 
hinaus, dass man in dieser Differentialgleichung Pn(cosy) durch 
einen Ausdruck von der Form 

(1 - X-if U^;^ COSVG) 

ersetzt, worin U^ da ^' als constant gilt, nur von x = cos 0" ab- 
hängig ist. Führt man die einfache Rechnung durch, so ergiebt 

sich für C^'^ als Function der Variablen x die lineare Differential- 

gleichung zweiter Ordnung 

(3) (l-^^)^-'-^^+l)^'rfr 

+ [n{n ^ 1) — v{v + 1)] r;;'^ = 

und ü^*^ ist eine solche particulare Lösung dieser Gleichung, die 
zugleich eine ganze rationale Function von x ist. 

Die Gleichung (3) kann aber nur eine solche 

Lösung haben. 

Denn bezeichnen wir für den Augenblick mit Vi, v^ die beiden 
particularen Lösungen dieser Gleichung, so lässt sich die all- 
gemeine Formel §. 62 (13) anwenden, in der wir 

_ — 2 {Vy- \U _ rflog(l — x«)>^^^ 
"~ 1 — x2 — dx 



§. 115. Darstellnng der allgemeinen EugelfuDctionen. 275 

ZU setzen haben, so dass sich 

dr, dvi C 

ergiebt. Es können also nicht Vi und v^ ganze Functionen von 
X sein. Bezeichnen wir daher die ganze rationale Lösung von 
(3), nachdem ^wir einen constanten Factor einstweilen noch 

willkürlich bestimmen, mit Pi*^^(fl?), so unterscheidet sich Ui*^ von 

P^^^ nur durch einen von x unabhängigen Factor. Da aber C/^*^ 

nngeändert bleiben muss, wenn cos'd' mit cos-d^ vertauscht wird, 
so ist, wenn cos^ = y gesetzt wird: 

und Ov ist ein numerischer Factor. 

Für V = geht (3) in die Differentialgleichung §. 113 (11) 
über, deren ganze rationale Lösung Pn(x) ist. Wir setzen also 

(4) p(:>=P„(a;). 

Wenn 'wir femer die Gleichung (3) nach x difFerentiiren, 
so folgt 

+ [n{n + 1) - (V + 1) (r + 2)] -^^" = 

und dieselbe Gleichung erhält man, wenn man in (3) v durch 
V -4- 1 und if'^ durch dü^*^/dx ersetzt. Hiemach können wir 
setzen 

und nach (4) also allgemein 

Danach ergiebt sich, wenn 

cos y z=z xy -{- \-l — x- \l — y^ cos co 
gesetzt ist, nach (3) : 

18* 



/6 Dreizehnter Absehnitt. 

(7) P„ (cos y) = 2 «' -Pr W ^n (y) Vi - ^** Vi^^** COB ' 

»=0 

worin noch die numerischen Coeiücienten o, zu bestimmen 8 
Um diese Bestimmung aus2ufuhren , setzen wir zunächst x - 
also 

cosy = a;2 -[- (1 — x^) coso = cos© + 2a:* sin« - 

n 

(8) T?^ (cos y) = ^ a. i^J^ (rr)» (1 — x'^y cos v » 

7 = 

und vergleichen in dieser, in Bezug auf x identischen Gleicl 
die Coefficienten der höchsten, nämlich der 2n*«'^ Potenz vo 
Diese ist nach §. 114 (6) auf der linken Seite 

1.3. 5.. .2»- ! / oy_ JT(2«) / oy- 
^^^ 1.2.3...n ^ V 2/ ~ /I(n)« l,*™ 2; ' 

und auf der rechtien Seite [durch v-malige Differentiation 
{J. 114 (6)] 

(10) ± (- ir«, y^r^-—^ C08V«. 

Ferner ist 

(2sinfy"=(-i)-(/"^-r"7"= 

J7(2n) , ^. ,. 2 77(2» ) 

tind die Vergleichung von (9) mit (10) ergiebt 

_ 2 Il{n — v) 2 

(11) ""^ ~ i7(¥+^/ - (n - 1; + 1) (n — r + 2) .. 
ao = 1. 

Hiernach lässt sich der vollständig entwickelte 
für die allgemeine Kugelfunction F*> [§. 113 (1)] bil 
man noch in (7) 

cos V 0) = cos v{tp — 9') == cos V (p cos V 9' -j- sin v 

so erhält man nach §. 113 (5) 



n 



• - V (^',y cos v 9 -f ^<;> sin v 9) P<;' 



§. 116. Die Differentialgleichung der Kugelfunctionen. 277 

und dieser Ausdruck enthält, da B^^^ wegfallt. 2n -f- 1 willkür- 
liche Constanten A^*\ B^\ Durch die auf der KugelHäche ge- 
gebene Function O werden diese Constanten als bestimmte In- 
tegrale über die Kugeloberfläche ausgedrückt und erhalten, da 
man jetzt bei den Integrationsvariablen die Accente weghissen 
kann, den Ausdruck 

(n — v-^ 1) (w — V + 2) ... {n + v) ^<;' 

2/r n 

(13) "^ { l 

(„ _ V + 1) (» _ V + 2) ... (H + V) B<;> 

= '^^ "^ ^ [ sin 1/ 9 d 9 [ a>(t% (p) P^^ (cos ^) sin' + > ^ rfö«, 



'^OT'in jedoch der Ausdruck für A^^^ noch durch 2 zu dividiren ist. 
Durch die unendliche Reihe 



(l4r) F=y; r'^r»«), r< 1 



M--0 



^^t. dann die partielle Differentialgleichung jJV=0 für das 
Itinere der Einheitskugel vollständig integrirt, und zwar so, dass 
^ an der Oberfläche in den Werth 0(1^,9) übergeht. Mit den- 
gelten Mitteln und unter denselben Voraussetzungen kann man 
^ber auch die Differentialgleichung für das äussere der Kugel 
integriren, und erhält den Ausdruck 

(15) ^ ^ i ^ y-n Y^v\ r > 1, 

«er für r = 1 gleichfalls in die Function O übergeht, und der 
Ä'isserdem noch im Unendlichen der Bedingung §. 102 (2) genügt. 



§. 116. 
Die Differentialgleichung der Kugelfunctionen. 

-^ Wenn wir in der Diffcrentialgleiclmng §. 113 (7), der die 
^^elfunctionen Y genügen, 



<^i> 



n (n -j- 1) =r a 



278 Dreizehnter Abschnitt. ^ 

setzen, so erhalten wir eine partielle Differentialgleichung 

1 ^^^T» 1 r*r 

(2) -^ — -^^^ + -^ 4-4 + ar= 0, 

sin^ cO sin*^ cy* 

und wir wollen nun diese Differentialgleichung, unabhängig 
ihrer Entstehung, für einen beliebigen reellen Werth der ( 
stauten a betrachten. Ist a gegeben, so erhält man n aus 
quadratischen Gleichung (1), natürlich im Allgemeinen nichl 
ganze Zahl, und es wird n imaginär, wenn a <Z — V4 ^1 
gegen reell, wenn a> — »'4, also sicher, wenn a positiv ist, 
dann ist die eine Wurzel 11 von (1) positiv, die andere — n 
negativ. Die Variablen ^ und 9 betrachten wir als P< 
coordinaten auf der Einheitskugel und weisen nun den folgei 
allgemeinen Satz nach: 

Die Differentialgleichung (2) hat nur d 
eine von Null verschiedene Lösung, die auf 
ganzen Kugelfläche mit ihren ersten Ableitun 
endlich und stetig ist, wenn die Gleichung 
durch ein gauzzahliges n befriedigt wird. 

Zum Beweise nehmen wir an. die Differentialgleichung 
habe eine Lösung F. die auf den Kugelflächen mit ihren! 
virten endlich und stetig ist 

Diese Function muss in Bezug auf ^ die Periode 2ar ha 
und da sie für 9 = und = 7 von ^ unabhängig sein n 
80 ist 

^ = für » = 0. » = :r. 

Um zunächst negative VTerthe von a, und damit inu 
näre 11. auszuschliessen, multipliciren wir die Gleichung (2) 
Twi9 d9 d^ und integriren über die ganze Kogelfläche. 
Benutzung der identischen Formeln: 

csin^^-:-^ rsmi^i^-5^ 
1 : - -- = . sin^l^^l , 






erhall man dar.n: 



16. Die Differentialgleichung der Kugelfunctionon. 279 

d diese Gleichung ist bei negativem a und von Null ver- 
liedenem Y offenbar unmöglich. 

Ist a positiv und folglich n reell, so setzen wir 

■k-ft 



— 7t 



Es ist dann Q nur noch eine Function von «d-, und aus (2) 
halten wir die Differentialgleichung 

, dsin^-T^ 

1 »^ I /l A 

1er, wenn man cos^ = x setzt und für a den Werth (1) ein- 
hrt, 

') ^^-^ + «(» + 1)0 = 0, 

so die Differentialgleichung der einfachen Kugelfunctionen 
!• 113 (10)], nur mit dem Unterschiede, dass n, was wir immer 
^sitiv annehmen können, jetzt nicht nothwendig eine ganze 
ahl ist 

Wir erhalten leicht durch die Methode der unbestimmten 
oefficienten zwei particulare Integrale von (4) in Gestalt zweier 
otenzreihen nach x^ von denen die eine nur gerade, die andere 
nr ungerade Potenzen enthält: 

^d für Ap und B, erhält man, wenn man diese Ausdrücke in 
) einsetzt, die Recursionsformeln: 

_ (2v_— n — 2) {2v + n — 1) 

Ar — A,-, 2v(2v'—l) 

^ _ j. C2v — n) (2v+ n+ 1) 
^'-^^-1 2i/(2,'"i-l; ' 

*0, wenn man -4» = ßr = 1 annimmt. 



280 Dreizehnter Abschnitt. §. 116. 

, (-i)(-.^o-(-?+-')mc'^^')-(^+-o 
' i-^- --4(5 +')■■■ (5+-') 

(^,)(»,,)...(-^,)(.5zl)(_»_=l^A...(_»_zl^„.,) 



B.= 



1.2......|(|+l)(| + 2)...(| + .-l) 



Hiernach lassen sich die Functionen Q^^ Q^ durch hyper- 
geometrische Reihen darstellen. 

Gauss hat nämlich in der Abhandlung ^Disquisitiones 
generales circa seriem infinitam ..." ®^^® unendliche Reihe 
untersucht: 

(7) l^(a,ß,Y,x)^l-{-y-^x + — i.2.y(y+l) ''+'"' 

die für alle positiven Werthe von x, die kleiner als 1 sind (ab- 
gesehen von dem Falle eines negativen ganzzahligen y), con- 
vergent ist, und die man die hypergeometrische Reihe 
nennt. In dem besonderen Falle, wo a oder ß eine negative 
ganze Zahl ist, bricht die Reihe ab, und F geht in eine ganze 
rationale Function von x über. 

Nach (5) und (6) lassen sich die Functionen (^j, Q% durch 
diese Function F in folgender Weise ausdrücken: 

Vi — ^\^ 2' 2 "i'^y' 

Q, = xF(^-^l, 2-' 2'*)' 

SO dass also, wenn n eine gerade ganze Zahl ist, Q, , wenn n 
eine ungerade ganze Zahl ist, Q^ eine ganze rationale Function 
ist, die bis auf einen numerischen Factor mit der Kugelfunction 
Pm übereinstimmt. Ist aber n keine ganze Zahl, so laufen beide 
Reihen ins Unendliche, Nun hat Gauss in der erwähnten Ab- 
handlung nachgewiesen, dass die Function JP(a,/J,y,a:) für x==l 
unendlich wird, wenn « + /3 — y positiv oder Null ist, ausser 
in dem Falle, wo a oder ß eine negative ganze Zahl ist 2), und 

») Werke, Bd. 3, S. 125. 

') Die Wiedergabe dieses Beweises, der keine grossen Schwierigkeiten 
hat, würde uns hier zu weit führen. Wir verweisen auf die dritte Section 
der angeführten Abhandlung (Werke, Bd. 8, S. 138). 



Die Differentialgleichung der Kugelfunctionen. 281 

t, wie man sieht, in den beiden Reihen Q^, Q^i ^^^ sie 
) dargestellt sind, ein, wo 

f X» ^1 w + l 1 i\ ' n 
+ ß — Y= "2+ ~T 2 ^ ^ ^^ ^'' 

= 2+1 --^-"2=^ m<?.. 

raus also geht hervor, dass Q und folglich auch Y für 
d. h. in den Polen der Kugel nur dann endlich sein 
inn n eine ganze Zahl ist, und damit ist das Theorem 
I. 

haben hier ein Beispiel eines Verhaltens, das uns in 
ingen, besonders auf Schwingungsprobleme, noch mehr- 
;egnen wird, dass die Möglichkeit, einer Differential- 
g mit gewissen Grenz- und Stetigkeitsbedingungen zu 
, von dem Werthe eines Parameters der DiflFerential- 
g (wie hier a) abhängt. 

noch einfacheres, ganz elementares Beispiel bietet die 
ialgleicbung: 



dx^ 



-f ay = 0, 



dann eine von Null verschiedene, in dem ganzen Inter- 
1) stetige Lösung hat, die an_den Grenzen dieses Inter- 
irschwindet, nämlich y = sinyaa:, wenn ajn^ das Quadrat 
,nzen Zahl ist. 

liesen Fällen sind wir in der Lage, die geeigneten Werthe 
ameters, die in unendlicher Zahl vorhanden sind, von 
nn zu bestimmen. Im Allgemeinen aber werden diese 
durch transcendente Gleichungen bestimmt, die man erst 
n kann, wenn das allgemeine Integral seiner Form nach 
ist. 



Vierzehnter Abschnitt. 

üeberbliok über die Grundsätze der Meohanik. 



§. 117. 
Die Grundlagen der Mechanik. 

Es unterliegt keinem Zweifel, dass die Vorstellung einer 
Kraft abgeleitet ist aus dem Gefühle der Anstrengung, das wir 
beim Heben einer Last oder der Ueberwindung irgend eines 
Widerstandes empfinden, und dass die grössere oder kleinere 
Anstrengung, die wir dabei empfinden, das erste und natürliche 
Maass der Kraft ist. Es ist auch nicht anders mit anderen in 
unseren physikalischen Theorien auftretenden Begriffen, z. B. der 
Temperatur, der Lichtintensität etc. Indem man nun an Stelle 
dieses unbestimmten Maasses, was uns unser Muskelgefühl giebt, 
das stets gleich bleibende Gewicht bestimmter Körper setzte, 
erhielt man die Grundlage für eine mathematische Mechanik, 
wie sie schon im Alterthum begründet wurde (Archimedes), 
und der man dieselbe Evidenz und Sicherheit zuschreiben darf, 
wie etwa der Euklidischen Geometrie. Dies ist die geo- 
metrische Statik, als deren erstes und letztes Beispiel der Beweis 
des Hebelgesetzes von Archimedes und der Beweis des 
Princips der virtuellen Geschwindigkeiten von La- 
grange angeführt werden kann. 

Hierbei muss die Aufgabe rein statisch gefasst, d. h. es darf 
nur nach den Bedingungen gefragt werden, unter denen ein 
gegebenes System von Gewichten die Ruhelage nicht ver- 
lässt. Was eintritt, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, 
darüber giebt diese Theorie keinen Aufschluss. Um auch diesen 
zu gewinnen, wird es nicht ohne eine neue Annahme abgehen. 



§• 118. Das Princip der virtuellen Yerrüokangen. 283 

und diese gründet sich auf die Erfahrung, dass die Anstrengung, 
die zur Veränderung einer vorhandenen Geschwindigkeit auf- 
gewandt werden muss, vergleichbar ist mit der, durch die eine 
Last in der Schwebe gehalten wird. Am Ende einer längeren 
historischen Entwickelung, die sich auf besondere Fälle bezog, 
ist endlich in dem d'Alembert'schen Princip dieser Zu- 
sammenhang durch ein allgemeines Gesetz hergestellt worden. 

Indem nun diese Gesetze, die aus den einfachen Vorgängen, 
die uns die Schwere an der Erdoberfläche täglich bietet, ab- 
geleitet sind, hypothetisch auf alle Vorgänge der Natur über- 
tragen werden, gelangt man zu dem Gebäude der analytischen 
Mechanik, die unserer ganzen theoretischen Naturwissenschaft zu 
Grunde liegt, und die sich bisher in allen Anwendungen aufs 
Beste bewährt hat. 

Wir stellen im Folgenden die Hauptsätze, die in der mathe- 
matischen Physik von Bedeutung sind, zusammen, müssen aber 
dabei die analytischen Entwickelungen gänzlich übergehen, die 
der Leser in den Lehrbüchern der Mechanik findet. 



§. 118. 
Das Princip der virtuellen Verrückungen. 

Es handelt sich zunächst um das Gleichgewicht eines Systems 
▼on materiellen Punkten (in endlicher Anzahl), die in ihrer 
Beweglichkeit irgend wie beschränkt sein können. Unter 
diesen Beschränkungen haben wir Folgendes zu verstehen. Es 
seien m^ , m^ , m^ ... die Punkte des Systems. Jedem dieser 
Punkte geben wir eine unendlich kleine Verschiebung 
dpi, dpa, öp^ , . . von irgend einer Grösse und Richtung. Wenn 
das System nicht vollkommen frei ist, so sind nicht alle Ver- 
schiebungssysteme möglich, sondern es bestehen zwischen diesen 
^1^11 ^P2i ^Piii ••• nach Richtung und Grösse gewisse Abhängig- 
keiten. Ein Verschiebungssystera , was eben diesen System- 
bedingungen genügt, heisst ein System virtueller Verschie- 
bungen oder Verrückungen 1). 

*) Wenn man das System ans der ursprünglichen Lage in einer un- 
endlicli kleinen Zeit in die verschobene übergehen lässt, so erhält jeder 
Punkt eine gewisse Geschwindigkeit, die nach Richtung und Grösse durch 
die Verrückung dargestellt wird. Die älteren Autoren sprechen daher von 
dem Principe der virtuellen Geschwindigkeiten (Lagrange, mec. analytique). 



284 Vierzehnter Abschnitt. §. IIS^. 

Um die Bedingungen des Systems analytisch darzustellen^ 
muss man es auf ein Coordinatensystem beziehen. Es seien also 
^u ?/n ^1 die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes m^ und 
*^t, öy<, 8zi die Projectionen von Spi, Die Bedingungen de» 
Systems sind dann linear in Bezug auf ät,-, dy,-, Sgi und haben 
die Form 

i 

(1) ^ {Aiöxi + BiSyi + CiSz,) = 0- 

Solcher Bedingungen können wir mehrere haben. Ihre An- 
zahl muss aber, soweit sie von einander unabhängig sind, kleiner 
als die dreifache Zahl der Massenpunkte mi sein, damit über- 
haupt noch eine Beweglichkeit übrig bleibt. 

Wenn die ursprüngliche Lage des Systems gegeben ist, sa 
sind die Cocfficienten ^,-, jB,-, Ci gegebene Constanten. In alleo 
Anwendungen aber sind die Bedingungen durch das gegebene 
System bestimmt, d. h, es sind die Coefficienten ^,, jB,-, d 
Functionen der -Coordinaten der Punkte »»i, Wj, Wj,... 
Es ist darum aber noch nicht nothwendig, dass sich diese Be- 
dingungen selbst durch Gleichungen zwischen den Coordinaten 
ausdrücken lassen, mit anderen Worten, es ist nicht nothwendig^ 
dass die linken Seiten der Gleichungen (1) vollständige DiflFeren- 
tiale seien, oder sich auch nur durch Combination auf voll- 
ständige Differentiale reduciren lassen. 

Der gewöhnliche Fall ist allerdings der, dass die System- 
bedingungen durch Gleichungen 9 = 0, ^ = 0, . . . zwischen den 
Coordinaten der Punkte ausgedrückt sind, und dass sich die Be- 
dingungen (1) durch Differentiation dieser Gleichungen, also in 
der Form 

« S 01 '« + If '»' + If/") = « "«• 

darstellen lassen 2). 

*) Wir lassen hier den Fall hei Seite, dass diese Bedingungen in Un- 
gleichungen bestehen, dass also Bewerbungen, die in einem Sinne möglich 
sind, im entgegengesetzten Sinne nicht möglich sind, ebenso solche Fälle ^ 
in denen die Bedingungen für die Verrückungen nicht durch lineare 
Gleichungen ausdrückbar sind, z. B. wenn ein Punkt gezwungen ist, auf 
einer Kegelfiäche zu bleiben, in deren Spitze er sich gerade befindet. 

') Ein Fall, in dem dies nicht zutrifft, ist z. B. der, in dem die Be- 
dingung ausgedrückt werden soll, dass eine Kugel auf einer Unterlage ohne 
Gleiten rollen muss. Vgl. Holder, Ueber die Principien von Hamilton 
und Maupertuis. Göttinger Nachrichten 18Ü6. 



.8. Das Princip der virtuellen Verrückungen. 285 

Es handelt sich nun um die Bedingung des Gleichgewichts 
Systems der Punkte mi, m^ m^^ ..., wenn auf die Punkte 
isse Kräfte Pi, Pj, Pg, . . . wirken. 

Wenn man dem Punkte nii eine der Kraft P» entgegengesetzte 
schfebung ertheilen will, so muss der Widerstand der Kraft 
überwunden, d. h. es muss Arbeit gegen die Kraft P, 
istet werden. Die Grösse dieser Arbeit ist gleich dem Pro- 
t aus der Kraft und der Verschiebung in der der Kraft ent- 
mgesetzten Richtung, d. h. wenn dpi die ganze Verschiebung 
die mit der Kraftrichtung P,- den Winkel d-i bildet 

— Fidpi cos-O",-. 

shieht die Verschiebung in der Richtung der Kraft selbst, 
st diese Arbeit negativ, d. h. es wird nicht Arbeit aufgewandt, 
lern gewonnen. Demnach heisst auch Pi 8 pi cos d^i die von der 
ft Pi während der Verschiebung öpi ihres Angriffspunktes 
listete Arbeit. Die Summe 

A = — ^PiSpi cos-O",- 

st die gesammte Arbeit, die gegen das Kraftsystem Pi zur 
mgung der virtuellen Verschiebung öpi aufgewendet werden 
B, imd das Princip der virtuellen Verrückungen besagt nun: 

Befindet sich ein irgend wie bedingtesSystem 
im Gleichgewicht, so muss für jede virtuelle 
Verrückung die aufgewandte Arbeit gleich 
Null sein^). 

Bezeichnen wir mit X^, T^, Zi die Componenten der Kraft 
lach der Richtung der Goordinatenaxen , so können wir das 
cip in die Gleichung zusammenfassen 

2 (XiöXi + Yidyi + ZiÖZi) = 0. 

lieber die Gleichung (4) ist dasselbe zu sagen, wie über die 
shnngen (1). Die Kraftcomponenten X», Yi, Zi sind für eine 
jnmte Gleichgewichtslage als bestimmte gegebene Grössen 
ufassen, und in dieser Weise wird auch in den einfachsten 
m, z. B. beim Hebelgesetz, oder beim Satz vom Parallelo- 
im der Kräfte, diese Gleichung angewandt. In anderen An- 

^) Werden auch nicht umkehrbare Bedingungen zugelassen, so muss 
edes System virtueller Verrückungen die aufgewendete Arbeit Null 
pOBitrr sein. 



i 



286 Vierzehnter Abschnitt. §. 119. 

Wendungen aber sind die X,-, Yi-, Z,- als von der Lage der System- 
punkte abhängig anzusehen, d. h. es sind die X,-, Yu Zi Functionen 
der Coordinaten der Punkte wii, ma, W3, . . . 

Von besonderer Wichtigkeit ist dann wieder der Fall, dass 
die linke Seite von (4) ein vollständiges Differential ist, 
d. h. dass eine Function der Coordinaten existirt, deren partielle 
Ableitungen die X,-, Yi, Z, sind. Wir bezeichnen diese Function 
mit IJy und setzen 

^ dU ^ du ^ dU 

^* "^ ^^' -*■* ^^ ä7"» ^* = OTT' 

oXi cyi ozi 

Dann wird 

V (X,d:r, + YiSyi + ZiSz.) = d l\ 
und die Gleichung (4) lautet: 
(5) 8U=(^. 

Die Function ?7 wird die Kräftefunction genannt 



§. 119. 
Das d'Alembert'sche Princip. 

Eine Kraft P, die auf einen freien materiellen Punkt 
wirkt, ertheilt diesem Punkte eine Beschleunigung in ihrer Rich- 
tung, die der Kraft direct, und einem dem materiellen Punkte 
eigen thümlichen Factor, der seine Masse heisst, umgekehrt pro- 
portional ist. Wenn also x^ y, z die Coordinaten des Punktes 
mit der Masse m und t die Zeit bedeutet, so ist 

Indem man einen noch beizufügenden constanten Factor 
= 1 setzt, verfügt man über die Einheit der Kraft (oder der 
Masse). Es ist dann eine Kraft = 1 gesetzt, wenn sie der 
Masseneinheit die Einheit der Beschleunigung ertheilt. Wenn 
das Gentimeter, die Secunde und das Gramm als Einheiten für 
Länge, Zeit und Massen genommen sind (im cm.-gr.-sec-System), 
heisst die Krafteinheit eine Dyne. 

Man kann den Formeln (1) den Ausdruck geben: 
Wenn man zu der vorhandenen Kraft P eine Kraft hinzu- 
fugt, die dem Producte der Masse und der Beschleunigung gleich 



§. 120l Der Satz von der Erhaltung der Energie. 287 

ist und die der Beschleunigung entgegengesetzte Richtung hat, 
so entsteht eine Kraft (hier die Kraft 0), die der Bedingung des 
Gleichgewichts genügt 

Dieser Satz ist von d'Alembcrt so verallgemeinert worden, 

dass daraus die Gleichungen für die Bewegung eines beliebigen 

Systems materieller Punkte unter dem Einflüsse beliebiger Kräfte 

und beliebiger Bedingungen abgeleitet werden können. Das 

d" A lembert'sche Princip lässt sich so formuliren: 

Fügt man zu der auf den Massenpunkt nii wir- 
kenden (Kraft Pi eine Kraft hinzu, die dem Pro- 
duct aus derMasse und der Beschleunigung gleich 
und derBeschleunigung entgegengesetzt gerichtet 
ist, und nennt die Resultante aus diesen beiden 
Kräften die verlorene Kraft, so müssen sich 
die verlorenen Kräfte unter dem Einflüsse der 
Bedingungen des Systems in jedem Augen- 
blicke das Gleichgewicht haUen. 

In Verbindung mit dem Princip der virtuellen Geschwindig- 
■^^iten kann man also die Bedingungen für die Bewegung eines 
Systems in der mathematischen Formel zusammenfassen 

[(x,_^^)ä.,+(r,_„,^J|)«„+(z,-»./^)«4 

'^OTin dxi, dyi^ Szi die Componenten einer virtuellen Vcr- 
^ctiebung sind. Es ist dabei aber zu betonen, dass der Sinn 
^eses Ausdrucks hier der ist, dass die Verschiebungen in dem 
bestimmten Augenblicke t möglich sein müssen, ein Umstand, 
^^T besonders zu beachten ist, wenn die Bedingungen mit der 
Zeit veränderlich sind. 



§. 120. 
Der Satz von der Erhaltung der Energie. 

Wenn ein materielles System in Bewegung ist, so werden 

*ie Verschiebungen, die seine Punkte in dem Zeitelement dt 

kleiden, in dem vorhin festgesetzten Sinne im Allgemeinen nur 

^n virtuell sein, wenn die Bedingungen des Systems mit der 




288 Vierzehnter Absohnitt. §. 120. 

Zeit unveränderlich sind. Wenn wir jetzt diesen Fall annehmen, 
und wenn wir die Componenten der wirklich eintretenden Ver- 
schiebung des Punktes m» mit dxi, dyi^ dzi bezeichnen, so können 
wir aus der Formel (2) des vorigen Paragraphen als speciellen 
Fall die folgende ableiten: 

+ (^' - "" w) '' "]■ 

Nun ist aber 

d^Xi , l" \dt) ,, . 

und wenn wir daher 

setzen, so erhält (1) die Gestalt 

(3) 2 (^•^^» + ^•^y» + ^•^^•) = ^ ^^ = ^^• 

Nun ist 



"=m 



die Geschwindigkeit des Punktes »w,-, und mithin ist nach (2) 

(4) ^ = J 2 »«•«? 

die halbe Summe der Producte aus der Masse mit dem Quadrat 
der Geschwindigkeit jedes einzelnen Punktes. Diese Summe T 
heisst die lebendige Kraft oder auch die kinetische Energie 
des Systems. 

Die auf der linken Seite von (3) vorkommende Summe 

d^ = — X {Xidxi + Yidyi + Zid^i) 

ist die im Zeitelement dt gegen die Kräfte des Systems bei 
der Bewegung geleistete Arbeit, und wir können also der 
Formel (3) den Ausdruck geben: 

Die im Zeitelement gegen die Kräfte des 
Systems geleistete Arbeit ist gleich dem Verlust 
— dT an kinetischer Energie, 



§. 120. Der Satz von der Erhaltung der Energie. 289 

oder: 

Die Arbeit der Kräfte des Systems im Zeit- 
elemente ist die Vermehrung der kinetischen 
Energie um dT. 

Der Verlust kann hier natürlich auch negativ sein, was 
einen Gewinn an kinetischer Energie bedeuten würde. 

Von besonderer Bedeutung wird dieser Satz aber erst dann, 
wenn die Kräfte des Systems eine Eräftefunction haben, die von 
der Zeit unabhängig ist. Wenn nämlich TJ eine von den Coordi- 
naten, aber nicht explidte von der Zeit abhängige Function ist, und 

oXi cyi ozi 

so ist 

(5) dU= liXidXi + Yidyi + Zidzi) 

und es kann (3) in die Form gesetzt werden 

,6) i^r^ = «. 

Diese Gleichung lässt sich integriren und liefert ein all- 
gemeines Integral für das System: 

(7) T— U= const 

Diese Formel wird der Satz von der lebendigen Kraft 
genannt. 

Wenn das System aus einer Lage 1 in eine Lage 2 über- 
geht, so ist dazu ein gewisser (positiver oder negativer) Arbeits^ 
aufwand erforderlich, der sich nach (5) gleich 

ergiebt, also gleich dem Ueberschusse des Werthes der 
Kraft efunction für die erste Lage über den für die. zweite, 
und dieser Arbeitsaufwand ist also nur abhängig von den beiden 
Lagen des Systems, nicht von dem Wege, auf dem der üeber- 
gang erfolgt. Bei der thatsächlich eintretenden Bewegung wird 
er auf Kosten der kinetischen Energie bestritten. Danach führt 
man einen neuen Begriff in die Mechanik ein, die potentielle 
Energie P, die man durch die Gleichung definirt 

(8) p = -U+C, 

worin C eine willkürliche Constante ist, die man im Allgemeinen 
nicht näher bestimmt, und die Zunahme der potentiellen 
Energie ist gleich der Arbeit, die zur Ueberführung 

Riemann-Weber, Partielle Differentialgleiohangen. 19 



290 Vierzehnter Abschiiitt. §. 1: 

des Systems aus der einen Lage in die andere erfo 
derlich ist. Dann lautet die Formel (7) 

(9) T 4- P = const 

und sie besagt, dass bei der Bewegung des Systems 
Summe dl^r potentiellen und der kinetischen Energ 
also die Gesammtenergie unveränderlich ist. 

Bei der Bewegung wird also keine Energie verloren o 
gewonnen , sondern es wird nur potentielle Energie in kinetisch 
umgesetzt, oder umgekehrt. 

Dies ist der Satz von der Erhaltung d_ 
Energie. 

Wenn wir z. B. einen schweren Körper in der Nähe 
Erdoberfläche betrachten, so ist die potentielle Energie prop 
tional mit der Höhe des Körpers über einem beliebigen fest 
Horizont, und dieser Fall kann als typisches Beispiel für 
übrigen gelten. Je grösser die potentielle Energie ist, um ^ 
grösser ist die Arbeit, die der Körper beim Fallen zu leisten ^^ 
Stande ist, und die beim freien Falle in einer Vermehru ^^ 
der kinetischen Energie besteht. 

Dieser Satz von der Erhaltung der Energie gilt heut -^ 
Tage als das allererste Gesetz der mechanischen Natu^- 
erldärung, dem sich alles unterordnen muss. 

Natürlich gilt er nicht für jedes beliebige Theilsystem, wo' 
aber muss er gelten für ein vollständiges System, d. h. 
ein System, das wir nicht als Theil eines grösseren Ganzen ^' 
betrachten haben, dessen Bewegung also von ausser ihm liegen'' 
den Massen nicht beeinflusst wird. Für ein vollständiges Systexli 
machen wir also immer die Annahme, 

1. dass die Bedingungen nicht von der Zeit ab- 
hängig sind, 

2. dass eine von der Zeit unabhängige Eräfte- 
function existirt. 

Wir machen weiter die Annahme, dass der Satz, den wir 
hier unter der Voraussetzung einer endlichen Anzahl discreter 
Massenpunkte abgeleitet haben, auch noch Gültigkeit behalte 
für Systeme, die aus unendlich vielen Massenpunkten bestehen 
insbesondere also auch für continuirlich vertheilte Massen^). 

^) Bemerkenswerth ist der Versuch von Hertz, den Kraftbegriff und 
damit den Begriff der potentiellen Energie ganz aus der Mechanik zu ver- 



§. 121. Stabilität des Gleichgewichtes. 291 

§. 121. 
Stabilität de^ Geicbgewichtes. 

Wir haben für den Fall, dass eine Kräftefunction existirt 
in §. 118 die Bedingung des Gleichgewichtes in der Form er- 
halten, dass die erste Variation d U der Kräftefunction oder auch 
die erste Variation dP der potentiellen Energie für jede virtuelle 
Verschiebung verschwinden muss. Aus der Differentialrechnung 
ist bekannt , dass das Verschwinden der ersten Variation d U 
die Bedingung für ein Maximum oder ein Minimum der Function 
ü ist, und hierdurch werden wir auf die Beziehung der statischen 
Probleme zu der Theorie der Maxima und Minima hingewiesen. 

Wenn ein im Gleichgewicht ruhendes System durch kleine 
Störungen aus seiner Lage gebracht wird, wobei die einzelnen 
Punkte auch noch kleine Anfangsgeschwindigkeiten erhalten 
können, so wird das System in Bewegung gerathen und die 
Bewegung wird sich nach dem d'Alembert'schen Princip be- 
stinunen. 

Das Gleichgewicht heisst stabil, wenn diese Be- 
legungen im weiteren Verlaufe in beliebig engen 
Frenzen eingeschlossen bleiben, wenn man nur die 
anfänglichen Störungen hinlänglich klein, sonst 
&ber beliebig annimmt. 

Hier gilt nun unter der Voraussetzung, dass der 
Satz von der Erhaltung der Energie gilt, der fol- 
gende Satzi): 

Ein Gleichgewicht ist stabil, wenn die Lage 
des Systems derart ist, dass die potentielle 
Energie ein Minimum ist. 

Beim Beweise dieses Satzes nehmen wir an, dass die Lage 
des Systems durch eine endliche Anzahl von einander unab- 
hängiger Parameter (Goordinaten) (^i, q^^ ^s, ... bestimmt sei. 



bannen und alles auf die Wirkung von Verbindungen unter den Massen 
xarückznfiihren. An Stelle der potentiellen Energie tritt dann kinetische 
Energie verborgener Massen, und das Euergiegesetz behauptet die 
Constanz der gesammten kinetischen Energie, also der lebendigen Kraft. 
(Die Prinoipien der Mechanik von Heinrich Hertz, Leipzig 1894.) 
^) Zuerst von Dirichlet bewiesen. Werke, Bd. 2, S. 1. 

19* 



292 Vierzehnter Abschnitt §. 1 

Die rechtwinkligen Goordinaten :r,-, y,-, zi der einzelnen Masse 
punkte nii sind dann Functionen dieser Parameter g, die so I 
stimmt sein müssen, dass alle Bedingungsgleichungen zwisch 
den Goordinaten der nt,- identisch' befriedigt sind. Es ist 2 
Vereinfachung des Ausdruckes sehr vortheilhaft^ diese Paramei 
qi als Goordinaten eines Punktes in einem mehrdime 
sionalen Baum 12 aufzufassen. Dann entspricht jeder La 
des Systems ein Punkt % des Raumes U^ und die Bewegung c 
Systems wird abgebildet durch die Bewegung eines Punktes 
Baume iZ. Die potentielle Energie P unseres Systems ist da 
eine Ortsfunction im Baume 12 und unser Satz behauptet, ds 
ein Punkt in 12, in dem P ein Minimum ist, einer Lage stabil 
Gleichgewichts entspricht. 

■ Die in zwei Dimensionen gezeichnete Fig. 49, die man si 

im Baume 12 zu denken hat, hat natürlich nur den Zweck, < 

Fig. 49. gebrauchten Ausdrücke unmittelbar v( 

ständlich zu machen. Für den einfachst 
Fall, den eines einzelnen Punktes auf eii 
gegebenen Oberfläche, entspricht sie üb 
gens dem wahren Sachverhalt. 

Es sei also o ein Punkt, in dem ( 
Function P einen Minimal werth hat, u 
da wir bei P eine willkürliche Constai 
hinzufügen können, so wollen wir dies 
Minimalwerth der Einfachheit halber gleich Null annehmi 
Dann können wir um den Punkt cj herum ein Gebiet G dui 
eine (n — l)-dimensionale Hülle // abgrenzen, so dass inm 
halb G die Function ausser im Punkte cj nur positive Wert 
erhält, und es lässt sich eine positive untere Grenze g find« 
so dass auf der ganzen Hülle H 

P>9 

ist. Nun ertheilen wir dem das System darstellenden Punkte 
eine Verschiebung von (o nach Xq und ertheilen dem Syst< 
gleichzeitig eine gewisse lebendige Kraft Tq, so dass die weite 
Bewegung nach der Gleichung 

(1) T4-P=n + Po 

geschieht. Wir können aber jetzt, indem wir den Punkt 
nahe genug an o und Tq hinlänglich klein annehmen, immer 

(2) To + Po<9 




§. 122. Die Principien der Dynamik. 298 

machen, und dann folgt aus (1), da P und T nicht negativ sind : 

(3) P < (7, 

W T<g. 

Die Ungleichung (3) lehrt uns, dass der Punkt n im Ver- 
laufe der Bewegung die Hülle H niemals erreichen, noch weniger 
also überschreiten kann, und aus (4) folgt, dass auch die Ge- 
schwindigkeiten immer unter einer beliebig eng zu wählenden 
Grenze bleiben. Hiermit aber ist die Stabilität des Gleich- 
gewichtes nachgewiesen. 

Zu diesen Betrachtungen wollen wir noch eine wichtige Be- 
merkung hinzufügen. 

Es ist weder im vorigen Paragraphen, der von dem Satze 
der Erhaltung der Energie handelt, noch in diesem Beweise für 
die Stabilität des Gleichgewichtes ausgeschlossen, dass die vir- 
tuellen Variationen nicht integrirbaren Bedingungen unterworfen 
sind, auf die wir schon in §. 118 hingewiesen haben. Bei der 
Frage nach dem Minimum kommen dann auch nur die diesen 
Bedingungen genügenden Variationen in Betracht. 

Nehmen wir z. B. den Fall, dass eine vollkommen glatte, 
schwere Kugel gezwungen ist, auf einer gewölbten Oberfläche zu 
bleiben, so sind keine derartigen Bedingungen vorhanden. An 
der höchsten Stelle der gewölbten Fläche wird die Kugel nicht 
in stabilem Gleichgewichte sein. Die Sache wird aber sofort 
anders, wenn wir die Bedingung stellen, dass die Kugel auf der 
Oberfläche nur rollen, nicht gleiten kann; liegt dann zugleich 
der Schwerpunkt excentrisch, so kann das Gleichgewicht an der 
höchsten Stelle der Unterlage sehr wohl stabil sein, wenn zu- 
gleich der Schwerpunkt in der Kugel seine tiefste Stelle hat. 
Ob das Gleichgewicht in diesem Falle stabil oder labil ist, wird 
von dem Verhältnisse der Excentricität des Schwerpunktes zu 
der Krümmung der Unterlage abhängen. 

§. 122. 
Die Principien der Dynamik. 

Wir haben noch zwei andere Formen zu besprechen, in denen 
man die Grundgesetze der Mechanik darstellen kann, die einfache 
Folgerungen des d' Alembert'schen Princips sind, und deren 




294 Vierzehnter Abschnitt. §. 122. S 

jedes eine neue Eigenschaft der Bewegungsvorgänge ausdrückt»^ 

Man erhält sie, wenn man die thatsächlich eintretende Bewegung^ 

eines Systems mit einer unendlich wenig davon verschiedenen, a 

p. gQ einer variirten Bewegung vergleicht. E 

ist hierbei wiederum von Vortheil fdr dei 
Ausdruck, die Lagen des Systems durch di 
Lage eines Punktes n in dem Räume i2 
veranschaulichen, wobei die Bewegung de 
Systems durch die Bewegung des Punktes t 
auf einer Gurve im Räume i2 dargestell M 
wird. Wir wollen annehmen, durch di^ L 
Curve J.(7£ sei die thatsächlich eintretend»*^ 
Bewegung des Systems aus der Anfangs.^ 
läge A in die Endlage JB dargestellt. 
Wir vergleichen hiermit einen anderen, aber unendlicK' 
benachbarten Uebergang aus derselben Anfangslage A iiKr 
dieselbe Endlage JB. Die Punkte dieser variirten Bahn ordnei^c 
wir in einer zunächst willkürlichen Weise den Punkten der * 
ursprünglichen Bahn zu, so dass der Punkt n einen be ^ 
stimmten Punkt %* zum Begleiter hat, wobei jedoch nicht voraus ^ 
gesetzt werden soll, dass etwa % und n^ zur selben Zeit erreich' - 
werden soll. 

Es soll in dem Augenblicke f, der der Lage % des System^^ 
entspricht, der Punkt m»- die Coordinaten Xi^ jfi^ Zi haben. Bec^ 
der variirten Bewegung mögen dem Punkte n! die Zeit ^ -|- d i^ 
und die Coordinaten Xi -f- *^n Vi + *!/»i ^» + *^< des Punktes m»-:a 
entsprechen. Den Uebergang von % zu n* bezeichnen wir mit - 

EUer sind also die 8xi^ dyi^ dzi^ öt als willkürliche, aber 
stetige und unendlich kleine Functionen von t anzusehen. Ist 9 
irgend eine Function der ar,-, y,-, Zi^ t, so ist 

die Variation von g? beim üebergange (;r, tc'). 

Sind fo und ^ die Zeitpunkte, in denen das System bei der 
wahren Bewegung die Anfangs- und Endlage A und B einnimmt, 
80 nehmen wir an, dass auch die variirte Bewegung von der 
Lage A zur Zeit to ausgehe, während die Zeit der Endlage B 
variirt angenommen werden und mit t^ -f- Äfj bezeichnet sein 



§. 122. Die Principien der Dynamik. 295 

soll. Da die Anfangs- und Endlage nicht yariirt wird, so sind 
für t = to und t = ti die Variationen dxi^ dyt, SjSi = zu setzen. 
Bedeutet dt die Zeit, die zur Durchlaufung des wahren 
Bahnelementes (^,^i) erforderlich ist, und sind dxi^ dyi^ djSi^ dtp 
die entsprechenden Aenderungen der Goordinaten und der Func- 
tion 9, so ist 

EUerdurch ist auch die Bedeutung der Zeichen dSxi^ ddyi^ dSßi^ 
ddt gegeben, und es ist der Werth der Zeit und der Coordi- 
nate Xi in dem Punkte n'i, der dem Punkte sr^ ebenso zu- 
geordnet ist, wie der Punkt tc' dem Punkte n: 

(2) Xi + öxi + dxi + ddxi, e;+ dt + dt + ddt. 

Die Geschwindigkeitscomponente u,- = dxi/dt ist aber eine 
Function des Punktes tc und hat in dem Punkte n' einen varürten 
Werth Ui-{-Sui. Es ist aber nach dem Begriffe der Geschwindig- 
keit und nach (2) 

.J.V js dxi-j-ddxi dXi dtddxi — dxiddt 

^^^ ^^ — dt^döt ~'df- dJ^ ' 

und Entsprechendes gilt für die Variation der beiden anderen 
Geschwindigkeitscomponenten t;«, Wi ^). Ist also 



^) Die Bedeutung der Variation d läset sich allgemein so definiren: 
Man betrachte t^ x^, ... längs der Curve A, C, B als Functionen einer un- 
abhängigen Variablen 8 und bezeichne die Differentialquotienten irgend 
einer Function g) nach 8 mit dg). Es sei 'P irgend eine Function von der 
Variablen t, x^, ..., dt, dx^, ... (sie könnte auch noch höhere Differential- 
quotienten enthalten). Es seien nun dt, dx^, ... willkürliche Func- 
tionen von 8y und s eine unbestimmte Constante. Man ersetze in ^ die 
Functionen 

durch i + fi<ff, x^ 4" ^^^ii 

also auch dt durch d(t -]- sdt) = dt -}- ed&t^ dx^ durch d(x^ -|- 6<fa:^ 
= dx^ -}" sd&x^, wodurch 4» in *#»' übergehen möge, und verstehe unter 
<f ^* den Coefficienten der ersten Potenz von e in der Entwicke- 
ln ng von </>' nach steigenden Potenzen von e. Aus dieser Definition 
ergiebt sich z. B. 

ddt = ddt, ddx^ = ddx^, . • . 

[Vgl. Lagrange (1762) (Ostwald's Classiker, Nr. 47); Gauss, Principia 
generalia ect. Werke, Bd. V., S. 59 f.] 



296: Vierzehnter Abschnitt 

die lebendige Kraft, so ergiebt sich aus (3) 

(5) *T=;Sm,(^-^-^ + ^-^ + -^-^j-2 

und mit Benutzung der Relationen : 

d — Sx- 
dXj dSxi d^Xi ;^ ]_ dt * 

TT "dT - " "diä- ^^» -^ dt~~ ^^''•* 

+^2"'(4f'^+4f'»*+^'")- 

Diesen Ausdruck multipliciren wir mit dt und in 

zwischen den Grenzen ^oi^- ^^^ ^^ ^^n *yn *^i an 
Grenzen = angenommen haben, fällt nach der Integra 
dritte Glied, in dem sich die Integration ausführen lässt, 
und es ergiebt sich 

(7) UTd< = _]2»»(^^T«^. + -rff Äy* + ^^ 

Es bedeute 

(8) «^ = - 2 (X.*ic, + Yiöyi + Z,«;er,) 

die Arbeit, die durch die Verschiebung (jr, n') gegen di< 
des Systems geleistet wird. Diesen Ausdruck multiplic 
wieder mit dt und integriren zwischen denselben Grenze] 
ergiebt sich durch Verbindung mit (6) 

(9) f(2^^/ + *^"" *^)^^ = 



"' .,. 



«0 

<1 



Wenn wir nun aber annehmen, die Verschiebung (31 
eine virtuelle, so verschwindet nach dem d'Alembe 
Principe das zweite Integral vollständig, und es ergiebt 



§. 123. Das Hamilton'sobe Princip. 297 

h 

(10) [r2T^ + ÄT-*^]de = 

als Bedingung für die thatsächlich eintretende Bewegung. 

Hierbei ist aber wohl zu beachten, dass die Verschiebung 
{jCj n') in dem Augenblicke t eine virtuelle sein muss. Daraus 
folgt nicht, dass die yariirte Bahn AG'B mit den Bedingungen 
der Aufgabe verträglich sein muss, da ja der Punkt n' auf dieser 
SU einer anderen Zeit, nämlich ^ -(- Ä ^, erreicht wird. Es würde 
nur dann die yariirte Bahn nothwendig mit den Bedingungen 
des Systems verträglich sein, wenn diese Bedingungen von der 
Zeit unabhängig sind und keine Differentiale enthalten i). 

Zur Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung 
giebt nun die Formel (9) mehr als nöthig ist Es genügt, wenn 
wir zwischen den Variationen des Ortes und der Zeit noch eine 
Relation ¥rillkürlich annehmen, und je nachdem man diese Rela- 
tion so oder anders wählt, erhält man verschiedene Formen des 
Princips der Dynamik. Zwei dieser Formen sind es, die in der 
Mechanik besonders benutzt werden. 



§. 123. 

Das Hamilton'sche Princip und die zweite Lagrange'sche, 
Form der Differentialgleichungen der Dynamik. 

Die erste Specialisirung der Formel (9) in §. 122 besteht darin 
dass man d^ = setzt, also annimmt, dass die Punkte n und %' 
gleichzeitig durchlaufen werden. Dann ergiebt sich das 
Hamilton 'sehe Princip in seiner allgemeinen Gestalt 

<i 

(1) \{f^T— dÄ)dt = 0. 

Hierbei ist weder über die Kräfte noch über die Bedingungen 
irgend eine Voraussetzung gemacht. 

Eine wesentlich einfachere Gestalt nimmt aber die Formel 
an, wenn wir eine Kräftefunction U oder eine potentielle Energie 
P = — U voraussetzen. Dann ist dÄ = SP = — d f7, und 
wir können die Formel (1) so schreiben: 

^) Diesen Punkt hat zuerst Holder klar gelegt. GötÜDg. Nachr. 1896. 



298 Vierzehnter Absohnitt. §. 

(2) 6{{T-^ü)dt = 0. 

In dieser Form wird das Hamilton 'sehe Princip gewö 
lieh angewandt. Es ist hierbei zwar die Existenz einer 



function yoraosgesetzt. Diese kann aber auch noch von der Zec: ait 
abhängen. Ebenso können die Bedingungen von der Zeit ah=z)- 
hängen. Bei der Bildung der Variation d ist die Zei^Et 
nicht mit zu variiren. 

Wir wollen noch zeigen, wie sich aus diesem Princip d^^Ee 
Differentialgleichungen der Bewegung herleiten lassen. W^^jr 
nehmen wie früher die Lage des Systems bestimmt an durch eii^e 

gewisse Anzahl von einander unabhängiger Variablen 2i, 9a, . 

und machen weiter die Annahme, die nun freilich eine d < » r 

Einfachheit halber gemachte beschränkende Voraussetzung i^^t; 
dass auch die Variationen dg^, fg^, ... von einander unabhäng^Kg 
sind und dass die Function U nur von den qi und etwa noc^h 
von der Zeit, aber nicht von den Ableitungen dqt/dt abhänget 
Zur Vereinfachung setzen wir 

(3) * - "37" 

und denken uns nun also T -{- ü als Function von qu q^^ . ^ •» 
- $1, gs, . . . dargestellt. Dann ergiebt sich aus (2) 

Nun schliesst man wie in §. 122 (3) 

** = -dt' 

woraus man die Identität ableitet: 

also, da die 8qi an den Grenzen des Integrals verschwinden: 



24. Hamilton'sche dynamische Differentialgleiohangen. 299 

Da wir nun die dqi als von einander unabhängig an- 
aommen haben, so ergiebt sich hieraus das System von 
GFerentialgleichungen : 

^ dqi ~ dtdq'i' 

A die Anzahl dieser Gleichungen ist so gross wie die Anzahl 
r unbekannten Functionen qi. Es sind Differentialgleichungen 
reiter Ordnung, durch deren Integration, wenn m die Zahl der 
uriablen g« ist, 2m willkürliche Gonstanten eingeführt werden, 
lese Gleichungen sind unter dem Namen der Lagrange'schen 
ifferentialgleichungen (in der zweiten Form) bekannt. 

§. 124. 

Die Hamilton'sche Form der dynamischen 
Differentialgleichungen. 

Die Hamilton'sche Form der Differentialgleichungen der 
^amik ist eine Umformung der Lagrange'schen, die darauf 
niht, dass man an Stelle der qi andere Variablen pi durch die 
eichung einfuhrt: 

, dT 

dqi 

nn kann man mit Hülfe dieser Gleichungen die Function T 
Fxmction der g^, q^^ ..-i l>i» Pj» ••• darstellen, und man erhält 
2 m unbekannte Functionen von f, für die man aber auch nur 
i Differentialgleichungen erster Ordnung findet. 

Zu bemerken ist, dass die qi nur in T, nicht in ü vor- 
DQmen, und dass T eine homogene Function zweiten 
"ades der Variablen qi ist. Die Gleichungen (1) geben daher 
^ System linearer Gleichungen für die gj, deren Determi- 
Ote nicht verschwindet, weil T für kein von Null verschiedenes 
Btem der Variablen g|- verschwinden kann. 

Nach dem Euler'schen Satze über die homogenen Func- 
^nen hat man die Relation 

Wir drücken nun T einmal durch g,-, qi und dann durch g, 
^d pj aus, und bezeichnen die Differentialquotienten von T 



300 Vierzehnter Absohnitt. §. 124. 

unter der letzten Voraussetzung durch Klammern, man erhält 
dann durch vollständige Differentiation 

= 2 (H) ^* + 2 ß-D ^i-.. 

also 

und andererseits aus (2) 

(4) 2dT= V(Z,di), + Ipidcii, 

also aus (3) und (4): 

<^' s ßl + Q] ^* + 2 [© - '=] ^" = »■ 

und hieraus, weil hier dqi und dpi willkürliche Differentiale sind: 

^^^ (H) = - H' = «'• 

Dann haben wir nach (6), da TJ auch von |>,- unabhängig ist: 

a(r4-t7 )_ /8( r-E7) \ / d(T-U )\_/dT\ 

^^ dqi ~ \ dqi )' \ dpi J~\dpi)' 

und wir fuhren jetzt eine Function fl, die Hamilton'sche 
Function, durch die Definition 

(8) T— U= H 

ein, denken uns aber diese Function nicht durch g«, g|-, sondern 
durch qiyPi ausgedrückt. Dann können wir bei den partiellen 
Ableitungen die Klammern wieder weglassen und erhalten aus 
(6) mit Benutzung von (1) und §. 123 (3) und (5) 

dH_dqi dn__dpi, 
^^ dpi ~ dt ' dqi ~" dt ' 

und dies ist die Hamilton'sche oder auch die canonische 
Form der dynamischen Differentialgleichungen. 
Aus (9) ergiebt sich 

und die linke Seite dieser Gleichung ist, wenn H von der Zeit 



$. 125. Das Princip der kleinRten Wirkung. 301 

onabhängig ist, der Differentialquotient dH,dt Man erhält 
dann also unmittelbar den Satz von der Erhaltung der Energie 
in der Form H = const. 



§. 125. 
Das Princip der kleinsten Wirkung. 

Durch eine andere specielle Annahme über die in der all- 
gemeinen Formel §. 122 (9) anzuwendende Variation gelangt man 
zu dem berühmten Princip der kleinsten Wirkung von 
Maupertuis, was ebenfalls zur Aufstellung der dynamischen 
Differentialgleichungen benutzt werden kann. 

Man kann auf der variirten Bahn AC'B (Fig. 50. §. 122) 
die dem Punkte n' entsprechende lebendige Kraft beliebig an- 
nehmen, wenn sie nur von der dem Punkte x entsprechenden 
unendlich wenig verschieden ist Dadurch ist die Variation der 
Zeit, Sty erst bestimmt, und wird im Allgemeinen nicht mehr 
gleich Null. 

Man wähle nun diese Variation so, dass 
(1) 8T=^dÄ 

wird, d. h. man nehme an, dass die Variation (:r. n'j so vor- 
genommen werde, dass der Verlust an kinetischer Energie gleich 
der geleisteten Arbeit werde, d. h.. so wie es der Satz von der 
Erhaltung der Energie verlangt, wenn wir auch liier noch nicht 
anzunehmen brauchen, dass bei der wahren Bewegung A CB der 
Satz von der Erhaltung der Energie bestehe. Wenn man dann 
SA eliminirt, so kann man die Gleichung Cjj, i. 122, <o dar- 
stellen : 



•2 I (Tddt — öTfJt) = 0. 



oder auch 






(2) d\Tdt = 0. 






Wenn der Satz von der Erhaltunjr der Energie Gültiskeit 
hat, wenn also eine von d^T Zeit unabhän^ge Kräftefunctior* U 
existirt, so ist. wenn wir mit h die Ir.t'^jrnitionsconstarite h^- 



302 Vierzehnter Abschnitt 

(8) T=U+h, 

und diese Relation muss auch bei der Variation in (2) 
bleiben. Bezeichnen wir femer mit dSi das Wegelen 
Punktes n?,*, so ist 

und wenn wir also T und dt durch (3) und (4) aus (2) el 
so ergiebt sich 

(5) * [Vü'+Ä fiiüds} = 0. 

Das Integral (5) ist nun nicht mehr ein Zeitintegral, 
über eine Strecke zu nehmen. Man kann etwa einen der 
als unabhängige Variable auffassen, und so lautet d 
Princip so, dass das Integral 

(6) {Tdt={ fcrph YWd^, 

das man als die Wirkungsgrösse bezeichnet, bei d 
sächlich eintretenden Bewegung aus der Anfangs- in die 
so klein als möglich werde. Dieses Minimum findet abe: 
lange wirklich statt, ajs die beiden Grenzlagen nicht zu 
einander gewählt werden *). 



^) Yergl. Jacobi, Vorlesungen über Dynamik. Hertz, 
Art. 615. 



DRITTES BUCH. 



• • 



ELEKTRICITAT 



UND 



MAGNETISMUS. 



Fünfzehnter Abschnitt. 
Elektrostatik. 



§. 126. 
Vectoren im elektrischen Felde. 

Nach den in der neueren Physik zur Herrschaft gekommenen, 
if Farad ay und Maxwell zurückgehenden Anschauungen 
erden zur Erklärung der elektrischen Erscheinungen haupt- 
üblich Vorgänge und Zustände im Dielektricum, d. h. in 
'ö die Leiter der Elektricität umgebenden Nichtleitern heran- 
zogen 1). Durch die freie Elektricität wird im Dielektricum ein 
ftQnungs- oder Zwangszustand hervorgerufen, durch den in 
©m Volumenelement ein gewisser Energievorrath aufgespeichert 
'<i, etwa wie bei einer durch ein Gewicht gespannten Feder. 

Zur analytischen Darstellung dieser Verhältnisse denken wir 
K den ganzen Raum ausgefüllt mit einem Dielektricum, in dem 
^elne beliebig gestaltete Leiter der Elektricität von endlicher 
^dehnung eingebettet sind. 

Wir schliessen auch den Fall nicht aus, dass das Dielektri- 

aus verschiedenartigen Bestandtheilen besteht, wie es z. B. 
tritt, wenn in der Luft Nichtleiter der Elektricität aus ver- 
miedenen Substanzen eingelagert sind. 

^) A Treatise on Electricity and MagDetism by James Clerk Max- 
Xl, Oxford 1873; deutsch von Weinstein, Berlin 1883. Aus der deut- 
en Literatur über diesen Gegenstand erwähnen wir hier die Abhandlung 

1 Hertz, „lieber die Grundgleichungen der Elektrodynamik in ruhenden 
Kapern**, Göttinger Nachrichten 1890. Gesammelte Abhandlungen II, S. 208. 

jpl, Einführung in die Maxwell'sche Theorie der Elektricität (Leipzig 
K)). Boltzmann, Vorlesungen über die Maxwell'sche Theorie der 
^iLtricität und des Lichtes, Leipzig 1891 bis 1693. Helmholtz, Vorlesungen 
dr die elektromagnetische Theorie des Lichtes, herausgegeben von König 
d Runge (1897). 

Blemann-Weber, Partielle DiffcrentialgleichungeD. 20 



306 Fünfzehnter Abschnitt. f^ 

Die Leiter der Elektricität sind nach diesen Anschaaut^ 
dadurch charakterisirt, dass in ihnen ein Spannungszustand ^ 
nicht halten kann, sondern mit der Zeit zerfällt, und folg^ 
kann im Inneren eines Leiters im Gleichgewichtszusta 
keine Energie aufgespeichert sein. 

Zur Darstellung des elektrischen Zustandes in diesem Fe^ 
brauchen wir zwei Vectoren, von denen der eine (S als Kr? 
der andere ^ als eine durch diese Kraft hervorgerufene Vi 
Schiebung aufgefasst werden kann. Die Kraft 6 bezieht sich a 
die Volumeneinheit, und auf ein Volumenelement dz wirkt ( 
Kraft (Sdr. 

Die Verschiebung 5^ weckt eine der Kraft 6 gleiche u: 
entgegengesetzte Gegenkraft, ähnlich wie die elastische Kri 
einer gespannten Feder der spannenden Kraft entgegenwir 
Die in einem Volumenelement dx angehäufte (potentielle) Ener^ 
ist die Arbeit der Kraft 6dr, also das Product aus der Kri 
und der nach der Richtung der Kraft geschätzten Verschiebui 
Das elektrische Gleichgewicht wird dann eintreten, wenn die G 
sammtgrösse dieser Energie ein Minimum ist (§. 121). 

Zunächst müssen wir die Voraussetzungen, die zu mach 
sind, genauer präcisiren: 

L Die Verschiebung 3^ ist von der Kraft 6 abhängig. 

einem isotropen Dielektricum, d. h. bei einer Suli^tai 

die sich in allen Richtungen gleich verhält, haben bei 

Vectoren die gleiche Richtung. Wir setzen diesen F; 

hier allein voraus, sehen also von krystallinischen Medi 

ab. Wir nehmen an, was vielleicht nur in erster A 

näherung zutrifft, dass die Grösse der Kraft mit d 

Grösse der Verschiebung proportional ist, und setz 

demnach 
(1) 4;r5) = e6. 

Der Coefficient b heisst die Dielektricität 
constante. Sie ist in einem homogenen Medium ei 
wirkliche Constante, um aber auch inhomogene Diele 
trica zu berücksichtigen, sehen wir e im Allgemein 
als eine Function des Ortes an, und schliessen auch d 
Fall nicht aus, dass e an Flächen unstetig wird. D: 
haben wir dann anzunehmen, wenn zwei verschiede 
Dielektrica sich in einer Fläche berühren. 




j. 126. Vectoren im elektrischen Felde. 307 

2. Die Grösse 

2) div 5) = 9 (§. 87) 

heisst die räumliche Dichtigkeit der wahren Elek- 
tricität. 

Das Product gdt ist die im Volumen element dt an- 
gehäufte Menge wahrer Elektricität, und g ist eine 
Function des Ortes, die auch unstetig sein kann und die 
überall da gleich Null zu setzen ist, wo keine räumliche 
elektrische Ladung vorhanden ist. Wir können also 
geradezu die Elektricität als Ver- yiv 51 

dichtung oder Verdünnung einer 
hypothetischen Substanz, des Aethers, 
auffassen. 

3. Der Vector 3) kann an Flächen 
unstetig sein. Ist S eine solche 
Unstetigkeitsfläche, und do ein Ele- 
ment dieser Fläche, so ziehen wir 
in einer beliebigen Richtung eine Normale v, und unter- 
scheiden beide Seiten von do durch den Index -f- und — , 
wie die Figur zeigt Ist dann D» nach der Bezeichnung 
in §. 85 die Componente von S in der Richtung v, so 
heisst die Differenz 

■ 

die Flächendichtigkeit der wahren Elektrici- 
tät, und ödo ist die auf dem Flächenelement do an- 
gehäufte Menge wahrer Elektricität. 

4 Während die Verschiebung 2) von der Grösse D, die 
wir uns als unendlich klein vorstellen, ausgeführt wird, 
wächst die Kraft 6 stetig von Null bis zu ihrem vollen 
Werthe E nach der Formel (1). Bei der Berechnung 
der Gesammtarbeit ist daher der Mittelwerth ^ -ß in Rech- 
nung zu ziehen, und es ergiebt sich daraus für das 
Element dt nach eingetretener Verschiebung derEnergie- 
vorrath 

(4) dT = ]-El)dz, 

und daraus erhält man den Energievorrath des ganzen 
Systems 

20* 



308 Fünfzehnter AbBchnitt. §. 126. 



(5) T='^\ 



EDdr. 



Hier haben @ und ^ gleiche Richtung, und es ist da- 
her, wenn wir die Componenten E^^ Ey^ Et\ D^i Dy, Dg 
einfuhren, 

ED = E:,D:c + EyDy + i,A, 

und folglich 

(6) ^ = ^ j (^-^- + ^y^y + -^'^') ^^• 

Der Gleichgewichtszustand wird dann eintreten, wenn 
diese Grösse unter den gegebenen Bedingungen so 
klein als möglich wird, oder wenn für jede zulässige 
Variation ä@, ä® der Vectoren 6 und 3) die erste 

Variation 

(7) *T=0 
ist. 

5. Wir nehmen an, dass der elektrische Spannungszustand 
auf ein endliches Gebiet beschränkt sei, dass also in un- 
endlicher Entfernung ein unelektrischer Zustand herrsche. 
Auch nehmen wir die Unstetigkeiten des Feldes auf ein 
endliches Bereich beschränkt an. Dies drückt sich durch 
folgende Bedingungen aus. 

Jenseits einer Kugel R mit hinlänglich grossem Radius R 
sind die Componenten J5?x, Ey^ Es überall bestimmte und stetige 
Functionen des Ortes. Die Gesammtenergie des Feldes ist, wenn 
wir mit do das Flächenelement der Einheitskugel, mit r den 
Radiusvector bezeichnen, nach (1), (5) und (6) der Ausdruck 

00 

(8) ^^dm^B(El-\-El + E',)r^dr, 



und wenn wir einen Punkt auf einem Radiusvector r ins Unend- 
liche verschieben, so wird die gegen die Kraft 6 geleistete Arbeit 
durch das Integral 



m J 



Erdr 



ausgedrückt. Wir nehmen an, dass diese Integrale (8) und (9) 
endlich seien. Diese Annahme involvirt die andere, dass 

(10) lim RE:, = 0, lim REy = 0, lim RE, = 0, 



§. 127. Das elektrostatische Problem. 309 

irenn R unendlich wird. Die Integrale (8) und (9) sind sicher 
;onvergent, wenn sich eine positive Zahl k bestimmen lässt, so 
la.ss 

11). R'^^'E,, -R'^'-By, iJ' + '£, 

ür R= 00. nicht unendlich werden, also sicher dann, wenn 

li>) R^E,, R'Ey, R'E, 

iclit unendlich werden. 

Die Voraussetzung, auf die es wesentlich ankommt, ist die 
'oriTergenz der Integrale (8) und (9). Diese fordert die llela- 
ioixen (10) und wird von jeder der Bedingungen (11) und (12) 
in geschlossen. 

Diese Voraussetzungen sollen uns übrigens nicht abhalten, 
gelegentlich auch einen ins Unendliche verlaufenden elektrischen 
jU.8tand zu betrachten, z. B. einen mit Elektricität geladenen 
unendlichen Cylinder. Dann erfordern die letzten Bedingungen 
lö-^jvisse Moditicationen, auf die wir in den einzelnen Fällen 
^'-i^ückkommen werden. 

Nach dieser Voraussetzung betrachten wir es als eine aus- 
'^^ichende Gleichgewichtsbedingung, wenn die Gleichung (7) er- 
*^Ht ist für alle zulässigen Variationen ä6, 61), die ausser - 
^ ^Ib einer ganz beliebigen geschlossenen Fläche 
' ^ rschwinden. 

§. 127. 
Das elektrostatische Problem. 

Um das Problem der Elektrostatik allgemein zu formuliren, 
^«hmen wir ein unendliches Feld an, das aus Leitern und Nicht- 
leitern bestehen mag. Unstetigkeiten des Feldes mögen in be- 
Uebigen Flächen vorkommen. Die einzelnen Körper, aus denen 
das System besteht, betrachten wir als feststehend. In den Nicht- 
leitern, seien es Körper oder Flächen, nehmen wir die wahre 
Elektricität, wenigstens durch die hier in Betracht kommenden 
Kräfte, als unbeweglich und unveränderlich, also als eine gegebene 
Grösse an. In den Leitern, wo die Elektricität vollkommen 
leicht beweglich ist, ist die wahre Elektricität veränderlich, und 
nur die in jedem einzelnen, von den übrigen getrennten Leiter 
vorhandene Gesammtmenge ist als gegeben zu betrachten. 



310 Fünfzehnter Abschnitt §. 1 



Wir woUeu nun nachweisen, dass die Bedingung des Gleic= 
gewichtes öT = unter folgenden Voraussetzungen erfüllt ir- 

I. Im Inneren eines jeden Leiters ist 

(1) g = 0, 2) = 0. 

IL @ ist ein Potentialvector, d. h. es ist überall 

(2) curl (S = 0. 
Wenn man also die Function 9 durch 

(3) 9 = — f E,d8 
definirt, so ist 

^^^ ^'-"ö^' ^'-"wg^ ^'--w 

Das Integral (3) ist, wenn der Integrationsweg t« 
einem Punkte ausserhalb der Kugel R anhebt (§. 126, 
in diesem ganzen Räume ausserhalb eine eindeuti| 
Function des Ortes. Wenn der Integrationsweg ganz i: 
Unendlichen verläuft, so ist das Integral wegen der Vo' 
aussetzung [§. 126 (9)] gleich Null, und daraus fol| 
dass 9 im Unendlichen einen bestimmten Werth hst^ ^ 
Wir können also das Integral (3) auch im Unendliche:^ 
anfangen lassen, d. h. wir können 9 so definiren, da^^ 
es im Unendlichen verschwindet. Dies soll für 
die Folge geschehen. Setzen wir das Integral (3) in das 
Innere der Kugel R fort, so ändert sich 9 stetig, kann 
aber möglicher Weise bei verschiedenen Integrations- 
wegen an einem und demselben Punkte verschiedene 
Werthe erlangen, also an gewissen Sperrilächen unstetig 
werden (§. 93). Wir nehmen aber an 

III. das Potential 9 ist im ganzen Felde stetig, im Un- 
endlichen gleich Null und in jedem einzelnen Leiter 
constant 

lY. Die räumliche Dichtigkeit der wahren Elektricität 

(5) div3) = div^ = (» 

ist in jedem Punkte des Dielektricums , also ausserhalb 
iler Leiter gegeben ; es genügt daher nach (4) die Function 



§. 127. Das elektrostatische Problem. 311 

q> in dem ganzen Räume ausserhalb der Leiter der par- 
tiellen Dififerentialgleichung 

de ^ de :^ de -^ 
/o\ dx . dy . dz . 

(6) — r ^-- H ^ — = — 43r(>, 

^ ^ dx ^ dy ^ dz 

worin q eine gegebene Function des Ortes ist. 

V. An jeder mit Elektricität geladenen nichtleitenden 
Fläche ist 

. (7) d:-d-=6 

eine gegebene Function des Ortes, was für 9 die Be- 
dingung giebt 

VI. Auf den leitenden Flächen ist 

(9) D+ -D-=a 

nicht gegeben, sondern es ist nur das über die ganze 
Oberfläche eines jeden einzelnen Leiters erstreckte In- 
tegral 

(10) \ ödo = e 

eine gegebene Grösse. 

Ist die Fläche die Grenze eines. räumlich ausgedehnten Leiters, 
so ist, wenn die Normale v aus dem Leiter in den Nichtleiter 

hinein positiv gerechnet wird, D~ = 0, also^Z)^ = ö. Es können 

aber auch leitende Flächen vorkommen, die als unendlich dünne 
Leiter (Blech) zu betrachten sind; dann gilt die Formel (7). 

Es ist nun nachzuweisen, dass unter diesen Voraussetzungen 
dT=0 ist. Nach §. 126 (6) ist aber 

(11) ^ = -^ f (^'^- + ^y^y + ^'^') ^^• 

Nach §. 126 (1) ist ferner 
also auch Pir die a;-Componente 



'X ^ -^Xt -xn%>\ß J^x » ^ -^X^ 



312 Fünfzehnter Abschnitt. §, 



127. 



UDd folglich 

Da Gleiches für die anderen Componenten gilt, so er 
man 

(12) ÖT= { (E^dD:c -{- EydDy ^ E,äDs)dt. 
Nach IL (4) ist aber 

cx ox öx 

und daher 

8T=— f div(9Ä'5))dr + [ydivÄSdr. 

X Wenden wir nun auf den ersten Bestandtheil dieses A 
druckes den Gauss' sehen Integralsatz (§. 89) an, so folgt 
Rücksicht auf die Stetigkeit Ton 9 

(13) 8T=[q>6 (Z)+ — 2)7) do + [ 9div«^dr, 

und wenn also 8q und 80 die Variationen der räumlichen u 
der Flächendichtigkeit sind: 

(14) 8T= f 9Ä<Jdo+ [q>8Qdx. 

Nun ist aber in den Nichtleitern 8q und 6<J = 0. In eine 
Leiter L ist 9 constant, und folglich ist für diesen Leiter 

I q)8ödo -\- I q)8QdT = 9? M 8ödo -|- 1 SgdtV 

und weil die Gesammtmenge der wahren Elektricität auf den^ 
Leiter L gegeben ist, so ist 

{ Södo + {8Qdt = 0, 

auch dann noch, wenn durch die Variation 8 Elektricität von 
der Oberfläche des Leiters in das Innere gedrungen sein sollte, 
•Folglich ist 

(15) ÄT=0, 

wie bewiesen werden sollte. 

Die Function y heisst das elektrische Potential oder 
auch die elektrische Spannung. Sie hat beim Gleich- 
gewichtszustande in jedem Leiter einen constanten WertL 






$. 128. Der Energrievorratb und die freie Ladung. 313 



§. 128. 
Der Energievorrath und die freie Ladung. 

Durch ähnliche Betrachtungen, wie wir sie hier zum Be- 
der Gleichung äT = durchgeführt hahen, lässt sich auch 
der- in einem elektrostatischen Systeme vorhandene Energievorrath 
Wölbst berechnen. Es ist nämlich 

= — ^ j div (93)) dt -{"^ I 9divS)dr, 

^^^<i wenn man wieder das erste dieser Integrale durch den 
ö ^, iiss' sehen Satz umformt 

Hieraus können wir schli essen, dass es nur eine einzige 
* '^x nction q> geben kann, die den Bedingungen I. bis VI. 
«; 127 genügt. Denn angenommen, wir hätten zwei solche Func- 
**^^^"»ien 9i, 92) so würde ihre Differenz 

9 = 9j — 9.^ 

^^uselben Bedingungen mit p = im ganzen Felde, mit 6 = 
^^ den nichtleitenden Flächen, und mit e = an den leitenden 
^^ lachen genügen. Für dieses 9 würde sich daher T ^ er- 
geben [nach (1)], und dies ist nur möglich, wenn E^^ Ey, Eg 
^Qrschwinden , also 9 constant, und da es nach §. 127, III. im 
Xlnendlichen verschwinden soll, gleich Null ist. 

Als CoroUar aus der hiermit bewiesenen Eindeutigkeit des 
elektrostatischen Problems ergicbt sich die folgende Anwendung. 
Nehmen wir die Aufgabe für irgend ein gegebenes System von 
Leitern und Nichtleitern als gelöst an, und stellen nun in einem 
der räumlich ausgedehnten Leiter, in dem also 9 constant ist, 
einen Hohlraum her, den wir durch einen Nichtleiter, aber ohne 
elektrische Liadung, ersetzen, so l)leil)en auch für dies neue System 
alle Bedingungen befriedigt, wenn wir der Function 9 in diesem 
Hohlraum denselben constanten Werth lassen, und es ergiebt 
sich also, dass dieser Hohlraum gar keinen Einiiuss auf die 



314 Fünfzehnter Abschnitt. §. 12d. 

elektrische Vertheilung ausüben kann. Ob also ein Conducs^tor 
hohl oder mit leitender Masse irgend welcher Art ausgefüllt ist, 
ist für die elektrische Vertheilung im System gleichgültig. 

Wenden wir den Satz §. 99 (8) auf die Function 9 an, so 
ergiebt sich, da 9 stetig, also 17 = ist, 

(2) ^=J^ + J__, 

worin r die Entfernung der Elemente dv und do von A 
Punkte, auf den sich q) bezieht, bedeutet, und 

47t Q* = — ^q) = div6 
(3) 



-«* = - (nr + (er = ^ - ^• 



*-=-c-?r=^. 



-Mi' 



Nach (2) ist also 9 das Newton'sche Potential von Mass 
die mit der Dichtigkeit q* und 6* in den Elementen dt und ^^^ 
lagern. Man nennt diese Grössen die Dichtigkeiten dL ^^' 
freien Elektricität im Raumelement dz und im Fläch 
element do. Zwischen den Dichtigkeiten der freien und 
wahren Elektricität besteht nach §. 126 (1), (2), (3) der 
sammenhang 

(4) ff = eQ*-i-l-(E/^ + Ey^ + E, l^\ 
^ ^ ^ ^ 4-T \ ex ^ cy ^ cz) 

und in einem homogenen Medium also 

(5) Q = «p*. 
An der Oberfläche eines Leiters ist 

(6) <j = 6Ö*. 

Diese Formel aber gilt an einer nicht leitenden Fläche nur, 
wenn € zu beiden Seiten denselben Werth hat; sonst kann man 
setzen : 

2 ^ Sn 

Ist die mit Elektricität beladene Fläche die Grenze zwischen 
einem Leiter und dem Dielektricum, so ist, wenn der Leiter auf 
der Seite der negativen v liegt, (ctp cv)" = 0, und man erhalt 



und folglich ist aucli in diesem Falle 



§. 129. 



Das Coulomb'sohe Gesetz. 



315 



worin s die Dielektricitätsconstante des Dielektricums ist. 

Wenn wir in der Folge von der Dichtigkeit der Elektricität 
schlechtweg reden, so soll darunter die wahre Elektricität ver- 
standen werden 1). 

Bezeichnet man mit R die Entfernung eines variablen Punktes 
von einem festen Punkte, etwa dem Coordinatenanfangspunkte, 
so ergiebt sich aus (2) für ein unendlich grosses B 



(7) 



limJRy = 1 Q*dt + [ ö*do, 



und die linke Seite dieses Ausdruckes ist die gesammte Menge 
der im Felde vorhandenen freien Elektricität c*. Es ist also 
in grosser Entfernung näherungsweise 



(8) 



e* 



§. 129. 
Das Coulomb'sche Gesetz. 

Um von den Ergebnissen der letzten Betrachtungen eine 
Anwendung zu machen, nehmen wir an, in einem homogenen 
unelektrischen Dielektricum seien zwei Leiter mit den wahren 
und freien Ladungen e^, e^i ^v ^\ eingebettet; q und p* sind = 
zu setzen. Wenn dann ^>^ und 9?2 die constanten Werthe der 
Function g? in den beiden Leitern Fig. 52. 

sind, so ergiebt sich aus §. 128 (1) 

(1) 2T= 9)161 + 9?2e2. 

Bezeichnen wir mit r^ die Ent- 
fernung irgend eines inneren Punktes 
des ersten Leiters von dem Ober- 
flächenelement dox desselben Leiters 
und mit r^ die Entfernung desselben 
Punktes von dem Oberflächenelement rfo, des zweiten Leiters, so 
ist nach §. 128 (2) 




^) Auf die Nothwendigkeit der Unterscheidung zwischen wahrer und 
freier Elektricität hat Hertz aufmerksam gemacht: «Ueber die Grund- 
gleichungen der Elektrodynamik für ruhende Körper.** 



316 Fünfzehnter Abschnitt §- ^ 

und ebenso ergiebt sich 

93 = 922 + J-^;^ — » 922 = J -^ 

Bedeuten also iJi, JBj zwei mittlere Werthe von r^ und *'«^» 
so folgt 

9i = 9ii + 2^1 92 = 921 + ^• 

Wenn nun angenommen wird, dass die Dimensionen ^^^ 
beiden Leiter im Vergleich mit ihren gegenseitigen Entfemun 
unendlich klein sind, so können wir R^ = B^ = B setzen, 
unter B die Entfernung der beiden Leiter verstehen. Di 
wird aber nach (1) 

(2) 1 — 2 >" ~K"' 

— 9ll<'l 4- 922^2 j_ £l_£2 

~ 2 • 6ii' 

worin s die Dielektricitätsconstante des Dielektricums ist. 

Wenn nun die beiden Leiter um ein unendlich kleines d 
von einander entfernt werden, ohne dass die Ladung geänderflii 
wird, so bleiben cpn^ 922 ungeändert, und es ergiebt sich 

(3) ST=-^^^SB = -B^^^i^dR, 

und dies ist die Arbeit, die bei der Verschiebung dJR zu leisten 
ist. Die beiden Leiter üben also eine Kraft auf einander aus, 
deren Grösse 



.* ^* 



(4) 



€1 €2 ^^ ^ ^1^2 



ist, die die Richtung der Verbindungslinie B hat, und die bei 
gleichem Vorzeichen von e^, €2 eine Abstossung ist. Dies ist das 
Coulomb'sche Gesetz. 

Zu demselben Resultat kommt man auch, wenn man die 
beiden auf einander wirkenden Körper als Nichtleiter annimmt. 



§. 129. Das Coulomb'Bche Gesetz. 317 

Im leeren Räume (und in der Luft nahezu) wird a = 1 ge- 
setzt. Dann ist nach (4) als Einheit die Elektricitätsmenge an- 
genommen, die in der Einheit der Entfernung im leeren Räume 
auf die ihr gleiche Menge die Einheit der Kraft ausübt. Dies 
ist die elektrostatische Einheit der Elektricität. 

Um die Dimensionen anzugeben, in denen eine Grösse ge- 
messen wird, bedienen wir uns der üblichen Bezeichnung: 

Das Zeichen 

bedeutet, dass eine Grösse A von der Dimension ^ in Bezug auf 
die Masse, A in Bezug auf die Länge und r in Bezug auf die 
Zeit ist. Dabei können die Exponenten ^, A, r positiv oder 
^^Sativ, ganz oder gebrochen oder auch = sein. Sind sie 
^lle drei = 0, so hat A gar keine Dimensionen, d. h. es ist eine 
Za,l\L Als Einheiten für Länge, Zeit und Masse wendet man in 
der- Physik jetzt gewöhnlich das Centinieter, die Secunde und 
da.a Gramm an. 

Die Energie T, die durch eine lebendige Kraft gemessen 
^^^x^en kann, hat die Dimension 

[T] = [m f r']. 

Das Volumenelement dt hat die Dimension [Z»], und folg- 
^ioh ergiebt die Gleichung §. 126 (4) oder (5) 

Bei der Art der Einführung von ^ könnte man daran 

^Qnken, D als eine Länge zu deüniren. Da aber die Erklärung 

"^on 3) als einer Länge doch nur hypothetisch und der directeu 

Beobachtung nicht zugänglich ist, so nehmen wir, wie es üblich 

^Bt, E als reine Zahl an, die für den leeren Raum= 1 gesetzt 

^ird. Dann erhalten wir (im elektrostatischen Maasssysteme) 

für das Potential 

[9] = [«.''•'?'''•<->], 

für die Elektricitätsmenge (wahre und freie) 



318 Fünfzehnter Abschnitt §. 130. 



§. 130. 
Die Contactelektricität. 

Wir haben bisher eine Erscheinung aus dem Gebiete der 
Elektricität ausser Acht gelassen, die von grosser Wichtigkeit 
ist, über die wir uns hier noch Rechenschaft geben müssen. Die 
Erfahrung zeigt, dass durch die blosse Berührung zweier ver- 
schiedenartiger Leiter, z. B. Zink und Kupfer, auch ohne Zufuhr 
von Elektricität in der Umgebung ein Spannungszustand ent- 
steht. 

Die Bedingungen für diese Erscheinung ergeben sich aus 
der Annahme, dass in der Trennungsfläche eine besondere, nur von 
der Natur der beiden Leiter abhängige Kraft wirkt, so dass 
zur Durchdringung der Fläche mittelst des Verschiebungsvectors 
3) ein besonderer Arbeitsaufwand nöthig ist 

Ist do ein Element der Berührungsfläche zweier Leiter 
A^ B und n die von A nach B gerichtete Normale auf do, so 
ist zur Verschiebung 8Dn in der Richtung von n ein Arbeits- 
aufwand von der Grösse (-4, B)8Dndo erforderlich, wenn {A^B) 
eine von der Natur der beiden Leiter abhängige Constante ist, 
die die Spannungsdifferenz oder die elektrische Differenz 
von A und B heisst 

Man kann also das Flächenelement do als Sitz einer Kraft 
ansehen, deren Intensität {A^ B)do ist, und die, wenn (-^ B) 
positiv ist, von B nach A gerichtet ist, und aus der Bedeutung 
des Zeichens (^, B) ergiebt sich 

{A, B) = - (B, A). 

Der Verschiebung öDn entspricht also ein Energiezuwachs 
von der Grösse (A^ B)äDndo, und der Ausdruck für die Varia- 
tion der Energie [§. 127 (12)] erhält daher folgende Ergänzung 

(1) öT = ^(E.dD, + EydDy -\-E,öD,)dt 



(A,B){dDndo, 



worin sich die Integration nach do auf die Berührungsfläche von 
A und B erstreckt. 



§. 130. Die Contactelektricität. 319 

Wenn nun alle anderen Bedingungen wie in §. 127 bestehen 
bleiben, nur die Stetigkeit der Function (p an der Fläche noch 
dahingestellt bleibt, so ergiebt sich durch Anwendung der Formel 
§. 127 (13), wenn wir die beiden Seiten der Fläche als Grenz- 
flächen im Felde ansehen, und mit g?« und g?^ die Werthe von 
(p auf beiden Seiten dieser Fläche bezeichnen: 

(2) ÄT = j (96 — (pa)dDndo + (A, li){dDndo' 

Im Zustande des Gleichgewichtes muss dieser Ausdruck für 
beliebige öD^ verschwinden und daraus ergiebt sich 

(3) <pa — 9>6 = (Ä B). 

Die Function (p muss also beim Uebergange von B nach A 
eine constante Discontinuität von der Grösse der Spannungs- 
dififerenz (A^B) erleiden. Im Uebrigen bleiben die Bedingungen, 
die wir in §. 127 aufgestellt haben, ungeänderi 

Die Function (p hat also in jedem der beiden Leiter einen 
Constanten Werth, aber diese Constanten sind in den beiden Kör- 
pern verschieden. 

Ist ein solcher zusammengesetzter Leiter von einem Nicht- 
leiter, etwa von der Luft, umgeben, so hat die Function 9 für 
den Aussenraum der Bedingung zu genügen, dass sie an den 
freien Oberflächen von A und B je einen constanten Werth 
erhält. Diese Function, und damit der Spannungszustand, ist 
also nicht von der Gestalt der Berührungsfläche selbst, sondern 
nur von der Grenzlinie zwischen beiden Leitern an der Ober- 
fläche abhängig. 

Wendet man die Formel §. 99 (8) an, so ergiebt sich, wie 
in §. 128 (2) 



(4) 9 = 

wenn 



Q^^ 



J 



ö'^do 



r 

rj* -5— do, 
' dn 



(5) — ^Tttj* = (pa — (pi = {A, B) 

gesetzt wird, und die letzte Integration auf die ganze Berührungs- 
fläche zu erstrecken ist. Daraus ergiebt sich, dass der von der 
Berührungsfläche herrührende Bestandtheil von 9, nämlich 



320 



Fünfzehnter Abschnitt. 



§. 130. 



(6) 



4> = 



8l 




als das Newton'sche Potential einer über diese Fläche 

ausgebreiteten elektrischen Doppelschicht von der Flächen - 

Fig. 53. dichtigkeit 17* angesehen werden kann 

(§. 100). 

In der Fignr 53 ist A als 
Zink, B als Kupfer angenommen, 
wobei {A, -B) > 0, also die Kraft K 
vom Kupfer zum Zink gerichtet ist, 
während die positive Normale vom 
Zink zum Kupfer geht. In der Doppel- 
schicht ist die positive Dichtigkeit 
auf der Seite der negativen n, also auf der Zinkseite anzu- 
nehmen. 

Betrachten wir einen aus mehreren StoflFen, etwa ^, B, C, 
gebildeten Leiter, in dem die Elektricität im Gleichgewicht 
ist, so hat in jedem Theile dieses Leiters das Potential 9 einen 
constauten Werth. Legen wir in dem Leiter eine in sich zurück- 
laufende Linie, die der Reihe nach durch die Berührungsflächen 
von A und B^ von B und C und von C und A führt, so hat 9 
nach einander die sprungweisen Aenderungen (A, £), (£, C) 
{C^A) erfahren, und da es am Ende wieder zu seinem Ausgangs- 
werthe zurück gelangt sein muss, so folgt die Relation 

(7) (A, ^ 4- (5, O + (C, A) = 0, 

die unter dem Namen des Spannungsgesetzes bekannt ist. 

Ist dieses Gesetz nicht erfüllt, so ist zwischen den drei 
Leitern überhaupt kein elektrisches Gleichgewicht möglich. Man 
unterscheidet hiemach Leiter erster Glasse, die dem Span nun gs- 
gesetze gehorchen, zu denen in erster Linie die Metalle gehören, 
und Leiter zweiter Classe, die, wenn sie mit Leitern erster Glasse 
verbunden sind, diesem Gesetze nicht gehorchen. Diese Körper 
sind immer chemisch zusammengesetzt, und die Leitung beruht bei 
ihnen auf einem chemischen Vorgange, wie wir weiterhin noch 
sehen werden. 

In ähnlicher Weise würde das elektrostatische Problem zu 
formuliren sein, wenn an Stelle der Contactkraft eine stetig durch 
den Leiter vertheilte gegebene feste elektrische Kraft & thätig 



§. 130. Die Contactelektricität. 321 

wäre, wie sie bei inhomogenen Leitern auftreten kann. Es tritt 
dann an Stelle der Relation (3) die folgende 

(8) j (E, 6D,-\- EySDy + E,SD.) dt 

+ [ {E'^8 D^ -\- EyS Dy -\- E'.SD.) dx = 0, 
und diese Bedingung ist befriedigt, wenn 

E — — ^— — E' 

(9) E, = - 1| = - e;, 

gesetzt wird. Dies ist aber nur möglich, wenn das Integral 
Egds über jede im Leiter geschlossene Curve gleich Null ist, 



I 



wenn also der curl von @' verschwindet und ß' ein einwerthiges 
Potential hat. Setzen wir 

TT' _ ^^ P' _ ^* V — '^^ 

öx oy oz 

so müssen wir t^ als eine gegebene Function des Ortes ansehen, 
und das Potential (p ist für das umgebende Dielektricum durch 
die Bedingung ^9 = und durch die Grenzbedingung be- 
stimmt, dass an der Oberfläche g? = ^ -|- const. sein soll. Die 
Constante, die hierbei auftritt, wird durch die dem Leiter mit- 
getheilte Elektricitätsmenge bestimmt. 



Riemaun- Weber , Partielle Differentialgleichaugeu. 01 



Sechzehnter Ahschnitt. 

Probleme der Elektrostatik. 



§. 131. 

Influenz eines elektrischen Punktes. 

Wenn in einem elektrostatischen System einer der lei- 
tenden Körper unendlich ausgedehnt ist, und im Unendlichen 
keine freie Elektricität vorhanden ist, so muss in diesem ganzen 
Leiter das Potential = sein. Wir können diese Voraussetzung 
näherungsweise realisiren, wenn wir in einem endlichen System 
einen der Leiter durch einen leitenden Draht mit der Erde in 
Verbindung setzen. Wir können dann, wenn wir den leitenden 
Draht hinlänglich dünn und das ganze System in genügender 
Entfernung von der Erdoberfläche annehmen, auch wieder von 
dem Einfluss dieser beiden absehen, und es ist also eine mit 
wirklich vorkommenden Verhältnissen vereinbare Voraussetzung, 
wenn wir annehmen, dass in einem elektrostatischen System 
das Potential in einem der vorkommenden Leiter auf Null ge- 
halten werde. Ein solcher Leiter mag der Kürze wegen zur 
Erde abgeleitet heissen. Dieser Leiter mit der Spannung 
Null ist darum nicht frei von elektrischer Ladung. Die auf 
ihm angehäufte Elektricität heisst durch Influenz der son- 
stigen im System vorkommenden Elektricität erregt oder 
inducirt. 

Betrachten wir im leeren Räume oder in der Luft, so dass 
der Unterschied zwischen wahrer und freier Elektricität ver- 
schwindet, einen einzelnen zur Erde abgeleiteten Conductor und 
einen mit der Elektricitätsmenge — 1 geladenen Punkt p^ sa 



1 



§. 132. Elektricitätsvertheilung. 323 

genügt das Potential (p dieses Systems in dem Raumtheil r, der 
den Punkt p enthält, der DiflFerentialgleichung z/9 = 0; es ist 
an der Oberfläche des Leiters gleich Null, und die Formel §.128 
(2) zeigt, dass 9 nichts anderes ist als die Green'sche Func- 
tion des Raumes r*). 

Der elektrische Punkt kann ausserhalb oder, wenn der Con- 
ductor hohl gedacht wird, auch innerhalb liegen. Aus der Func- 
tion <p lässt sich dann die Dichtigkeit ö der Elektricität an der 
Oberfläche des Leiters nach der Formel §. 127 (8) finden: 

m I? = - *". 

wenn v die aus dem Leiter in den Raum r gezogene Normale 
bedeutet. 

Das über die Oberfläche des Leiters genommene Integral 

6do ist die gesammte Elektricitätsmenge, die auf dem Leiter 

aufgehäuft ist. Diese ist also nach §. 96 (13) 

4wJ cv 

Daraus folgt, dass eine in einem Punkte concentrirte Elek- 
tricitätsmenge in einem zur Erde abgeleiteten Conductor die 
gleiche und entgegengesetzte Menge aus der Erde aufsaugt. 



§. 132. 

Elektricitätsvertheilung auf concentrischen Kugel- 
flächen. 

Betrachten wir als erstes Beispiel ein System von zwei con- 
centrischen Kugelflächen mit den Radien a, 6, auf denen die con- 
stanten Potentialwerthe X, B herrschen, so wird <p eine Function 
des Abstandes r vom Kugelmittelpunkt, die der DiflFerential- 
gleichung 

d^rq) 



dr^ 



= 



*) In dieser Weise ist in der Abhandlung von Green (Crelle'e Journ. 
Bd. 39, auch in Ostwald's Classikern) diese Function zuerst ein- 
geführt. 

21* 



324 



Sechzehnter Abschnitt. 



§. 



genügt (§. 10()), und die daher den allgemeinen Ausdruck 

' r 

hat, wenn m und n Constanten sind. Diese Gonstanten ha. 
verschiedenen Werth in dem schaalenförmigen Räume zwisc 



Fig. 54. 




den beiden Kugeln, y^o das Poteot 
mit 9x bezeichnet sei, und in 
äusseren Räume, wo es 92 s^^- 

Für 9i haben wir die beiden 
dingungen : 

A'=mA — , jB = wi+t, 

und für 93: 

%n = 0, n = B6. 

Wir erhalten daraus 

_ lib(r — ii) + Aa{h — r) 

^'~ r{b — a) ' ' 

Bh 



Die Dichtigkeiten 6^ und Ö2 aut beiden Kugelflächen 
stimmen sich aus 

_4^g _ foft gyA _ g (.g — ^) .B 
* \ er rr /r=t b (b — o) 6 * 

Die Gesnmmtmengcn ^i, e^ sind 4n:tf, a», ina^b', also 

_ ab(li — A) 
^'~ b — a"' 

ab(B-A) ^^ 
— a ' 

Hieraus sind, w^enn €i und e^ gegeben sind, A und B zu 

bestimmen. Nehmen wir aber an, eine der beiden Kugeltlächen, 

etwa die äussere, sei zur Erde abgeleitet, so isti? = zu setzen, 

und es ergiebt sich 

abÄ 

€{ — Co — j , 

b — a 
also, wenn wir Ci = — e., = wr setzen, 



§. 133. Vertheilung der Elektricität auf einem EUipsoid. 325 



9i 



= ^*(7 — ft)' 92 = 0, 



und hierin bedeutet also m* die auf der inneren Kugelüäche 
aufgehäufte Menge freier Elektricität. Ist £ die Dielektricitäts- 
constante der schaalenformigen Schicht, so ist m = sm* die 
wahre Elektricitätsmenge, die auf der inneren Fläche gelagert ist, 
während auf der äusseren die Menge — m vertheilt ist. 

Denken wir uns Ä auf einer bestimmten Höhe gehalten, 
etwa indem die innere Kugel mit einer Elektricitätsquelle von 
constantem Potential in Verbindung gesetzt ist, so wird die aus 
der Erde aufgesaugte Elektricitätsmenge ei um so grösser sein, 
je kleiner b — a, d. h. je dünner die nichtleitende Schicht 
zwischen beiden Kugeln ist, und wird mit abnehmender Dicke 
über alle Grenzen wachsen. Dies ist das Princip des Gonden- 
sators. 



§. 133. 
Vertheilung der Elektricität auf einem EUipsoid. 

Wenn man die Vertheilung einer einem Leiter mitgetheilten 
Elektricitätsmenge auf seiner Oberfläche ermitteln will, wenn 
keine äusseren Einflüsse in Betracht kommen, so hat man eine 
solche Massen vertheilung auf der Oberfläche aufzusuchen, bei der 
das New ton' sehe Potential im Inneren constant wird. 

Diese findet man, wenn man die Difl'erentialgleichung z/^ = 
für den äusseren Baum unter der Voraussetzung integriren kann, 
dass rjj an der Oberfläche einen constanten Werth K hat, wäh- 
rend die allgemeinen Stetigkeitsbedingungen und die Bedingungen 
im Unendlichen, denen jedes Potential endlicher Massen genügt, 
erfüllt sind. 

Für eine EUipsoidfläche mit den Halbaxen a, ft, c haben wir 
schon früher (§. 108) diese Aufgabe gelöst. Es hat sich dort 
gezeigt, dass eine mit der Flächendichtigkeit 

(1) ö = 



auf der EUipsoidfläche vertheilte Masse m im Inneren des EUip- 



326 Sechzehnter Abschnitt §. ISA. 

soides ein constantes Potential hat, und durch die Formel CJ^^ 
ist also fiir diesen Fall das elektrostatische Problem gelöst 

Als Grenzfall können wir daraus die Vertheilung der El^^ 
tricität auf einer elliptischen Scheibe ableiten, wenn wir c 
Null übergehen lassen. Da hierbei gleichzeitig ss unendlich kl^^ 
wird, so müssen wir zunächst z mit Hülfe der Gleichung 
Fläche eliminiren. Wir setzen also (1) in die Form: 

m 
6 = 



und dies giebt für c = 



m 
6 = 



-»)/'-s-g 



Da nun hier aber auf beiden Seiten der Scheibe die näm- 
liche Massenvertheilung stattfindet, so ist dieser Ausdruck zu 
verdoppeln, wenn wir unter Dichtigkeit die auf der Flächen- 
einheit der Scheibe angehäufte Elektricitätsmenge verstehen 
wollen, und so ergiebt sich für die elliptische Scheibe 

(2) 



und speciell für die Kreisscheibe, wenn wir a = b und 
V^^ + y^ = f setzen, 
(3) ö = 



2na ya« — r« 

Man sieht, dass am Rande der Scheibe die Dichtigkeit un- 
endlich gross ist, während doch die Gesammtmasse endlich bleibt. 



§. 134. 
Andere Behandlung der Kreisscheibe. 

Das Problem der Vertheilung der statischen P]lektricität auf 
einer ebenen leitenden Fläche lässt sich noch auf eine andere Art 
angreifen, die wegen des Ausdrucks bemerkenswerth ist, den sie 
für das Potential liefert. 



§. 134. Andere Behandlung der Ereisscheibe. 327 

Legen wir die leitende Fläche S in die ary-Ebene, so wird 
wegen der Symmetrie die Function 9 eine gerade Function 
von z sein, und es genügt dann, wenn 9 für' positive Werthe 
von js bekannt ist. Es muss aber q) für jsr = der Bedingung 
genügen 

:r^ = ausserhalb S, 

(1) cz 

tp = const. innerhalb S. 

Ist q) bekannt, so erhält man für die Dichtigkeit ö der Elek- 
tricität auf der Fläche S 

und die Constante der zweiten Gleichung (1) wird aus der 
Gesammtmenge der der Fläche mitgetheilten Elektricität be- 
stimmt. Ausserdem haben wir noch für 9 die partielle DiflFe- 
rentialgleichung : 

und im Unendlichen muss 9 verschwinden. 

Ein particulares Integral von (3), das der letzten Bedingung 
genügt, ist 

(4) 9 = e-«'<I>, 

worin a eine positive Constante und O eine Function von x^ y 
allein ist, die der DiflFerentialgleichung 

^ ^ cx^ ^ dy^ ' 

genügt. Nehmen wir irgend eine Lösung O (a?, y, a) der Glei- 
chung (5), die ausser von x^ y auch noch von a abhängt, so 
können wir, wenn wir mit /(«) eine willkürliche Function von a 
bezeichnen, aus (4) ein .allgemeines Integral ableiten 

9 = <?-"^/(a)a>(a;,2/,a), 

und wir können auch eine Summe solcher particularen Integrale 
bilden. Dies führt, wenn wir noch mit einer Constanten da multi- 
pliciren und die Summe für alle zulässigen, d. h. für alle posi- 
tiven a nehmen, zu dem Ausdruck 

00 

(6) <p =T J e-"f{a) {x, y, a) da. 



328 Sechzehnter Abschnitt. §. 1^ 

Um nun den Bedingungen (1) zu genügen, hätte man ^* 
Function /(«) so zu bestimmen, dass 

OD 

I a/(aj0(x,i/,a) da = ausserhalb S, 



(7) 



f 



f{oC)0{x^y^u) da = const. innerhalb S. 



u 



Im Allgemeinen haben wir zur Lösung dieser Aufgabe kein ^ 
Hülfsmittel; wohl aber gelingt die Bestimmung von /(«) leicht, 
wenn S eine Kreisfläche ist 

Wenn wir dann in der xy - Ebene Polarcoordinaten ein- 
führen, deren Pol der Mittelpunkt der Kreisfläche S mit dem 
Radius a ist, indem wir 

X = r cos -9-, y = rsind' 

setzen, so wird (p und O nur von r abhängig sein, und die Diffe- 
rentialgleichung (5) geht in folgende über (§. 42): 

Diese Gleichung hat, von einem constanten Factor abgesehen, 
nur ein Integral , das für r = endlich bleibt , nämlich die 
Bessel'sche Function J(ar), und wir erhalten also 

OD 

(9) q)={ €r^'f{a)J{ar) da, 



während die Bedingungen (7) ergeben: 



00 



I «/(«) J(ar) da =z 

(10) ". 

I /(^) «^(«0 da -= const. 



r> a, 



r < a, 



und nach (2): 

X 

(11) «/(«) J{ar) da = 2nö r < a. 



Hier geben uns nun die bestimmten Integrale, die wir im 
achten Abschnitt für die Bessel'sche Function abgeleitet haben, 
sehr einfach die Bestimmung von /(«). 



§. 186. Contactelektricität. 329 

§ 

Wenn wir nämlich 

^, . m sinaa 

•' ^ ^ a a 
setzen, so erhalten wir nach §. 78 (3) 



CD 

a2> j /(«) J(ar) da = ^ I 



a, 



'»na nach §. 77 (6) und (7): 



9H a 

= — arc sm — r > a, 
a r 



00 

l a/(a) J(ar) da = 
j 





}/f 



« Va2 — r2 



r > a, 



*" < a; 



^ind also die Bedingungen (10) erfüllt, und für die Dichtig- 
ergieht sich aus (11) 

(13) ''' 



6 = 



2na V a^ — r^ 
Bildet man das Integral 



1 



a 2n 



, wi { { rdrdw 

ödo = - — = WJ, 

25ra J J y^_ r'i 







— giebt sich, dass m die gesammte auf der Fläche vertheilte 
^/•^Ictricitätsmenge ist. Für das Potential q) erhält man aber hier 
positive Werthe von z den Ausdruck 



<:\ 



.. m I „, sinaa y, . , 

) ^ = ä I "^^ ~^ e7(ar)f7a. 



§. 135. 
Contactelektricität. 

Wir betrachten noch ein Beispiel für die Bestimmung eines 
durch Ciontact hervorgerufenen Spannungszustandes. 

Es möge eine Kugel vom Kadius c aus zwei Halbkugeln 



330 Sechzehnter Abschnitt. §. 135. 

Ton verschiedenen Metallen A^ B^ etwa Zink und Kupfer, zu- 
sammengesetzt sein. 

Wenn wir unter a und b die constanten Werthe des elek- 
trischen Potentials (p in den beiden metallischen Halbkugeln ver- 
stehen, so ist 

(1) a - 6 = {A, B\ 

d. h. gleich der als bekannt vorausgesetzten Spannungsdifferenz 
der beiden Metalle. 

Wenn wir annehmen, dass der Kugel keine Elektricität von 
aussen mitgetheilt sei, so muss die Vertheilung in Bezug auf 
die Berührungsebene sjTumetrisch (mit entgegengesetztem Zeichen) 
sein, und das Gleiche gilt in Bezug auf die Potentialwerthe. 

Es wird also in diesem Falle 

(2) a + 6 = 0, a = -fe = l(^,B) 

sein, und wir beschränken die Betrachtungen der Einfachheit 
halber weiterhin auf diesen Fall. Der allgemeine Fall lässt sich 
hieraus ableiten, indem man dem gewonnenen Resultat das Po- 
tential einer elektrisch geladenen homogenen Kugel hinzufügt. 

In unserem Falle ist nun der Werth der Function 9 .an 
der Kugeloberfläche, und zwar an der einen Hälfte = -[- «i an 
der anderen = — a gegeben. 

Bezeichnen wir mit O eine Function auf der Kugelfläche» 
die auf der Halbkugel A den Werth -|- a, auf der Halbkugel B den 
Werth — a hat, so ist nach dem Satze §.111 (5) das Potential 
q> in irgend einem äusseren Punkte p 



(3) 



J >^ 



(r2 — c^)do 



- 2rccosy-f-^^'' 
Hierin ist r die Entfernung des Punktes p vom Kugelmittel- 
punkt, do ein Element der Kugelttäche, und y der Winkel 
zwischen r und dem nach do gerichteten Radius. 

Wir fuhren jetzt Polarcoordinaten ein, deren Axe nach dem 
Punkte p, für den das Potential 9 bestimmt werden soll, ge- 
richtet ist. 

In der Fig. 55 ist Q Qf die Trennungsebene der beiden 
Metalle, SS' die Aequatorialebene des Coordinatensystems, ß 
die geographische Breite, k die Länge vom Anfangsraeridian 
PQS aus gerechnet, also /3, X die geographischen Coordinaten 



§. 136. ContBcteUktri 

eines veränderlichen Punktes x. 
Es sei endlich d die Neigung der 
Trennungsebene Q ^ gegen den 
Aequator SS', die auch gleich 
dem Winkel (AP) ist Dann ist 
do = c> aosßdßdk, 

« r=|-ft * 

und wir bestimmen zunächst die 
Function von ß: 

= -L f 0dl. 
■In] 

Es ist aber 

«) S = a, 

(5) (J) = «-""" 




Y) & = — a. 



wenn „■>■/*>■*, 

wenn » > /J > — J 

wenn — * >■ ^ >■ - 



und hierin ist m die Länge des Durchschnitts B der Ebene QQ' 
mit dem Farallelkreise ß. Nun haben wir in P ^ B ein bei Q recht- 
winkliges sphärisches Dreieck, in dem die Hypotenuse PR^=^x — ß, 
die anliegende Kathete PQ ^= i" — d- ist, und es ist also nach 
einer Grundformel der sphärischen Trigonometrie 



(6) 



" tg* 



Die Function ist daher in dem Intervall jw>^> — ^ar 
stetig, hat aber einen unstetigen DifTerentiatquotienten, und 
dieser DifTerentialquotient ist :=: in den Intervallen (5)«) und 

Die Gleichungen (3) und (4) ergeben 



c (r' - c») J V* - 2f 



cosßd ß 



' \r^ — %TC %mß + c»*' 
und dieses Integral lässt sich nach der Formel 



332 Sechzehnter A^bschnitt. §. L 

d 1 rc COS/3 

dß \r^ — 2rc sin/3 -- c» "" \r^ — 2rc sin/J -f c«' 

durch partielle Integration so umformen : 



2r<3P 






»•* — c'' : yr* — -irc sin/J + c« ' 
_ fde dß 



<iß )r2 — 2rc sin/J + c^ 

und nach (5) ergiebt sich hieraus 

2r(y- a) ^ _ f de d,ß_ 

^ > r^ ^ c^ I 



J dfi yr« — 2rc sin/3 + c« 

In dem Integral ist nach (5) ß) 

^ Ä — 2(0 d0 2a dö 

«^ ' dß ~'~irdß 

zu setzen, und aus (6) folgt durch leichte Rechnung 

da cosd" 

<iß~ cos/3]sin«^ — sin«/3 

Hiernach ergiebt sich aus (7) 

(8) r{v-a) _ 



-- 

3r J 



cosO^d/3 



J cos/S ^ sin«^ — sin^fJ V'r» — 2rc sin/3 -)- c«' 

was ein elliptisches Integral ist. Man kann ihm eine ande 
Form geben, wenn man die Substitution 

sin/3 = sin -9- sinv; cosßdß = sin^ cosvdv 

macht. Man findet so 

(9) ^(?'-- "^ = 



S- 



a C cos 

« J ( 1 — sins-^ sin^r) )f^ 



cos-Ö-dv 



"^ -r c^ — 2rcsind' sinr 



$.135. Contacteloktricität. 333 

Xjassen wir hierin r in c übergehen, so können wir den 
Greozwerth des Ausdrucks auf der linken Seite durch Differen- 
tiation bestimmen und erhalten die Flächendichtigkeit ö der 
Elelctricität auf der Kugeloberfläche. Es ist nämlich nach 
§. 127 (8) 

und danach ergiebt die Formel (9) für r = c 

«c J (1 _ sin»* sin«v) }'2 (1 — sinö- sinv) 



n 
2 



^^^^^^xm folgt z. B. für den Punkt Ä, der am weitesten von der 
^^^^xibrungsebene entfernt ist, in dem -Ö* = ist: 

(^'^^ 2^0» = -^. 

c \2 

Lässt man -9- in - übergehen, so wird der Ausdruck (11) 

^^* ö unendlich gross, wie man aus einer Umformung des In- 
^^Krals erkennt, auf die liier nicht näher eingegangen werden 

Die Ausdrücke für 9 und ö, die durch die Formeln (8) bis 
^^ ^) dargestellt sind, gelten nur für die zwischen und — ge- 
enen Werthe von %. In spiegelbildlich entsprechenden Punkten 



* «^- anderen Halbkugel haben (p und 6 durchweg die entgegen- 



^ ^setzten Werthe. 

Dass die durch die Formeln (8) oder (9) bestimmte Function 

^^, wenn r > c ist, für 1^ = ^ stetig in Null übergeht, lässt sich 

^^lenfalls durch eine Umformung der Integrale zeigen. Man er- 
sieht dann daraus, dass q> ausserhalb der Kugel auch beim 
^Durchgang durch die Trennuugsebene Q Q' mit seinem Difl'erential- 
^luotienten stetig bleibt, was ja übrigens schon aus dem all- 
gemeinen Ausdruck (3), aus dem diese Resultate hergeleitet sind, 
geschlossen werden kann. 




334 Sechzehnter Abschnitt. §. 

§. 136. 
Vertheilung der Elektricität auf Cylinderflächen. 

Die Probleme der Vertheilung der statischen Elektricität^ 
bieten meist grosse Schwierigkeiten, und manche sehr einfacha 
und gerade für praktische Anwendungen wichtige Fälle sind dei 
Mitteln unserer heutigen Analysis noch völlig unzugänglich 
Hierhin gehört z. B. die Vertheilung der Elektricität auf zwe: 
parallelen Kreisscheiben, wie sie bei den Condensatoren ver- 
wandt werden. Poisson hat zuerst die Vertheilung der Elek- 
tricität auf zwei Kugelflächen bestimmt, und dies Problem ist" 
seitdem noch mehrfach auf anderen Wegen behandelt wordei 
(von Plana, Kirchhoff, C. Neumann, Dirichlet, Riemann) 
Aber die Dichtigkeit der Elektricität ist schon in diesem Fall^»* ^ 
eine analytisch keineswegs einfach darzustellende Function de^ — 
Ortes auf der Kugelfläche. Aehnlich verhält es sich mit dei^ — 
Vertheilung auf einer Ringoberfläche, die von C. Neumann be- ^^ 
stimmt ist^). 

Das Gleichgewicht der Elektricität auf einer Würfelfläch^ .< 
soll (nach einer Mittheilung von Kirchhoff) Dirichlet bestimm ^^^ 
haben. Es ist jedoch über diese Untersuchung nichts erhalten: — -^^ 

Unter diesen Umständen ist es von Interesse, dass das Pr( 
blem viel leichter zugänglich wird, wenn man sich auf ein zwei 
dimensionales Gebiet beschränkt. 

Um diesen Fall genähert zu realisiren, muss man sich eK^n 
System unendlich langer cylindrischer Flächen mit parallel^^n 
Erzeugenden denken, die so mit Elektricität geladen sind, dfli^'ss 
die Dichtigkeit längs jeder Erzeugenden constant ist Diese A» ~»- 
ordnung ist natürlich in der Wirklichkeit unmöglich; sie wi^id 
aber eine gute Annäherung an die Wahrheit darstellen, atB><^ 
wenn die cylindrischen Flächen begrenzt sind, wenn nur ^3ie 
Querdimensionen und gegenseitigen Entfernungen der Fläct^-^i^ 
klein sind im Vergleich zu der Längenerstreckung der Cylinc^^^» 
und wenn nur nach dem Zustande in den mittleren Theilen <3er 




*) Neuerdingrs hat E. Neu mann (Enkel von F. Ken mann maiid 
Neffe von C. Neu mann) das Poisson 'sehe Problem verallgemeii» ^^ 
in dem er das elektrostatische Gleichgewicht in gewissen, von drei K.VLg^d' 
flächen begrenzten Räumen bestimmt hat. (Grelle- 8 Journal, Bd. IIO.^ 



§. 136. Vertheilung der Elektricität auf Cylinderflächen. 335 

Cylinder gefragt wird, so dass der Einfluss der Endflächen ver- 
nachlässigt werden kann. 

Wir können für diesen Fall aber nicht ohne Weiteres die 
Formeln anwenden, die wir im vorigen Abschnitte für die 
Elektrostatik gefunden haben, weil dabei die Function 9 unend- 
lich werden würde. Wenn wir aber an Stelle des Potentials die 
Componenten der elektrischen Kraft betrachten, so können wir 
den Grenzübergang vornehmen. 

Nach §. 127 (4) und §. 128 (2) haben wir, wenn wir wieder 

die Luft oder den leeren Raum als Dielektricum annehmen, für 

die Componenten der elektrischen Kraft im Punkte a;, y, z bei 

einem beliebigen Leitersystem, auf dem die Elektricität über die 

Oberflächen vertheilt ist: 

(1 ) E, = -^^=[ t^f-.pAi , 



' cz J r' ' 



'^^d an den leitenden Oberflächen haben wir die Bedingung 
^ == con&t. oder 

(2) E^dx + Eydy + E,dz = 0, 

^^nn ö die Flächendichtigkeit, a, 6, c die Coordinaten des Flächen- 
^letnentes do und in (2) dx, dy^ dz die Projectionen eines in 
^^r Oberfläche liegenden Linienelemcntes sind. 

Nehmen wir nun eine cylindrische Anordnung an, so legen 
^^i" das Coordinatensystem so, dass die ^-Axe mit den Erzeugen 
^^n der Cylinder parallel ist. Dann ist 6 von z unabhängig, 
^^d durch die a:t/-Ebene werden die Cylinder in einer Curv^e 
^der einem System von Curven geschnitten, von denen wir ein 
-Bogenelement mit ds bezeichnen. Dann ist 

do = ds de, 

^Tid wir können in den Formeln (1) nun die Integration nach c 
^wischen den Grenzen — 00 und + ^ ausführen. Es ist aber 

z — c c l 

r^ CO r ^ 

^nd folglich, wie zu erwarten, 



336 Sechzehnter Abschnitt. §. 136. 

E. = 0; 
ferner aber, wenn wir 

r2 = (c — zy + ^2^ 
(a _ x)^ + (6 - yY = Q^ 



setzen : 



= — log(c — ;2r -|- r), 
r cc ^ I /' 



und wenn wir dies nach q^ (nicht nach q) differentiiren : 

i- — __ ^ 1 

r-i "~ ()c r(c — jßr) + r»* 
Der Bruch 

1 

r(c — z)-\-r^ 

ist aber gleich Null für c = -|- oo und gleich 2!q^ fdr c = — ao, 
und daraus ergiebt sich 

oder, wenn wir 

(4) 9 = — 2 j ölog^ds 

setzen : 

Die Gleichung div 6 = ergiebt hier fiir die Function tp 
die Differentialgleichung 

(6) ^? + ^ = 0, 

und aus (2) erhält man für die in der a;y-Ebene liegende be- 
grenzende Curve d(p = oder 

(7) (p = const. 

Für die Flächendichtigkeit erhält man, wenn n die in den 
Nichtleiter hinein positiv gerechnete Normale bedeutet, aus 
S. 127 (8) 

(8) ^ = __4;r0. 

um das Verhalten der Function cp im Unendlichen zu be- 



§. 136. Vertheilung der Elektricität auf Cylinderfläohen. 337 

stimmen, bezeichnen wir mit B die Entfernung des variablen 
Punktes p mit den Coordinaten a;, y von einem festen Punkte po 
mit den Coordinaten rro) t/o, also: 

R = V(a;-a:o)« + (y-t/o^ 
und setzen ausserdem 

m = 2 öds, 



so dass m die Gesammtmenge der auf der Höhe 2 der Cylinder- 
fläohen angehäuften Elektricitätsmenge, also eine gegebene Con- 
stante ist 

Es ist dann nach (4) 

(9) (p + wlogiJ = — 2 jölog-|ds, 

und wenn wir mit r den Abstand des Punktes po von dem Ele- 
mente ds und mit d" den Winkel zwischen r und R bezeichnen, 
so ist, wie aus dem Dreieck (po,p,ds) folgt, 

^a = r2 -j- Ü2 _ 2rBcos^. 

Wenn wir also 

nach Potenzen von r/B entwickeln, so ergiebt sich aus (9): 

(10) q) -f mlogE= Co + CiB-^ + C^R-^ -] , 

worin die Grössen Cq^ Ci, (72, ... nur noch von der Richtung 
{PoP)'> nicht von der absoluten Grösse von R abhängen, also bei 
unendlich wachsendem R endlich bleiben. Insbesondere ist hier 

(11) Co = 0. 

Es lässt sich nun folgender Satz beweisen: 

Wenn die Werthe von q) an den Grenzcurven s 
und die Constante m gegeben sind, so ist durch 
die Differentialgleichung (6) und durch die Be- 
dingung (10), auch wenn die Cq, Ci, ... nicht ge- 
geben sind, die Function (p eindeutig bestimmt. 

Denn sind q) und (p' zwei diesen Bedingungen genügende 
Functionen, so genügt ihre Difl'erenz 

z= q) — q)' 

ebenfalls der DiflFerentialgleichung (6); O verschwindet an sämmt- 

Biemann-Weber, Partielle DifTerentialgleichungeD. 22 



338 Sechzehnter Abschnitt §. 186. 

liehen Grenzcurven s und hat im Unendlichen eine Entwickelung 
von der Form 

= Co 4- C,B-» + . ., 

worin Co eine Constante und Ci, . . . im Unendlichen endlich sind. 
Wir begrenzen ein Gebiet in der a:y- Ebene durch die 
Gurven s und einen Kreis mit dem ins Unendliche wachsenden 
Radius R, Auf dieses ebene Gebiet und auf den Vector 

0grad 0, 
dessen Componenten 

ex dy ^ 

sind, wenden wir den Gauss' sehen Integralsatz an und erhalten, 
wenn df das Flächenelement in der xy-Ebene bedeutet: 

worin n die ins Innere des Gebietes gerichtete Normale ist Das^ 
Randintegral über die Linien s verschwindet aber, weil an dieseir^ 
Linien die Function O verschwindet, und an dem unendlicbi 
grossen Kreise ist d0 cn = C^B-\ ds = Rd», und R fällj 
mit der negativen 92-Richtung zusammen. Demnach ist das übe: - 
diesen Kreis genommene Integral 



1 



2Jt 

0^ds= \o^Rd^ 
dn J cR 





und verschwindet also mit unendlich wachsendem jß. Daraus^ 
folgt für das über das unendliche Gebiet S genommene Doppel- 
integral : 

Dies ist aber nur möglich, wenn cO,cx und dO/dy überall 
gleich Null sind. Es ist also O eine Constante, die sich aus 
dem verschwindenden Wertho von an den Grenzlinien gleich 
Null ergiebt. Aus der Bedingung C© ^ erhält man dann noch 
eine Relation zwischen m und den constanten Werthen von ip 
an den Grenzlinien .<?. 

Wogen ihrer Analogie mit dem Newton'schen Potential 
wird eine solche Function (p ein logarithmisches Potential 
genannt. 



§. 137. Zurüokführung des Problems. 339 

§. 137. 

Zurückführung des Problems auf eine 

Abbildungsaufgabe. 

Der Nachweis der Eindeutigkeit des Problems, den wir zu- 
letzt geführt haben, gewährt uns den grossen Vortheil, dass wir 
nicht genöthigt sind, uns über die Strenge eines jeden einzelnen 
Schrittes genaue Rechenschaft zu geben, dass wir uns durch 
Vermuthungen leiten lassen können, wenn wir uns nur nach- 
träglich davon überzeugen, dass das gefundene Resultat allen 
Bedingungen der Aufgabe genügt. 

Für die Behandlung der elektrostatischen Probleme im zwei- 
dimensionalen Gebiete lässt sich nun, wie aus der Gleichung 
§. 136 (6) folgt, die Theorie der Functionen complexen Argu- 
mentes und besonders die der conformen Abbildung verwenden. 
Die Gleichung 

besagt nämlich, dass 

— ;^ dx -{- ^ dy = dilf 

dy ^ dx ^ 

ein vollständiges Differential ist, und wenn wir also 

(2) * = _|(|2,«_||,,) 

setzen, so ist 

8y_8» d(p _ dtlJ 

^ ^ dx dy' dy dx 

und 

(4) ;^ = 9 4-t> 

ist nach §. 46 eine Function des complexen Argumentes 

(5) z z=zx -yiy"^). 

Wir haben hier als Grenzcurven in der jsr-Ebene die Spuren s 
der leitenden Cylinder zu betrachten; an diesen hat ^> constante 
Werthe, und in dem ganzen Gebiete ausserhalb dieser Curven s, 
das wir mit S bezeichnen wollen, ist fp eindeutig und stetig, 



^) Hier hat z natürlich eine andere Bedeutung als in §. 136. 

22* 



340 Sechzehnter Abschnitt. §. 137. 

wird aber im Unendlichen unendlich, wie der Logarithmus der 
Entfernung von einem endlichen Punkte. Die Function ^ ist 
durch das Integral (2) bestimmt, wobei der Integration s weg irgend- 
wie in dem Gebiete S verlaufen kann. Es wird aber ^ nicht 
eindeutig sein, sondern in einem und demselben Punkte ver- 
schiedene Werthe erhalten, je nach dem Integrationswege. Um 
sie eindeutig zu machen, müsste man S durch gewisse Schnitte 
zerlegen, zu deren beiden Seiten ^ verschiedene Werthe hat. 

Wir wollen zunächst den Fall betrachten, dass die Be- 
grenzung von S nur aus einer geschlossenen Linie besteht. Wir 
nehmen in der Ebene einer neuen complexjBn Variablen 

(6) lü = u -\- iv 

einen Kreis K mit dem Radius 1 und dem Nullpunkt als Mittel- 
punkt und denken uns auf die Fläche dieses Kreises das Ge- 
biet S in den kleinsten Theilen ähnlich so abgebildet, dass der 
Nullpunkt in der tt'-Ebene dem Punkt Unendlich in der ^-Ebeno 
entspricht. Durch diese Abbildung ist w als Function des 
complexen Argumentes z so bestimmt, dass: 

1. w in dem ganzen Gebiete S eindeutig, endlich und stetig 
ist und, abgesehen von der Grenzcurve, einen endlichen 
von Null verschiedenen Difl'erentialquotienten besitzt; 

2. dass der absolute Werth von tc an der Curve s gleich 
1 wird; 

3. dass w für z =■ co verschwindet, und dass die Entwicke- 
lung von w nach fallenden Potenzen von 2 die Form hat: 

«' = 7 + :p + -' 

worin üi von Null verschieden ist (§. 48, 49); 

4. für jeden endlichen Werth von z ist w von Null ver- 
schieden. 

Ist nun diese Function w bekannt, so setzen wir 

(7) ti; = c "» , 

worin c und m reelle Gonstanten bedeuten, und definiren hier- 
durch die Function % des complexen Argumentes. Aus (7) folgt 

(8) 3; = c + mlogti;, 
und daraus der reelle Theil (p von % 



(9) 9? = c 4- wi log y «2 -(- v'K 



§. 138. 



Die Flächendichtigkeit. 



341 



Nun genügt (p als reeller Theil einer Function des complexen 
Argumentes js der Differentialgleichung (1). Da der absolute 

Werth V(t*^ 4" ^^) ^ö^ ^ ^^ ^^^ Curve s gleich 1 ist, so erhält 
an dieser Curve (p den constanten Werth c. Ferner ist wegen 3. 

jsw und also auch das Product der absoluten Werthe V:z?^ + y^ 

y u^ 4" ^^ i^^ Unendlichen endlich, und wenn wir also \x^ -}- t/^ 
mit iJ bezeichnen, so ist 

f 10) 9 + m log 12 

im Unendlichen endlich. Da überdies u^ -|~ ^^ nach 4. in keinem 
endlichen Punkte des Gebietes S verschwindet, so ist tp mit 
seinen Differentialquotienten im ganzen Gebiete S endlich, stetig 
und eindeutig, und genügt sonach allen Bedingungen, die wir in 
§. 136 an die Functionen q) gestellt haben. 

Damit ist das elektrostatische Problem auf die Lösung 
einer Abbildungsaufgabe zurückgeführt. 



§. 138. 
Die Flächendichtigkeit. 

Der Zusammenhang mit der Theorie der Functionen com- 
plexen Argumentes giebt uns einen sehr einfachen Ausdruck für 

Fig. 56. Fig. 57. 

y 





die Flächendichtigkeit, die durch die Formel §. 136 (8) allgemein 
bestimmt ist. Bezeichnen wir mit d^ den Winkel, den das Ele- 
ment ds der Grenzlinie s mit der x-kxe einschliesst , und zwar 
so, dass ds zu der Normalen n so liegt wie die positive a;-Axe 



342 Sechzehnter Abschnitt. §. 1 

zur positiven y-Axe und n von der Leiterfläche in den Nich^ 
leiter hinein positiv gerechnet ist (Fig. 56 a. v. S.), so ist 

(w,rc) = I + '^, (n, y) = ^, (ds, x) = «•, (ds, y) = | — 

und es ist 

-^ = — -^- sin^ -\- ^ cos«", 
dn dx dy 

ds dx ' 8y 

Da aber dq)/ds = ist, so ergiebt sich hieraus 

und folglich 



dx 89i -8^ ^ -89 . 8y 



e-<^ 



woraus nach §. 136 (8) 

(1) 43r<J = — fx'(^)e»^. 

Betrachten wir einen Punkt, in dem die Curve s eine Ecfc^*^ 
mit dem Winkel uTt (gegen den Nichtleiter) hat (Fig. 57 a. v. S.. — - 
und legen der Einfachheit halber den Goordinatenanfangspunl 
in diese Ecke, so ist in unendlicher Nähe dieses Punktes (nacl 
§• 48) 

1 

X — Xo = cz^, 

und diese Grösse ist in der Strecke ds, wo der reelle Theil von jg 
constant ist, rein imaginär. Es ist also 



und wenn wir z = re^^ setzen, so ergiebt sich 

c ^-1 •^ 
(2) inö = — i r** e" . 



a 



Dieser Ausdruck zeigt, dass, wenn a > 1 ist, ö für r = 
unendlich wird, während für a < 1 und r = die Dichtig- 
keit ö verschwindet. 

Wenn also ein Leiter mit einer ausspringenden 
Kante an das Dielektricum grenzt, so ist die elek- 



§. 139. Elektricitätsvertheilung auf einem Prisma. 



343 



Irische Dichtigkeit in der Kante unendlich. Bildet 
aber der Leiter in der Kante einen einspringenden 
Winkel gegen das Dielektricum, so ist die Dichtigkeit 
in der Kante gleich Null. 



§. 139. 
Elektricitätsvertheilung auf einem Prisma. 

Wir wollen nun als Beispiel den Fall betrachten, wo die 
Curve s in der ;8r- Ebene ein geradliniges Polygon ist. Nach 
§. 137 kommt die elektrostatische Aufgabe darauf zurück, den 
Fliichenraum ausserhalb dieses Polygons auf das Innere einer 

Fig. 58. 




Kreisfläche abzubilden, so dass der Mittelpunkt des Kreises dem 
unendlich fernen Punkte in der je? -Ebene entspricht. 

In der Fig. 58 ist der Uebersichtlichkeit halber das Polygon 
als Dreieck (A B G) angenommen. Nehmen wir an, die Aufgabe 
sei gelöst, es sei also z als Function von w im Innern des 
Kreises bestimmt, und die Kreisbögen a6, 6c, ca mögen den 
Polygonseiten AB^ BC, CA entsprechen. 

Wir nehmen nun zu jedem Punkte w im Innern des Kreises 
den zugehörigen Pol Wi ausserhalb und lassen diesem den 
Punkt 2i entsprechen, der der Spiegelpunkt von e ist in Bezug 
auf eine der Polygonseiten, etwa AB. 

Dann ist die Beziehung von js^ zu Wi gleichfalls eine con- 
forme Abbildung (§. 50), und es ist also jetzt ^ als Function von w 
in der ganzen M;-Ebene bestimmt. Diese Function ist an dem 
Bogen ba stetig, dagegen an den anderen Theilen des Kreises, 
an ac und &c, unstetig. Denn die Strecken ac und aCi fallen 



344 Sechzehnter Abschnitt. §. 

auf dem Kreise zusammeD, während die entsprechenden AC, ÄC 
in der ir- Ebene getrennt sind. 

Um nun die Unstetigkeit an diesen Linien genauer zu ba 
stimmen, haben wir eine Relation aufzusuchen zwischen zw« 
entsprechenden Punkten z^Zi auf den geraden Strecken ÄC^ÄC^ 
Diese ergiebt sich folgendermaassen. Wir bezeichnen mit A zu 
gleich den Werth, den die Variable e im Punkte A hat, mit - 
den Winkel, den AC mit der a;-Axe .'bildet, mit q> den Winks 
BAC^ und mit r den Abstand Az^ der gleich Azi ist Danj 
haben wir 

z -^ A = re'^, z^ — A = rc»'<^+«y>, 

und folglich 

(1) z^ =^ + (^ — ^)c««> 

Hierin sind 9 und A gegebene Grössen, die sich nict 
ändern, wenn sich der Punkt z längs AC bewegt. Wir können 
daher die Gleichung (1) nach w differentiiren, wenn wir daba 
den Punkt w längs der Kreisperipherie fortschreiten lassen, un . 
so ergiebt sich 
fc^\ d . dzi d y dz 

d. h., es ist die Function 

d , dz 
dw ^ dw 

beim Uebergange über den Bogen ac in der Ebene w stetig 
Dieselbe Betrachtung lässt sich aber in Bezug auf die anderen 
Polygonseiten anwenden, mit geringer Modification auch aul 
solche, die mit der spiegelnden Seite AB parallel sind, und es 
folgt also: 

Die Function 

d , dz 
Zj — AOg -1 — = O (w) 
dtv ^ dw ^ ^ 

ist eine in der ganzen Ebene eindeutige und 
stetige Function von tc?, die nur in einzelnen 
noch näher zu bestimmenden Punkten unend- 
lich werden kann. 



§. 14D. BestimmuDg der Function 4>(w). 345 



§. 140. 
Bestimmung der Function 0(w). 

Es ist nun zunächst erforderlich, die Unstetigkeiten der 

Function 0(to) zu untersuchen. Hierbei sind als singulare 

f^unkte zu beachten die Bilder der Eckpunkte J., B, C, ..., die 

-Punkte w = und to = oo. Die übrigen Punkte bezeichnen 

^ir als reguläre Punkte, und in diesen kann nicht unendlich 

^^erden. Denn ist Wq ein solcher Punkt, und jsq der zugehörige 

^^öx^h von ^, so haben wir eine in der Umgebung dieses Punktes 

coix-vergente Entwickeluug 

js — Zq = Ci {tv — Wq) + Ca (u7 — i«;o)^ H 

^-^ = Ci + 2c^{tv - tvo) H 

von Null verschiedenem Ci (vergl. §. 48), und daraus ergiebt 
eine Entwickelung 

dz 
log d^ = ^0 4- Ci{w — Wo) H , 

rin eo = logCi endlich ist. Demnach haben wir für einen 
^^^Ichen Punkt eine Entwickelung 

^5- ) = e^ -|- 2e2(w — ivo) -| , 



so ist endlich im Punkte Wq. Um ferner die Bilder der 
Eckpunkte des Polygons zu betrachten, bezeichnen wir mit 

a;nr, ßn, y%^ . . . 

Qie an den Punkten -4, JB, C, ... gelegenen Innenwinkel des 
t^olygons (nach der Bezeichnung in der Fig. 58 ist «jr = ^>\ so 
<3.ass, während in der ir- Ebene im positiven Sinne ein Halb- 
Icreis um den Punkt a beschrieben wird, der entsprechende 
l^unkt der ^er- Ebene einen Bogen von der Grösse (2 — oi)n 
«durchläuft Dann haben wir nach §. 48 (16) in der Umgebung 
des Punktes a eine Entwickelung von der Form 

r — ^ = (u; — a)^~*'[Cü + ^\^^ — «) + ^aO*' — «)^ + "•]' 
worin Co von Null verschieden ist. Daraus folgt 



346 Sechzehnter Abschnitt. §. 140. 

|J = (2 - «) Co(tv - ay— + (!-«) c^{w - af— + •••, 

dz 
^^^dw^^^ ~ "^ ^^^^"^ — «) + ^0 + ei(t^ — a) H > 

und folglich 

(2) ^ = ^1 + ^1 + 2^,0«; - a) 4- •••, 

und Entsprechendes gilt von den übrigen Punkten 5, C, ... 

Dem Punkte w = entspricht der Werth ^er = oo, und zwar 
so, dass einem Kreislaufe um den Nullpunkt ein einfacher Kreis- 
lauf in der £:- Ebene entspricht. Folglich gilt in der Umgebung 
des Nullpunktes eine Entwickelung der Form 

Z = -^- -\- Co -{- CiW -\ , 

dw t(;2 ' ' ' 

mit von Null verschiedenem c_i; daraus 

lognr^ = — 21ogM; ^ €0 + eitv -] , 

(3) 2 

= - ~ + Ci + 2^2«; + ... {w = 0). 

Es bleibt noch der Punkt le; == oo zu betrachten, dem gleich- 
falls der Werth ^er = oo entspricht. Für diesen hat mau , da 
einem einfachen Kreislaufe mit hinlänglich grossem Radius in 
der w;-Ebene ein einfacher Kreislauf in der ^r-Ebene entspricht: 

^ = c-iu; + Co + ^- H , 

dz Ct 2cj 

dtv ~^ tV' '«)»" ' 



(4) 



<p = _l^__3^J._... («,= 00), 



d. h., es muss tv^O im Unendlichen noch verschwinden. 
Aus diesen Bedingungen ergiebt sich aber, dass die Difl'erenz 



Bestimmung der Function *i»{ic). 3^1 

-, , , 2 1— a l—ß l—y 
^ "^ iü u; — a tv — w — c 

ganzen u;- Ebene endlich bleibt und im Unendlichen ver- 
let, und dass sie also nach dem Satze §. 48, IL identisch 

iemach erhalten wir für z die Differentialgleichung 

,j*. log .1^- = _ 2 . izz^ . Izz^ - Izzü + . . . , 

iw dw w ' w — a ' iv — b ' iv — c ' 

aus (4) ergeben sich noch zwei Bedingungen, die besagen, 
bei der Entwickelung der rechten Seite nach fallenden 

nzen von w die Coefficienten von w^^ und tr~^ ausfallen 

ften: 

2 (!-«) = 2, ^ail-a) = 0; 

diesen Bedingungen ist die erste von selbst erflUlt, da in 
3in Polygon von n Seiten die Winkelsumme 

7t ^] a = (n — 2) n 

Die zweite zerfallt, da die a, &, c, ... complex sind, durch 
Innung des reellen und imaginären Theiles in zwei Relationen. 
Aus (5) erhält man aber durch Integration, wenn c^ und Cj 
^ Integrationsconstanten sind: 

i) c,z-{-c,= \ ^^ (w - a)— 0«; - J)>-,^ {w - cy-r . . . 

Wenn das Polygon in der ^r-Ebene durch die Coordinaten 
*^iner n Eckpunkte gegeben ist, so hat der Ausdruck (8) 2n Be- 
dingungen zu erfüllen. Zu ihrer Befriedigung hat man die 
^ reellen Grössen a, ^, . . . die n Grössen a, 6, . . . mit dem abso- 
luten Werthe 1 und die beiden complexon Constanten c^, Cj, also 
2n-f-"4 reelle Constanten, die aber noch den drei Relationen (6j 
genügen müssen. Also ist die Anzahl der verfügbaren Constanten 
am 1 grösser als die Anzahl der zu erfüllenden Bedingungen. 
Dies ist nothwendig, da man, wenn die Aufgabe auf eine Art 
gelöst ist, den Kreis in der ?r- Ebene noch um einen beliebigen 
Winkel drehen kann. 

Durch eine Veränderung des Coordinatensystems in der 
0- Ebene und durch ähnliche Vergrösserung oder Verkleinerung 
kann man den Ausdruck (8) auf die Form bringen 

(9) ^ = f ^;^ 0«' — «)'-" 0^^ — i)'"' Or — r)^-Y ..., 



348 Sechzehnter Abschnitt. §. 141. 

und in dieser Form giebt er, wenn a, 6, c, ... irgend welche 
Grössen mit dem absoluten Werthe 1, und a, /J, y, ... irgend 
Zahlen zwischen und 2 sind, die den Bedingungen (6) ge- 
nügen, immer die Abbildung des Einheitskreises in der ic-Ebene 
auf ein geradliniges Polygon in der ;8r- Ebene mit den Winkeln 
a jr, /3 Ä, y ;r, . . . 

Wenn wir für a, 6, c, .. . die vier Punkte ± e * , und 
a = /3 = y . . . = Va annehmen , so sind die Bedingungen (6) 
befriedigt, und wir erhalten aus (9) 

(10) .= fvrT^4^, 

also ein elliptisches Integral (zweiter Gattung). Lassen wir tv 
über die Kreisperipherie gehen, so setzen wir w = e*^ und er- 
halten 

dz = i )^2cös2Ö dd^ ; 

es ist also dz reell oder rein imaginär, und wir haben in der 
;2r-Ebene ein Quadrat mit der Seitenlänge 



+r 



= f \2 cos 2 » J * >). 



71 

7 



§. 141. 
Influenz zweier cylindrischer Leiter. 

Es seien jetzt zwei parallele cylindrische Leiter von be- 
liebigen Querschnitten gegeben, auf denen die constanten 
Potentialwerthe Ci, C^ herrschen sollen. Dann ist das Ge])ict S 
in der ;8r-Ebene von zwei Curven Si,«^, den Querschnittlinien 
der Cylinder, innerlich begrenzt, und erstreckt sich ins Un- 
endliche. 

Das Gebiet S ist zweifach zusammenhängend, weil es durch 
einen die Curven Sj, Sj verbindenden Schnitt nicht in getrennte 



*) H. A. Schwarz: „üeber einige Abbildungsaufgaben" , Grelle 's 
Journal, Bd. 70 (1869). E. B. Christoffel: „Sul problema delle tempera- 
ture Stationarie", Annali die Matematica, Ser. 2, T. I (1867), T. IV (1870). 




§. 141. Inflaenz zweier cylindrischer Leiter. 349 

Theile zerfallt. Das elektrische Potential ip ist so zu bestimmen, 
dass es den allgemeinen Bedingungen des §. 136 genügt und an 
den Curven Sj, Sj die Werthe Fig. 69. 

Ci, Cj annimmt. 

Im Allgemeinen wird die 
Function (p im Unendlichen 
logarithmisch unendlich [§. 136 
(10)]. Es kann hier aber auch 
der Fall vorkommen, dass sie 
endlich bleibt, nämlich dann, 
wenn beide Cylinder gleiche 
und entgegengesetzte Elek- 
tricitätsmengen enthalten, also 
m = ist. 

Auch dieses Problem lässt sich auf' eine Abbildungsaufgabe 
zurückführen, wie wir jetzt zeigen werden. 

I. Wir nehmen an, dass das Gebiet S auf das Innere 
eines Kreisringes K conform abgebildet sei, so 
dass die beiden Grenzkreise %i, %2 ^^^ Curven Si^s^ 
entsprechen. 

Die Radien der begrenzenden Kreise wollen wir so wählen, 
dass ihr Product == 1 ist, was offenbar durch proportionale Ver- 
grösserung oder Verkleinerung zu erreichen ist, wenn es nicht 
schon von vornherein so sein sollte. Wir bezeichnen demnach 
den Radius des inneren Kreises mit ^Vs, den des äusseren mit 
^-V«^ so dass q ein positiver echter Bruch ist. Dieser 
Kreisring liege in der Ebene einer complexen Variablen w. 

Da wir den Kreisring noch in seiner Ebene drehen können, 
so steht es uns frei, dem unendlich fernen Punkt des Gebietes z 
einen Punkt c auf dem positiven Theil der reellen Axe ent- 
sprechen zu lassen. Die Wahl von q und c wird uns aber nicht 
mehr freistehen, sondern von den Lagenverhältnissen der Curven 
Si, $2 abhängen, wie wir später an Beispielen sehen werden. 

Wenn dies Abbildungsproblem gelöst ist, so ist w in dem 
Gebiete S eine stetige, endliche und von Null verschiedene 
Function, deren absoluter Werth an den Curven s^, Sg die con- 
stanten Werthe g*/« und g-Vi annimmt. Wenn wir also 

(1) x = 9 -{- *^ = logti;, w == €'/' + »> 

setzen, so ist qp der reelle Theil einer Function % von ^, der an 



350 Sechzehnter Abschnitt. §. 141. 

den Curven s^, s^ die constanten Werthe Va^^gg, — Vs^^Sä ^^^ 
nimmt, und hierdurch ist also bereits das Problem für den 
speciellen Fall gelöst, dass q) im Gebiete S endlich 
bleibt, also die Gesammtmenge der mitgetheilten 
Elektricität gleich Null ist. 

Im Allgemeinen haben wir aber noch eine zweite Aufgabe 
zu lösen : 

II. Es ist eine Function Xi = <Pi + ^^i ^^^ com- 
plexen Argumentes z in dem Gebiete /S, also 
auch des complexen Argumentes tv innerhalb 
des Kreisringes K so zu bestimmen, dass 

a) die Function Xi ^^ dem Punkte c logarith- 
misch unendlich wird, so dass 

Xx — log (w — c) 

in c endlich bleibt; 

b) der reelle Theil (pi von Xi ^^ dem Gebiete Ä\ 
abgesehen von dem Punkte c, endlich, stetig 
und eindeutig ist und an den Grenzen äi^, k^ 
verschwindet. 

Der imaginäre Theil ^j wird in Folge der Bedingung a) 
nicht eindeutig sein können. 

Da der Punkt to = c dem Punkte = 00 entspricht, so 
besteht eine Entwickelung von der Form: 



also 



«,_c=^ + ^ + ..., 



log(u; — c) = — log£r + ^0 + -T- + 



und wenn also der absolute Werth \x^ -|- y* von mit R be- 
zeichnet wird, so ist nach a) 

(2) 9, + log B 

im Punkte z = co endlich. 
Setzen wir daher 

(3) * = m^i + Äq> + B, 

so ist, wenn Ä und B willkürliche Constanten bedeuten, O der 
reelle Theil einer Function complexen Argumentes z^ die nach 
a) und b) die Eigenschaften hat: 



142. Be8timmü];ig der Function XiM' 351 

1. Ö> + mlogJB ist im Unendlichen endlich [§. 137 (10)]. 

2. An den Grenzcurven Si, s^ ist 

und die Gonstanten Ä und B können so bestimmt 
werden, dass Ci und C^ beliebig gegebene Werthe er- 
balten. 

Damit ist also unser elektrostatisches Problem auf die Lö- 
tg der beiden functionentheoretischen Probleme L, IL zurück- 
uhrt Von diesen ist das zweite von der Natur der Curven 
89 unabhängig und kann, wie wir sehen werden, allgemein 
Ost werden. Das erste aber hängt von der Gestalt dieser 
rren ab und kann nur in speciellen Fällen gelöst werden. 

Wir wenden uns zunächst der Behandlung des zweiten Pro- 
mes zu. 

§. 142. 
Bestimmung der Function XiM» 

Um die Function Xi zu bestimmen, setzen wir 

Xi(w) = \ogf(w). 

ein ist f(w) eine Function, die in dem Kreisringe K den Be- 
dungen genügen muss: 

a) Die Function f (w) wird in dem Punkte c gleich 
Null, und zwar so, dass der Quotient /(t(;)/(t(; — c) 
endlich und von Null verschieden bleibt; ab- 
gesehen von dem Punkte c ist der absolute Werth 
von f(w) in dem Gebiete K endlich, stetig, ein- 
deutig und von Null verschieden. 

b) Der absolute Werth von f{w) ist an den beiden 
Peripherien Äi, Jc^ gleich 1. 

um eine solche Function f(w) zu finden, construiren wir zu 
lem beliebigen Punkte te;, den wir vorläufig innerhalb K an- 
hmen wollen, die Pole in Bezug auf die beiden Kreise A^i, h^. 



352 Sechzehnter Abschnitt. §. 142. 

und Dehmen zu diesen Punkten die Spi'igelbilder in Bezug auf 
die reelle Axe Wi und t(7-i. Es ist dann 

(2) tt'iC/'i = g, «7u?_i = g-*. 

Hierdurch wird das ganze Gebiet K auf zwei angrenzende 
Gebiete Äi, K^i conform abgebildet, und die innere Begrenzung 
von Kl ist ein Kreis mit dem Radius q^\ die äussere Begrenzung 
von if_i ein Kreis mit dem Radius q—\ 

Auf dem Kreise ^ ist Wi mit w conjugirt imaginär, und 
ebenso ist to-i auf k^ mit w conjugirt imaginär. 

Die Function /(t(;) muss nun, wie aus der Symmetrie folgt, 
eine reelle Function sein, d. h. eine Function, die für con- 

Fig. 60. 




jugirt imaginäre Werthe des Argumentes selbst conjugirte Werthe 
erhält (und folglich für reelle Argumentwerthe reell wird). Dem- 
nach verlangt die Forderung b), dass f(w) f{Wi) an fci, und 
f{w)f(w-i) an Ä, gleich 1 wird: 

(3) f{w)f(^^ = l, anfc,, 

W f(w)f(^^ = 1, anfc,. 

Diese Gleichungen müssen aber, da sie an Linien erfüllt sein 
sollen, identisch stattfinden. 



§. 142. Bestimmung der Function XiM- 353 

Die Function /(ut) soll nun in c verschwinden. Folglich 
wird sie nach (3) und (4) unendlich in den Punkten qc^ 
q^^c-^t und wieder Null in den Punkten g*c, q~^c, und indem 
wir so weiter schliessen, folgt 

f{ijo) = in den Punkten c, q-^c, q-^c ..., 

/(u;) = Go „ „ „ qc--\ q^^c-\ q-^c-\ .... 

eine Function, die diese Nullpunkte und Unendlichkeitspunkte 
hat, lässt sich aber leicht durch ein unendliches Product bilden^ 
nämlich 

, „, 4('-^"")('-^-s) 

(5, f(.) = (,-i)^^. ^, 

JJ(1-,.- ..„)(l-5.— _) 

»=1 ^ ^ 

und nach bekannten Sätzen aus der Theorie der unendlichen 
Producte convergirt dieser Ausdruck, da q als echter Bruch 
vorausgesetzt war, für jeden endlichen, von Null verschiedenen 
Werth w. 

Nun aber genügt F(tü) noch nicht vollständig den Bedin- 
gungen (3) und (4), sondern es ist, wie eine sehr einfache 
Rechnung zeigt: 

(6) F0Of(^ = 1. ir(.OF(±) = ;l,. 

Setzen wir aber 

(7) f{iv) = octv.^ F(w), 

so können wir die beiden Constanten a, ß so bestimmen, dass 
(3) und (4) befriedigt werden. Denn es ergiebt sich aus (6) 
und (7) 

und es muss also 

1 = a2(^.^, 1 = cc^c-^q-^ -.^ 

sein. Daraus ergiebt sich 

« = ± 1^ 2'/^ 
(^) . _ _ 1 _ logc 

^ 2 logr/ 

worin das Vorzeichen von a beliebig gewählt werden kann. 
Nehmen wir das negative, so ergiebt sich 

Biemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen. 23 



354 Sechzehnter Abichnitt. §. 142. 

(9) / fif) = 

wodurch alle Bedingungen unserer Aufgabe befriedigt sind. 

Die unendlichen Producte, die hier auftreten, sind aus der 
Theorie der elliptischen Functionen bekannt, und wir wollen sie 
noch in die dort gebräuchliche Bezeichnung übertragen. Es 
gründet sich die Theorie der elliptischen Functionen auf vier 
sogenannte d*- Functionen, die in folgender Weise durch unend- 
liche Producte dai^estellt sind^j: 

^oo(r)=Cn(l+9*'-'^^'0(l+9''-*^'"'^). 
,j^.^oi(rj=Cn(l-'Sf^'-^e^^*0(l-9'-*^=^''^> 

^ ^^io(t")=C'z**(^^'^+^-"on(i-^'e^^*ou^</''«^*"'0' 

worin Q ein gemeinschaftlicher, von r unabhängiger Factor ist, 
der durch q so dargestellt wird: 

In allen diesen Producten durchläuft v die Reihe der natür- 
licrhen Zahlen 1, 2, 3, ... bis unendlich. 

Auf diese Functionen wird nun der Ausdruck (9) zurück- 
geführt, wenn wir setzen 

(11) ir = e«'*% c = e**«^ 



—i.tia 



(12) f{w) = iic^9 



^ii(r — a) 



Der Ausdruck vereinfacht sich wesentlich in dem besonderen 
Falle, wo c == 1, also a = ist Dann wird 

^11 (0 



(Vi) fite) = i 



^01 (t^) 



Diese Function ist doppelt periodisch und lässt sich durch 
die elliptische Function sinus amplitudinis ausdrücken wie folgt : 



') VergL R Weber, Elliptische Functiouen and algebraische Zahlen» 
§. 21, S. 61 und 62. 



§. 143. 



Conforme Abbildung auf den Kreisring. 

f(w) = if7tsn(2Kv), 



355 



wenn 



i^^ = V2./-lTn^ 



2K 



— = JJ (1 - q^^y (1 + gr2v-i)4 

gesetzt ist, was für die Leser, die mit der Theorie dieser Func- 
tionen vertraut sind, hier angeführt sei (H. Weber, Elliptische 
Functionen, S. 62, 110, 111). 

Die hier betrachtete Function f(w) hat für das Ring- 
gebiet und das logarithmische Potential eine ähnliche Be- 
deutung, wie die Green 'sehe Function für das Newton'sche 
Potential. 



§. 143. 
Conforme Abbildung auf den Kreisring. 

Es bleibt jetzt noch übrig, die in §. 141 charakterisirte 
Abbildungsaufgabe I. zu lösen, was nur in besonders einfachen 
Fällen möglich ist. 

Sehr leicht ist die Lösung für den Fall, wo die Grenz- 
curven Sj, Sj des Gebietes S zwei Kreise sind, die einander aus- 

Fig. 61. 




schliessen, auf Grund des Satzes (§. 51), dass bei der con- 
formen Abbildung durch gebrochene lineare Functionen allen 
Kreisen der einen Ebene auch Kreise der anderen entsprechen. 
Legen wir die Mittelpunkte der Kreise Si, s^ auf die reelle Axe 
in der ;8r-Ebene und bezeichnen die Abscissen der Schnittpunkte der 
Kreise mit dieser Axe der Reihe nach mit a, /J, y, d, so haben 

23* 



356 Sechzehnter Abschnitt. §. 14^ 



wir w als lineare gebrochene Function von jer so zu bestimme 
dass sich die Werthe 



= a, /3, y, 

gegenseitig entsprechen. 

Wenn also die vier Werthe a, /J, y, Ö, d. L die Kreise Si, ä. 
gegeben sind, so ist q nicht mehr willkürlich, sondern durch d 
gegebenen Grössen bestimmt Man erhält 

l—j[ l-{-q'/*w _ y — ß z — a 

und daraus ergiebt sich ein Werth von g, der ein positiv 
echter Bruch ist. 

Schwieriger, aber auch interessanter, ist das folgende B( 
spiel, an dem Helmholtz zuerst den Nutzen der Abbildun{ 
theorie für diese Art elektrostatischer Probleme nachgewief 
hat 1). 

Das Gebiet S sei begrenzt durch zwei parallel 
geradlinige Schnitte, deren Endpunkte die Ecke 
eines Rechtecks bilden. Das Gebiet S erfüllt also di^ 
ganze -er -Ebene, hat aber an diesen beiden Schnitten Unstetig- 
keiten, und die Ränder der Schnitte sollen den beiden Grenz-^ 
kreisen des Ringgebietes in der «;- Ebene entsprechen. 

Physikalisch handelt es sich hierbei um die Yertheilnng^ 
der statischen Elektricität auf zwei unendlich langen ebenen^ 
Streifen, die sich, etwa wie die Platten eines Condensators^.^ 
gegenüberstehen . 

Die Schnitte in dem Gebiete S mögen parallel mit der 
y-Axe angenommen werden, und ihren Endpunkten mögen die 
Werthe z = ± a i: ßi entsprechen. 

Denken wir uns die Hälfte des Gebietes S^ in dem x einen 
positiven Werth hat, auf den Kreisring abgebildet, dessen 
innerer Kreis den Radius 1, und dessen äusserer den Radios 



^) Ueber discontinuirliche Flüssigkeitsbewe^ungen. Monatsbericht der 
Akademie der Wissenschaften in Berlin vom 13. April 1868. Gesammelte 
Abhandlungen, Bd. I., 8. 157. Die Endformel ist übrigens bei Helmholts 
nicht richtig an^^egeben. 



§- 143. 



Conforme Abbildung auf den Ercisring. 



357 



q — *^« hat, 80 wird die andere Hälfte auf dem Kreisringe 1, q^^* 
Abgebildet, wenn man dem Punkte =— ;£? den Werth \iw ent- 
sprechen lässt Setzen wir also 

C3) ^ = <jp(tr), 

so wird 

und die Function q>{xo) muss also die Eigenschaft haben: 



(5) 



•^6) = - *^^"''>- 



Wir können, wie aus der Symmetrie unserer Figuren folgt, 
die Abbildung so annehmen, dass conjugirt imaginären Werthen 



Fig. 62. 



d. 






z'% 



ß 




%v 



*a 



^^xx tc auch conjugirt imaginäre Werthe von z entsprechen, 
. " 1>. 80, dass q>(tv) eine reelle Function ist. Eine Folge davon 
^^^ dann [nach (5)], dass die Punkte ?r = Hh 1 den Punkten 
^ 0, CO entsprechen. Wir wollen feststellen, was freistellt, 
= -f- 1 sei das Bild von r = oo . 
In zwei symmetrisch gelegenen Punkten z, z* des Schnittes 
^ h haben wir die Werthe 

^nd die entsprechenden Werthe von w sind \v und l/gtr. 

Es hat also die Function 9(?r) auf der Kreisperipherie q-^f* 
die Eigenschaft: 

(6) ^>{^ = 2«- 9 00, 

und die Gleichungen (5) und (6) müssen nun wieder identisch, 
d. h. für alle Werthe von xo befriedigt sein. 



358 Sechzehnter Abschnitt. §. 143. 

Ausserdem muss q){w) eine reelle Function von w sein, die 
in dem Kreisringe K nur in dem Punkte w = l unendlich, sonst 
überall endlich und stetig ist. 

Aus (6) ergiebt sich dann mit Hülfe von (5), wenn man w 
durch 1/w ersetzt, 

(7) ^^l^ = _2«-9)(«;). 

Ferner ergiebt sich noch aus (5) und (6) 

(8) q){qtv) = — 2a -{- (p (w). 

Wenn nun umgekehrt qp (w) diesen Forderungen gemäss 
bestimmt ist, so zeigt die Relation (6), dass, wenn w und l/qw 
conjugirt imaginär sind, d. h. an der äusseren Kreisperipherie, 
der reelle Theil von z = <p (jiv) constant = a ist, und dass der 
imaginäre Theil von z^ während tv auf der Kreisperipherie 
herumgeht, sich zwischen zwei endlichen Grenzen — ß und ß 
bewegt. In den Endpunkten der Schnitte, d. h. da, wo der 
Werth von z umkehrt, ist der DiflFerentialquotient q>'{w) = 0. 
Dadurch wird ein Zusammenhang zwischen ß und q hergestellt. 

Denken wir uns durch (5) und (6) die Function q)(w) in 
der ganzen t(;-Ebene bestimmt, so erhalten wir eine Function, die 
in allen Punkten w = q^ für v = 0, ±1, ±2, ... unendlich wird. 
Demnach führen wir eine Function &(w) ein, die wir durch das 
unendliche Product 

OD 

(9) @{w) = (m;'/» — iv-'/f) JJ(1 — 3' iv) (1 — g^tir-i) 

definiren. Diese Function geht, von einem constanten Factor 
abgesehen, in die Function '9'ii(t;) (§. 142) über, wenn q durch 
q^ und w durch e^'***' ersetzt wird. Es hat aber diese Function 
®{w)y wie sich aus (9) leicht ergiebt, die Eigenschaft 

und wenn wir also 

(11) q)(w) = 2« —^l" -5^-^ = 2aw ^; ; 

setzen, so genügt diese Function allen Bedingungen, durch die 
die Function q>{w) bestimmt war, und diese Function ist also 
durch (11) dargestellt. 



§. 143. Conforme Abbildung auf den Ereisring. 359 

Führt mau die Entwickelung (9) in (11) ein, so erhält man 
q)(w) durch eine unendliche Reihe dargestellt: 



<pO'') = -T^-2«I:t4: 



q'^w 



q^ w 
q'^ur-^ 






Wir unterlassen es hier, auf die Einführung der elliptischen 
Functionen in diese Resultate näher einzugehen, bei der sich 
auch eine explicite Darstellung der Relation zwischen q und ß 
ergeben würde. 



Siebenzehnter Abschnitt 

Magnetismus. 



§. 144. 
Das magnetische Gleichgewicht 

Nach der Hypothese von Maxwell tritt im Aether und in 
anderen Körpern neben der elektrischen Spannung eine magne- 
tische Spannung auf, die genau denselben Gesetzen folgt, wie die 
elektrische Spannung. Um die eine Theorie aus der anderen 
abzuleiten, ist nur eine Veränderung in der Bezeichnung nöthig. 

Wir nehmen einen magnetischen Kraftvector 9)1 und 
einen Verschiebungsvector ^ an, zwischen denen die Relation 
besteht 

(1) 4Ä^ = ft>öl, 

worin ft eine der Dielektricitätsconstanten entsprechende magne- 
tische Constante ist, die für das Vacuum gleich 1 angenommen 
wird. Sie heisst die Magnetisirungsconstante oder auch die 
Permeabilität und ist ihrer Natur nach eine positive Zahl. 
Der Vector ^ wird auch die magnetische Polarisation ge- 
nannt 

Die Betrachtungen des fünfzehnten Abschnittes über Elek- 
tricität lassen sich dann auf die magnetischen Erscheinungen 
übertragen, wenn durchweg 

durch 

ersetzt wird. Es sind jedoch folgende wesentliche Unterschiede 
vorhanden. 



Das magnetische Gleichgewicht. Sgl 

)ie für die magnetischen Erscheinungen wichtigsten Körper, 
und Stahl, folgen diesen Gesetzen nicht Bei diesen ist, 
ie Erscheinungen des remanenten und permanenten Magne- 
s (die sogenannte Hysteresis) zeigen, die Polarisation der 
etischen Kraft keineswegs proportional. Die Polarisation 
der magnetischen Kraft nur mit einer gewissen Verzögerung 
Trägheit, und es bleibt ein Theil von ihr zurück, auch 
die magnetische Kraft aufgehört hat zu wirken. Dieser 
ajid setzt der mathematischen Behandlung der magnetischen 
.einungen grosse Schwierigkeiten entgegen und zwingt uns, 
etrachtung auf zwei ideale Grenzfalle zu beschränken, die 
in der Gleichung (1) ausgesprochenen Gesetze gehorchen, 
denen sich die wahren Vorgänge in höherem oder ge- 
rem Grade annähern. Diese beiden Falle bezeichnen wir 
en des vollkommen weichen Eisens und des voll- 
men harten Stahls, aus dem die permanenten 
nete bestehen. 

ausserdem sind es noch folgende Unterschiede, durch die 
die Theorie der magnetischen Erscheinungen von der der 
ischen unterscheidet: 

1. Bei den Magnetisirungsconstanten ft kommen weit grössere 
Unterschiede vor als bei den Dielektricitätsconstanten. 
Während s bei allen Körpern, soweit bekannt, grösser 
als 1 ist, zerfallen die Körper in Bezug auf die Magne- 
tisirungsconstante ft in zwei Classen, die diamagneti- 
schen, bei denen ft kleiner ist, und die paramagnetischen, 
bei denen fi grösser als 1 ist. Im harten Stahl wird 
fi = 1 angenommen, während ft im weichen Eisen einen 
sehr grossen Werth hat. 

2. Es giebt keine Leiter des Magnetismus in dem Sinne, 
wie es Leiter der Elektricität giebt. 

5. Nennt man, wie bei der Elektricität, die Grösse div^^^ 
den wahren Magnetismus, so ist wahrer Magnetismus 
nur in den permanenten Magneten, also im harten Stahl, 
vorhanden. 

Es ist also überall, mit Ausnahme der permanenten 
Magnete 

div ^:p = 0. 

In einem permanenten Magnete ist 



362 Siebenzehnter Abschnitt. §. 1^ 

(3) div ?p = m, 

die Dichtigkeit des wahren Magnetismus, eine gegebei 
Function des Ortes, von der noch angenommen wir*— n 
dass die in einem solchen Körper vorhandene Gesamm' .^ 
menge verschwinde, dass also das über das Volumen ein^ ^ 
permanenten Magneten genommene Integral 

(4) [ mdt = 

sei. 

4. Auch an Flächen tritt wahrer Magnetismus nicht a 
d. h. die Normalcomponente P„ ist an jeder Fläche 
beiden Seiten gleich i). 

Nach diesen Voraussetzungen ist die in dem Volumeleme 
dt enthaltene Menge magnetischer Energie 

(5) dT=\ PMdt = i (P. M, + PyMy -f P,M;) dt, 
oder auch 

(6) = JL (2tf J + Mi + J/J) dr, 

und die Aufgabe, das magnetische Gleichgewicht in einem Feld^^ 
zu bestimmen, in dem keine mechanischen Bewegungen statt — 
finden, ist mathematisch gar nicht verschieden von dem elektro^ 
statischen Problem unter der Voraussetzung, dass in einem elek- 
trischen Felde von veränderlicher Dielektricitätsconstante ein- 
zelne mit wahrer Elektricität geladene Nichtleiter eingebettet 
sind. Es fallen nur hier die besonderen Bedingungen weg, die 
auf der Gegenwart von Leitern im Felde beruhen; dagegen tritt 
die Verschiedenheit von fi hier weit mehr in den Vordergrund. 

Die Bedingungen, die sich hier ergeben, sind demnach wie 
im §. 127 die folgenden. 

Die magnetische Kraft hat tiberall ein Potential q>. 

T If _ ?9> ir _ ^9> ;i/ _ 89 

1. Jl^ — — ^---, Jly — — ^— , Alg= — -^-- 

cx cy CB 

II. Die Function ^> ist im ganzen Felde stetig und genügt 
der DiflFerentialgleichung 



^) Vgl. H. Hertz: „Ueber die Grundgleichnngen der Elektrodynamik 
für ruhende Körper", a. a. 0. 



§. 145. Permanente Magnete. 363 

worin m überall ausserhalb der permanenten Magnete 
verschwindet, Id den permanenten Magneten eine der 
Bedingung (4) genügende gegebene Ortsfunction ist. 

III. An einer Fläche, in der zwei verschiedene Werthe von 
^ zusammenstossen, ist Pn stetig, also 



"* Qt)* = "- in) 



IV. Wird das Feld im Unendlichen als unmagnetisch voraus- 
gesetzt, so verschwindet 9 im Unendlichen, wie die — 2** 
Potenz der Entfernung. 

Durch diese Bedingungen ist die Function g), wie 
schon bei der Elektrostatik gezeigt ist, eindeutig bestimmt. 



§. 145. 
Permanente Magnete. 

Wenn in dem ganzen Felde ^ = 1 ist, was wir anzunehmen 
Ilaben, wenn nur permanente Magnete im leeren Räume oder in 
der Luft in Betracht kommen, so geht §. 144 (7) in die Glei- 
chung 

(1) ^Jq) = — 4jrw 

über, deren allgemeines Integral wir bereits im elften Abschnitt, 
§. 99 (8), dargestellt haben. Es ergiebt sich danach 

Cmdz 

(2) ^ = J T"' 

worin r den Abstand des Punktes x^ y, e von dem Element dx 
bedeutet, und die Integration nur über den Theil des Raumes 
zu erstrecken ist, in dem m von Null verschieden ist, d. h. über 
die permanenten Magnete des Feldes. 

Für die gesammte Energie des Feldes finden wir nach 
§. 144 (6) den Ausdruck: 



364 Siebenzehnter Abschnitt. §. 145. 

Nach der Formel 



\dxj — 



dx ^ dx^' 



und nach §. 144, I. können wir hierfür auch setzen 

(4) T=-^jdiv<pgndr-^j(3P^(pdr. 

Da der Vector q)^ nicht an Flächen unstetig ist, und nach 
§. 144, IV, im Unendlichen stärker als die — 2^® Potenz der 
Entfernung verschwindet, so ist nach dem Gauss'schen Satze 
das erste Integral in dieser Formel gleich Null (§. 128), und 
es folgt 

(5) ^==i f ^^^^^' 

Dieser Ausdruck wird auch das Potential des Systems 
auf sich selbst genannt. 

Eine Aenderung in der gegenseitigen Lage der Theile des 
Systems wird einen gewissen Arbeitsaufwand erfordern, der, wenn 
in jedem Augenblicke die Bedingungen des magnetischen Gleich- 
gewichtes als erfüllt angesehen werden können, durch den Zu- 
wachs, den die Grösse T erfährt, gemessen wird (§. 120). 

Nehmen wir an, dass zwei permanente Magnete iüfi, M^ vor- 
handen seien, so zerfällt der Ausdruck T in drei Theile : 

T=r, + r, + i\„ 

worin nach (5) und (2) 

rr _ ff Wimldridt'i 



* JJ ^J2 

(7) r,. = l\ 



?«, W2^^1 dt-i 



gesetzt werden kann. Hierin sind Tj, Ta die Potentiale der 
Magnete Jtfi, M^ auf sich selbst, während Tig ^^s Potential 
der beiden Magnete auf einander genannt wird. 

Die Bedeutung dieser doppelten Integrationen ergiebt sich 
von selbst. Zur Erläuterung sei aber noch bemerkt, dass z. B., 
um Ti zu bilden, irgend zwei Elemente dti, dx'i des Magneten 



^ 



§^. 1-46. Die magnetischen Momente. 365 

Jl/i mit den zugehörigen Dichtigkeiten Wj, wi multiplicirt und 
das Product tw, widrjdri durch die Entfernung r^ von dri, dt[ 
zu dividiren ist Jedes solche Product kommt dann nach (2) 
uixd (5) zwei Mal in T vor, und die Summe aller dieser ist Ti, 
'^enn in dem Integral (6) jedes solche Product nur ein Mal ge- 
J^oxnmen und deshalb der Factor Vj weggefallen ist. 

Wenn jetzt die Magnete Mi^ M^ gegen einander bewegt 

"Verden, ohne dass ihre Gestalt und Magnetisirung geändert 

'Vrird, so bleiben Tj und T^ ungeändert, und der Zuwachs von 

-S^it allein giebt die Arbeitsgrösse , die bei dieser Veränderung 

ctofgewandt wird. Dies ist die Grundlage für die Berechnung 

^er gegenseitigen Einwirkung zweier permanenter Magnete. 



§. 146. 
Die magnetischen Momente. 

Das über das Volumen eines permanenten Magneten aus- 
gedehnte Integral 

das in den Formeln des vorigen Paragraphen vorkommt, heisst 
das Potential dieses Magneten. Es ist eine von diesem Magneten 
und seiner Lage allein abhängige Function des Ortes, die im Un- 
endlichen verschwindet. 

Bezeichnen wir mit Xi^ y^, z^ die Coordinaten eines Punktes 
im Inneren des Magneten und mit x^ y, z die Coordinaten eines 
entfernten Punktes und setzen 

ija = rr« + 2^2 _j_ g%^ 

r^ = {x- x,Y + (y - yiY + (^ - ^l)^ 

so folgt durch Entwickelung nach Potenzen von x^^ yj, Zi^ wenn 
wir nach dem zweiten Gliede abbrechen: 

/o\ 1 _ 1 j_ ^^1 + yyi + ez^ 

^^> ^ — B^ R^ ' 

und wenn wir also 

(3) a = I iCitndr, ß == I y-^mdx^ y = Zimdx 

setzen, so folgt aus (1) mit Rücksicht auf die Relation 



366 Siebenzehnter Abschnitt. §.14^ — 

(4) [ mdt = 0, 

für 9 die Darstellung 

(5) <p = ^+-gJl.?L^ ■ 

welche gültig ist, wenn man Glieder von der Ordnung 1/1J=- * 
gegen die der Ordnung l/R^ vernachlässigen kann. 

Die Summen a, /3, y heissen die magnetischen Moment 
des Magneten. Sie ändern sich nicht, wenn der Coordinaten- 
anfangspunkt unter Beibehaltung der Richtung der Goordinaten- 
axen verlegt wird, und transformiren sich bei einer Drehung des 
Goordinatensystems ebenso wie die Goordinaten eines Punktes. 
Setzen wir also 



(6) Z = ya2 + /3« + y« 
und definiren eine Richtung A durch 

(7) l cos (A, a;) = a, l cos (A, y) = /3, l cos (A, 0) = y, 

so ist l und die Richtung k von der Lage des Goordinatensystems 
unabhängig und sind dem gegebenen Magneten eigenthümliche 
Gonstanten; k heisst die Axe und l das Moment (oder auch 
das Hauptmoment) des Magneten. Ist v eine beliebige andere 
Richtung und 

(8) n = 1 cos (A, t/), 

so heisst n das Moment in Bezug auf die Richtung v. 
Lassen wir den Punkt x, y, z in der Richtung v ins unendliche 
gehen, und bezeichnen seine Entfernung von einem festen 
Anfangspunkte mit i2, so ergiebt sich aus (5) eine allgemeine 
Definition des magnetischen Momentes in Bezug auf die Rich- 
tung V, nämlich n = lim R^ (p. 

Nehmen wir zwei permanente Magnete Mi und M^ in einem 
sonst un magnetischen Felde an, und zwar in so grosser Ent- 
fernung, dass für einen Punkt von M^ der Ausdruck (ö) für das 
Potential von Mi gilt, und umgekehrt, so erhalten wir für das 
Potential der beiden Magnete auf einander nach §. 145 (7) 

y _ CCm ^m^dTidtj 
und wenn wir mit q)i das Potential des ersten Magneten, ge- 



§. 147. Magnetisolie Induction. Kugel. 367 

nommen für einen Punkt des zweiten, yerstehen, nach (1) 

(9) Tia = J tp^m^dt^. 

Sind nun o^, /S^, y^; a„ /S,, y^ die magnetischen Momente von 
Ml und Mi und x^^ y^, z^ die Coordinaten eines Punktes in M^^ 
80 können wir nach (5) setzen 

<Pi = ^^ . 

worin 12 die Entfernung eines beliebigen Punktes in Mi von dem 
Punkte a^a, y^i ^a ist Mit Vernachlässigung von Grössen höherer 
Ordnung können wir aber unter JB auch die Entfernung zweier 
beliebiger Punkte von Mi und M^ verstehen, die bei der Summa- 
tion in (9) unverändert bleiben, und dann ergiebt sich 

(10) i,a _ ^^ 

Bezeichnet man mit Zi, l^ die Hauptmomente von Mi^ Jf,, 

mit A|, Aa die Axenrichtungen, so kann man nach (7) dafür auch 

setzen 

^ _ ^jaC08(Ai,Aa) 

Dieser Ausdruck wird bei unveränderlichem Magnetismus 
«in Minimum, wenn der Winkel (A^, Aa) gleich 180° ist, und die 
beiden Magnete befinden sich also in einem stabilen Gleich- 
gewicht, wenn ihre Axen parallel, aber entgegengesetzt gerichtet 
sind. 

§. 147. 
Magnetische Induction. Kugel. 

Wenn in ein magnetisches Feld ein Körper von anderer 
Permeabilität ft gebracht wird, etwa ein Körper aus weichem 
Eisen, in dem nach unserer Annahme ft einen sehr grossen W^erth 
hat (etwa 2000), so wird in diesem Körper magnetische Kraft 
und Polarisation hervorgerufen, und dieser inducirte Magnetis- 
mus wird durch die allgemeinen Vorschriften des §. 144 be- 
stimmt. 

Wir wollen annehmen, dass die magnetische Kraft in dem 
ursprünglichen Felde constant sei und die Componenten -4, -B, C 



368 Siebenzehnter Abschnitt. §. 147. 

habe, ein Zostand, der angenähert dorch den Erdmagnetismns 
Ter¥rirklicht ist. Dnrch die Einführung des Körpers, den wir 
den indneirten Körper nennen, wird dann der magnetische 
Zustand verändert, aber merklich nur in einer Entfernung, die 
nicht zu gross ist im Vergleich zu den Dimensionen des indu- 
cirten Körpers, und das magnetische Potential wird also durch 
die folgenden Bedingungen bestimmt: 

(1) J^ = 
im ganzen Felde, 

(2) l^ = -A, t^- = -B, ^ = -C 

^ ^ cx ^y ^^ 

im Unendlichen. 

Dazu kommen noch die Bedingungen für die Grenze des 
indneirten Körpers. Bezeichnen wir mit ^i und 9« die Function 
9 im Inneren und ausserhalb dieses Körpers, mit n eine der 
beiden Normalenrichtungen an der GrenzÜäche. so ist an dieser 
Fläche 

(3) 9i = Va. 

(4; ^^ = ^. 

^ cn cn 

Nehmen wir zunächst an, der inducirte Körper habe die 
Gestalt einer Kugel. Wir wählen dann die Richtung der indu- 
cirenden Kraft zur a:- Axe, den Kugelmittelpunkt zum Coordinaten- 
anfangspunkt, und führen Polarcoordinaten r, 0* ein. Dann nimmt 
die Differentialgleichung ^q> •= [nach §.42(11)] die Form an 

(5) ^ + _| „_-l=0. 
^ er* r Sin 0^ cd^ 

Setzen wir bierin versuchsweise 

(6) q) = u cosO^ 

und nehmen an, u sei allein von r abhängig, so erhält man 

eine Gleichung, die die beiden particularen Integrale r und r-* 
hat Bezeichnen wir mit A, C,, Cj Constanten, so folgt hieraus 
mit Rücksicht darauf, dass 9?, für r = endlich bleiben muss: 



d. Magnetische Induction. Ellipsoid. 369 

q>a = (— Är-{- ^j C08^ = — Ax-i- -^, 

1 die Constante A ist nach (2) die inducirende Kraft. Zur 
Stimmung von Ci und C2 erhält man aus (3) und (4) zwei 
eichungen, nämlich, wenn c der Kugelradius ist: 

oraus 

Ci = Ac^ — , — x^ C% = — , — ^• 

ft -[- 2' ^ + 2 

Die inducirte magnetische Kraft ist also im Inneren der 
"^ u.gel constant. 

§. 148. 
Magnetische Induction. Ellipsoid. 

Das Resultat, das wir im vorigen Paragraphen für die Kugel 
©Wonnen haben, legt die Vermuthung nahe, dass das Verhalten 
^ei einem Ellipsoid ähnlich sein möge. 

Wir verallgemeinern, um dies zu prüfen, die Formeln §. 147 
^8), (9), indem wir bemerken, dass der durch (8) gegebene Aus- 
druck q)a in seinem zweiten Gliede x/r'^ die ic-Componente der 
Anziehung enthält, die die mit homogener Masse erfüllte Kugel 
nach dem Newton'schen Gravitationsgesetze ausüben würde 
(§§. 101, 106). Dies verallgeifteinern wir nun, indem wir setzen 

(1) tp^ = — Ax — By — Cz f aX + /3r-L-yZ, 

(2) (pi = cc,x + ß,y -{- y, z, 

worin X, Y, Z die Componenteu der Anziehung des mit homo- 
gener Masse erfüllten Ellipsoids auf einen äusseren Punkt be- 
deuten, und a, /3, y\ a^, ß^, yi zu bestimmende Constanten sind. 

Durch diese Annahme sind die Bedingungen (1), (2) des 
vorigen Paragraphen befriedigt, und aus (3) und (4) müssen die 
sechs Constanten a,ai,... bestimmt werden. 

Wir nehmen die Hauptaxen des Ellipsoids zu Coordinaten- 
axen und setzen seine Gleichung in die Form: 

x^ tl^ Z'^ 

(3) ^. + f5 + c- = '- 

Bi«mann- Weber, Partielle Differentialgleichungen. 24 



370 SiebeDzelmter Abschnitt. §. 148. 

Es ist dann an der Oberfläche 

^^ ^ dn~ai' ^ Ön ~ P' ^ dn~ c^' 

wenn zur Abkürzung 

gesetzt ist Nun ist nach §. 107 (4), wenn dort xq z= l gesetzt 
wird, das Potential eines homogenen Ellipsoids: 



(6) 



F — r A _ ^' _ y' _ ^* \ «ff 



worin A eine Function von x, y, e ist, die für die Punkte der 
Oberfläche verschwindet, und D die Bedeutung hat: 



^=y('+^)('+ö(>+?> 

Hieraus ergiebt sich 

X = -^-f = — xXo, 
ex 

worin X^ eine Function von x ist, die für einen Punkt der Ober- 
fläche in eine Constante 

er» 

ds 



(7) -^ = ^ [ 



(a« 4- s) D 



übergeht. Es ist femer, immer für einen Punkt der Oberfläche 

[§. 107 (11)1 

8X __ _, 2^ »A 
dx ~ ^+ a2 dx 

cX 2x dk 

dy a2 dy 

dX _ 2xdk^ 

dz ~ a2 dz 

dX y. dx .2x dk 

■gn" ~ "" ^ Ön "T" oä" gn ' 

Femer ist nach (4) und §. 107 (14) 

^dT^=^ 



und folglich 



§. 149. Ein permanenter Magnet im magnetischen Felde. 371 
ixnd folglich 

Entsprechende Formeln gelten für Y und Z, wenn wir 

00 00 



setzen. 

Hiemach erhalten wir nach (1) und (2) lür die Punkte der 
Oberfläche: 

9a = - (^ + aXo)x -{B + ß Yo)y - (C + yZo)s;, 

"^iiid femer nach (8): 

p 1^ = - [^ + a(Xo - 4)] J, - [5 + ^(Fo - 4)] -y- 

Tind daraus ergeben sich die sechs Gleichungen zur Bestimmung 
der Constanten a, /3, y^ o^, /S^, 7^^: 

(10) B + ^ro + ft = o, B + ^(ro-4) + ^^, = 0, 

C + y Zo + yi = 0, C + y (Zo - 4) + fty, = 0. 

Es ist also auch hier die inducirte magnetische Kraft und 
daher auch die Polarisation im Inneren des EUipsoids nach Rich- 
tung und Grösse constant. 



§. 149. 
Ein permanenter Magnet im magnetischen Felde. 

Wir betrachten jetzt ein beliebiges magnetisches Feld, dessen 
Magnetisirungscoustante ft = 1 ist, in dem das magnetische 
Potential O herrscht, das der Differentialgleichung ^0 = ge- 
nügen soll, so dass die Componenten der magnetischen Kraft 

24* 



372 Siebenzehnter Abschnitt §. 149-. 

cO dO ^4> 

^ ^ ex cy oe 

sind. In dieses Feld werde nun an irgend einer Stelle ein per- 
manenter Magnet M gebracht, den ^ir der Kürze wegen die-s 
Bussole nennen wollen. Durch das Einbringen dieses Körpers 
wird das gegebene Magnetfeld verändert, und es ergiebt sie 
wenn r die Entfernung eines Punktes x, y, z des Feldes vo 
einem Punkte in M ist, und 



(2) 9 = f? 



dz 



gesetzt wird, für das Potential in dem veränderten Felde 

(3) x = 0-^^, 

denn durch diese Function sind alle Bedingungen des magne- 
tischen Gleichgewichtes befriedigt Es ist dabei vorausgesetzt,, 
dass überall fi = 1 ist, dass sich also z. B. keine Massen von 
weichem Eisen im Felde befinden; angenähert wird aber der 
Ausdruck (3) auch für diesen Fall noch gelten, wenn wir an- 
nehmen, dass die Bussole so klein und in solcher Entfernung 
von diesen Körpern sei, dass sie keinen merklichen Einfluss auf 
die magnetische Induction hat. 

Wir schliessen nun die Bussole durch eine I^läche ein, 
die iiusser ihr keinen permanenten Magneten enthält, und be- 
rechnen die magnetische Energie, die in dem von dieser Fläche 
umschlosseneu Iheile des Feldes enthalten ist. Hierfür erhalten 
wir nach §. 145 (4) 

(4) T=-g^fdivr»tdr-^|a;^zdr. 

Auf das erste dieser Integrale wenden wir den Gauss'schen 

Satz an und erhalten dafür, da %^l nicht an Flächen unstetig 

ist, nach §. 144, I. 

1 • ■^ 

b^ } c n 

worin n die an der Oberfläche nach aussen gezogene Normale 
bedeutet und die Integration über alle Elemente do dieser 
Fläche zu erstrecken ist. 

In dem zweiten Integrale der Formel (4) ist nach §. 145 (I) 

^X = z/9? = — 43riM, 



f. 149. Ein permanenter Magnet im magnetischen Felde. 373 
Lud wir erhalten danach 

vorin das Integral nach dt nur über den Magneten M zu er- 
strecken ist. 

Der Einfachheit halber nehmen wir jetzt die Oberfläche 
atls Kugelfläche mit dem Radius B an, deren Mittelpunkt irgendwo 
in der Bussole liegen mag. Wir nehmen aber femer die Bussole 
als unendlich klein an; genauer ausgedrückt, wir setzen voraus, 
dass an der Oberfläche dieser Kugel und darüber hinaus eine 
Bewegung der Bussole keinen merklichen Einfluss mehr auf das 
Feld hat, und dass dabei doch die Kugel als so klein angenommen 
werden kann, dass in ihrem Inneren die Componenten X, F, Z 
der magnetischen Kraft des Feldes als constant angesehen werden 
können. Dann können wir im Inneren der Kugel 

(6) o = ^ Xx— Yy -' Zz, 

und an ihrer Oberfläche 

n\ n. — «^ + /3y + yz 

(7) <P = — ^3 

setzen, wenn a, /3, y die magnetischen Momente der Bussole sind. 
Bezeichnen wir mit do ein Element der Einheitskugel und mit 
1, q, % seine Coordinaten, so ist für das Element do\ 

X = R^, y = Bri^ ;8r = üg, do = ü^doj, 

und man findet leicht durch Integration mittelst Polarcoordinaten 
oder auf anderem Wege 

(8) j l^doj = j ri^d^ = j g^dcö = ^, 

(9) [ rilda = f t^dto = | liydoj = 0. 
Es ist ferner an der Fläche 

* = - R{Xi + Xf} + zt), II = - (Xi + ri? + zt). 

\J Im 

_ a|_+^5_+_y| ^ J^ _ _ 2( ag 4- /?iy + y%) 

und daraus ergiebt sich, wenn man Glieder der Ordnung R-^ 
unberücksichtigt lässt, §. 146 (3): 



374 Siebenzehnter Abschnitt. §. 149. 

I xmdx = I q>mdt — (Xa -|- Yß -\- Zy), 



1 



X IJ do = + ^ ij" (x^ + r= + z') 

+ ^ (X« + X/J + Zy). 



Bezeichnen wir mit l das Hauptmoment der Bussole und 
zugleich die Richtung seiner Axe, ferner mit L die Grösse und 
Richtung der magnetischen Kraft X, Y, Z, so ist also 

T = 1 f tpmdx + i. R'U — ^ LI cos (L, T). 

Hierin ist das erste Integral das Potential des Magneten M 
auf sich selbst, und daher unabhängig von der Lage dieses 
Magneten. Der Theil, der allein von der Lage abhängig ist, 
und dessen Vergrösserung also den zu einer Lagenänderung 
erforderlichen Arbeitsaufwand misst, ist daher 

(10) Ti = — 4- ^^ cos (L, l). 

ö 

Ist z. B. L die erdmagnetische Kraft, und nehmen wir an, 
der Magnet sei um eine durch seinen Schwerpunkt gehende ver- 
ticale Axe drehbar, während die magnetische Axe in der Hori- 
zontalebene bleibt, so ist, wenn i die magnetische Inclination, 
^ den Winkel bedeutet, den die Axe des Magneten mit dem 
magnetischen Meridian bildet: 

Ti = — -^r LI cos» cos^, 

oder, wenn 

II = L cos i 

die horizontale Componente des Erdmagnetismus ist: 

Ti = — ^ III cos^. 

o 

Wenn nun der Magnet in Schwingungen versetzt wird, so 
ergiebt sich aus dem Satze von der lebendigen Kraft, da hier- 
bei gegen die Schwerkraft keine Arbeit zu leisten ist, wenn t 
die Zeit und K das Trägheitsmoment des Magneten bedeutet: 

^ ^ {^y = jHlcos»-^ const. 
und durcli Differentiation 



f. 150. Magnetische Doppelflächen. 375 

Der Magnet schwingt also wie ein einfaches Pendel, dessen 
Länge 8 = gKI\Hl ist, wenn g die beschleunigende2^ Kraft der 
Schwere bedeutet. 

Nach §. 144 (5) ist hier die Einheit der magnetischen Kraft 
dadurch bestimmt, dass sie in der Volumeneinheit die Einheit der 
Arbeit hervorbringt Sie hat nach jener Formel die Dimension 

[M\ = \m^ir^^i~^\ Dies ist das absolute Gauss'sche 
Maass des Magnetismus^). 



§. 150. 
Magnetische Doppelflächen. 

Wir wollen jetzt noch einen Fall betrachten, der zwar 
nicht unmittelbar realisirbar ist, aber wegen seiner Beziehung 
zu der Theorie der elektrischen Ströme von grosser Bedeu- 
tung ist. 

Wir nehmen an, es sei in einer dünnen Schicht von der 
Dicke n, die sich über ein Oberflächenstück hinlagert, per- 
manenter Magnetismus von der Dichte m ausgebreitet, und 
zwar so, dass nicht nur die Gesammtmenge des wahren Magne- 
tismus verschwinde, sondern dass auch in jedem einzelnen, 
über einem Flächenelement do stehenden Prisma ndo die Menge 
des wahren Magnetismus Null sei. Ist dann R die Entfernung 
eines Raumpunktes p von einem Punkt q dieses permanenten 
Magneten, so ist das Potential des Magneten im Punkte p 



(1) 9 = \\ 



n 

mdodv 



R 



worin v den Abstand eines variablen Punktes auf der Normalen 
in do^ in einer beliebigen Richtung positiv gerechnet, bedeutet. 
Bei feststehendem do ist iJ eine Function von v, und wir 
können, wenn wir n unendlich klein und p in endlicher Ent- 
fernung von annehmen, nach dem Taylor'schen Lehrsatz 



^) Gauss, „Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absoln- 
tum revocatur". Werke, Bd. V. 



376 



Siebenzehnter Abschnitt. 



§. 150.^ 



R ~ r'^ dv ^ 



setzen, wenn r die Entfernung des Punktes p vom Element do < 
ist. Dies giebt, in (1) eingesetzt, da nach der Voraussetzung ^ 

do \nidv verschwindet: 



(2) 



9 = 



1 



c 



do 



cv 



mvdv. 



Wenn wir nun 



(3) 



= 1 



mvdv 



setzen, so ist 17 do das nach der Richtung v geschätzte Moment^^ 
des über do stehenden Elementarmagneten, und wir erhalten 



(^) 



9) = 



. 1 

o — 

rj — do. 
' dv 



Hierin ist rj eine Function des Ortes auf der Fläche und 
der Ausdruck (4) ist das Newton'sche Potential einer Doppel- 
belegung mit den Massendichten 17 (§. 100). 

Wir nennen eine solche Fläche eine magnetische 
Doppel fläche. An ihr ist die Function tp nicht mehr stetig, 
sondern es ist, wenn wir die Wertbe von 9 auf beiden Seiten 
der Fläche durch 9+ und 9"- unterscheiden, nach §. 104 (14): 

(5) 9+ — tp" = — 4nrj, 

Wenn daher in einem irgendwie beschaffenen magnetischen 
Felde solche Doppelflächen vorkommen, so müssen die Grenz- 
bedingungen, die zur Bestimmung des Gleichgewichtszustandes 
dienen, dahin erweitert werden, dass die Function q> nicht mehr 
stetig ist, sondern an diesen Flächen der Bedingung (5) genügt. 



Achtzehnter Abschnitt. 
Elektroklnetlk. 



§. 151. 
Elektrische und magnetische Ströme. 

Wir haben im fünfzehnten Abschnitt gesehen, dass der elek- 
trische Zustand eines nichtleitenden Feldes bestimmt ist durch 
den elektrischen Kraftvector @, dem die elektrische Verschiebung 
$ nach der Formel 

(1) 3) = ^-L6 

entspricht Wenn sich der elektrische Zustand mit der Zeit ver- 
ändert, so wird zu dem Kraftvector ein neuer Kraftvector hin- 
zutreten, den wir mit 

dt 

bezeichnen können, und dieser wird eine Verschiebung hervor- 
bringen, die nach (1) durch den Vector 

(2) ^dt = -^^dt 

^ ^ 4tn dt 

dargestellt werden kann. 

Den Vector © nennen wir den elektrischen Strom, der 
im Felde stattfindet, und sein Tensor S heisst die Strom - 
dichte. 

Ebenso bezeichnen wir, wenn in einem magnetischen Felde 
der Kraftvector 2R veränderlich ist, den Vector 

(3) © = jlP 

^ ' in dt 



378 Achtzehnter Abschnitt. §. 151. 

als den magnetischen Strom. Wenn es erforderlich ist, unter- 
scheiden wir den elektrischen und den magnetischen Strom durch 
die Bezeichnung @«, ©♦». 

Anders verhält sich aber die Sache bei den Leitern der 
Elektricität. Für den Gleichgewichtszustand haben wir an- 
genommen, dass in einem Leiter elektrische Kraft und elektrische 
Verschiebung gleich Null sein müssen. Dieser Zustand ist aber 
nicht nothwendig mit der Natur des Leiters verbunden, sondern 
er ist nur dem elektrischen Gleichgewicht eigenthümlich. Die 
Elektrokinetik geht von folgender Vorstellung aus. Wenn eine 
elektrische Kraft im Leiter vorhanden ist, die eine ihr propor- 
tionale Verschiebung hervorgerufen hat, so hat die elektrische 
Kraft die Tendenz, im Laufe der Zeit dahin zu schwinden. 
Der Spannungszustand löst sich allmählich, und zwar um so 
schneller, je besser das Leitungsvermögen des Körpers ist ^). 

Bei einem isotropen Körper nehmen wir an, dass eine vor- 
handene elektrische Kraft ohne Zufuhr von neuer Kraft in dem 
Zeitelement dt einen Verlust erleide, der der Grösse der Kraft 
selbst und der Zeit dt proportional ist, ohne dass sich die Rich- 
tung der Kraft verändert 2). 

Bezeichnen wir also mit @ den Kraftvector, mit eine dem 
Leiter eigenthümliche Gonstante, die (bei inhomogenen Körpern) 
auch eine Function des Ortes sein kann, so ist ohne Zufuhr von 
neuer Kraft im Verlaufe der Zeit dt 

(4) 6 in 6 (1 — @dt) 

übergegangen. Wird aber eine weitere Kraft &dt hinzugefugt, 

so wird 

6 in 6 (1 — @dt) + &dt 

übergehen, und es ist daher die Zunahme von @ auf die Zeit- 
einheit berechnet 



^) Um ein Bild des Vorganges zu haben, denke man sich etwa eine 
elastische Feder um ein gewisses Stück zusammengedrückt, und dann die 
elastische Kraft allmählich erlahmen. Um die Spannung wieder herzu- 
stellen, muss ein weiteres Zusammendrucken der Feder erfolgen. 

*) Bei krystallinischcn Substanzen könnte das Verhältniss anders sein, 
man müsste im Allgemeinen den Verlust an Kraft gleich einer linearen 
homogenen Function der drei Kraftcomponenten setzen. Die Leitungs- 
fahigkeit würde sich dann in verschiedenen Richtungen verschieden er- 
geben. 



. 151. Elektrische und magnetische Ströme. 379 

<5) ^ = g'_06. 

Die Kraft &dt ruft nun eine gewisse elektrische Verschie- 
T>UDg ®dt hervor, und es ist nach der fundamentalen Annahme 

<G) ^ = T- 6'- 

Setzen wir also noch 

80 ergiebt sich aus (5) und (6) 

Dieser Vector ist es, der für den Fall eines Leiters als der 
elektrische Strom bezeichnet wird. 

Der Vector @ ist aus zwei Theilen zusammengesetzt, von 
denen der eine 

(9) 3 = A6 

der Leitungsstrom genannt wird, während zum Unterschied 
hiervon @ der wahre Strom heisst. 

Der absolute Werth Jyoh 3 heisst die Dichte des Leitungs- 
stromes. Der Factor k wird die Leitfähigkeit der Substanz 
genannt Sie kann eine Function des Ortes sein und hat die 
Dimension einer reciproken Zeit. Sie kann auch noch von 
anderen Umständen, z. B. von der Temperatur, abhängig sein. 
Die Constante ist gleichfalls eine reciproke Zeit und ihr reci- 
proker Werth 1/0 heisst die Relaxationszeit. 

Die Formel (9) enthält das Ohm'sche Gesetz, welches 
besagt, dass die Stromdichte der elektrischen Kraft und der 
Leitfähigkeit proportional ist 

Ist @ die zur Zeit t vorhandene elektrische Kraft, so ist 
nach §. 126 die im Element dv enthaltene Energiemenge 

(10) dT = ^ E^dt. 

Von dieser Energie geht aber nach (4) in dem Zeitelement 
dt ein gewisser Theil dQdt verloren, und, da man die zweite 
Potenz von dt vernachlässigen darf, so ist 

(11) dQ = -^ 0E^dt = XE^dt. 



380 Achtzehnter Absohnitt. §. 151 

Diese Energiemenge ist aber nur für die elektrischen Er- 
scheinungen verloren und muss sich nach dem Princip von der 
Erhaltung der Energie in einer anderen Form wiederfinden. In 
metallischen Leitern nimmt sie die Form von Wärme an 
(Joule'sche Wärme). Nach (11) und (9) ist 

(12) 17 = r «^^ = ^'"^'' 

wenn «? = 1/A der reciproke Werth der Leitfähigkeit oder der 
specifische Widerstand der Substanz ist. Die Formel (12) 
enthält das Joule'sche Gesetz, nach dem die in der 
Volumeneinheit in der Zeiteinheit durch den elektri- 
schen Strom erzeugte Wärme mit dem Quadrat der 
Stromdiclite und mit dem specifischen Widerstände pro- 
portional ist. 

Wenn sich die elektrische Kraft mit der Zeit verändert, so 
ist die auf die Zeiteinheit berechnete Zunahme der elektrischen 
Energie in dem Volumenelement dv 

und daraus ergiebt sich nach (8) und (11) 

(14) ^+clQ = (S. E, -\-SyEy + S,E,) dx. 

Der Stromvector © stellt also eine elektrische Ver- 
schiebung dar, entsprechend einer Arbeitsgrösse der 
elektrischen Kraft, die der Zunahme der elektrischen 
Energie, vermehrt um die verlorene Energie, gleich- 
werthig ist. 

Für den Magnetismus sind Erscheinungen, die der Leitung 
der Elektricität entsprechen, nicht bekannt, und hierin besteht 
wieder eines der Unterscheidungsmerkmale zwischen Elektricität 
und Magnetismus. 



§• 152. Die Maxweirschen Grandgleiohungen. 381 



§. 152. 

Die MaxwelTschen Grundgleichungen des Elektro- 
magnetismus. 

Ist nun, wie im vorigen Paragraphen, © der wahre Strom 
in einem elektrischen Felde, so nehmen wir jetzt eine berandete 
Fläche mit der in einer beliebigen der beiden Richtungen 
positiv gerechneten Normalen i/, und bilden das Integral 



(1) j = 1 



S,do 



über diese Fläche. Das Integral heisst die Stärke oder In- 
t-ensität des durch die Fläche fliessenden elektrischen 
Stromes. 

Nehmen wir z. B. einen sogenannten linearen Leiter, d. h. 
einen Leiter in Form eines Drahtes, dessen Querdimensionen als 
unendlich klein gegen die Längendimensionen betrachtet werden 
können, so- ist, wenn v in der Axe dieses Drahtes gemessen wird, 
und q den Querschnitt bedeutet: 

(2) j = q Sr, 

die Intensität des in diesem Drahte fliessenden wahren Stromes. 
Auf diese Formel kommt man, wenn man in (1) das Flächen- 
stück unendlich klein annimmt, und mit q zusammenfallen 
lässt, und in diesem Sinne gilt sie an jeder Stelle des elek- 
trischen Feldes, welche Lage auch das Flächenelement q haben 
mag. 

Die Begriffsbildung, die allen diesen Betrachtungen zu Grunde 
liegt, hat den Zweck und setzt also die Möglichkeit voraus, die 
Erscheinungen, die durch die Beobachtungen der Physiker seit 
lange bekannt sind, darzustellen. Wir machen also auch die 
Annahme, dass der Ausdruck (2) den Vorgängen entspricht, wie 
sie in einem von einem elektrischen Strome durchflossenen Leiter 
stattfinden, wenn j die Bedeutung hat, die man schon früher 
der Stromintensität in einem solchen Leiter beilegte. Die elek- 
trischen Ströme haben aber, wie längst bekannt ist, magnetische 
Wirkungen, und durch diese lässt sich sogar die Stromintensität 
messen. Die Erfahrung zeigt nun,- dass in der Nähe eines 
linearen Leiters ein der Stromintensität proportionales magne- 



382 Achtzehnter Abschnitt. §. 152. 

tisches Kraftfeld entsteht, in dem die Kraftrichtung in einer 
auf der Stromrichtung senkrechten Ebene liegt und so gerichtet 
ist, dass ein Fortschreiten in der Stromrichtung, verbunden mit 
einer gleichzeitigen Drehung in der Richtung der magnetischen 
Kraft, eine Rechtsschraubung ergiebt (Ampere'sche Regel). 
Wenn wir daher den Rand s der Begrenzung von q in dem 
Sinne durchlaufen, dass ein positives dv und ein positives ds 
eine Rechtsschraubung ergeben und mit ^ den magnetischen 

Kraftvector bezeichnen, so ist das Integral I Jlf«ds eine mit ^ 

proportionale Grösse, und wir setzen also 

(3) 4»gS, = c \ M,ds, 

worin c eine Gonstante ist. Setzen wir noch für den Augen- 
blick 

curlTO = 6, 

so ist nach dem Stokes'schen Satze (§. 89, II.) 



f M,ds = [ Cdo, 



und es ergiebt sich also, wenn wir q als unendlich klein an- 
nehmen, aus der Vergleichung mit (3) 

4ä& = cC, 
oder die erste Maxweirsche Gleichung 

I. • ccurlTO = 4»©« = 6 II 4- 4»A6, 

et 

wenn ©« der wahre elektrische Strom ist. 

Hierzu kommt noch eine zweite ähnliche Gleichung, durch 
die der magnetische Strom aus dem elektrischen Kraftvector ab- 
geleitet wird. Zu dieser zweiten Gleichung kann man durch 
ähnliche physikalische Erwägungen gelangen, die sich auf das 
Faraday' sehe Gesetz für dielnduction eines elektrischen Stromes 
durch eine Veränderung im Magnetfelde stützen i). Wir wollen 
uns hier auf die Reciprocität stützen, die zwischen Elektricität 
und Magnetismus besteht, und demgemäss diese zweite Gleichung 
nach der Analogie der Gleichung I., zunächst als Hypothese, 
bilden : 



*) lleaviside, Electrical papers, Vol. I, Art. 30. 



§. 152. Die Maxwell'sohen Grandgleichangen. 383 

EL ccurlß = — 4ä©"* = — u -— -, 

et 

wenn @ den elektrischen Kraftveotor, und <3"* den magnetischen 
Strom bedeutet Dass die Constante c in den beiden Formeln 
L und IL dieselbe sein muss, und dass auf der rechten Seite von 
IL das negative Zeichen stehen muss, lässt sich, wie wir gleich 
zeigen werden, aus dem Princip von der Erhaltung der Energie 
ableiten. 

Bezogen auf ein directes rechtwinkliges Goordinatensystem 
lassen sich die Formeln I. und U. auf Grund der im §. 150 -/s-'f 
gegebenen Ausdrücke für & und @*^ explicite so darstellen: 

fP^\ ^ ( 'dEx dEgX dMy i ^ cm 

'\-dr--dv) ''~t *"^' 

und diese Gleichungen haben die beiden anderen zur Folge 
(6) div @« = 0, div ©"• = 0. 

Unter der elektromagnetischen Energie des Feldes ver- 
stehen wir die Summe aus der elektrischen und der magnetischen 
Energie und es ist also an der Stelle des Volumenelementes dt 
die auf die Volumeneinheit berechnete Energiemenge 

Dieser Ausdruck gilt aber, wenn für Energiegrössen das 
übliche Maass [mZ^f"~^J angewandt wird, nur unter der Vor- 
aussetzung, dass für Elcktricität und Magnetismus das elektro- 
statische und Gauss'sche Maasssystera angewandt wird, 
und demnach haben E und M die Dimensionen [m^^^V^^^t"^], 



384 Achtzehnter Abschnitt. §. 15a. 

Die Dimension von c ist hiemach [Z^~^], d. h. c ist eine Ge- 
schwindigkeit, und die Beobachtungen haben das merkwürdige 
Resultat ergeben, dass c gleich der Lichtgeschwindigkeit 
im leeren Räume ist (SOO.lO^cm/sec.) i). 



§. 153. 
Der Energievector. 

Nach (7) des vorigen Paragraphen ist die in irgend einem 
Raumtheile r zur Zeit t enthaltene elektromagnetische Energie 
dargestellt durch das über diesen Raumtheil erstreckte Integral 

(1) T = |[^ (El + £2 + je:») + ^ im +MS +Jlf|)] dt. 

Die Zunahme der elektromagnetischen Energie in dem 
Zeitelement dt ist daher, auf die Zeiteinheit berechnet 

Drücken wir hierin die Differentialquotienten d Ex/dt,,. 
dMx/dt, ... nach §. 152 (4), (5) durch die Componenten des 
elektrischen und magnetischen Stromes aus, so folgt: 

+ j{M,s: + Mys; + M.s;) dt, 

und nach §. 151 (11) ist das Integral 



Q = f lE^dt, 



die auf die Zeiteinheit berechnete im Zeitelcment dt nach dem 
Joule'schen Gesetz erzeugte Wärmemenge. Hiernach ist der 
Ausdruck 



') Wenn man cE durch E ersetzt, bo wird in den Formeln (2) c= 1, 
während in (1) c' an Stelle von c zu setzen ist. Daun erhält das neue E 

die Dimension [tn^* l^* i~^]. Dies ist das elektromagnetische Maass für 
die elektrische Kraft. 



§. 158. Der Energievector. 385 

der Energiezuwachs, den der Raumtheil r im Zeitelement dt 
erfahren hat (berechnet auf die Zeiteinheit). 

Wenn wir hierin für dieS*,5^ die Ausdrücke aus denMax- 
-weirschen Gleichungen [§. 152 (4), (5)] einfuhren, so nimmt der 
Ausdruck unter dem Integralzeichen die Form an: 

... _£_ [- 8 {E,My — EyM,) 8 {E,M, — E,M,) 

^^ 4ä L ex "• 8y 

"^ dz ' y 

und wir fuhren also einen Vector^ ein, den wir den Energie- 
yector nennen wollen, dessen Gomponenten sind 

H^ = EyM, —E,My, 

(6) IIy = E,M.-E,M,, 

H, — E:,My — EyM^. 

Dann erhält man aus (4) 
oder nach dem Gauss 'sehen Integralsatz 

wenn do ein Element der Grenzfläche von r und n die nach 
innen gerichtete Normale bedeutet. 

Diese Formel rechtfertigt die Bezeichnung von ^ als Energie- 

vector. Wenn wir uns nach §. 85 den Vector -— - ^ durch die 

Strömung einer Substanz veranschaulichen, so drückt das Integral 

■r- 1 Hndo die in der Zeiteinheit durch die Oberfläche von r 
4ä J 

hindurchgegangene Menge dieser Substanz aus, und diese ist 

also nach (8) gleich dem Zuwachs an Energie, den der Raum 

T in der gleichen Zeit erfahren hat^). Wir erörtern hier nicht 



^) J. H. Pointing, Phil. Transactions, 1884, II, S. 343. 

Rieman D-Weber, Partielle Differentialgleichungen. 25 



386 Achtzehnter Abschnitt. §. 153. 

die noch bestrittene Frage, in wie weit man dieser Vorstellung 
eine physikalische Bedeutung beilegen kann, mit anderen Worten, 
in wie weit man die Energie als eine Substanz betrachten darf. 
Die Gleichung (8) soll hier nur als eine mathematische Folge- 
rung aus den Maxwell' sehen Gleichungen betrachtet werden, 
die uns sehr wichtige Schlüsse über die Integration dieser Glei- 
chungen gestattet. 

Ehe wir dazu übergehen, diese Schlüsse zu ziehen, leiten wir 
aus (6) die Gleichungen ab: 

^^^ E.Ih + EyHy + E.H. = 



(10) H = y/yj + i?J + H! = EM sin (6, 9R), 

wenn (6, 2)i) den Winkel zwischen den Richtungen der beiden 
Kraftvectoren 6 und 5R bedeutet. 

Hieraus schliessen wir, dass der Energievector 
senkrecht steht auf dem elektrischen und dem 
magnetischen Kraftvector, und zwar so, dass 
^, @, W ein Reohtssystem bildet, und dass 
die Intensität H des Energievectors gleich dem 
Product der Intensitäten von @ und von 9H und 
dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Win- 
kels ist. 

Bei der Anwendung des Gauss' sehen Satzes in der Formel 
(8) ist vorausgesetzt, dass der Energievector im ganzen Gebiete 
endlich und stetig ist; kommen Punkte, Linien oder Flächen 
vor, in denen diese Voraussetzung verletzt ist, so muss man diese 
zunächst durch Hüllen von dem Gebiete r ausschliessen , und 
wenn man dann bei unendlicher Annäherung einer solchen Hülle 
an dem Unstetigkeitsort in (8) einen endlichen Beitrag erhält, 
so hat man diese Stellen als (positive oder negative) Energie- 
quellen zu betrachten. Hat man z. B. in dem Gebiete v eine 
Fläche, in der H^^ Hy^ Hg unstetig sind, so rechne man beide 
Seiten dieser Fläche zur Begrenzung, und wenn sich dann 
die Normalcomponente i/» beim Durchgange durch die Fläche 
unstetig ändert, so ist die Fläche als eine Energiequelle zu 
betrachten. 



£. 154. Das Energieprincip. 387 



§. 154. 
Das Energieprincip. 

Betrachten wir ein unendliches Feld, in dem die elektrischen 
und magnetischen Kräfte im Unendlichen so verschwinden, wie 
wir eB im fünfzehnten und siebenzehnten Abschnitt [§. 126 (12), 
§. 144] für solche Felder angenommen haben, so verschwindet 

das Integral I H^do^ wenn wir den Raum r ins Unendliche aus- 
dehnen und die Formel §. 153 (8) giebt, wenn T die gesammte 
Cnergie des Feldes ist, in Uebereinstimmung mit dem Satze von 
der Erhaltung der Energie 

(1) ^+« = 0- 

Die Gesämmtenergie des Feldes bleibt also in der Zeit un- 
geändert. 

Es lässt sich nun leicht zeigen, dass mit dem Princip von 
der Erhaltung der Energie nur die Annahme verträglich ist, dass 
der Factor c in den beiden Systemen §. 152 (4), (5) denselben 
Werth hat 

Ersetzen wir nämlich diesen Factor in dem System (5) durch 
c' und bezeichnen mit (7,, (7y, C, die Componenten des Curls 
der magnetischen Kraft, so erleidet die Betrachtung des vorigen 
Paragraphen nur eine kleine Aenderung, und es folgt für ein 
unendliches Feld 

^ + $ = ?l^ I (i; a +EyCy + F.C.) dt. 

Nun können wir uns den Anfangszustand beliebig gegeben 
denken , und wenn wir also am Anfang (für ^ =r 0) jE« = C«, 
Ey = Cy, Eg = Cm setzen, so ist für ^ = 

ist also der Curl der magnetischen Kräfte am Anfang nicht = 0, 
und c' von c verschieden, so würde gleich zu Anfang ein Verlust 
oder ein Gewinn an Energie eintreten, was dem Energieprincip 
widerspricht. Es ist also mit diesem Princip nur die Annahme 
c = c! verträglich. 

25* 



388 Achtzehnter Abschnitt. §. 155. 



§. 155. 

Wirkung der elektrischen Kraft auf Elektricitäts- 

mengen. 

Wir betrachten jetzt ein beliebiges elektrisches Kraftfeld, das 
constant oder mit der Zeit veränderlich sein mag, und in diesem 
Felde sei in einem bestimmten Augenblicke eine Vertheilung der 
wahren Elektricität mit der Dichte q gegeben, die irgend eine 
Function des Ortes sein kann. Der Einfachheit halber sehen 
wir hier von flächenhafter Vertheilung der Elektricität ab. 

Wir geben nun einem Theil des Feldes eine infinitesimale 
Deformation, indem wir den Goordinaten x^ y, xr eines Punktes 
die Aenderungen dx, dy, djg ertheilen, von der wir voraus- 
setzen, dass keine räumliche Dilation stattgefunden habe, dass 
also 

^^ dx ^ dy ^ d£i ~ 

sei. 

Die räumliche Dichtigkeit g der Elektricität verschieben wir 

zugleich mit dem Raumpunkte x^ j/, js, dem sie angehört, so dass 

an der Stelle x, y, js nach der Verschiebung die Dichtigkeit 

(2) Q -- TT^ öx — :r^ dy — ^ dis 

^ ^ ^ ex dy ^ dz 

dgSx dgdy dgSz 

~" ^ dx 8y ä7" 

herrscht. 

Wir können uns diesen Vorgang dadurch veranschaulichen, 
dass wir uns die Elektricität als eine incompressible Substanz 
vorstellen, die aber an verschiedenen Stellen verschiedene Dich- 
tigkeit hat, und dass wir dieser Substanz eine infinitesimale 
Deformation ertheilen. 

Ausserhalb eines begrenzten Raumtheiles z soll die Ver- 
schiebung dx^ öy^ dz Null sein. 

Die durch die Formel (2) ausgedrückte Dichtigkeitsänderung 
können wir aber auch durch einen elektrischen Verschiebungs- 
vector ö3) hervorrufen, und zwar auf unendlich viele verschiedene 
Arten. Dazu muss die Bedingung erfüllt sein (§. 126) 



§. 155. Wirkung der elektrlBchen Kraft. 389 

dx dy dg ■ 

oder 

^^^ "8^ + d^ + 8i =^- 

Diese Gleichung besagt aber nach §. 94, dass es einen Vector 
9( geben muss, so dass 



dDx = — q8x -|- 



dAg dAy 
~8y dF 



(4) ,!,, = _,«, + ^_^, 



ÖDg = — QÖZ -f- 



dAy dAx 



dx dy 

Durch diese Verschiebung wird nun im elektrischen Felde 
ein Energiezuwachs von der Grösse 

(5) dT= [ {E^dDx + EydDy + EgdDg) dz 

hervorgerufen. 
Es ist aber 

^ /dAg dAy\ . ^ /dA:c dAg\ , ^ /dAy dAx\ 

^' VW ■" "aF; + ^«^ V-äF " -0F; + ^' \JF - -w) 

(oEy dEA (oEg dEA , . /8J5;, 8^:^ 

und hieraus ergiebt sich, wenn wir annehmen, dass @ und 91 
jenseits des Raumes r verschwinden, nach den Gleichungen 
§. 152 (5) 

dT= — { Q {E^8x-{- Ey8y -{-E,8z) dx 



-fK^^'+^^'+^^-)'"- 



Wenn die magnetischen Kräfte mit der Zeit unveränderlich 
sind, so bleibt nur der erste Theil dieses Ausdruckes bestehen, 
und er besagt, dass zur Verschiebung der Elektricitätsmenge 
pdr = c in der Richtung 8x ein Arbeitsaufwand von der 
Grösse 



390 Achtzehnter Absohniit. §. 156. 

(6) eEjcSx = eE cos(E,x)dx 

erforderlich ist, und es ist also keine elektrische Arbeit zu leisten, 
wenn die Verschiebung senkrecht zur Richtung von 6 erfolgt 
Die Grösse dieser Arbeit ist von dem Vector 9 nicht abhängig. 

Diese Ergebnisse können wir auch so aus- 
drücken, dass der elektrische Kraftvector 
6 eine Elektricitätsmenge e in seiner Rich- 
tung mit der Intensität eE fortzubewegen 
sucht 

§. 156. 

Eindeutigkeit der Lösung der MaxwelTBchen 

Gleichungen. 

Die Darstellung des Energiezuwachses, die wir in §. 154 
gegeben haben, lehrt uns ein System von Bedingungen kennen, 
durch die die Vectoren 6 und ^l eindeutig bestimmt sind. 
Hierzu dient uns die Bemerkung, dass die gesammte elektro- 
magnetische Energie eines Systems nur dann gleich Null sein 
kann, wenn die Kraftcomponenten E und M überall identisch ver- 
schwinden. 

Wir machen zunächst immer die Annahme, dass, wenn sich 
das Feld ins Unendliche erstreckt, dort die Bedingungen der 
§§. 126, 144 erfüllt seien. Ferner schliessen wir den Fall aus, 
dass die Kraftcomponenten Ey M in Punkten oder Linien un- 
endlich oder unstetig werden. Da wir aber den Fall nicht 
ausschliessen dürfen, dass das Feld aus verschiedenartigen Stoffen 
besteht, so müssen wir Unstetigkeiten an Flächen für il, £, §1 
zulassen. 

Für diesen Fall machen wir die Annahme: 

1. An jeder Fläche im Felde r ändern sich die 
tangentialen Gomponenten der Vectoren 6, 3Sl 
beim Durchgange stetig. 

Die Normalcomponenten En. J/n müssen nach dieser Vor- 
aussetzung an einer Fläche, in der £, A, ^ unstetig sind, in einer 
gewissen Weise unstetig werden, die durch die Max weil* sehen 
Gleichungen selbst näher bestimmt ist. 

Aus dieser Voraussetzung folgt, dass die Normalcomponente 



§. 156. Eindeutigkeit der Lösang etc. 391 

JIn des Energievectors bei Durchgang durch die Fläche stetig 
bleibt, wie man sieht, wenn man in §. 153 (6) die ^-Axe mit der 
Flächennormale zusammenfallen lässt, und es ist also die Formel 
§. 153 (8) anwendbar. 

Wenn in irgend einem Augenblick, von dem aus wir die 
Zeit zählen, in dem also ^ = ist, die sechs ComponentenJ5j,^y,-B,, 
Mx^ My, Mg beliebig gegeben sind, so werden durch die Max- 
well' sehen Gleichungen [§. 152 (4), (5)] die Veränderungen 
dieser Functionen in der Zeit bestimmt, wenn noch gewisse Be- 
dingungen an den Grenzen hinzukommen. 

Wir nennen das System der Werthe J5;, -3f für ^ = den 
Anfangszustand, und beweisen zunächst, indem wir immer die 
allgemeinen Voraussetzungen, die wir oben formulirt haben, fest- 
halten: 

2. In einem unbegrenzten Felde ist durch den An- 
fangszustand der weitere Verlauf der Erschei- 
nung vollständig bestimmt. 

Haben wir nämlich zweiVectorenpaare6,2)i; 6',9Jl', die dem- 
selben Anfangszustande entsprechen, so ergiebt sich ein dritter 
6" = e — 6', W = m— W, der dem Anfangszustande Null 
entspricht, d. h. dem Zustande, in dem alle Gomponenten Null 
sind. Für diesen ist also auch der Anfangs werth Tq der Energie 
gleich Null und aus §. 154 (1) ergiebt sich durch Integration 
nach der Zeit 

T + [ Q(U = 0. 



Da aber T und Q niemals negativ sein können, so folgt 
hieraus, dass 6 — & und 3)1 — W verschwinden, also ($, 3K mit 
(5', 3K' identisch sein müssen. 

Wir nehmen ferner einen durch eine geschlossene Fläche 
begrenzten Raum und in diesem einen Anfangszustand für & 
und ü){. Für diesen lässt sich ebenso leicht der folgende Satz 
beweisen : 

3. In einem endlichen Felde ist die Lösung der 
MaxwelTschcn Gleichungen eindeutig bestimmt, 
wenn ausser dem Anfangszustande an jedem 
Punkte der Oberfläche die Gomponenten von 6 



392 Achtzehnter Abschnitt. §. 157. 

in der Richtung der Tangentialebene der Ober- 
fläche für alle Zeit gegeben sind. 

Denn nehmen wir wieder zwei denselben Bedingungen ge- 
nügende Vectorenpaare 6, 3Jl; 6', W^ so ergiebt sich ein drittes 
Vectorenpaar 6 — g' = 6", 3K — 3Jl' = 2Jl", für welches der 
Anfangszustand Null ist, und bei dem der Vector &' an der 
Oberfläche, wenn er nicht verschwindet, überall die Richtung der 
Normalen hat Der Energievector §", der ja auf &' senkrecht 
stehen muss, wird daher für jeden Punkt der Oberfläche in die 
Oberfläche selbst fallen und es ist folglich an der ganzen Ober- 
fläche H'n = 0. Demnach giebt die Gleichung §. 153 (8) für 
die Energie T" des ganzen Systems 

und folglich, da T" am Anfang verschwindet, 



T" + 1 (^'dt = 0. 



Es ist also, wie vorher, 6", 3Jl" identisch gleich Null, und 
daher sind die beiden Vectorenpaare S, W; S', W mit einander 
identisch. 

Man kann noch bemerken, dass die Lösung ebenso bestimmt 
ist, wenn statt der Componenten von ü die Componenten von 3R 
in der Richtung der Oberfläche gegeben sind. Man kann sogar 
noch allgemeiner sagen, dass die Lösung bestimmt ist durch den 
Anfangszustand und durch die Componenten in den Oberflächen- 
richtungen irgend eines Vectors aß -f- /53JI, wenn a, ß Constanten 
oder auch gegebene Ortsfunctionen an der Oberfläche sind. 



§. 157. 
Elektromotorisch wirksame Flächen. 

Die Resultate des vorigen Parajiraphen sind unter der in 1. 
ausgesprochenen Voraussetzung über die Stetigkeit gewonnen. 
In einem für die Anwendungen sehr wichtigen Falle können wir 
aber diese Annahme nicht aufrecht erhalten, nämlich dann, wenn 
im Felde Flächen vorkommen, in denen eine Contactkraft thätig 



§. 157. Elektromotorisch wirksame Flächen. 393 

ist, wie wir sie in §. 130 betrachtet haben. Solche Flächen 
wollen wir elektromotorisch wirksam nennen. 

Ist do ein Element einer solchen Fläche 0, in dem zwei 
Körper Ä^ B mit der Spannungsdifferenz {A^ B) zusammen- 
stossen, und ist Sn die Normalcomponente des elektrischen 
Stromes in der Richtung von A nach B^ so wird durch den 
Strom beim Durchgang durch die Fläche in der Zeiteinheit 
eine Arbeit geleistet von der Grösse 



(1) B = {A,B)^ 



Sndo. 



Diese Arbeitsleistung geschieht auf Kosten der elektro- 
magnetischen Energie, ebenso wie die Erzeugung der Joul er- 
sehen Wärme Q, nur mit dem Unterschiede, dass, während Q 
stets positiv ist, B je nach dem Vorzeichen von (-4, B) positiv 
oder negativ sein kann. 

Ist z. B. A Zink und B Kupfer, so ist (-4, B) und also bei 
positivem Sn auch 22 positiv. 

Die verlorene (oder gewonnene) Energie B muss aber gleich- 
falls in anderer Form wieder zu Tage treten, und sie nimmt 
entweder die Form von Wärme an (Peltier-Wärme) oder sie 
wird in chemische Energie verwandelt i). 

Sind verschiedene elektromotorisch wirksame Flächen vor- 
banden , so erhalten wir mehrere Ausdrücke 22, 22', ... von der 
Form wie (1), und wegen der Erhaltung der Energie im ganzen 
System ist 

<2) ^+<2 + B + B' + ... = o. 

Hierin ist nach §. 153 (7) 

was eine einfache, rein mathematische Consequenz der Max- 
well' sehen Gleichungen ist, und es sind noch die Ausdrücke 
22, B\ ... näher zu untersuchen. 

Ist eine geschlossene Fläche, so ist nach dem Gauss'- 
schen Integralsatze 



{ Sndo = — { diy&dz, 



>) Hertz, Gesammelte Werke, Bd. II, S. 232. 



394 Achtzehnter Abschnitt §. 157. 

wenn das zweite Integral nach dz über den von umschlossenen 
Kaum erstreckt wird, und es ergiebt sich nach §. 152 (6) für 
diesen Fall R = 0. Geschlossene, elektromotorisch wirksame 
Flächen kommen also bei der Berechnung der Energie nicht 
weiter in Betracht. 

Es sei also eine berandete Fläche mit der Randcurve 
S, auf der wir das Element dS so zählen, dass in einem Rand- 
punkte dn^ dS und das Innere der Fläche ein Rechtssystem 
bilden, d. h. so, dass ein in der Richtung dn aufrecht stehender^ 
in der Richtung dS fortschreitender Wanderer das Innere der 
Fläche zur Linken hat Dann ergiebt sich, wenn wir mit 6* 
den Curl der magnetischen Kraft bezeichnen, nach §. 152, I: 

\ s,äo =. ^ j er do, 

und nach dem Satze von Stokes (§. 89) 



f Sndo = ^ [ M.dS, 



also 

(4) R = iA,B)^^M.dS, 

worin das Integral über die Randcurve S von zu erstrecken 
ist. Es hängt also 22 nicht von der Gestalt der Fläche 0, son- 
dern nur von deren Randcurve ab. 

Hiernach werden wir die elektrischen und mag- 
netischen Kräfte und folglich auch den Energie- 
vector im ganzen Felde, mit Ausnahme der Rand- 
linien iS der elektromotorisch wirksamen Flächen^ 
stetig annehmen. 

Um das Verhalten dieser Grössen in der Nähe der Curve S 
zu erkennen, denken wir uns diese Gurven zunächst durch canal- 
förmige Flächen y, y\ ... eingehüllt, die dadurch erzeugt sein 
mögen, dass ein Kreis mit dem Radius q so längs der Curve S 
hinbewegt wird, dass sein Mittelpunkt immer in S bleibt, wäh- 
rend seine Ebene auf S senkrecht steht Das über den Innen- 
raum dieser Canäle genommene Integral I div^är muss dann, 

wenn das Integral in der Formel (3) überhaupt einen Sinn haben 
soll, für ein unendlich kleines q verschwinden, und wenn wir 



§. 157. Elektromotorisch wirksame Flächen. 395 

auf den Aussenraum des Feldes, der sich ins Unendliche erstrecken 
mag, das Gauss^sche Theorem anwenden, so ergiebt sich aus (3) 

und aus (2) 



liJ^E' + ... = - ^jlI,dY, 



wenn dy die Elemente der Canalflächen y, y', . . . durchläuft. 
Diese Gleichung befriedigen wir durch die Annahme 

(^) ^ = - Ä j^^vdy, Ä' = - i;i[^,dy', ..., 

worin die Integrale über die einzelnen Canalflächen y, /, . . . zu 
erstrecken sind. Es können also die Curven S^ S\ ... als die 
Quellen für die Energiemengen 2J, iJ', ... angesehen werden. 

Bezeichnet ^ den Winkel, den der Radius q mit einem festen 
Ausgangsradius bildet, so können wir dy = gd&dS setzen, und 
die erste der Gleichungen (5) giebt nach (4) 

(A, B) [ M.dS = — [[QH^^dddS, 

und diese Gleichung befriedigen wir, indem wir setzen: 

S/r 

(6) {A, B)M, = -[ QH^d», 



worin q als unendlich klein anzusehen ist. 

Rechnen wir die positive Drehungsrichtung d^ so, dass ein 
Fortschreiten längs dS und gleichzeitige Drehung in der Rich- 
tung dO" eine Rechtsschraube ist, so können wir ein directes 
Coordinatensystem x^ y, js legen, so dass a:, y, z der Reihe nach mit 
dg^ dd", dS zusammenfallen, und dann ist nach §. 153 (6) 

H^ = E^M. — MaEs, 

und wenn wir die magnetischen Componenten und die Kraft E, 
als endlich voraussetzen, so wird für ein unendlich kleines q 

qIIo = M,QEa, 
und es ergiebt sich aus (6) 

2/r 

(7) (A,Ii) = -({QE,d»j ^^, 



Ü 




396 Achtzehnter Abschnitt §. 157. 

wenn wir die magnetischen Kräfte und ihren Gurl endlich an- 
nehmen und wenn wir ausserdem dO^/dt endlich annehmen (z.B. 
bei stationärem Zustande), so zeigt die erste der MaxwelTschen 
Gleichungen (§. 152, I.), dass auch die elektrische Kraft 6 in 
Leitern nicht unendlich werden kann. Da aber die Gleichung (7) 

ein Unendlichwerden von E^ verlangt, 
so kann dies nur im Dielektricum statt- 
finden. 

Nehmen wir z. B. für -4, B eine Gom- 
bination Zink-Kupfer, so ist (-4, B) posi- 
tiv. Die Berührungsfläche sei in der 
Figur durch P, P' dargestellt; P und 
P' sind die Spurpunkte der Linie S mit 
der Ebene der Zeichnung. Nach aussen mögen beide Metalle 
an die Luft grenzen. Die Curve S geht im Punkte P nach 
oben, in P' nach unten. Die positive Richtung von ^ in P 
ist durch den Pfeil angedeutet. Im Dielektricum wird E^ für 
p = negativ unendlich, d. h. wir haben im Dielektricum eine 
im Punkt P unendlich gross werdende Kraft in der Richtung 
vom Zink zum Kupfer anzunehmen. 

Wir erhalten die folgende Ergänzung zu den Sätzen des 
§. 156: 

4. Wenn berandete, elektromotorisch wirksame 
Flächen im Felde sind, so kann die elektrische 
Kraft nicht mehr überall stetig sein, sondern sie 
wird an der Randcurve so unendlich, wie es die 
Gleichung (7) angiebi Sind für jede solche 
Fläche die Constanten (A,B) gegeben, so ist hier- 
durch und durch die sonstigen Bestimmungen 
der Sätze 2. und 3. des §. 156 der elektromagne- 
tische Zustand eindeutig bestimmt. 

Der letzte Theil dieses Satzes wird ebenso wie in §. 156 
bewiesen. 

Es ergiebt sich aus diesen Betrachtungen noch eine für 
später wichtige Folgerung. 

Wir ziehen eine beliebige in sich zurücklaufende Linie s im 
Inneren des Feldes und legen durch diese eine stetig gekrümmte 
einfach zusammenhängende Fläche Sl. Wir wählen eine positive 
Normalenrichtung v auf «^ und eine positive Richtung ds auf 



§. 157. Elektromotorisch wirksame Flächen. 397 

der Grenzcurve s, so dass, wie oben dv^ ds und das Innere von 
J2 ein Rechtssystem bildet. 

Die Fläche Sl wird im Allgemeinen von einigen der Curven 
S durchdrungen werden, einem solchen Durchstosspunkt P geben 
wir das Zeichen -f-, wenn S in der Richtung des positiven dv 
durch £1 hindurchgeht, sonst das Zeichen — . Die Punkte P 
schliessen wir durch kleine Kreise, die als die Spuren der Canal- 
flächen y, y', ... angesehen werden können, von der Fläche ß 
aus, wodurch sich eine Räche Sl' ergeben mag. Ist nun @' der 
Gurl der elektrischen Kraft, so folgt aus dem Theorem von 
Stokes, wenn do ein Element von £1' ist: 



jc:d.=j 



E,d$ 

und nach der zweiten MaxwelTschen Gleichung: 
(8) {E.ds = — ^^{M,d(o, 

worin das Integral nach ds über die ganze Begrenzung von Sl' 
zu erstrecken ist. Das Integral nach do kann über «^ ge- 
nommen werden, da wir den magnetischen Vector als stetig vor- 
aussetzen. 

Ist nun P einer der vorhin charakterisirten Durchstoss- 
punkte der Linie S mit £1, und hat der diesen Punkt aus- 
schliessende Kreis den unendlich kleinen Radius q, so kommt 
in dem Integral auf der linken Seite von (8) ein Bestandtheil 
vor, der wegen (7) die Gestalt annimmt 



Stt 



+ ^QjEsd^ = ±(A,B), 



je nachdem der Punkt P nach der oben getroiFenen Bestimmung 
das positive oder das negative Zeichen hat. Demnach ergiebt 
die Formel (8) für das über die Begrenzung von Sl erstreckte 
Integral 



(9) 



f E.ds = _ -^- ^ f Mrd<o q: (A, B) q= {A\ B) ... 



Wenn eine der Curven S die Flüche £1 mehrmals schneidet, 
so werden diese Durchstosspunkte abwechselnd das Zeichen ± 
haben, und die entsprechenden Bestandtheile in (9) werden sich 
also aufheben. Hiernach können wir an Stelle der Curven S die 



n -* 
B 




398 Achtzehnter Abschnitt. §. 158. 

elektromotorisch wirksamen Flächen in die Betrachtung ein« 
führen. Wenn nämlich in der Figur PP* die Spur einer solchen 
Fig. 64. Fläche in der Ebene der Zeichnung ist, die die 

P' Raumtheile A,B von einander trennt, und s die 

durch den Pfeil angedeutete Richtung hat, so 
geht in P die positive Richtung von S nach 
oben, wie die Richtung dv und P hat also das 
A Zeichen -j-« Die positive Richtung von s geht 
in der Richtung dn durch die Fläche hin- 
durch. Demnach können wir dem Satze (9) 
auch den Ausdruck geben: 

Es ist 
(10) - j E.ds = iA,B) + iA',B') + ... + j^^ i |jlf,rfc. 

wenn (A^ JS), (A\ JB') die Spannungsdifferenzen 
an den Punkten bedeuten, wo die Curve s die 
elektromotorisch wirksamen Flächen in der Rich- 
tung von A nach B durchdringt. 



§. 158. 
Ausgleichung einer elektrischen Ladung. 

Die Gleichungen (4) §. 152 geben für ein constantes A und 
£, wenn man sie der Reihe nach in Bezug auf x^y^g differentürt 
und dann addirt: 

(1) -i-|.div6 + Adiv6 = 0, 

oder, wenn man die Dichtigkeit der wahren Elektricität mit q 
bezeichnet, also nach §. 126 (1), (2) 

T- div6 = p 

setzt, und für A die Constante = 4:nk/s einführt (§. 151) 

(2) ll + 0p = 0, 

woraus durch Integration 

(3) p = e"^'Po, 

wenn Qq der Anfangswerth von q ist. Die räumliche Dichtigkeit 



§. 158. Ausgleichung einer elektrischen Ladung. 399 

der Elektricität nimmt also mit der Zeit ab, und zwar um so 
schneller, je grösser die Leitfähigkeit der Substanz ist und nähert 
sich der Grenze Null. Da die wahre Elektricität nach unserer 
Voraussetzung nicht zerstörbar ist, so muss sie also bei dieser 
Aenderung an die Grenze zwischen Leiter und Nichtleiter wandern. 

Um dies an einem einfachen Beispiele zu erläutern, nehmen 
wir an, es sei für einen, in einem Dielektricum schwebenden be- 
grenzten Leiter das elektrostatische Problem gelöst. Es ist also 
nach dieser Annahme im äusseren Haume eine Function (p des 
Ortes bekannt, die im Unendlichen verschwindet, und an der 
Oberfläche des Leiters den constanten Werth A annimmt, und 
der Bedingung ^(p = genügt. 

Wir nehmen zweitens eine willkürliche Function i^ im Inneren 
des Leiters an, von der wir nur voraussetzen wollen, dass auch 
sie an der Oberfläche den constanten Werth Ä erhält. Wir 
nehmen dann folgenden Anfangszustand an. 

Die magnetischen Kräfte seien im ganzen Felde zu Anfang 
gleich Null. Es sei femer 



— , /s, _ — gy, ^, _ g^, 



im Dielektricum UJ ^ - £^, Ei = — ^, Ei = — 



->-»»' «=-!!■ «=-l|. ^=-ll- 

Dann sind die Gleichungen §. 152 (4) und (5) befriedigt, 
wenn wir über den weiteren Verlauf die folgenden Annahmen 
machen: 

1. Die magnetischen Kräfte bleiben dauernd Null. 

2. Im Dielektricum, wo A = ist, sind die elektrischen 
Kräfte von der Zeit unabhängig 

Ejc = Ei, Ey = -BJ, Eg = Es. 

3. Im Leiter ist 

E^ = e-^^El, Ey = €r^^El E, = c^^El 

Die räumliche Dichtigkeit der wahren Elektricität ist nach 
diesen Annahmen im Dielektricum dauernd = 0; im Leiter ist 

^^^ ^ = -":^^'''^*' ^^ = "4^^*' 

und die Dichtigkeit ö an der Oberfläche ist, wenn s im Dielek- 
tricum = 1 angenommen und die Normale n positiv in den Leiter 
hineingerechnet wird 



400 Achtzehnter Abschnitt §. 15$. 

^^^ ^ — 4.7t ^ 8n^43rgn' 

'^ '^ ^ 43r gw ^ 43r 0n 

Die Gesammtmenge der wahren Elektricität ist 

(7) e = \Qdz + 1 ödo, 



also 

6 



4;r 



(j^,,.+j||a,) 



^ ijc } dn 
und daher nach dem Gauss' sehen Integralsatz 

(8) e = ^f|^do, 

^ "^ 4:r J 8n 

also, wie es sein muss, von der Zeit unabhängig. Für t = co 
wird Q = und ^7tö=zd(p/dn^ und dies ist der elektrostatische 
Zustand. (Hier wird man e als Basis der natürlichen Logarithmen 
nicht mit der Elektricitätsmenge e verwechseln.) 

Bei dieser Elektricitätsbewegung ist der elektrische Strom 

dauernd gleich Null. 



Neunzehnter Abschnitt. 



Elektrolytisohe Leitung. 



§. 159. 
Wirkung der elektrischen Kraft auf die Ionen. 

Eine besondere Form nehmen die Gleichungen für die elek- 
trischen Bewegungen in den Lösungen an, die durch den elek- 
trischen Strom chemisch zersetzt werden. Hier ist es unmöglich, 
die elektrischen Bewegungen von den Bewegungen durch DifiFusion 
zu trennen, und beide müssen also gleichzeitig berücksichtigt 
werden. Bei der Ableitung dieser Gleichungen, die zuerst Nernst 
gegeben hat, und die dann von Planck noch eingehender be- 
gründet und discutirt sind, stützen wir uns auf die Anschauungen 
von van't Hoff über die Natur der Lösungen, die jetzt in der 
Physik allgemein angenommen sind. Nach diesen herrschen hier 
dieselben Gesetze, die bei Gasen längst bekannt sind, nämlich 
die Gesetze von Boyle-Mariotte, Gay-Lussac, Avogadro ^). 

Die chemischen Verbindungen, die durch den elektrischen 
Strom zersetzt werden, bestehen aus einem elektropositiven 
und einem elektronegativen Bestandtheile. Diese Substanzen 
sind in einem Lösungsmittel gelöst, etwa in Wasser, dessen Natur 



^) Nernst, Zeitschr. f. physikalische Chemie, Bd. 4 (1889). Planck, 
Annalen der Physik und Chemie, neue Folge, Bd. 39 (1889). F. Kohl- 
raasch, Sitzungsbericht der Berliner Akademie vom 19. November 1896, 
und Annalen der Physik und Chemie, Bd. 62 (1897). 

Biemann- Weber , Partielle DiffereDtialgleicha&ge&. 26 



402 Neunzehnter Abschnitt. §. 169. 

nicht in Betracht kommt. Die Bestandtheile heissen die Ionen, 
die elektropositiven die Kationen, die negativen die Anionen. 
So ist beispielsweise in einer Lösung von KCl oder NaCl das 
Metall, Kalium oder Natrium, das Kation, Chlor das Anion. In 
einer Lösung von Salzsäure ist der Wasserstoff das Kation, Chlor 
das Anion. Auch complicirtere Verbindungen können in Betracht 
gezogen werden, wie z. B. Schwefelsäure, H2SO4, bei der H das 
Kation, V2SO4 das Anion ist. 

Wir werden aber auch annehmen, dass mehrere solcher Ver- 
bindungen gleichzeitig in der Lösung gemischt sind. Wenn die 
Lösung hinlänglich verdünnt ist, wie wir hier voraussetzen, so 
sind die Ionen vollständig dissociirt und sind dann in ihrer 
Beweglichkeit gegenseitig von einander unabhängig. 

Die Concentration der Ionen in einer Lösung wird hier nun 
zweckmässig nicht nach Procenten, sondern nach sogenannten 
Grammäquivalenten oder Grammionen gemessen. 

Unter einem Grammion (Grammäquivalent), einer lonen- 
art, deren Aequivalentgewicht, bezogen auf den Wasserstoff als 
Einheit, gleich A ist, versteht man eine Menge von A Gramm 
dieser Substanz, also z. B. bei der Zersetzung von Schwefel- 
säure würde ein Grammion von SO4, wenn S und die 
Atomgewichte von Schwefel und Sauerstoff sind, gleich VjS04 
= 48 sein. 

Befinden sich dann in der Volumeneinheit (im Cubikcenti« 
meter) a Grammionen, so heisst a die Concentration der 
Lösung, die natürlich auch eine Function des Ortes sein kann. 
Dann würden wir genauer sagen, das Yolumenelement dt ent- 
hält adx Grammionen. 

Sind in einem Liter der Lösung m Gramm einer lonenart^ 
vom Aequivalentgewichte A gelöst, so enthält also das Liter 
fi z=fn/A Grammionen, und es ist u=lO~^fn/A. Eine Lösung, 
in der fi = 1 ist, die also im Liter ein Grammäquivalent ent« 
hält, heisst nach Kohlrausch eine Normallösung. 

Befindet sich eine solche Lösung in einem elektrischen Felde, 
so wirkt die elektrische Kraft E erfahrungsgemäss so, als ob 
jedes Ion eine ganz bestimmte Menge ri von Elektricität mit sich 
führte (§. 155), und zwar die Kationen positive, die Anionen 
negative Elektricität, d. h., es wirkt auf ein Kation die Kraft 
-\-flE^ auf ein Anion die Kraft — rjE. Die Constante rj ist, in 
elektrostatischem Maasse ausgedrückt. 



§. 160. Der osmotische Druck. 403 

tj = 289 . 1012 1), 

und 80 viele Elektricitätseinheiten waudern also mit einem 
Grammion. 

§. 160. 
Der osmotische Druck. 

Ausser der elektrischen Kraft wirkt auf die Ionen noch der 
osmotische Druck p. Dieser ist abhängig von der Goncentra- 
tion a der lonenart, aber unabhängig von den etwa noch sonst 
in der Lösung enthaltenen Ionen anderer Art. Ist v das Volumen 
eines Grammions, so ist hiernach 

(1) pv = E, 

worin R der absoluten Temperatur proportional, aber von der 

Qualität der Ionen unabhängig ist. Es ist für die Temperatur. 

von 18<> 

R = 2,414 . IQio, 

wenn auch hier das Aequivalentgewicht des Wasserstoffs als 
Einheit gilt. Nun ist, wenn a die Concentration in dem fest- 
gesetzten Sinne bedeutet, v = 1/a, und daher 

(2) p = aR. 

Der osmotische Druck erzeugt nun eine Kraft, die die Ionen 
von den Stellen höheren Druckes nach denen von niedrigerem 
Druck treibt, und die dem Druckgefälle proportional ist. 

Der osmotische Druck wirkt auf die Ionen ebenso, wie der 
Druck in Gasen wirkt, d. h., wenn do irgend ein Flächenelement 
ist, so wirkt gegen dieses Flächenelement normal eine nur von 
der Stelle, nicht von der Orientirung von do abhängige Kraft 
pdo. Grenzen wir irgend ein Volumen r durch eine geschlossene 
Fläche ab mit den Elementen dz und do, so ist nach dem 
Gau 8 8^ sehen Satze (§. 89) 



^) In elektromagnetischem Maasse ist v = 9650. Kohlrausch (An- 
nalen der Physik und Chemie, neue Folge, Bd. 62, 1897) misst die Con- 
centration nach elektrochemischen Aequivalenten in der Volumeneinheit, 
wobei also bei jedem Ion diejenige Menge gleich Eins ist, mit der die 
positive oder negative Elektricitätsmenge Eins wandert. In diesem Sinne 
ist also fia die Concentration. 

26* 



404 NeuDzehnter Abschnitt. 

(3) p COS (nx)do = — ft^^^' 

tind dies ist also die rr-Componente der auf die gesammte Ober- 
fläche von r wirkenden Druckkraft. Denken wir uns das 
Volumen r als starr, so ist dies die von dem osmotischen Druchi 
herrührende, auf die in diesem Volumen enthaltenen Ionen wir- 
kende Kraft 

Wenden wir dies auf ein einzelnes Volumenelement dt acr 
so wirkt also auf dieses in der o:- Richtung die Kraft 

(4) -^dr = -lt^dr, 
^ ^ ox ex 

und da nun adt Grammionen im Elemente dt enthalten sinc3 
so wirkt auf ein einzelnes Grammion die osmotische Kraft 

a dx 

Nehmen wir hierzu die im vorigen Paragraphen näher be- 
stimmte elektrische Kraft, so wirkt also im elektrischen Felde 
auf ein Grammion in der a:-Richtung die Kraft 

(5) p. = -ijl||±,i;., 

worin das obere Zeichen für die Kationen, das untere für die 
Anionen gilt. Der Ausdruck (5) ist die a:-Componente eines 
Kraftvectors % der nach unserer Vectorbezeichnung mit 

(6) ^:p = — ü grad loga ± i^ 6 

zu bezeichnen wäre. 

Eine auf die Ionen wirkende Kraft bewirkt nicht, wie 
der Mechanik träger Massen angenommen wird, eine Beschlev 
gung, sondern eine Geschwindigkeit, was man als eine Folge 
Widerstandes des Lösungsmittels ansehen kann. Eine auf 
Ion wirkende Kraft P ertheilt daher diesem eine Geschwir 
keit in ihrer Richtung, die mit P proportional ist, die wir g 
a P setzen. Der Coefficient a ist die durch die Einheit der ' 
hervorgerufene Geschwindigkeit und heisst die Beweglicl 
der betreffenden lonenart. Die Beweglichkeit a hängt nicht 
von der Natur der lonenart, sondern auch von ihrer Concent 
und sogar von der Concentration der etwa noch gleichze 
der Lösung enthaltenen anderen lonenarten in einer nicht 



160. Der oamotische Druck. 405 

kannten Weise ab. Sie nähert sich aber bei abnehmender 
•ncentration der Lösung einer festen Grenze, und bei sehr ver- 
nnten Lösungen und constanter Temperatur kann man daher 
genähert als eine Gonstante der Substanz ansehen. Einst- 
lilen ist es aber nicht nothwendig, hierüber eine Annahme zu 
ichen. 

Hiemach erhalten wir aus dem Kraftvector ^ einen Ge- 
awindigkeitsvector a^-P, der die Geschwindigkeit einer lonen- 
t Ä von der Concentration a und der Beweglichkeit a nach 
rosse und Richtung bestimmt. 

Dieser Geschwindigkeitsvector verändert die Concentration 
iCh den im zehnten Abschnitte allgemein aus einander gesetzten 
rundsätzen. 

Es ist nämlich die in ein Volumen r einströmende Menge 
ir lonenart A^ auf die Zeiteinheit berechnet, gleich dem über 
B Oberfläche von r erstreckten Integral 



1 



aaPndo^ 



mn n die nach innen gerichtete Normale ist, oder nach dem 
au SS 'sehen Satze 



== — I divaa^^} dz. 



Durch diesen Zufluss wird aber die Concentration, wenn t 
e Zeit bedeutet, in der Zeiteinheit um du/dt vermehrt, und 
ist daher dieses Integral auch 

da 



=1 



dt'^'^ 



)raus sich die Gleichung 



) H ~ "" ^^^^"^^^ 

^ebt, und eine solche Gleichung erhält man für jede der 
nenarten i). 

Die Dimensionen der hier vorkommenden Grössen sind folgende: 

[M] = [l't-'], [*] = [!«-»], [«] = [mr»], [«l = [t], 
h., es ist a eine Zeit. 



406 Neonzehnter Abtohnitt §. 161. 

• §. 161. 
Der elektrische Strom. 

Um die Maxwe IT sehen Gleichungen auf den Fall der 
elektrolytischen Leitung anwenden zu können, haben wir nur 
noch festzustellen, was wir unter dem elektrischen Strome zu 
Terstehen haben« Dies ergiebt sich aber aus der Definition 

§. 151. 

Wenn man , was der Wirklichkeit jedenfalls sehr nahe ent- 
spricht, das Lfösungsmittel wie einen Nichtleiter behandelt, so 
haben wir keinen Verfall von elektrischer Kraft, wie bei den 
metallischen Leitern, anzunehmen. Dagegen wird ein Theil der 
Torhandenen elektrischen Energie zur Ueberwindung des Wider- 
standes, den das Lösungsmittel der Ionen Verschiebung entgegen» 
stellt, verbraucht, und auch hier in Wärme verwandelt Diesen 
Theil können wir berechnen, wenn wir, wie schon oben, an- 
nehmen, dass die Ionen die Träger bestimmter positiver oder 
negativer Elektricitätsmengen sind. 

In §. 155 haben wir die Arbeitsgrösse bestimmt, die zur 
Verschiebung einer gewissen Elektricitätsmenge im elektrischen 
Felde erforderlich ist 

Die im Volumenelement dz enthaltene, an die Ionen a ge- 
bundene Elektricität ist ± i^ a d r, und diese wird in der Richtung 
des Vectors ^ um die Strecke aPdt verschoben. Die elek- 
trische Kraft E leistet also hierbei die Arbeit 

(1) ± TiaaPE co3(P, E) dz dt 

= ± tiaa {P^E^ + PyEy + J^zE,) dz dt. 

Die Arbeit der elektrischen Kräfte bei der Verschiebung 
aller Ionen erhalten wir hieraus, wenn wir die Summe dieser fiir 
die verschiedenen lonenarten gebildeten Ausdrücke nehmen, also, 

wenn wir diese Summe durch das Zeichen ^^ andeuten: 

(2) dQdt = 

n (ix 2 ± ««^- -j-Ey^±aaPy + E,^±aaPs)dzdt. 

Bedeutet also d T die elektrische Energie im Volumenelement 
dr, so genügt der im §. 151 eingeführte Stromvector © der 
Gleichung: 



161. Der elektrische Strom. 407 

) ^J--\-dQ = {E,S, -^-EySy^ E.S.) dz. 

Es ist. aber nach §. 126 

^T=-i^(El + El-\-Ej)dz, 
d folglich 

tn genügt also nach (2) und (4) der Gleichung (3), wenn man setzt: 

»rin ^" der durch §. 160 bestimmte Kraftvector für die lonen- 

b A ist und die Summe ^ über sämmtliche vorhandenen 

lenarten zu nehmen ist. Hierin bedeutet s die Dielektricitäts- 
Qstante der Lösung. Diesen Yector © betrachten wir als den 
)ktrischen Strom, der in die Maxwell'schen Gleichungen ein- 
setzen ist 

Da nun in Folge der MaxwelPschen Gleichungen divS 
mer gleich Null ist, so ergiebt sich aus (5), wenn wir 

) o = 7— div 6 

bzen, also unter q die Dichtigkeit der wahren Elektricität ver- 
jhen, nach §. 160 (7): 

' dt ~ ^' 

Es ist also Q — ij 2 ± a von der Zeit unabhängig, und 
inn der Werth dieser DifiFerenz zu irgend einer Zeit gleich 
lU ist, so bleibt er im weiteren Verlaufe des Vorganges immer 
3ich Null. Dies wollen wir annehmen, und setzen demnach 

Es ist also dann die Dichtigkeit der wahren Elek- 
icität gleich dem Ueberschusse der von den Kationen 
itragenen positiven Elektricität über die negative der 
dionen. 

Setzen wir die Gleichung (8) mittelst (6) in die Form 



408 Neunzehnter Abschnitt. §. 161. 

SO zeigt sie, dass, wenn divß nicht einen sehr grossen Werth 

hat, 2 dt « sehr klein ist, weil das im Nenner stehende ij einen 

sehr grossen Werth hat (289 . 10>»). Es sind also immer 
nahezu ebenso viele positive wie negative Grammionen 
in einem Volumen enthalten. 

Wir wollen schliesslich die Gleichungen, die wir in der 
Vectorbezeichnung aufgestellt haben, in expliciter Form schreiben. 

Zunächst ergiebt sich aus §. 160 (6), (7) die partielle Diffe- 
rentialgleichung 



+Ä(««IIt,«.4 



und eine solche Gleichung besteht für jede lonenart, wenn immer 
das obere Zeichen für die positiven, das untere für die negativen 
Ionen statt hat. 

Ferner zerlegt sich der Stromvector © hier nach (5) in drei 
Bestandtheile, nämlich 

(11) © = ^|| + i,JJ2=F«grada4-i,»6 2««' 
und es ist, wenn wir 

(12) k = ri^^aa 

setzen, 

(13) 3 = A 6 

der Leitungsstrom. Hierzu tritt aber noch ein Strom 
(U) g = i?Ji]2qF«grada, 

den wir den Diffusionsstrom nennen können. 
Die x-Gomponente des wahren Stromes ist 

Der Goefficient A heisst auch hier die Leitfähigkeit 

Die Summe des Leitungsstromes und des Diffusionsstromes, 
also 

(16) 6 = 34-5, 

können wir den lonenstrom nennen. Sein Ausdruck ist nach (5) 



§. 161. Der elektrische Strom. 409 

(17) g = ri^± aa'i^^', 

und da nun a$" die Geschwindigkeit der lonenart -4, und i^a 
die in der Volumeneinheit mit dieser lonenart verbundene 
Elektricitätsmenge ist, so können wir die Stromdichte des lonen- 
stromes definiren 

als die in der Richtung des Vectors ß in der 
Zeiteinheit durch die Flächeneinheit hindurch- 
gehende Menge positiver Elektricität, vermehrt 
um die in entgegengesetzter Richtung fliessende 
Menge negativer Elektricität; 

diese Definition der Stromdichte, die sich hier aus der Theorie 
der elektrolytischen Leitung ergiebt, bildet in der älteren Theorie, 
die auf der Annahme zweier elektrischer Fluida beruht, die 
Definition für den elektrischen Strom überhaupt, auch in den 
Leitern. 

Nehmen wir die Lösung homogen, also die Goncentrationen a 
constant an, so werden auch die davon abhängigen Beweglich- 
keiten a constant, und folglich wird auch die Leitfähigkeit X 
constant. Der Diffusionsstrom fällt ganz weg und der Ausdruck 
für S und die daraus abgeleiteten MaxwelFschen Gleichungen 
kommen der Form nach in völlige Uebereinstimmung mit denen, 
die wir für metallische Leiter aufgestellt haben. Das ganze 
System der Differentialgleichungen (10) kommt auf die eine 
Gleichung 

(18) div6 = 

zurück. 

Die Grenzbedingungen, besonders die für die Elektroden 
gültigen, sind wesentlich abhängig von den chemischen Vor- 
gängen, die da stattfinden, und einer mathematischen Formu- 
lirung im Allgemeinen kaum zugänglich. 



Zwanzigster Abschnitt 

Stationäre elektrisohe Ströme. 



§. 162. 
Stationäre Zustände. 

In §. 156 haben wir nachgewiesen, dass die Anfangswerthe 
und gewisse Grenzbedingungen die Lösungen der MaxwelPschen 
Gleichungen bestimmen. Eine davon verschiedene Frage, deren 
Beantwortung wir uns jetzt zuwenden, ist aber die: 

Wie muss der Anfangszustand beschaffen sein, damit 
der Zustand stationär sei, dass also der elektrische und 
der magnetische Kraftvector von der Zeit unabhängig 
werden? 

Ein solcher Zustand wird zwar nicht von vornherein her- 
stellbar sein, wohl aber zeigt die Erfahrung, dass auch nicht 
stationäre Zustände sich einem stationären oder wenigstens fast 
stationären Zustande annähern, so dass sie oft nach sehr kurzer 
Zeit nicht mehr merklich davon unterschieden sind. Dagegen 
ist aber wieder zu bemerken, dass es einen absolut stationären 
Zustand im strengen Sinne des Wortes wohl überhaupt nicht 
geben kann, weil durch die umgesetzte elektromagnetische Energie 
immer laugsame thermische oder chemische Veränderungen, sei 
es im Felde selbst, sei es an den Grenzflächen, vor sich gehen. 
Von dem Einflüsse dieser Veränderungen auf das elektro- 
magnetische Feld sehen wir aber hier ab. 

Die erste Bedingung für einen stationären Zustand ist die, 
dass, wenn @ und 5H der elektrische und magnetische Kraft- 
vector ist, 



}. 162. Stationäre Zustände. 411 

^^ dt ' dt 

sein soll, und daraus ergiebt sich nach den beiden Maxwell'- 
Bchen Grundgleichungen I. und IL (§. 152) 

(2) curl 6 = 0. 

<3) c curl9R = 4äA6, 

und aus (3) folgt dann 

(4) div A g = 0. 

Die Gleichung (2) besagt, dass @ ein Potentialvector sein 
muss, dass also ein elektrisches Potential (p existiren muss, 
so dass 

(^) ^*--ai' ^'-~d^' ^'--87 

wird. 

Die Gleichung (4) ergiebt dann für die Function q> die 
Differentialgleichung 

0a|£ ^x^ gA|^' 

dx ^ dy ^ dz ' 

oder kürzer: 

I* div X grad 9 = 0, 

die mit Hülfe des Gauss^schen Theorems auch so ausgedrückt 
werden kann: 

} cn 

wenn sich die Integration über die Begrenzung eines Raum- 
theiles erstreckt, in dem A und 8qp/8n nicht an Flächen un- 
stetig ist. 

Für den nichtleitenden Theil des Feldes, also für das um- 
gebende Dielektricum, in dem A = ist, besagt die Gleichung I. 
nichts. In diesem Theile ist aber div @ die Dichtigkeit der freien 
Elektricität, und wenn wir also annehmen, dass im nichtleitenden 
Theile des Feldes keine in Betracht zu ziehende elektrische 
Massen vorhanden sind, so gilt hier die Gleichung 

II. A g> = 0. 



412 Zwanzigster Abschnitt. §. 162. 

Für den Fall, dass X vom Orte unabhängig ist, geht die für 
die Leiter gültige Formel I. in dieselbe Form II. über, und sie 
besagt dann, dass bei einem stationären Zustande im Inneren 
der Leiter keine Elektricität vorhanden ist. 

Hierzu kommen nun noch Grenzbedingungen für die Flächen, 
in denen verschiedene Substanzen zusammenstossen. 

Wenn elektromotorisch wirksame Flächen vorhanden sind, 
so ist noch die Bedingung §. 157 (10) zu berücksichtigen: 

(6) -^E.ds = iA,B) + (A\ B') + .., 
oder nach (5) 

(7) |||ds = M,B) + U'.B') + ..., 

worin das Integral über irgend eine geschlossene Curve zu 
nehmen ist. Nehmen wir die Curve s so, dass sie von der 
Seite B nach der Seite A einer der Contactflächen führt, ohne 
diese Fläche zu durchdringen, und nehmen an, dass sich q> längs 
dieser Curve stetig ändere, so ergiebt sich dieselbe Bedingung 
wie in der Elektrostatik: 

g>a — 9>& = (^1 -B)- 

Die Function tp ist durch (5) nur bis auf eine additive Gon- 
stante bestimmt, und diese Constante wollen wir so annehmen, 
dass 9 im Unendlichen verschwindet (vgl §. 126). Dann haben 
wir die erste Grenzbedingung: 

III. Die Function fp ist überall, mit Ausnahme der 
elektromotorisch wirksamen Flächen, stetig 
und im Unendlichen gleich Null An einer 
Contactfläche mit der Spannungsdifferenz 
{A^ B) ist q> unstetig, und es ist 

9>a 9>ft = (-^» -S)- 

Es ist hierbei nicht ausgeschlossen, dass mehrere elektro- 
motorisch wirksame Flächen in einer Kante zusammenstossen. 

Wir haben endlich noch eine Bedingung für solche Flächen, 
in denen Körper von verschiedener Leitungsfahigkeit A^ und A, 
zusammenstossen. 

Da vnr immer angenommen haben, dass die Gomponente 
der magnetischen Kraft in der Richtung einer Fläche beim 
Durchgange durch die Fläche stetig bleibt, so ist die Normal- 



§. 163. Das Problem der stationären Ströme. 418 

componente des Carls der magnetischen Kraft gleichfalls stetig. 
Demnach ergiebt sich aus (3), wenn « die Normale an der Be- 
rühnmgsfläche bedeutet: 

'■ (1!).= ^ (II).- 

Hierbei ist es gleichgültig, ob die Berührungsfläche elektro- 
motorisch wirksam ist oder nicht. 

Für die Grenze zwischen einem Leiter und einem Nicht- 
leiter ergiebt sich aus IV. die Bedingung 

V ^ — 



§. 163. 
Das Problem der stationären Ströme. 

Wir haben nun zu untersuchen, in wie weit durch die Be- 
dingungen I. bis V. der Zustand des Feldes bestimmt ist. Zu 
diesem Zwecke denken wir uns irgend ein Leitersystem im un- 
endlichen Dielektricum eingebettet und beweisen zunächst den 
folgenden Satz: 

Durch die Bedingungen I. bis V. (§. 162), 
nämlich 

I. divAgrad^) = 
im Innern der Leiter, 

III. 9« — g)ft = {Ä, B) 
an jeder elektromotorisch wirksamen Fläche, 

an der Grenze zweier verschiedener Leiter und 

V. 1^ = 
cn 

an der Leiteroberfläche, 

ist die Function (p im Innern des Leitersystems 
vollständig bestimmt bis auf eine additive Con- 
stante. 



414 Zwanzigster Abschnitt. §. 163. 

Dies wird bewiesen sein, wenn wir zeigen können, dass 9 
constant sein muss, falls alle (A^ B) = sind. Denn haben wir 
zwei den Bedingungen I., III., IV., V. genügende Functionen 9, 
so wird ihre Differenz denselben Bedingungen mit (-4, B) = 
genügen. 

Dies folgt aber einfach durch eine schon mehrfach an- 
gewandte Schlussweise. Es ist nämlich 

= divA^gradg) — g)div A gradg), 

und folglich, wenn wir über den Raum der Leiter integriren, 
mit Anwendung des Gauss' scheu Satzes nach I. und V. 

was nur möglich ist, wenn q> constant ist 

Hierdurch wird nun eine bemerkenswerthe Theilung des 
Problems herbeigeführt. Wenn nämlich die Function q> im 
Innern des Leitersystems bekannt ist, so kennt man auch den 
Stromvector 

(2) © = — A grad 9. 

Um dann den elektrischen Zustand im umgebenden Di- 
elektricum zu finden, hat man die Function 9 im Aussenraume 
der Bedingung ^9 = gemäss so zu bestimmen, dass sie im 
Unendlichen verschwindet und an der Oberfläche mit dem für 
das Innere gefundenen Werth übereinstimmt, oder, wenn an der 
Oberfläche noch elektromotorische Kräfte angenommen werden, 
um eine gegebene Grösse grösser ist. 

Die bei dem ersten Theile des Problems übrig gebliebene 
additive Gonstante bei 9, die auf den Strömungszustand keinen 
Einfluss hat, bestimmt sich schliesslich aus der Menge der dem 
Leiter mitgetheilten Elektricität. Dieser Theil der Aufgabe ist 
also ein Problem der Elektrostatik. Ist so der elektrische Zu- 
stand bekannt, so bestimmt sich endlich der magnetische Zu- 
stand des Feldes aus den drei ersten Max well' sehen Glei- 
chungen, §. 152 (4). 



§. 164. Das Eirchhoffsche Gesetz der Strombrechnng. 415 



§. 164. 
Das Kirchhoff'sche Gesetz der Strombrechung. 

Der Grenzbedingung IV., die an der Grenze zweier hetero- 
gener Leiter stattfindet, hat Kirchhoff einen anschaulichen 
geometrischen Ausdruck gegeben, der in seiner Form an das 
Gesetz der Brechung des Lichtes an der Grenze zweier durch- 
sichtigen Medien erinnert. Legen wir, um die Betrachtung zu 
yereinfachen , die ^er-Axe in die Normale der Trennungsfläche 
zweier Leiter von verschiedenem Leitvermögen A^ , A, , so sind 
die Gomponenten /S«, Sy des Stromvectors © bei dem Uebergang 
von negativen zu positiven Werthen von stetig, während sich 
8m unstetig ändert, und zwar nach der Formel 

A, S« = A, S<« 

Legen wir die y-Axe senkrecht auf die Richtung von S, so wird 

^^^ = S^^^ = ü und S^'^ = S^^\ Nun sind S^ Sy, & die Compo- 

nenten der Strömung @ und bestimmen also die Richtung der 
Stromlinie, die vom ersten Mittel in das zweite übergeht 
Diese Linie erleidet beim Durchgange durch die Fläche einen 
Knick, aber beide Theile liegen mit der Richtung der Normale 
(der jsr-Axe) in einer Ebene. Sind iS<*> und S^^^ die Strömungen 
und t'i, «a die Winkel, die sie mit der ^-Axe bilden, so ist 

Ai S<i> cos ii = A, iS(a) cos ia , 

S(i) sin i, = SW sin i'a , 
also 

tgii _ tgU 
kl Aj 

Bedienen wir uns also der in der Optik üblichen Aus- 
drücke, so können wir das Gesetz der Strombrechung so aus- 
drücken : 

Der einfallende und der gebrochene Strom liegen 
mit dem Einfallslothe in einer Ebene, und die Tan- 
genten des Einfallswinkels und des Brechungswinkels 
stehen in constantem Verhältniss, nämlich in dem 
der Leitungsfähigkeiten. 



416 Zwanzigster Abschnitt. §. 165. 



§. 165. 
Lineare Leiter. Stromverzweigung. 

In vielen Fällen lässt sich das Problem der stationären 
Strömung noch weiter vereinfachen durch eine Annahme, die 
freilich auch nur eine Annäherung an die wahren Verhältnisse 
darstellt. Dazu führt die Formel §. 162, I**.: 

(1) _ jSndo = JA||do = 0, 

in der die Litegration sich über die Oberfläche eines Theiles t 
des Leiters erstreckt. Dieser Raum t sei jetzt begrenzt dui'ch 
zwei Stücke A, B zweier Niveau flächen, in denen g) die 
Constanten Werthe g)«, fpi hat, und durch ein System von 
Stromlinien, die von den Punkten der Peripherie von A nach 
den Punkten der Peripherie von B verlaufen. Es sei also r ein 
Stück eines Ganais, in dem die Strömung verläuft Es ist dann 
@ senkrecht auf A und auf £, und an der von den Stromlinien 
gebildeten Mantelfläche ist S» = 0. 

Es ergiebt sich also aus (1), wenn dA und dB die Elemente 
von A und B sind, 

(2) \SndA = ^SndB=j, 

und der gemeinsame Werth j dieser beiden Integrale heisst die 
Stromintensität in dem betrachteten Canal. Deflnirt man 
die Grösse W durch die Gleichung 

(3) j W = q)a — (fh, 

so heisst W der Widerstand des*Raumtheiles r. Für die 
in der Zeiteinheit im Raumtheile t erzeugte Joule^sche Wärme 
ergiebt sich nach §.151 

und nach der Formel §. 163 (1) 

(4) (2 = _ I Ay II do = j(9)«-9») = J*W. 



§. 166. 



Lineare Leiter. Stromverzweigunfi^. 



417 



Die Formel (3) ist das Oh mische und (4) das Joule'sche 
Gesetz für ein endliches Leiterstück. 

Wenn wir einen linearen Leiter betrachten, d. h. ein 
Leiterstück nach Axt eines Drahtes, dessen Querdimensionen als 
unendlich klein im Vergleiche zu den Läugendimensionen zu be- 
trachten sind, so geben uns diese Formeln wichtige Resultate. 
Wir können dann genähert die Querschnitte dieses Drahtes als 
Miyeauflächen betrachten und die Stromlinien der Axe des Drahtes 
parallel verlaufend annehmen. Zählen wir die Länge s auf der 
Axe des Drahtes von einem beliebigen Anfangspunkte aus, so ist 
9 im Draht eine Function von s und es ist 

(5) S„ = -a||, 

also, wenn wir mit q den Querschnitt des Drahtes bezeichnen, 



nach (2) 
(6) 



1 ^9 



wo dann also j die Stromstärke in dem Draht bedeutet. 

Nehmen wir q und A von s unabhängig an und bezeichnen 
mit c eine Constante, so wird 

j 



(7) 



9 = c--^s, 



oder eine lineare Function von s. Nach (3) ist, wenn l die 
Länge des Drahtes zwischen irgend zwei Punkten bedeutet, 

der Widerstand des Drahtstückes l. 



Fig. 65. 




<9) 



J^Nehmen wir an, dass von einem irgend- 
wie beschaffenen Leitertheile mehrere Lei- 
tungsdrähte 1, 2,J3, ... auslaufen, während 
der Leitertheil sonst durch Nichtleiter be- 
grenzt ist, so legen wir in jedem dieser Zu- 
leitungsdrähte in beliebiger Entfernung einen 
Querschnitt und wenden die Formel (1) auf 
den so begrenzten Raumtheil an. Sind dann 
Ji',J2tJ3^ ... die Stromintensitäten in diesen 
Drähten, positiv gerechnet, wenn sie in den 
Leitertheil hineingerichtet sind, so ergiebt sich 

ii + ia + ia + • • • = ö, 



Biemann-Weber, Fartielle Differcntialgloichiingen. 



27 



418 Zwanzigster AbBchnitt. ^. 166. 

und diese Formel gilt auch dann, wenn mehrere Leitungsdrähte 
in einem Knotenpunkte zusammenlaufen. 

Eine zweite wichtige Formel erhalten wir durch Anwendung 
der Formel §. 162 (7): 

Wenn wir in einem irgendwie verzweigten System linearer 
Leiter einen geschlossenen Weg durchlaufen, der nach einander 
durch die Leiter Li, L), Z^, . . . zum Ausgangspunkte zurück- 
fuhrt, und wenn in diesen Leitern die Intensitäten ^\, j^, j^^ 

herrschen, positiv gerechnet in dem Sinne, wie der Umkreis be- 
schrieben wird, wenn ferner TFj, TF,, TFs,... die Widerstände 
der Leiter Li^ L^^ L^ [nach der Formel (8)] sind, wenn endlich 

(Li, L„ Ls, ...) = {A,B) + (Ä', ^) + .. - 

die Summe der Spannungsdiiferenzen bedeutet, die sich auf dem 
Umkreis ergeben, so ist nach §. 162 (7) 

(10) ji W, + J2 in + is in + ••• = (A, L,, L3, ...). 

Die Grösse (L,, L9, L3, ...) ist die elektromotorische 
Kraft in dem durchlaufenen Umkreise. Diese ist eine durch 
die Natur der Leiter gegebene Grösse, und ist gleich Null zu 
setzen, wenn die Drähte nicht elektromotorisch wirksam gegen 
einander sind, oder wenn ihre elektrischen Differenzen dem 
Spannungsgesetze gehorchen. 

Die Gleichungen (9) und (10) sind die Kirchhof fischen 
Gleichungen für die Stromverzweigung. Aus ihnen 
kann man, wenn die Widerstände und elektromotorischen Kräfte 
gegeben sind, in jedem System irgendwie verzweigter linearer 
Leiter die Litensitäten durch Auflösung linearer Gleichungen 
berechnen >). 

§. 166. 
Die Elektroden. 

Nehmen wir nun an, dass an der Oberfläche eines beliebig 
begrenzten, räumlich ausgedehnten Leiterstückes r überall die 
Normalcomponente Sn der Strömung gegeben sei, jedoch so, dass 
die Bedingung §. 165 (1): 

») Kirchhoff, Poggendortf's Annalen, Bd. 72 (1847). Von mathe- 
matischen Gesichtspunkten sind diese linearen Gleichungen nntersucht von 
Abrens. Mathematische Annalen, Bd. 49 (1897). 



§. 166. Die Elektroden. ^VJ 



Sndo= 



befriedigt ist, so ist also an der Oberfläche 

und hierdurch ist, mit Hinzuziehung der Gleichung §. 162, I** 

(2) M?'^'' = 0. 

in der die Integration über die Oberfläche eines beliebigen 
Theiles von t erstreckt ist, die Function (p im Innern des 
Raumes r, abgesehen von einer additiven Gonstanten, eindeutig 
bestimmt, wie sich mittelst der Schlussweise von §. 163 leicht 
ergiebt. Diese Voraussetzung ist nun zwar in den realisirbaren 
Fällen niemals streng erfüllt, kann aber doch häufig mit grosser 
Annäherung angenommen werden. 

Der wichtigste Fall dieser Art ist der der sogenannten 
punktförmigen Elektroden. 

Wenn einem räumlich ausgedehnten Leiter durch Leitungs- 
drähte ein Strom von bekannter Stärke zu- und abgeleitet wird^ 
80 wird der Zustand zwar in unmittelbarer Nachbarschaft der 
Mündungen der Drähte, die wir die Elektroden nennen, in 
unberechenbarer Weise von der Beschaffenheit dieser Stellen ab- 
hängig sein; aber in Entfernungen, die im Vergleich zu der 
Dicke der Drähte gross sind, ist dieser Einfluss nicht mehr 
merklich, und die Vertheilung der Strömung ist dieselbe, als 
wenn die Elektroden Punkte wären. 

Um die Bedingungen, die sich hieraus für die Function 9 
ergeben, zu erhalten, denken wir uns zunächst eine solche punkt- 
förmige Elektrode e im Innern des Leiters r, durch die ein Strom 
von der Intensität j zugeführt wird. In der Nähe dieser Elek- 
troden, wo der Einfluss der entfernteren Elektroden nicht mehr 
merklich ist, können wir dann die Niveauflächen als Kugelflächen 
betrachten, deren Mittelpunkt in e liegt, und wenn wir über 
eine solche Kugelfläche mit dem Radius r integriren, so ergiebt- 
sich nach §. 165 (2) 

(3) \xpdo = 4nkr^l^ = -j. 
^ ^ J er er 

27* 



420 Zwanzigster Abschnitt. §. 166. 

woraus durch Integration nach r folgt: 

Diese Gleichung gilt natürlich nur für ein unendlich kleines 
r, d. h. die Function 9 unterscheidet sich Ton dem Ausdrucke 
— j 4xJir nur durch einen Bestandtheil, der in e endlich bleibt. 
Um dies anzudeuten, wollen wir nach Riemann^s Vorgang 
setzen 

(4) (p = j-^ ^ funct cont, 

worin funct cont oder wohl auch f. c. eine Abkürzung für 
„functio continua'' ist und eine Function des Ortes bedeutet, die 
im Punkte e endlich und stetig ist. 

Wenn die Elektrode e nicht im Innern, sondern an der 
Oberfläche des Leiters liegt, und zwar an einer Stelle, die eine 
bestimmte Tangentialebene hat, so tritt an die Stelle der Kugel, 
die wir benutzt haben, eine Halbkugel, und die Formel (4) wird 
so modificirt: 

(5) <P = TT^i h funct cont. 

Neben den punktförmigen Elektroden betrachten wir auch 
noch lineare Elektroden; diese sind Curven 6, durch deren 
Elemente de ein Strom von der Intensität ^'efe, senkrecht zu de 
und nach allen Seiten gleichmässig in den Leiter tritt Ist e 
stetig gekrümmt, so können wir das Element de als geradlinig 
ansehen, und die Niveauflächen in unmittelbarer Nähe von de 
werden cylindrisch. 

Ist Q der Radius einer solchen cylindrischen Fläche, so 
ergiebt die Formel §. 165 (2), angewandt auf die dächen eines 
solchen elementaren Cylinders, 

2;rAp ^ dc = — ide. 
c Q •^ 

folglich durch Integration nach q 

m 

(6) q> = ^—.logQ + funct cont, 

worin jetzt q die Entfernung von der Elektrodenlinie e bedeutet. 
Die Intensität des gesammten durch e eintretenden Stromes 
ist hier 



§. 166. Die Elektroden. 421 



(7) J = I j 



de» 



Liegt die Elektrode e an der Oberfläche des Leiters, so tritt 
eine der Formel (5) entsprechende Modiiication ein. 

Wir wollen ferner äächenhafte Elektroden e betrachten. 
Wenn eine solche Elektrodenßäche e im Innern des Leiters liegt^ 
80 ziehen wir eine in beliebigem Sinne positiv zu rechnende 
Normale 1/ an e und unterscheiden die positive und die negative 
Seite der Fläche e durch die Indices 1 und 2. Es ergiebt sich 
dann, wenn ji und j^ die Stromdichten sind, mit deneiT^der 
Strom durch das Element d e in den Leiter eintritt 

und wenn nun j = j^ -\- jg, nicht ji und j^ einzeln als gegeben 
angesehen werden, 

Hier ist nun wieder 
(10) J=[jde 

die Gesammtiijtensität des durch e eintretenden Stromes. 

Für die Function 9 selbst besteht dann noch die Bedingung, 
dass sie an allen nicht elektromotorisch wirksamen Flächen 
stetig sein soll. 

Wenn wir in der Formel (9) j •= setzen, so erhalten wir 
die Bedingung, wie sie an einer Fläche gilt, die, ohne Elektrode 
zu sein, zwei Leitertheile von verschiedenem Leitungsvermögen 
A| und A3 trennt. 

Wenn mehrere Elektroden ei, €3, ej, ... vorhanden sind, seien 
sie punktförmig, linear oder flächenhaft, so ergiebt sich, wenn 
die ihnen zugehörigen Stromintensitäten e/i, e/a, eTj^, ... sind, wenn 
man eine Fläche legt, die alle Elektroden einschliesst und 
unter n die nach innen gezogene Normale dieser Fläche be- 
zeichnet, 

(11) jx||d0 = J, + J, + J3 + ... 

Ist also der Leiter begrenzt, so dass an seiner Oberfläche 
8g)/gn = ist, oder findet im Unendlichen keine Strömung 
statt, so muss 



422 Zwanzigster Abschnitt. §. 166. 

(12; j; + j, o. J, -I = 

sein. Ist diese BedingUDg nicht erfüllt, so ist im Unendlichen 
eine Strömung Torhanden«, und wir müssen znr Aufrechterhaltung 
des stationären Zustandes eine oder mehrere Elektroden im Un- 
endlichen annehmen. Die Gleichung (12) giebt dann Aufschluss 
über das Verhalten der Function q> im Unendlichen« 

Endlich muss noch eine Form der Bedingungsgleichungen 
für die Elektroden besprochen werden, die gerade für Anwen- 
dungen Ton Wichtigkeit ist Es kommt oft Tor, dass Leiter Ton 
sehr Yerschiedenem Leitvermögen mit einander in Berührung 
sind; so ist z. 6. das Leitvermögen der Metalle miUionenmal 
grösser, als das elektrolytischer Flüssigkeiten. 

Wir nehmen also an, dass zwei Leiter 1 und 2 an einer 
Fläche zusammenstossen , und unterscheiden die auf die beiden 
Leiter bezüglichen Grössen durch die Indices 1 und 2. Wir con- 
struiren einen Stromfaden für den Vector k grad g), der aus dem 
einen Leiter in den anderen hinüberführt, und wenden auf diesen 
den Satz §. 91 (1) an, indem wir beachten, dass die Divergenz 
dieses Vectors verschwindet; so ergiebt sich, wenn g^, g, zwei 
Querschnitte dieses Stromfadens im ersten und zweiten Leiter 
und 8i, $2 die in der Richtung des Stromes von einem festen 
Anfangspunkte ^us gemessenen Längen auf dem Stromfaden 
bedeuten : 

Wenn nun A^/Ag unendlich klein ist, während gi/9s endlich ist, 
so muss dq>i/dSi gleich Null sein, oder, genauer ausgedrückt, 
das Gefalle des elektrischen Potentials 9 im zweiten Leiter ist 
verschwindend klein im Vergleich mit dem Gefalle im ersten 
Leiter. 

An solchen Elektroden nehmen wir also die Grenzbedingung 

(13) 9 = const 

an. Die Constante bestimmt sich aus der Intensität des zu- 
geleiteten Stromes und der etwa zwischen beiden Leitern be- 
stehenden Spann ungsdilFerenz. Ist diese SpannungsdilFerenz (1, 2) 
eine Function des Ortes, so tritt an Stelle der Bedingung (13) 
die folgende: 

(14) g?i = (1, 2) + const. 



§. 167. Widerstand räumlich ausgedehnter Leiter. 423 

Dieser Sohluss ist aber nicht mehr zulässig, wenn das Ver- 
hältniss ^i/^s unendlich gross ist. Dieser Fall wird dann ein- 
traten, wenn yermöge der Gestalt des zweiten Leiters eine ausser- 
ordentliche Zusammenziehung der Stromfäden nöthig ist, wenn 
also etwa der zweite Leiter die Gestalt eines dünnen Drahtes 
oder einer dünnen Platte hat. 



§. 167. 
Widerstand räumlich ausgedehnter Leiter. 

Die Annahme einer punktförmigen Elektrode genügt, wenn es 
sich darum handelt, bei gegebener Intensität des eintretenden 
Stromes die Stromvertheilung in einem nach drei Dimensionen 
räumlich ausgedehnten Leiter zu bestimmen. Sie ist aber un- 
zulänglich, wenn der Einfiuss des Leiters auf den Strom selbst, 
mit anderen Worten dessen Widerstand bestimmt werden soll, 
weil eben in diesem Falle der Werth des Potentials in der Elek- 
trode selbst unendlich wird. 

Streng genommen müsste man, um diese Aufgabe zu lösen, 
den Leiter mit seinen Zuleitungsdrähten und der gaWanischen 
Kette, der der Strom seinen Ursprung verdankt, als ein Ganzes 
betrachten; dann aber ist das Problem seiner Complication wegen 
der Analysis unzugänglich. 

Die Aufgabe wird wesentlich einfacher, wenn wir die An- 
nahme machen, dass das Leitvermögen des durchströmten Kör- 
pers sehr viel geringer sei als das der Elektroden, so dass wir 
nach den Ausführungen des vorigen Paragraphen das Potential 
an der Grenzfläche der Elektroden als constant ansehen dürfen. 

Dann stellt sich die Frage so: 

Die Function (p ist so zu bestimmen, dass sie im 
Innern eines gegebenen Raumes r der Differential- 
gleichung id(p = genügt, dass an einem Theile der 
Oberfläche von r, nämlich an den Elektroden, (p con- 
stante Werthe hat, während an dem übrigen Theile der 
Überfläche d(p/dn = ist. 

Dieser Umstand aber, dass die Oberflächenbedingung nicht 
einheitlich ist, sondern sich theil weise auf (p selbst, theil weise 
auf seine Ableitung bezieht, erschwert auch jetzt noch die Lö- 
sung ausserordentlich. 



424 Zwanzigster Abscbnitt. §. 167. 

Eine weitere VereiDfaehung wird dann durch die folgenden 
Annahmen gemacht, unter denen das Problem in vielen Fällen 
der Analysis zugänglich wird. 

Die Elektroden sind kreisförmige Flächen, die an 
der Oberfläche des Leiters r liegen; die Radien der 
Elektroden sind unendlich klein im Vergleich zu den 
Krümmungsradien der Oberfläche von r in der Nähe 
der Elektroden und im Vergleich zu ihrer Ent- 
fernung von anderen Oberflächentheilen und von 
anderen Elektroden. 

Betrachten wir nämlich einen Raumtheil To, der ein Stück 
der Grenze enthält, das wir als eben betrachten, und darin eine 
der kreisförmigen Elektrodeuüächen e^. Dann ist innerhalb Ci 
die Function q) constant, an dem ausserhalb ei gelegenen Theile 
der Grenze ist d(p/dn = 0, und dies sind nach §. 134 genau 
die Bedingungen, denen das Potential einer mit statischer Elek- 
tricität geladenen Kreisscheibe zu genügen hat Innerhalb der 
Elektrode Ci ist dann dq)/dn proportional mit der Dichtigkeit 
der statischen Elektricität, also im Innern von 6| [§.134 (13)] 

(1) ^ = ^' 

wenn Ci eine Constante, Ti der Radius von e^ und r der Abstand 
eines variablen Punktes in e^ von dem Mittelpunkte von Ci be- 
deutet. 

Man kann Cx aus der eintretenden Stromstärke ^'x bestimmen; 
denn es ist, wenn A die constante Leitfähigkeit der Körpers be- 
deutet, 

ix = -AJj|^rdrd^ = — 23rArxCx, 



also 

Hierdurch ist also das Problem der elektrischen Strömung 
in dem Körper r auf das Folgende zurückgeführt: 

Es soll die Function q) so bestimmt werden, 
dass im Innern von r die Differentialgleichung 
(3) z/g) = 

befriedigt ist, und dass an der Oberfläche von r 



§. 167. Widerstand räumlich ausgedehnter Leiter. 425 

worin O eine gegebene Function des Ortes an 
der Oberfläche ist. 

Wird die Normale nach innen gerechnet, so ist O ausser- 
halb der Elektroden gleich Null, innerhalb der Elektrode ei 

und entsprechend in den anderen Elektroden €2, e^^ ... Die Func- 
tion O muss der Bedingung genügen 



I 



Odo = 0, 



wenn das Integral über die ganze Oberfläche ausgedehnt wird; 
es ist also 

(6) . Ji+i, + ... = 0. 

Durch diese Bedingungen ist die Function (p bis auf eine 
additive Gonstante bestimmt, und wenn die Integration gelungen 
ist, so kann man den Werth von (p auch in den Elektroden- 
flächen bestimmen, den man, zwar nicht genau, aber doch an- 
genähert gleich einer Gonstanten finden wird. 

Sind z. B. nur zwei Elektroden 61, 69 vorhanden, so ist 

(7) j =h=— J2 

die Intensität des durch ei eintretenden und durch €2 austreten- 
den Stromes, und wenn (p^ und (p2 die constanten Wcrthe von 
q> in €1 und 69 sind, so ist der Widerstand W des ganzen 
Körpers r nach §. 165 (3) durch die Gleichung bestimmt: 

(8) jW=(p,- (p2. 

Die experimentelle Bestätigung dieses Ergebnisses ist darum 
schwierig, weil der Widerstand in hohem Maasse abhängig ist 
von der Oberflächenbeschaff'enheit der Elektroden, die ja schon 
in Folge der elektrochemischen Vorgänge fortwährenden Aende- 
rungen unterworfen ist. 



Einundzwanzigster Abschnitt 

Strömung der Elektrioität in Platten. 



§. 168. 
Gonforme Abbildung von Flächen. 

Aehnlich wie wir im §. 165 als eine Annäherung an wirk- 
liche Vorgänge die Strömung der Elektricität in Linien betrachtet 
haben, wollen wir jetzt als einen idealen Grenzfall die Strömung 
in Flächen untersuchen. Es ergeben sich dabei mannigfaltige 
interessante Probleme, die sich näherungsweise gut realisiren lassen 
und auch einer mathematischen Behandlung leichter zugänglich 
sind, als die Probleme der Strömung im Räume. 

Um die Differentialgleichungen aufzustellen, durch, die diese 
Flächenströme bestimmt sind, müssen wir eine geometrische Be- 
trachtung Yorausschicken. 

Wir denken uns eine krumme Oberfläche in der Weise 
analytisch dargestellt, dass wir die rechtwinkligen Coordinaten 
I, iy, g eines Punktes dieser Fläche als Functionen von zwei 
neuen Variablen jp, q betrachten: 

(1) I = qp (jp, q\ n = ^ (P, (l\ t = X (P> 9)i 

ähnlich wie wir in §. 37 (1) die Coordinaten eines Raumpunktes 
überhaupt als Functionen von drei Variablen dargestellt haben. 
Man kann etwa annehmen, dass die Ausdrücke (1) aus jenen 
hervorgehen , indem wir die dritte Variable r einer Gonstanten 
gleich setzen. Gonstante Werthe von p bestimmen dann auf der 
Fläche eine Gurvenschaar, die die g-Gurveu heissen. Ebenso 
bestimmen constante Werthe von q die Schaar der p-Garven. 
Je eine Gurve der einen und der anderen dieser beiden Schaaren 
bestimmen in ihrem Durchschnitt einen Punkt (j>,3) der Fläche 0. 



§. 168. Gonforme Abbildung von Flächen. 427 

Darob Differentiation ergiebt sieb aus (1) 

d| = adp 4" a'dg, 

(2) dri = bdp + Vdq, 

df = cdp 4" ^dg, 

worin z. B. a, a' die partiellen Ableitungen 8|/8p, 8I/83 be- 
deuten. Setzen wir 

(3) dd« = d|2 + di^äi + dfa = i/dj}« 4- 2Fdpdq + Gdg«, 

J? = a» 4- 62 4. c«, 

(4) F=aa' 4- 66' 4- cc', 

(?= a'2 4. 6'2 _|_ c'2, 

80 ist dö ein Linienelement auf der Fläche 0. 

Wenn es nun gelingt, an Stelle der Variable p, q zwei neue 
Variable rc, {/(Functionen von p und q) einzufübren, so dass dö^ 
die einfachere Form annimmt: 

<5) d<ya = m2 (da;^ 4- dy^) = m^ds«, 

80 können wir |, iy, f auch als Functionen dieser neuen Variablen 
x^ y ansehen, die dann auf der Fläche zwei neue Curven- 
Bchaaren, die x-Gurven und die i/-Gurven bestimmen, und diese 
Gurven sind orthogonal. Sie haben aber noch eine andere 
wichtige Eigenschaft, nämlich sie vermitteln eine conforme 
Abbildung der Fläche auf eine Ebene. Wenn wir nämlich 
^, y als rechtwinklige Goordinaten in einer Ebene deuten, so ist 
ds ein Linienelement in dieser Ebene und die Gleichung (5) 
zeigt, dass für alle einander entsprechenden, von einem Punkte 
ausgehenden Linienelemente d<5, ds das Verhältniss dö/ds den- 
selben Werth m hat Unendlich kleine, einander entsprechende 
Dreiecke auf der Fläche und der xy -Ebene sind also einander 
ähnlich und entsprechende Winkel sind einander gleich (vgl. §.46). 

Um eine solche conforme Abbildung zu finden, kann man 
den Ausdruck (3) in zwei conjugirt imaginäre, lineare Factoren 
zerlegen, und erhält nach (5): 

(6) (J5;dp4-Fdg4-iV^G — F^dg) (Edp+Fdq—i^EG—F^dq) 

= Em^ {dx 4- idy) (dx — idy). 

Wenn es nun gelingt, den Factor ft so zu bestimmen, dass 



fi [Edp 4- (F 4- i ^EG — F«) dq] 



428 Einundzwanzigster Abschnitt. §. 168. 

ein vollständiges Differential in Bezug auf p und q wird, so 
setze man dieses gleich dx -{- idy^ und die Gleichung (6) ist 
befriedigt, wenn m^ aus 

(7) fifi'Em^=l 

bestimmt wird (worin (i und fi' conjugirt imaginär sind). So 
erhalten wir für ^ die partielle Differentialgleichung erster Ord- 
nung: 

^^^ -JT = dp 

und jede Lösung dieser partiellen Differentialgleichung giebt uns 
eine Darstellung von der gesuchten Form. Hat man eine Be- 
stimmung der Functionen x^ i/, so kann man daraus unendlich 
viele andere ableiten, wenn man 

^1 + iyi = 0(x + iy) 

setzt, worin O eine willkürliche Function ist. 

Als einfaches Beispiel mag die Abbildung der Kugelfläche 
auf die Ebene angeführt werden. Bedeutet 22 den Kugelradius, 
so setzen wir in Polarcoordinaten 

(9) ^ = B cos d, ij = jB sin d cos % f = jB sin d sin tp 

d6^ = R^ (d^2 _|_ sm^»d(p^% 
nehmen wir dann 

(10) X = Big ^ cos(p, y = Big ^ Bing), 

so findet sich 

ds^ = dx^ -f- dj/2 = Ji2 Jl ^ , 

4 cos* ^ 

und wenn wir also 

m = 2 cos2 rt = 1 -|- cos 0" 

setzen, so ergiebt sich 

dö = mds. 

Diese Art der Abbildung der Kugelfläche heisst die stereo- 
graphische Projection. Sie wird beim Kartenzeichnen häufig 
angewandt. Man kann sie darstellen als Gentralprojection 
der Punkte der Kugelfläche vom Südpol aus auf die Aequatorial- 



§. 169. Strömung in Platten. 429 

ebene. Jedem Punkt der Kugel, mit Ausnahme des Südpoles 
selbst, entspricht ein Punkt der Ebene und umgekehrt. Der Süd- 
pol wird ins Unendliche projicirt. Diese Art der Abbildung hat 
die ausgezeichnete Eigenschaft, dass jeder Kreis auf der 
Kugelfläche einem Kreise oder einer geraden Linie 
in der Ebene entspricht und umgekehrt. 



§. 169. 
Strömung in Platten. 

Wir denken uns nun eine ebene oder gekrümmte leitende 
Platte von der unendlich kleinen Dicke %, die wir nicht noth- 
wendig als constant vorauszusetzen brauchen, und bezeichnen die 
Mittelfläche dieser Platte mit 0. Diese Fläche stellen wir in 
der Weise dar, wie wir es im vorigen Paragraphen besprochen 
haben, dass also die Goordinaten |, ij, g eines Punktes von 
80 als Functionen zweier Variablen x, y bestimmt sind, dass 

(1) dö = mds, ds^ = dx^ + dy^ 

wird. Die Platte möge das Leitvermögen A haben, welches 
ebenfalls eine Function des Ortes, also eine Function von x, y 
sein kann. 

Die Elektroden denken wir uns als Linienstücke, die die 
Platte der Quere nach durchsetzen. Sollten die Elektroden 
punktförmig sein, so wird dies, wenigstens für alle Stellen, deren 
Entfernung von den Elektroden im Vergleich zur Dicke der Platte 
gross ist, keinen merklichen Unterschied machen. 

Schneiden wir aus der Platte ein Stück r heraus, welches 
keine Elektrode enthält, so ist, über die Grenzfläche von r inte- 
grirt, nach §. 162, I** 

Das Stück r begrenzen wir nun so, dass wir in der Fläche 
zunächst eine beliebige geschlossene Linie 6 abgrenzen, und 
dann durch Errichtung der Normalen zu längs 6 eine Mantel- 
fläche construiren. Die tangential an die Fläche nach innen 
gerichtete Normale an 6 bezeichnen wir mit v. Alsdann können 
wir für die Mantelfläche do = hdö setzen und da durch die 



430 Einondzwanzigster Abschnitt. §. 169. 

Plattenflächen keine elektrische Strömang stattfindet, so folgt 
aus (2) 

(3) JAÄ||di5 = 0, 

worin wir jetzt q> als Function in der Fläche betrachten 
können. 

Die Grösse 

(4) Je = kh 

bezeichnen wir als die Leitfähigkeit der Platte und erhalten 
aus (3) 

(5) Ml''« = 0- 

Eine Elektrode repräsentiren wir durch einen Punkt e auf der 
Fläche 0, und dann ergiebt sich nach §. 166 (6) für diesen Punkt 
die Bedingung 

(6) 9 = — 2nk ^^^ ^ "1" ^^^^^ ^°^ 

worin J die Gesammtintensität des eintretenden Stromes, also 
gleich jh ist Unter q können wir hier, wenigstens Wenn die 
Elektrode an einem stetig gekrümmten Theile der Fläche 
liegt, ein in dieser Fläche gemessenes, von e auslaufendes Linien- 
element verstehen. 

Wenn wir auch flächenhafte Elektroden in der Platte zu- 
lassen, die sich dann in der Fläche als linienformige Elek> 
troden s projiciren, so erhalten wir für eine solche Ldnie aus 
§. 166 (8) 

^■■». = - "■ {U\- '•*• = *• (!?).• 

und wenn wir also 

O'A + ja*«) de = dJ 

setzen, so dass dJ die durch das Element dB der Elektrode 6 
eintretende Stromintensität ist: 



dJ 
dB 



Wir fuhren jetzt die Variablen x, y ein, die wir zugleich als 
rechtwinklige Goordinaten in einer Ebene E deuten. Einer Curve 
ö oder b in der Fläche entspricht eine Curve 8 oder e in der 
Ebene J?, und es ist, wenn wir mit dn das Normalenelement an 



§. 170. Strömung in ebenen Platten. 431 

s in der Ebene, mit r den Abstand eines veränderlichen Punktes 
in der Ebene yon dem Bilde einer punktförmigen Elektrode be- 
zeichnen (für unendlich kleine r): 

dö = mds, dv = mdriy de ^= mde ^ q =z mr. 

Dadurch gehen die Bedingungen (5), (6), (7) in folgende über: 

(8) Mi^»=«. 

im Allgemeinen, 

(9) (f = - — r- logr -|- funct. cont 

für die Punktelektroden, 

für die Linienelektroden. Aus (8) leitet man noch mittelst des 
Gauss'schen Satzes die partielle Differentialgleichung her: 

^^^^ dx ^ dy —^' 

die für alle Punkte gilt, die nicht Elektroden sind. 

Man kommt also genau auf dieselben Bedin- 
gungen, die man erhalten hätte, wenn man die Fläche 
Yon vornherein als eben angenommen hättet). 



§. 170. 
Strömung in ebenen Platten. 

Wir nehmen jetzt eine homogene ebene Platte an, so dass 
die Leitfähigkeit h constant ist. Dann wird die allgemeine Dif- 
ferentialgleichung für das Potential 9) 

und sie besagt, dass 



^) Die Strömung in ebenen und gekrümmten Platten ist in mehreren 
Abhandinngen von Eirchhoff behandelt. Gesammelte Abhandlungen, 
Leipzig 1882. 



432 Einundzwanzigster Abschnitt. §. 170. 

ex ^ CtJ 

ein vollständiges Differential ist, also 

^^^■^ ^^^^ ^^^m^ ■ ■■ I IM ^^^^ ^a^l^ ^■H^HW • 

cx cy^ cy ex 

Es ist hiemach 

(2) ip + t> = F(a; + ty) 

eine Function des complexen Argumentes :c -|- yt. 
Wir setzen 

(3) 2: = 9>4-«>, z = x-\-iy, % = F{e). 
Die Function ^ ist durch das Integral 

bis auf eine additive Constante bestimmt. Die Gurven 

(5) ^ = const. 
sind orthogonal zu den Curven 

(6) 9 = const 

Die letzteren sind die Xiveaucurven, die ersteren die 
Stromcurven. 

Die Function q) muss in der ganzen Ebene, mit Ausnahme 
der Elektroden, stetig sein. Die Function ^ muss dagegen an 
Linien unstetig werden. 

Wenn wir nämlich ein Flächenstück betrachten, in dem 
keine Elektrode liegt, in dem also die Function q> stetig bleibt, 
so ergiebt sich aus dem Gauss' sehen Theorem, dass das In- 
tegral (4), über die Begrenzung dieses Flächenstückes genommen, 
verschwindet 

Erstreckt man also das Integral über eine geschlossene 
Curve, die eine Elektrode e einschliesst, so ist sein Werth un- 
abhängig von der Gestalt des Integrationsweges, und wenn man 
für den Integrationsweg einen unendlich kleinen Kreis wählt, so 
kann man (p durch den genäherten Werth 

ersetzen. Dann wird, wenn man der Einfachheit wegen den 
Goordinatenanfangspunkt in die Elektrode e legt: 



§. 170. Strömung in ebenen Platten. 433 

dq> — J X d<p — J y 

dx ~ 2nk P' dy ~ 2nk r^' 

oder, wenn man x = r cos-O", j/ = rsinO* setzt: 

Hieraus ergiebt sich dann für das Integral (4), auf dem ge- 
schlossenen Wege um e erstreckt, der Werth — J/h Die Func- 
tion ^, die durch (4) definirt ist, ist also nicht stetig, sondern 
erleidet eine sprungweise Aenderung von der Grösse — J/h 
an einer Linie, die von der Elektrode e ausläuft. 

Dieselbe Eigenschaft hat aber die Function — Jlogjs/k und 
es wird folglich 

in der Umgebung des Punktes e stetig bleiben. 

Haben wir mehrere Elektroden ^x, ^2) ^) •••) ^^ denen die 
Variable e die complexen Werthe Ci, 03, C3, ... hat, so ist dem- 
nach 

(7) kx = — eTi log (^ — Ci) — eTglogC^ — C2) — eTslogC^r — Cs)... 

-(- funct. cont., 

worin funct. cont. eine Function bedeutet, die in der ganzen 
Platte stetig ist, und die durch die Bedingungen an der Grenze 
bestimmt werden muss. 

Nehmen wir eine unendliche Platte an, in der eine endliche 
Anzahl von Elektroden vertheilt ist, so muss, wenn im Unend- 
lichen keine Elektrode liegt, J^ -|- Ji + Ji + • • • = sein. Die 
Function qp und mithin auch % ist im Unendlichen constant, 
und es ist daher auch die in (7) vorkommende funct. cont. con- 
stant, und sie kann = gesetzt werden. Dies bleibt auch noch 
richtig, wenn im Unendlichen eine Elektrode mit der Strom- 
stärke — (J^i + «^2 + «^8 + • • •) liegt. 

Setzen wir also zur Vereinfachung 

fCCti e/j, itCC2 ^^^ e/21 AtCCj ^^ e/3, .•• 

so folgt aus (7): 

(8) X = — log [{z — c,Y^ (z — c,r* {z — CsY^ . . .] 
und die Function % ist also vollständig^^ bestimmt. 

Biemann-Weber, Partielle Dififcrentialgleichungen. 28 



434 Einundzwanzigster Abschnitt. §. 170. 

Dies Resultat lässt sich aber auch auf begrenzte Platten 
anwenden, wenn die Elektroden so vertheilt sind, dass die 
Grenze zur Stromlinie wird, und das fruchtbarste Hülfs- 
mittel zur Lösung solcher Probleme besteht darin, dass man sich 
die begrenzte Platte ins Unendliche erweitert denkt, und dass 
man dann in der Erweiterung die Elektroden so anzubringen 
sucht, dass die gegebene Grenze in der unbegrenzten Platte zur 
Stromlinie wird. 

Wenn wir die Gleichung (8) nach z differentiiren , so er- 
giebt sich 

^ ' dz z — Ci z — Cj {ß — Cj) (iP — c,),.. 

Hierin ist ^{z) eine ganze Function, deren Grad um eine 
oder um zwei Einheiten geringer ist, als die Anzahl der Punkte 
c, je nachdem «i + o, -|- Oj -[- ••• nicht verschwindet oder Ter- 
schwindet, je nachdem also eine Elektrode im Unendlichen liegt 
oder nicht Also ist allgemein der Grad von ^{z) um 
zwei Einheiten kleiner als die Zahl der Elektroden. 
In besonderen Fällen könnte er sich auch noch weiter ver- 
mindern. 

Ist also m die Anzahl der Elektroden, so giebt es m — 2 
Werthe von £, für die der DiflFerentialquotient d%ldz Null ist. 
Von diesen Punkten können unter Umständen mehrere in einen 
zusammenfallen, oder es können einige ins Unendliche fallen. 
Projicirt man aber die ganze Platte durch stereographische Pro- 
jection auf eine Kugelfläche, so fällt die exceptionelle Stellung 
des unendlich entfernten Punktes völlig weg. 

Diese Punkte, in denen dxjdz verschwindet, deren es also 
immer m — 2 giebt, wollen wir Kreuzungspunkte i) nennen. 

In diesen Punkten hat die Strömung einen besonderen 
Charakter. Um davon eine Anschauung zu gewinnen, legen wir 
zur Vereinfachung den Goordinatenanfangspunkt in einen solchen 
Punkt, und denken uns % nach Potenzen von z entwickelt. 
Nehmen wir noch ;|ro = an, so wird diese Entwickelung die 
Form haben 

(10) % = iaz^ + ••• 



^) F. Klein, Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen. 
Leipzig 1882. 



§. 170. 



Strömung in ebenen Platten. 



435 



nnd die Gonstante a wird, wenn wir annehmen, dass z = eine 
einfache Wurzel von = ist, von Null verschieden sein. 
Durch eine Drehung des Coordinatensystems können wir er- 
reichen, dass a reell und positiv wird. Dann ergiebt sich aus 
(10) in erster Annäherung: 

(p = — 2 axy, }\> = a{x^ — y«), 

und es sind also sowohl die Niveaucurven als die Stromcurven 
gleichseitige Hyperbeln. Die Fig. 66 zeigt, wie diese Curven in 
der Nähe des Nullpunktes verlaufen. 

Im Nullpunkt kreuzen sich zwei Stromlinien. Auf der einen 
von ihnen (der Linie x -\- y = 0) fliesst der Strom von beiden 



Fig. 6(3. 




Seiten zu, auf der anderen (der 
Linie x — j/ = 0) fliesst er ab. 
In dem Kreuzungspunkte selbst 
ist die Strömung Null. 

Wenn die Gleichung = 
mehrere gleiche Wurzeln hat, so 
schneiden sich in einem solchen 
Punkte mehr als zwei Strom- 
linien. 

Repräsentirt man die Werthe 
der complexen Variablen % in 
einer jj-Ebene, so erhält man ein 
conformes Abbild der leitenden Platte, die aber, da derselbe 
Werth von % zu verschiedenen Werthen von z gehören kann, die 
X- Ebene mehrfach überdecken muss. Beispielweise wird in der 
Umgebung des oben betrachteten Kreuzungspunktes derselbe 
Werth von % zu -^ z und zu — ß gehören. Die Bilder der Kreu- 
zungspunkte in der ^-Kbene sind Verzweigungspunkte. Die 
Bilder der Elektroden fallen ins Unendliche. 

Die Kreuzungspunkte können auch dadurch charakterisirt 
werden, dass in irgend zwei von einander verschiedenen (z. B. 
auf einander senkrechten) Richtungen a;, y die Derivirten d(p/dx 
und d(p/cy verschwinden. 

Wir werden die Formel (8) auch auf den Fall anwenden, 
dass die Anzahl der Elektroden unendlich ist. Es muss nur 
das unendliche Product, was dann in der Formel (8) auftritt, 
convergent sein, oder wenigstens durch Hinzufügung eines con- 
stanten Factors convergent gemacht werden können. 

28* 



436 Einundzwanzigster Abschnitt. §. 171. 

Aus einer solchen Platte können wir dann durch eine ge- 
schlossene Stromlinie eine endliche Platte herausschneiden, in 
der nur eine endliche Anzahl von Elektroden liegt. 



§. 171. 
Kreisförmige Platten. 

Wir betrachten einige Beispiele zu der im Vorhergehenden 
auseinandergesetzten Theorie. 

Wenn in einer unbegrenzten Platte nur zwei Elektroden 
e^, ^2 mit den Stromstärken + J" vorhanden sind, die im End- 
lichen liegen, so ist 

wenn 9,, Q2 die Entfernungen eines variablen Punktes von den 
Elektroden e^, e^ bedeuten. Die Niveaucurven (p = const. sind 
hier bestimmt durch die Gleichung 

wo c der Parameter der einzelnen Curve ist, und diese Curven 
bilden also ein Kreisbüschel mit imaginären Schnittpunkten, 
dessen Grenzpunkte die beiden Elektroden sind; die Strom- 
linien bilden ein zweites Kreisbüschel, aber mit reellen Schnitt- 
punkten, und zwar sind die Elektroden die Schnittpunkte dieses 
Büschels. 

Wenn man einen durch die Elektroden gehenden Kreis als 
Grenzcurve auffasst, so erhält man die Strömung in einer 
kreisförmigen Platte, wenn die beiden Elektroden an der 
Peripherie liegen (Fig. 67). 

Nehmen wir dagegen in der unbegrenzten Platte zwei Elek- 
troden mit gleicher positiver Stromstärke J" an, so muss eine 
dritte Elektrode mit entgegengesetzter und doppelt so grosser 
Stromstärke im Unendlichen angenommen werden. Dann ist 

(2) ^ = ^^^^^^1^2, 

und die Niveaucurven bestehen in einem System confocaler 
Lemniscaten. Die Stromlinien werden in diesem Falle, wie aus 
der Geometrie bekannt ist, gleichseitige Hyperbeln, die alle durch 



§. 171. 



iiförmige Platten. 



437 



die beiden Brennpunkte gehen. Wir haben hier einen Kreuzunge- 
punkt im Mittelpunkte der Lemniscaten. 

Auch für den Fall, dass im Inneren einer kreisförmigen 
Scheibe eine beliebige Anzahl von Elektroden «i,«^,-.. Hegt, lässt 
sich das Problem leicht lösen. Es müssen in diesem Falle die 
Stromstärken J^, J^, ... der Bedingung 
(3) J, +.7, + ... = 

genügen. Wir denken uns die Scheibe zu einer unendlichen 
Platte erweitert, und fügen zu jeder Elektrode et in dem hinzu- 
gefügten äusseren Theil eine Elektrode e,' hinzu, die dieselbe 
Stromstärke wie Cj hat, und deren Ort der harmonische Pol 
von ei in Bezug auf den gegebenen Kreis ist. 



Fig. 67. 




Wenn dann (ft und g'i die Entfernungen eines variablen 
Punktes von ei unä e't sind, so ist 

Von der Richtigkeit überzeugt man sieb leicht. Denn zu- 
nächst genügt der Logarithmus einer Entfernung q immer der 
Differentialgleichung ^ log 9 ^= 0. Führen wir aber Polar- 
coordinaten r, 9 um den Mittelpunkt <1es gegebenen Kreises ein, 
dessen Radius gleich c sei, so ist 

Q{ = r;' + rs — 2rr, cos (fr — *,), 
p'i« = r'- + r» ~ 2rr; cos (9 — *i). 



und auf der Peripherie des Kreises, also liir r = c, ist demnach 
fi g'^ = r'igl — c* [r, 4- n — 2 c cos (9 — *i)j. 



438 Einnndzwanzigster Abschnitt. §. 172. 

Die Normale an der Grenzcurve fallt aber hier mit dem 
Radius r zusammen, und es ist für r = c 

d log pi q[ c — Ti cos(^ — ^i) c — rlco8(^ — O^i) 1^ 

Es ist also nach (3) und (4) an der Peripherie des gegebenen 
Kreises 

er 

Dieser Kreis ist also Stromlinie, und kann als Grenze einer 
Platte betrachtet werden. 

Nehmen wir z. B. im Inneren des Kreises zwei Elektroden 
an, so haben wir zwei Kreuzungspunkte. Diese müssen auf der 
Kreisperipherie liegen. Denn der Differentialquotient dq>/dd^ 
kann nicht auf der ganzen Kreisperipherie einerlei Zeichen haben, 
weil sonst q> keine eindeutige Function sein könnte. Es muss 
also dtp/cd" auf der Kreisperipherie zweimal durch Null gehen. 
Die Fig. 68 zeigt den ungefähren Verlauf der Niveau- und 
Stromlinien. 



§. 172. 
Strömung in Röhrenflächen. 

Das Princip, das wir oben angedeutet haben, nach dem man 
unter Umständen unendlich viele Elektroden in einer unbegrenzten 
Platte annimmt, um die Strömung in einer endlichen Platte zu 
bestimmen, dient uns unter anderem dazu, um die Strömung in 
einem unendlichen, von zwei parallelen Geraden begrenzten 
Streifen zu bestimmen. Wir legen die ar-Axe in die eine be- 
grenzende Gerade und setzen zur Vereinfachung der Formeln 
die Breite der Platte = a. 

Wir wollen zunächst nur eine Elektrode e im Endlichen an- 
nehmen, weil sich aus diesem Falle der allgemeine leicht durch 
Superposition ableiten lässt Sind o, b die Coordinaten von e, so 
muss 6 < JT sein und ^^-ir setzen: 

(1) z = X -^ yi^ c = a -^ fei. 

Wenn nur eine Elektrode im Endlichen vorhanden ist, so 
muss eine zweite im Unendlichen liegen, und es ist nicht gleich- 



§. 172. Strömung in Röhrenflächen. 439 

gültig, ob wir diese auf der einen oder der anderen Seite an- 
nehmen, ob also die Strömung im Ganzen nach der positiven 
oder der negativen Seite der x hin erfolgt. Wir können auch 
auf jeder Seite im Unendlichen eine Elektrode annehmen. 

Wir denken uns nun zunächst unseren Streifen zu einer 
unendlichen Platte erweitert und fügen zu der Elektrode e eine 
zweite e! hinzu, die in Bezug auf die n;-Axe symmetrisch zu e 
liegt, also die Coordinate c' ^= a — bi hat, und lassen in ihr 
dieselbe Stromstärke eintreten wie in e. Dann ist für diese 
Strömung die x-Axe Stromlinie, nicht aber die Kante y = n. 
Wollte man diese zur Stromlinie machen, so hätte man eine 
Elektrode im Punkte c" = 27ci -}- (f annehmen müssen. Um 
nun dies zu vereinigen, nehmen wir Elektroden in allen Punkten 
2ÄÄi -j- c, 2hni -{- c' an, worin h eine ganze positive oder nega- 
tive Zahl ist. 

Alle diese Elektroden, mit Ausnahme der ursprünglichen, 
liegen dann ausserhalb des gegebenen Streifens. Ihre Lage fällt 
mit den Nullpunkten der Function 

(C — c*^) {e — e^) 

zusammen, und die Formel §. 170 (8) giebt uns, wenn wir noch 
zur Vereinfachung J/h = l setzen: 

(2) X = — log (e- —e^)(e'- e^'), 
oder wenn x ^= ^> -\- i^ gesetzt wird: 

(3) e-v-»> = {€' — e')(€' ^ e^). 

Wenn z reell ist, oder wenn der imaginäre Theil von z ein 
Vielfaches von ni ist, so wird der Ausdruck (2) reell, also ^ 
gleich einem Vielfachen von n. 

Es sind also, wie es sein sollte, alle Linien y = hn Strom- 
linien. 

Multiplioirt man den Ausdruck (3) mit seinem conjugirteui 
so ergiebt sich: 

(4) c-2y = [e2x _ 2e« + ' cos (6 — y) + c^«] 

X [e^* — 2^+* cos (6 + y) + e»«], 

woraus man für ein constantes 9? die Gleichung der Niveau- 
curven erhält. 

Für ein unendlich grosses negatives x wird 9 = — 2 a, 
also constant, für ein unendlich grosses positives x aber wird q> 



440 Einundzwanzigster Abschnitt. §. 172. 

negativ unendlich, und zwar genähert = — 2 x, und wir haben 
also hier den Fall, dass die zweite Elektrode auf der Seit^ der 
positiven x im Unendlichen liegt Um den entgegengesetzten 
Fall zu erhalten, setze man 

Xi = - log (e-' — e-0 (c^' - ^0 = Z + 2^ + c + c', 

oder man fuge, was dasselbe ist, zu der vorigen eine constante 
Strömung in der Richtung der negativen a;-Axe von gleicher 
Intensität hinzu. 

Man kann auch eine lineare Combination der Functionen 
X und Xi nehmen, und erhält dann eine Strömung, die theils 
nach der einen, theils nach der anderen Seite verläuft. 

Setzen wir q> = — 2a, so geht die Gleichung (4) über in 

€^' — 4c>'+« cos6 cosy -f 2c*+*« (2cos«fe + 2co8'y — 1) 

— 4^^ cos 6 cosy ^ 0, 

und dies ist die Gleichung einer speciellen Niveaucurve, nämlich 
der ins Unendliche verlaufenden. Für a; = — oo wird auf dieser 
Curve cosy = 0, also y = \n und diese specielle Niveaulinie 
hat also die Mittellinie der Platte zur Asymptote. 

Um die Kreuzungspunkte zu finden, haben wir dxide ^ 
zu setzen und erhalten aus (2) 

c* =r e« cos 6, 

also, wenn cos& positiv ist 

X = a -^ log cos 6, y = 0, 

und wenn cos 6 negativ ist 

a; ^ a -f- log cos 6, y = n. 

Wir haben also einen Kreuzungspunkt, der auf einem der 
beiden Ränder liegt, und zwar auf dem, der der Elektrode am 
nächsten kommt. Liegt die Elektrode gerade in der Mitte, so 
fällt der Kreuzungspunkt ins Unendliche. 

Dieser letzte Fall ist von besonderem Interesse. In ihm ist 
die Mittellinie der Platte auch Stromlinie, und wir können die 
auf ihn bezüglichen Formeln daher auch aus (2) ableiten, wenn 
wir c = c\ also 6 = setzen. Die streifenförmige Platte er- 
streckt sich dann von — ä bis -|- ä, und es ergiebt sich 

X = - 21og(C — c«), 



§. 172. 



Ström 



1 Röhrenfläebeii. 



441 



oder, wenn wir das Goordinatensyatem so legen, dass a ^ wird 
(5) X = - 2\os {e- - l). 

Für diesen Fall sind die Niveau- nnd Stromlinien in der 
beistehenden Fif^nr dargestellt. 

Dieser Fall bietet darum ein besonderes Interesse, weil er 
uns die Lösung des StrÖmungsproblenis io einer Cylinder- 
f lache giebt. 

Es hat nämlich die durch (5) definirte Function x ^i^- 
selben Werthe für y =: -|- w and y ^ — a und ist überhaupt 
periodisch mit der Periode 2;r. 
Denken wir uns daher den ^'K- ^^■ 

Streifen, mit Erhaltung der 
Functionswerthe %, zum Cy- 
linder zusammengerollt, und 
die Ränder an einander ge- 
heftet, so setzt sich die Func- 
tion X nebst ihren Differential- 
quotienten stetig über die 
Naht hinweg fort Sie ist also 
auf dem ganzen Cylinder stetig 
und genügt den Bedingungen, 
die wir im §. 169 formulirt 
haben. 

Der Umfang des Cylinders, der nicht nothwendig einen 
kreisförmigen Querschnitt zu haben braucht, ist hier gleich 2n 




Wenn nun auf einem solchen Cylinder mehrere Elektroden 
liegen, so führen wir ein Coordinatensystem ein, bei dem die y 
auf einem Querschnitt von einem beliebigen Anfangspunkte aus 
als Längen gemessen sind, und von bis 2n laufen, während 
die X von diesem Querschnitt aus auf den Erzeugenden desCylin- 
ders gemessen werden. Hat dann eine Elektrode e, die Coor- 
dinaten x ^^ a,, y =: b,, und die Stromstärke J^ so setzen wir 

c, ^ o, 4* *^' 
und erhalten nach (5) 

(6) ^ = -^SJ-\os^e■-e'•)-Al-S. 

Die lineare Function .il? -j- B kann hier hinzugefügt werden, 



442 Einundzwanzigster Abschnitt. §. 173. 

weil wir zu jeder Strömang eine constante StrömoDg in der 
Richtung des Cylinders hinzufügen können. 

Es ist hierin JIÄ: die Intensität der Strömung in der Richtung 
der JT-Axe fiir negativ unendliche jr, und JUt -^ S«/» für positiv 
unendliche x. 

Wenn im Unendlichen keine Strömung stattfinden soll, so 
muss ^ = und Ve/r = sein. 



§. 173. 
Strömung in einer Ringfläche. 

Aehnlich wie wir im vorigen Paragraphen eine elektrische 
Strömung in einem unendlichen Cylinder untersucht haben, bei 
der nur eine einzige Elektrode vorhanden war, wobei im Unend- 
lichen eine constante Strömung parallel der Cylinder- Erzeugen- 
den angenommen werden musste, so können wir uns auch eine 
Strömung in einer Ringfläche denken, bei der nur eine Elek- 
trode vorhanden ist Diese Annahme fuhrt dann freilich zu 
einem mehrwerthigen Potential, insofern das Potential, wenn 
man längs einem Parallelkreise um den ganzen Ring herum- 
gegangen ist, nicht wieder zu demselben Werthe zurückkehrt, 
und auch der Differentialquotient des Potentials zeigt noch eine 
solche Mehrwerthigkeit Um diese Erscheinung physikalisch zu 
deuten, kann man annehmen, dass eine elektrische Strömung in 
einem Querschnitt der Ringfläche aus- oder eintritt. 

Man kann aber die Mehrdeutigkeit des Potentials aufheben, 
wenn man verschiedene Elektroden zugleich annimmt, bei denen 
die Summe der Intensitäten verschwindet, und dies ist der Fall 
der Wirklichkeit, den wir aber durch das angedeutete Verfahren 
in mehrere einfachere Fälle zerlegen. 

Für die Mathematik erhalten wir auf dem angedeuteten 
Wege eine einfache Veranschaulichung der Fundamentaleigen- 
schaften der Theta-Functionen. 

Die Ringfläche, die wir betrachten, wird erzeugt durch die 
Rotation eines Kreises um eine in seiner Ebene gelegene Axe, 
die die Kreisperipherie nicht schneidet 

Wir haben schon früher die Punkte einer solchen Ringfläche 
durch zwei unabhängige Variable dargestellt 

Wenn nämlich a der Radius des erzeugenden Kreises, c der 



§. 173. Strömung in einer Ringfläche. 443 



Abstand seines Mittelpunktes von der Drehungsaxe, b = \c^ — a^ 
gesetzt ist, so werden die rechtwinkligen Coordinaten |^ rj, g 
eines Punktes der Ringfläche durch zwei veränderliche Winkel 
4ö, d ausgedrückt durch die Formel [§. 44 (13)]: 

I = r COS^, 

c -f- a cos oj 

(1) tj = — j sin ^, 

c -j- a cos (D 

«. — ab 

t = — i sin (D, 

c -\- a cos (D 

und wir können, um alle Punkte der Ringfläche, und jeden nur 
einmal zu erhalten, a und d- von — ^r bis -f- ^r gehen lassen 
(mit Einschluss der einen und Ausschluss der anderen Grenze). 
Constanten Werthen von d- entsprechen die Meridiankreise, con- 
stanten cd die Parallelkreise ; (o = ±i n ist der äussere, = der 
innere Aequator. 

Für das Linienclement auf der Fläche haben wir an der 
erwähnten Stelle den Ausdruck gefunden: 

(2) dö^ = T-T-^- z (a2 d ©a + 62 d ^a), 

^ ^ (c+acosoj;» v ^ /» 

und wir erhalten also eine conforme Abbildung der Ringfläche 
auf die a?y-Ebene, wenn wir 

(3) x= —-, y = —-, m = 



n ^ jr ' c -\- a cos o 

setzen: 

d(j2 = ,n2 {dx^ + dy% 

und die ganze Ringfläche wird einfach abgebildet auf ein Recht- 
eck, dessen Seiten die Gleichungen 

a; = i:a, ^ = + 5 

haben. Den Seiten dieses Rechtecks, das wir das Perioden- 
rechteck nennen, entsprechen die vier Ränder zweier Schnitte, 
von denen der eine längs dem äusseren Aequator (© = ± ä), 
der andere längs einem Meridian (-Ö" = ± ä) verläuft. 

Betrachten wir aber a:, y als krummlinige Coordinaten eines 
Punktes auf der Ringttäche, so entspricht allen Werthen 

X -f- 2fia, y + 2v6, 
für beliebige ganzzahlige fi, v derselbe Punkt der Ringfläche. 



444 Einandzwanzigster Abschnitt. §. 173L 

Nach §. 170 ist non das elektrische Potential q> der reelle 
Theil einer Function % = V> 'i' *^ ^^^ complexen Arguments 
iff = X -|- iy, die, wenn nur eine Elektrode angenommen wird, 
in einem Punkte logarithmisch unendlich wird. 

Eine solche Function lässt sich aber leicht darstellen 
mit Hülfe der schon im §. 142 zu einem ähnlichen Zwecke be- 
nutzten Theta- Functionen. Wir haben dort die Function be- 
trachtet : 

(4) ^,,(r) = 

00 

in der q einen echten Bruch bedeutet Diese Function kann 
auch durch die unendliche Reihe dargestellt werden: 

(5) ^i 1 (ü) r= 2 5*/< sin ;r t; — 2 q'* sin 3 sr t7 -f- 2 g"'< sin 5 ar t; — • • • 

Sie hat die Eigenschaften, die aus diesen Ausdrücken leicht 
zu verificiren sind: 



(„ »„ (, + iMi) = «, 



wenn fi, v beliebige ganze Zahlen sind, und sie verschwindet für 
keine anderen Werthe von v. Ausserdem ist sie für alle end- 
lichen Werthe von v endlich *). 

Hierin machen wir nun die Annahme: 



und setzen 


• 
• 


_ifb 

»1 1 (v) - 


V = 

-. e 


(4 






Dann < 


ergeben 


sich für 0(z) 


aus 


(6) die 


Eigenschaften : 


(8) 




0{0 

9(2 


+ o) — e 

-f- ib) — — e 


a 


-o). 
©(« — 


»6), 



») Weber, Elliptische Functionen, S. 48, 65. 



§. 173. Strömung in einer Ringfläche. 445 

und verschwindet in dem Periodenrechteck nur an der einen 
Stelle ß = 0. 

Nun bedeute y =: a -{- ßi irgend einen Punkt, der in dem 
Periodenrechteck liegt, so dass 

— a<a<a; —b<:ß<b. 

Wir setzen: 



(9) c^+*^' = e ^«* (^ - y), 

(10) c'^ = c *•' ® (ir — y) ® (^' — y% 

worin ^, y' zu jsr, y conjugirt imaginär sind. Dadurch ist q> 
als eine reelle Function 9? (a;, y) von a?, y eindeutig bestimmt. 
Für diese Functionen ergeben sich aus (8) die folgenden 
Eigenschaften: 

(11) q> (x-{- a,y) = q)(x — a, y\ 

(12) <p (a:, y + 6) = 9, (a:, y _ 6) + ?^, 

und ausserdem ist für den Punkt y 

9? -|- «^ = log {z — y) + funct. cont., 
also: 

(13) 9 = logr -f- funct. cont, 

wenn r = '^ (x — a)^ + (j/ — /S)^ die Entfernung des Punktes 
ß vom Punkte y bedeutet. 

Fasst man den Punkt y als Elektrode und 9 als elektrisches 
Potential auf, so hat man die eintretende Stromstärke = — 2 jrfc 
zu setzen [§. 169, (9)]. Die Formel (12) aber zeigt, dass bei 
y = -\- b und y = — ft die Function q> sowohl als d(p/dy 
verschiedene Werthe hat, und man muss daher die beiden 
Ränder eines an dieser Stelle durch den Ring geführten Schnittes 
als lineare Elektroden auffassen. Die an dieser Linie eintretende 
Stromstärke ist, auf die Längeneinheit bemessen, 

bei y = + b: j, = k^ 

bei y = — 6: j^ = — k ^ 
also nach (12) 



446 Einandzwanzigster Abschnitt. §. 174. 

und folglich die ganze durch diese Linien eintretende Strom- 
stärke 2arl\ also ebenso gross nnd im Zeichen entg^engesetzt 
wie die Intensität der Punktelektrode. 

Die dorch die Formel (12) aasgedrückte Unstetigkeit der 
Function q> ist, wie man sieht, Ton dem Punkte y unabhängig. 
Nehmen wir also mehrere solcher Punkt -Elektroden yi, y,, . . ^ 
mit den Stromstärken J^ J^^ ... und setzen 

(14) Ji — Jt- = 

Toraus. und bezeichnen, mit ff^^ 9:^ ... die diesen rerschiedenen 
y entsprechenden^ durch (10) definirten Functionen 9:, so erhalten 
wir für diesen Strömungszustand das Potential durch den Ausdruck 
dargestellt : 

und wegen (14j ist diese Function auf der Ringfläche eindeutig, 
und mit Ausnahme der Punkte y^^ y^^ ... stetig. 

Die lineare Elektrode ist jetzt nicht mehr Torhanden. 



$. 174. 
Strömung in einer zusammengesetzten Platte. 

Wir wollen noch einen Fall betrachten , in dem zwei lei- 
tende Platten Ton verschiedenem Leitvermögen in einer 
Linie zusammenstossen , wobei dann an dieser Trennungslinie 
eine Brechung der Stromlinien stattfinden mnss. 

Eine unendliche ebene Platte, deren Ebene wir zur jry- 
Ebene wählen, bestehe aus zwei längs der jf-Axe an einander 
stossenden Theilen aus rerschiedenem 31aterial, z. B. aus Kupfer 
und Zink. Für den einen Theil. den wir den ersten nennen 
wollen, hat dann x negative, für den zweiten positive Werthe» 
Wir bezeichnen alle Grössen, die sich auf den ersten Körper 
beziehen, mit dem Index 1, die entsprechenden für den zweiten 
Körper mit dem Index 2. 

Es sollen im ersten Theile die Elektroden ei. ^, «Tt • • • init 
den Stromstärken Ji. J\. J7, ..., im zweiten die Elektroden e^ ^ 
fj. ... mit den Stromstärken J^. J'^ J'i. ... liegen« in beliebiger 
Anzahl. Es sei aber 

Jx-^ J\ J\ -7- •-• — e/i — e/j — e/j -r- ••• = 0, 



§. 174. Strömung in einer zusammengesetzten Platte. 447 

eine Gleichung, die wir abgekürzt so darstellen: 

(1) 2«^i + S«^« = o- 

Wenn femer q)^ und gjj die elektrischen Potentiale im ersten 
und im zweiten Theil der Platte bedeuten, so ist (p^ nur für 
negative, 9)3 nur für positive x vorhanden. 

Die Coordinaten von Ci und e^ bezeichnen wir mit Oj, 61 
und O), &2i u^<l setzen 



r, = }j{x — a,y + (y - hy, 

verstehen also unter ri die Entfernung des variablen Punktes 
ar, y von der Elektrode ei, und entsprechend für die übrigen 
Elektroden. Sind endlich Jci und Jc^ die Leitfähigkeiten der beiden 
Plattentheile, und (1, 2) ihre Spannnungsdifferenz, also eine 
gegebene Constante, so haben die Functionen 9>i, (p^ die fol- 
genden Bedingungen zu erfüllen: 

I. Hauptgleichungen: z/qpi = 0, z/g?, = 0. 
II. In ßi und ^2 ist 

9>i = — 2^ log ^1 + ^^^^^' cont., 

9), = — 75— V- logra + funct cont 

III. Für a: = ist 

9>i - 92 = (1, 2), 1,-^ = 1,—. 

IV. Im Unendlichen erhalten (pi und g)^ constante Werthe, 
deren Unterschied gleich (1, 2) ist. 

Dieses Problem lässt sich sehr einfach in folgender Weise 
lösen: wir schliessen zunächst den Fall aus, dass einer der 
Punkte 61 symmetrisch zu einem Punkt 62 liegt, und nehmen 
zu jeder Elektrode e ihr Spiegelbild s in Bezug auf die Grenz- 
linie. Nach der Annahme fällt keiner der Punkte s mit einem 
der Punkte e zusammen. Wir bezeichnen mit g die Entfernung 
des variablen Punktes :r, y von £, setzen also z. B.: 



448 Einandzwanzigster Abschnitt. §. 174. 

An der Grenze selbst, also for x = 0, ist 

(3; n = ^1, r, = Qf 

clogTi clo^pi ?logr, clogps 

cx cz ' ex ex 

Wir machen den folgenden Ansatz: 

worin sich die Snmmenzeichen auf die sammtlichen Elektroden 
1 oder 2 beziehen. ^|, B^ C^ A^, Bf, C, sind Constanten« die 
noch näher zn bestimmen sind. 

Durch diese Annahme sind die Bedingongen L und IL schon 
befiriedigt und damit IV. erfuUt sei. muss 

(5) v.,,_VB,=|^. -A-!lB. = |^. 

(6) C, — C^ = (1, 2) 

sein. Dnrch (6) ist eine der Constanten Ci. Ci dnrch die andere 
bestimmt; eine Ton ihnen bleibt der Natur der Sache nach 
willkürlich. 

Die Bedingungen IIL ergeben nun mit Rücksicht auf (3i 
und (6) 



= ^{^-i,B,-i,A,) 



ex ' 



und da diese Bedingungen für alle Punkte der Grenze besteites. 
müssen, so ergeben sich die folgenden Gleichungen: 

j — B _ ' 1- J !• R .j- ZL 

Ji — ^: .2sk, • *'^' — *i^i 2»- 

woraus man erhält: 




§. 174. Strömung in einer zusammengesetzten Platte. 449 

A < A -D ^\ fei fej 

j — ^a ü ^2 fei — fc j 

^a — j^^jij^^^y ^^— 2Äfe, fei + fe^' 

und hierdurch sind auch, mit Rücksicht auf (1), die Bedingungen 
(5) befriedigt, woraus sich dann folgende definitive Lösung des 
Problems ergiebt: 

(8) 

Diese Formeln bleiben aber auch noch richtig, wenn der 
vorhin ausgeschlossene Fall eintritt, dass einige der Punkte £ 
mit Punkten e zusammenfallen. 

Nehmen wir an, dass auf jeder Seite nur eine Elektrode 
vorhanden sei, und setzen Ji = — J^ = J^ so folgt hieraus als 
Specialfall: 

•^« = - 2^^({-+-ik7) K^^> + ^■'> '«8»-. - 2fcilogr, 

(m + (^"l — h) log Qi] + C\, 

— (fci — ^•a) log Qt] + Cj, 

was für hl = Aj in den früher schon gefundenen Ausdruck für 
eine homogene Platte übergeht. 

Nehmen wir in (9) an, dass die beiden Elektroden symme- 
trisch liegen, so wird pi = r,, Qj = r^, und es ergiebt sich: 

Hier werden also die Niveaulinien, und folglich auch die 
Stromlinien, genau dieselben (Kreise), als ob die Platte homogen 
wäre. 

Bieniann-Webcr, Partielle Diflereotialgleichangen. 29 



450 Einandzwanzigster AbschnitL §. 174. 

Ehidlich wollen wir noch den Fall betrachten, dass in dem 
zweiten Theile der Platte keine Elektrode liege, in der ersten 
zwei, f|, ti. Dann ergiebt sich ans (8): 

V. = - J-r flog - - r-=^ •<>;? -•) - <^'. 



^«=-^(ir^^*«^ + ^" 



nnd es zeigt sich also, dass in der elektrodenfireien Hälfte der 
Platte die Strömung ganz so erfolgt, als ob die Platte homogen 
wäre, nämlich in Kreisen, die sich in den Elektroden schneiden. 
In der die Elektroden enthaltenden Hälfte der Platte erfolgt 
die Strömung nach einem complicirteren Gesetze. 



Zweiundzwanzigster Abschnitt 

Strömung der Elektrioität im Baume. 



§. 175. 



Anwendung des Green'sclien Satzes auf elektrische 

Strömung. 

Im §. 163 haben wir die Bestimmung der elektrischen Strö- 
mung im Räume unter gewissen vereinfachenden Voraussetzungen 
auf die Aufgabe zurückgeführt, die Differentialgleichung 

(1) . ^9 = 

mit der Grenzbedingung zu integriren, dass an der Oberfläche 
des gegebenen Raumes r 

(^) ij = *• 

d. h. gleich einer gegebenen Function an der Oberfläche sein 
soll. Diese Function ist nicht ganz willkürlich, sondern muss 
der Bedingung 

[ Odo = 

genügen; andererseits ist aber durch die Bedingungen (1) und (2) 
die Function qp nur bis auf eine additive Constante bestimmt. 

Diese Aufgabe lässt sich nun mit Hülfe des Green' sehen 
Satzes auf eine einfachere zurückführen. 

Wir können hierzu die Formel §. 97 (1) benutzen. Wenn 
nämlich Z7, V zwei im Gebiete r stetige Functionen mit stetigem 
Gefälle bedeuten, und p, q zwei Punkte dieses Gebietes in der 
gegenseitigen Entfernung r sind, so ist nach dieser Formel 

29* 



452 Zweinndzwanzigster Abschnitt. §. 175. 

(3) 4nVj,= {{u—^\jVdT—{rJUdT 



4- 



\ r/ön 



dn 



do. 



Wir bestimmen nun eine Function H von zwei Punkten p, q 
im Innern des Raumes r, die, als Function von g, der Differential- 
gleichung 

(4) dH=0 

m 

genügt, die überall, mit Ausnahme des Punktes j9, stetig ist und 
den Bedingungen genügt, däss im Punkt i? 

1 

(5) H = 1- funct cont., 

und an der Oberfläche 

(6) TZ — = const. 
^- cn 

ist. Die Constante in (6) ist nicht willkürlich, sondern es er- 
giebt sich dafür aus (3), wenn man 

(7) fr=i + H 

und V= l setzt: 

(8) F. const. = — 4 Ä , 

wenn F die Grösse der Oberfläche von r ist, also sowohl von p 
als von q unabhängig. 

Setzt man aber in (3) für V die Function 9 und macht für 
U die Annahme (7), so folgt : 

(9) 4:7cq}p = Const. -|- j a>i?do, 
worin die neue Constante mit der in (6) durch 



Const 



. = — const. I (pdo 



in Zusammenhang steht. Diese Constante ist zwar von vorn- 
herein nicht bekannt; es kommt aber auch für die Function 9 
auf eine additive Constante nicht an, und durch (9) ist also, 
wenn H bekannt ist, unsere Aufgabe gelöst. Wir können in der 
Formel (9) die Constante = setzen. 



§. 175. Anwendung des Green'schen Satzes. 453 

Die Function H hat für sich selbst eine physikalische Be- 
deutung. Sie ist das elektrische Potential unter der Voraus- 
setzung, dass durch eine punktförmige Elektrode in p ein Strom 
von der Intensität 4c nX austritt, der mit überall gleicher Dichtig- 
keit durch die Oberfläche eingetreten ist, worin X die Leitfähig- 
keit der Substanz bedeutet [§. 166 (4)]. 

Diese Function //, die nur von den geometrischen Verhält- 
nissen des Körpers r abhängig ist, wird von F. Neumann die 
charakteristische Function genannt^). 

Die Function H oder Hp^q unterscheidet sich von der 
Green' sehen Function (§. 97) nur durch die veränderte Form 
der Oberflächenbedingung (6). Durch die^e ist die Function H 
nur bis auf eine additive Constante, d. h. eine von g unabhängige 
Grösse, die aber eine willkürliche Function von p sein kann, be- 
stimmt. Ueber diese willkürliche Function kann man aber noch 
eine nähere Bestimmung treffen. 

Betrachten wir zwei Functionen, Hp^^q und Hp^q^ und wenden 
darauf die Formel §. 97 (4) an, in der wir G durch H er- 
setzen, so ergiebt sich: 

was sich mit Hülfe von (6) und (8) auch so darstellen lässt: 

Da nun das Integral 

^Hp^qdo 

nur eine Function des einen Punktes p ist, so können wir die 
erwähnte additive Function so bestimmen, dass, wie bei der 
Green' sehen Function 

(10) Hp^q = Hq^p. 

Hierdurch ist dann die Function Hp^q bis auf eine von p 
und q unabhängige additive Grösse, die willkürlich bleibt, be- 
stimmt. Dabei sind p, q aber als innere Punkte voraus- 
gesetzt. 



') Vorlesungen über elektrische Ströme, herausgegeben von K. Von- 
derMuhll. Leipzig 1884. 



454 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 175. 

Lässt man einen der Punkte, etwa j), in die Oberfläche 
rücken, so geht H in eine ganz bestimmte Function von q über, 
der wir keine Bedingungen mehr vorschreiben dürfen. Es lässt 
sich zeigen, dass die Bedingung (5) für diesen Fall nicht mehr 
allgemein besteht. Genauer kann man aber das Verhalten der 
Function H für die Oberflächenpunkte erst dann bestimmen, 
wenn sie durch Integration ermittelt ist 

Nehmen wir an, dass eine endliche Anzahl von Elektroden 
e^y 6a,... mit den eintretenden Stromintensitäten iniai*** ^^ ^^^ 
Oberfläche vertheilt sind, und denken uns diese Elektroden wie 
in §. 167 als kleine Scheiben, in denen wir 9 als constant an- 
sehen, so ist O im Allgemeinen gleich Null, und nur inner- 
halb der Elektrodenflächen e. 



_ — ^1 



[§. 167 (1), (2)], 



2ÄAr,.yr?— r2 

wenn ty der Radius der Elektrode ist. Nach unserer Annahme 
sind die Dimensionen der Elektroden sehr klein im Vergleich zu 
den Dimensionen des Körpers. 

Ist nun der Punkt p entfernt von allen Elektroden, so er- 
hält AJ* wenn q innerhalb einer Elektrode liegt, endliche Werthe, 
die nur kleinen Schwankungen unterworfen sind. Wir setzen 
also den Werth von H in e^ gleich -B^,«^. Dann ergiebt die 
Formel (9) 

(11) *''9'- = -2 2^^Jp^^;i' 

und durch Ausführung der Integration in Bezug auf do über 
die ganze Elektrodenfläche 

(12) 4jrA9p = — 2>^P'«»' 

wo die Summe sich auf alle c» bezieht. 

Zur Bestimmung des Widerstandes kommt es aber darauf 
an, die Function q)p unter der Voraussetzung zu bestimmen, dass 
der Punkt p in einer der Elektroden, etwa in ei, liegt. Dann 
enthält die Summe (11) ein Glied 

und der Werth des Integrals 



§. 176. Methode von Eirchlioff. 455 

1 r Hdo 



(14) 



27tri J fri — r« 



lässt sich ermitteln, wenn die Function H bekannt ist. 

Für die übrigen Glieder der Summe (11) gelten die früheren 
Ausdrücke. 

Nehmen wir nur zwei Elektroden ei, e^ an und setzen 
j =ji = — j'j, so ergiebt sich 

4 Ä A 9, = — j (— üj + ^i,a), 

wenn zur Vereinfachung qpi, 92, //],a für ^en 9«,, Äi.e, gesetzt 
ist, und demnach ist der Widerstand des ganzen Körpers 
[§. 167 (8)] 

<^^) '^^ = 4^ (^^^'^ - f^i - ü,). 



§. 176. 

Methode von Kirchhoff zur Vergleichung der 

Leitfähigkeiten. 

Auf die Theorie der Stromvertheilung in körperlichen Leitern 
bat Kirchhoff eine Methode gegründet, um das Yerhältniss 
der Leitfähigkeiten verschiedener Substanzen zu bestimmen 1). 
Das Princip dieser Methode lässt sich aus den Entwickelungen 
des vorigen Paragraphen leicht ableiten. 

Wir wollen vier Elektroden 61, Cg, «3, €4 annehmen; 6j und 64 
sollen durch einen Prüfdraht, etwa ein Galvanometer, mit ein- 
ander verbunden sein, in dem keine elektromotorische Kraft 
thätig ist Es wird dann ein Strom von der Intensität j durch 
«3 ein- und durch 64 austreten. Durch 61 und e^ soll der Strom 
einer galvanischen Kette, dessen Intensität J sei, ein- und aus- 
treten. Die Stromstärke j wird dann von der als gegeben be- 
trachteten Stromstärke J abhängen, und kann bestimmt werden, 
wenn noch der Widerstand tv des Galvanometers bekannt ist 

Nach den Formeln (11), (12) und (13) des vorigen Paragraphen 



^) Monatsbericht der Berliner Akademie vom Juli 1880 und vom 
16. April 1883. 



456 Zweiandzwanzigster Abschnitt.. §. 176. 

erhalten wir für die AVerthe q>i^ 9)2 , 9)3, 94 des elektrischen 
Potentials in den Elektroden 61, e^, ej, e^ die Ansdröcke 

4%A<p, = - JÄ,4 + JJ3i,4 -iifM -f i f/4. 
Hieraus ergiebt sich nach §. 175 (15) 

(2) 'f 

1^3,4 = J^ (2/?3,4 - f7, - Ü4) 

für die Widerstände des Körpers, wenn nur die beiden Elek- 
troden 1,2 oder 3,4 in Thätigkeit sind. 

Nun fliesst aber auch im Galvanometerdraht ein Strom von 
der Intensität j, und zwar von e^ nach e^ gerichtet, und wenn 
daher w der Widerstand des Galvanometers ist, so haben wir 
nach §. 165 

(3) j W7 = 94 — 93 , 

oder mit Hülfe der beiden letzten Gleichungen (1) 

4«Aiii; = J(H,,,-fli,4 + /?M — i^M)+i(Di+04-2fia.4), 
also mittelst der zweiten Gleichung (2) 

(4) ^nkj{w + TF3,4) = J{H,,s — if,,4 + ^2,4 - fli,8). 

Wenn wir nun annehmen, was in praktischen Anwendungen 
immer zutrifft, dass der Widerstand TF«,4 gegen den Wider- 
stand w vernachlässigt werden darf, so ist hieraus 

^^^ •^' '" = iIä (^^'•» ~ ^'■* + ^^* - ^*'»)- 

Bezeichnen wir mit P das elektrische Potential in einem 
beliebigen Punkt p, das sich ergeben würde, wenn nur die 
beiden Elektroden gj, €2 in Thätigkeit wären , und zwar punkt- 
förmig und mit der Intensität J= 4tnk, so ist nach §. 175 (12) 

und wenn also Pj,, P4 die Werthe der Function P in den Elek- 
troden ^8, «4 bezeichnen, so können wir die Formel (5) auch so 
schreiben : 



§. 177. Strömung in einer Kugel. 457 

(6) •^■'^ = 4^-ä(^'-^«)- 

um nun hieraus k zu bestimmen, nehmen wir an, dass zwei 
solche Körper A, A\ wie wir hier einen betrachtet haben, hinter 
einander in denselben Stromkreis mit der Intensität J ein- 
geschaltet seien. 

Die Elektroden Cg, e^ einerseits, e\^ e'z andererseits, verbinden 
wir mit den beiden Windungen eines Differentialgalvanometers, 
welches so eingerichtet ist, dass kein Ausschlag der Magnetnadel 
erfolgt, wenn beide Windungen in umgekehrter Richtung von 
demselben Strome durchflössen sind. Dann wird bei der oben 
beschriebenen Anordnung die Magnetnadel dann in Ruhe bleiben, 
wenn j = / ist. Dies erreichen wir durch Vergrösserüng oder 
Verkleinerung des Widerstandes iv* der zweiten Galvanometer- 
windung durch passende Ein- oder Ausschaltungen, und dann 
sind w^ w* als durch die Beobachtung gegeben anzusehen. Wir 
haben dann ausser (6) die Gleichung 

und daraus 

Hierin sind nun die Grössen P, P' aus der Theorie zu be- 
stimmen, was voraussetzt, dass die leitenden Körper Ä^ Ä' eine 
wohl definirte einfache Gestalt haben. Besonders einfach ge- 
staltet sich aber die Theorie dann, wenn die beiden Körper A^ A! 
geometrisch congruent sind und auch die Elektroden an con- 
gruent liegenden Stellen angebracht sind. Dann sind nämlich 
die P und P' identisch und wir erhalten einfach 

(9) '^ = i. 



§. 177. 
Strömung in einer Kagel. 

Einfach ist die Bestimmung der Function H für eine Kugel, 
Wir bezeichnen mit c den Radius der Kugel, mit Qo, q die Ab- 



458 



Zweiundzwanzigster Abschnitt. 



§. 177. 



stände der Punkte p und q vom Mittelpunkte, und mit d' den 
.Winkel zwischen Qq und q. 

Indem wir nun die Function ü [§. 175 (7)] nach steigenden 
Potenzen von q entwickelt annehmen, setzen wir 



(1) 



H=-l + ^A,(,'P,, 



n=0 



worin Pn oder Pn (cosd") die einfache Kugelfunction n**' Ordnung 
(§. 112) und An eine Constante bedeutet; und wenn wir noch 

Fig. 70. r = Vp« — 2(>(>ocos«' + p^ 

setzen und 1/r nach fallenden 
Potenzen von q entwickeln, er- 
giebt sich für p > po 

^ = -2:7?^^» 




«=0 ^ 



00 



+ 2^«?"^- 



n = 



dH 

da 



Hieraus folgt nun für q = e 



= 2 ^^^^^^- + 2^--^-. 



und da diese Grösse nach §. 175 (6) constant sein soll, so 
muss für jedes positive n 

_ ^ + 1 Qo 



^« = — 



n c2"+i 



sein, während Aq unbestimmt bleibt und gleich gesetzt werden 
kann. Demnach wird 



00 



(2; 



r 




n + 1 Q^Ql 



n = l 



n 



Diese unendliche Reihe lässt sich aber durch einen ge- 
schlossenen Ausdruck darstellen. Es ist nämlich [§. 112 (2)] 

und wenn man mit cIq/q mültiplicirt und integrirt 

c dg 



(4) 







^pocosd' -j- P*P 






§. 177. Strömung in einer Kugel. 459 

Setzen wir 
(5) p' = — , -S. = 5_, 

80 ist p' die Entfernung des Poles g' von g vom Mittelpunkte 
(Fig. 70) und es ergiebt sich 

= — i log((>' — Po cos^ + V(»'2_2p,p'co8^ + p2> 

und daraus nach (4) und (5), wenn man die additive Constante 
aus (» = bestimmt, 

(7) V--?^P - 

log(c2 — p Po cos«" -|- Vc* — 2029^0008-^ + q^qI) 

c 

+ - log 2 c». 

Demnach ergiebt sich schliesslich explicite durch Addition von 
(3) und (7) nach (2) 

(8) J?=i— ^ ^ 



H log (c2 — p Po cos-^ + yc* — 2 c2 p Po cos -9- + p« pj) 

c 

— i log 2 c2. 

Um hieraus nach der Formel §. 175 (15) den Widerstand 
der Kugel zu berechnen, muss man diesen Ausdruck auf zwei 
Punkte der Kugeloberfläche anwenden; man setzt also p = po = c 
und erhält 

(9) H=l i-^ + llog(sin«f + 8inf). 

c Sin ^ 

Dieser Ausdruck giebt uns unmittelbar den Werth //«j,««, 
wenn man unter -O* den auf der Kugelfläche gemessenen Winkel 
zwischen den Mittelpunkten der beiden Elektroden versteht. 

Um aber üi zu finden, hat man -9" vom Mittelpunkte der 
ersten Elektrode innerhalb dieser zu messen, und da hierbei d^ 



460 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 178. 

fortwährend sehr klein bleibt, kann man r = 2c sm(d'/2) setzen 
und kann das Quadrat von r gegen r selbst vernachlässigen. 
Man erhält dann aus (9) 

Hiernach hat man den Ausdruck 

TT — ^ f -^i^Q _ Jl c' Hirdr 



zu bilden und findet durch Ausführung dieser Integration 

(10) l\ =_^ + llog^, 

und ebenso 

(11) f/,=_5 + llog^, 

und folglich erhält man den Widerstand 

/io\ TXT • 1 fjr , Ä 1 , rifa , 2 



- —- ^ + -c 1*^« V"° 2 + '^"^ 2))' 



c sm 
worin also 0" den Winkelabstand der beiden Elektroden bedeutet 



§. 178. 
Strömung in einer planparallelen Platte. 

Es soll jetzt die stationäre Strömung der Elektricität in 
einer planparallelen Platte untersucht werden, die wir zunächst 
als seitlich unbegrenzt annehmen. Es sei also ein Leiter begrenzt 
von zwei unendlichen parallelen Ebenen und es trete ein elek- 
trischer Strom von der Intensität j ein und aus durch zwei ein- 
ander gerade gegenüberstehende, gleiche^ kreisförmige Elektroden, 
über die wir die Voraussetzungen wie in §. 167 machen. 

Wir wählen die Mittelebene der beiden Grenzebenen zur 
xy 'Ebene und bezeichnen die Dicke der Platte mit 2A, den 
Radius der Elektroden mit rj. Führen wir Cylindercoordinaten 
^, r, d" ein, so ist, wie aus der Symmetrie folgt, das elektrische 



§. 178. Strömung in einer planparallelen Platte. 461 

Potential 9 von dem Winkel ^ unabhängig. Nehmen wir die posi- 
tive ^-Axe der Richtung des positiven Stromes entgegengesetzt, 
80 ergeben sich, wenn k die Leitfähigkeit der Substanz be- 
deutet, zur Bestimmung von q> die Bedingungen 

<^) 87^ + 7 87 + äi = ^' - A < ^ < + Ä, 

(2) || = 0, ^ = ±Ä T>T,, 

CB 2 Ä A fi y *"i — «"' 

für unendlich grosse Werthe von r muss 9 einen constanten 
Werth erhalten. 

Aus der Symmetrie der Anordnung folgt, dass der Strom 
die Mittelebene senkrecht durchsetzt, dass also die Ebene £^ = 
eine Niveaufläche sein muss, und da 9 bis jetzt nur bis auf eine 
additive Constante bestimmt ist, so können wir annehmen, dass 

(4) 9 = für £f = 

sein soll. Dann folgt, wie gleichfalls aus der Symmetrie zu 
schliessen ist, 

(5) ^>{.— z) = — ^>{z\ 

d. h., 9 ist eine ungerade Function von e. 

Es genügt daher, wenn wir die Function ^> für positive 
Werthe von z gefunden haben. 

* Zur Integration wenden wir die Methode der parti- 
cularen Lösungen an, die darin besteht, dass man particulare 
Lösungen der Differentialgleichung (1) zu bestinmien sucht und 
dann von dem Satze Gebrauch macht, dass man bei linearen 
Differentialgleichungen allgemeinere Lösungen erhält, wenn man 
die particularen mit willkürlichen Constanten multiplicirt und 
die Summe bildet. 

Wir suchen nun der Differentialgleichung (1) dadurch zu 
genügen, dass wir für 9 das Product JBZ einer Function JB von 
r allein und einer Function Z von z allein setzen. Dies giebt 
die Bedingung 

^^ B, \dr^ '^ r dr)~ Z ~dz^' 

und diese Gleichung, deren eine Seite nicht von z^ deren andere 



462 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 178. 

nicht von r abhängt, kann nur bestehen, wenn beide Seiten 
gleich einer und derselben Constanten a^ sind, also: 

d^R , l dB . ,^ 
^ ^ dr^ ^ r dr ^ ' 

^ "^ dz^ 

Die Lösung wird allgemein genug, wenn wir a> als positiT 
(a reell und positiv) voraussetzen. Wollten wir eine andere An- 
nahme machen, so würde sich die Lösung in einer anderen Form 
ergeben, die sich aber den Grenzbedingungen weniger leicht an- 
passen lässt. Die Gleichung (8) wird dann durch die Function 

Z = ef^* — c^«« 

befriedigt, und zwar so, dass zugleich die Bedingungen (4) und 
(5) durch das particulare Integral selbst erfüllt sind. 

Die Differentialgleichung (7) geht, wenn wir a; = ar setzen, 
in die Differentialgleichung der Bes sei' sehen Function Jq{x) 
oder J{x) über [§. 69 (13)], und wir können also 

R = J{ar) 

setzen. Das zweite particulare Integral der Differentialgleichung (7) 
kommt hier nicht in Betracht, weil es für r = nicht endlich 
bleibt. Demnach genügen wir der Differentialgleichung (1), wenn 
wir für q> einen Ausdruck von der Form setzen 

(9) 9 = ^^J(ar)(e«' — e-«'), 

worin sich die Summe auf der rechten Seite auf verschiedene 
Werthe von a bezieht und A eine Reihe willkürlicher Gonstanten 
durchläuft. 

Nun liegt aber hier kein Grund vor, irgend einen positiven 
Werth von a auszuschliessen. Wir können also in der Summe 
(9) unendlich viele, in unendlich kleinen Intervallen auf einander 
folgende Werthe von a benutzen. Die Constante A hat dann 
für jedes a einen willkürlichen Werth, und sie kann also ala 
eine willkürliche Function von a angesehen werden, die wir mit 
F{a)da bezeichnen, worin da den unendlich kleinen Zuwachs von 
einem Werthe a zum nächsten bedeutet Hierdurch erhalten wir 
für 9 einen Ausdruck durch ein bestimmtes Integral, dem wir 
die Grenzen und oo geben können, nämlich 



§. 178. Strömung in einer planparallelen Platte. 463 

OD 

(10) q>= {F(a)J{ar)(ef" — €r'')da. 



Die Function F(a) ist hierin noch so zu bestimmen, dass 
die Bedingungen (2), (3) erfüllt werden. 

Um dies zu erreichen, bemerken wir, dass sich die beiden 
Bedingungen (2) und (3) mit Hülfe der für Bessel'sche Func- 
tionen bestehenden Integralformeln in eine zusammenfassen 
lassen. Es ist nämlich nach §.77 (6) und (7) 



f 



sin (ari) J(ar) da = 0, ^ > ^n 



1 ^ 

und hiemach können die beiden Bedingungen (2) und (3) durch 
die eine ersetzt werden: 



Aus (10) aber ergiebt sich für jer = Ä 

OD 

(12) ||- = f F(a) J{«r) « (c«* + «-*") da, 



and durch den Vergleich von (11) mit (12) findet man 

V(,A — ^ »" (««"i) 

'-^^ 2aAri a(c«* -(- e-"*)' 
und folglich 

/1Q^ J r^' — «~"'t/ xSinar,, 

<^^> '' = 2^^ J e-'^ + e-* '^^"*"> ^- '^"- 



Dies Integral convergirt unbedingt für alle Werthe von 
zwischen — h und -\-h und verschwindet für r = 00. Es ge- 
nügt also allen Bedingungen unserer Aufgabe. 

Unser Ausgangspunkt in den Betrachtungen §. 167, die auch 
hier zu Grunde liegen, war der, dass tp innerhalb der Elektroden- 
flächen einen constanten Werth haben sollte. Dieser Forde- 
rung entspricht unser Ausdruck (13) aber nicht genau, sondern 
nur 80 weit, als r^ im Vergleich mit h als unendlich klein an- 
gesehen werden kann. Es zeigt sich aber hier, dass der Aus- 



464 Zweiundzwanzigster Abschnitt §. 178 

druck (13) innerhalb einer Elektrodenfläche, also für jer = ä und 
r < fi, schon mit Vernachlässigung von Grössen der Ordnung 
(ri/hy constant wird, und man kann daher mittelst (13) auch 
die Abhängigkeit des Widerstandes von ri und h mit einer ge- 
wissen Annäherung finden. 

Aus (13) erhalten wir nämlich, wenn wir an die Elektrode 
£r = -f- Ä, r < ri gehen, 



oder, wenn wir 



c«* — c-«* 2c-^*** 



setzen 



ef^hj^ fr-ah 1 + C 





j r e~^"* J(«r)sinari d« 
äAtT J a(l -f- e-*«*) 



Es ist aber nach §. 78 (3) für r < rj 
(16) j J{ar) sin ar^ -^ = |^ 



und ferner 







00 

^ ^ J a(i 4-^2«Ä^ 





00 





und nun können wir mit Vernachlässigung von Grössen der 
Ordnung {r^jhy setzen 

Danach wird das Integral (17) gleich 





Aus (15) und (18) ergiebt sich 



^1 f ß"*" j ^1 log 2 



§. 179. Riemann's Theorie der Nobili'schen Farbenringe. 4G5 

_ __J iiog2 

Der Widerstand W der Platte ist aber nach §. 167 aus 

j W= fph — q>-h = 2q>H, 
bestimmt, und folglich ist 



(19) Tr = 



1 log2 



2 A Ti 7t kh 



§. 179. 
Riemann's Theorie der Nobili'schen Farbenringe. 

Der Ausdruck (13) §. 178 für das Potential 9 gestattet leicht 
den Uebergang zu punktförmigen Elektroden. Man braucht darin 
nur fi = und sinarj/ari = 1 zu setzen. So ergiebt sich 

00 



Für eine dünne Platte, d. h. für Werthe von r, die im Ver- 
gleich zu h gross sind, ist dieser Ausdruck schlecht brauchbar. 
Denn das Integral ist für e = h nur bedingt convergent, und 
das Integral, was den Differentialquotienten d(p/djs darstellt, ist 
für z=zh divergent. Es lässt sich daher auch dem Ausdruck (1) 
nicht unmittelbar ansehen, dass er der Bedingung §. 178 (2) 
genügt Einen Ausdruck, der in dieser Hinsicht weit vorzuziehen 
ist, erhalten wir, wenn wir die Function 9 in eine Sinusreihe 
entwickeln, in der jedes einzelne Glied jener Grenzbedingung 

genügt, also in eine Reihe, deren Glieder den Factor sin ^ ^er 

enthalten, worin n die Reihe der ungeraden ganzen Zahlen 
durchläuft. 

Wir entwickeln also eine ungerade Function /(jgr), die in dem 
Intervall von — h bis +* ™^ ^^^ Function 

fittt fl—az 

(2) 



Übereinstimmt, und darüber hinaus nach dem Gesetze: 
(3) f{z) = /(2 h - z) 

Biemann-Weber, Partielle Differontialgleichaxigeii. 30 



466 



Zweiundzwanzigster Abschnitt. 



§. 179. 



fortgesetzt wird, nach §. 33 in eine Sinusreihe 

und in dieser Reibe kommen nach (3) nur die ungeraden n vor. 
Man findet nach §. 33 für A^ 

h 
9 

A. 



— 1 {^' 



+ e- 



sin TTT- jer dz, 



ah 



2h 



und nach Ausführung dieser Integration 

n — l 

(5) 



2 



^»=(-1)^ ^ 



a 



a« + 



4Ä« 



Macht man hiervon in (1) Gebrauch, so folgt 



(6) 



9 = 



nkh 




(_1) . sin^ir 



aj(ur) da 



J 





«2-^ 



TP" 



Setzt man hierin nach §. 73 (9) 

j, . 2 f8in(arg)dS 
e/(ar) = - — 7- — -^— ^ , 

so erhält man durch Umkehrung der Integrationsfolge: 



00 



aJ{(x,r)d(x, 2 



.^ 



«a-f 



J 





ng;r2 
"4Ää" 



dl 



/^ 



VS^ - 1 



a sin (a r £) c7 a 



J 

1 



./ 





a2 4- 



4/i2 



und wenn man die Integration in Bezug auf a nach §.19 (3) 
ausführt, so ergiebt sich 



(7) 







(_ 1) 2 sin ^ ^ 



J 
1 



n TT w 



Vl"^-i 



Dieser Ausdruck wird unendlich für r = , ist aber sehr 
gut convergent für grosse Werthe von r. 
Der Coefficient 

00 

f y^T ^^ = 1 1^('*^ + '''('■^>1 t§- 73 (9)] 



§. 179. Riemann's Theorie der Nobili'schen Farbenringe. 467 

ist eine Bessersche Function und kann für hinlänglich grosse 
Werthe von A durch eine halbconvergente Beihe dargestellt werden. 
Beschränkt man sich in dieser halbconvergenten Reihe auf das 
erste Glied, was für grosse Werthe von rjh gestattet ist, §. 76 (16), 
80 folgt 



(8) 






oder endlich, wenn man sich auch in dieser Reihe auf das erste 
Glied beschränkt, 

<'^ •^ = ;^''~'^''''^^'' 

ein Ausdruck, der für hinlänglich grosse Werthe von r/A ge- 
nügende Genauigkeit giebt. 

Diese Formeln geben für z •= den Werth 9 = 0, und es 
ist in ihnen also auch, wenn man sich auf positive Werthe von 
z beschränkt, die Lösung eines anderen physikalischen Problems 
enthalten, nämlich das der Strömung in einem Elektrolyten, 
der in einer Schicht von der Dicke h eine Metallplatte über- 
deckt, wenn der Strom durch eine Elektrode an der Oberfläche 
des Elektrolyten eintritt. Es muss in diesem Falle das Potential 
in dem guten Leiter constant sein und kann gleich Null gesetzt 
werden. Der Differential quotient kdtp/cz giebt für z = die 
Dichte, mit der der Strom in die Metallplatte eintritt, die eine 
Function von r ist. Die Formel (9) ergiebt dafür den ge- 
näherten Ausdruck 



dq) _ j 



n r 



(10) ^-J-= I 

Hierauf hat Riemann eine Theorie der Erscheinung der 
Nobili'schen Farbenringe gegründet i). Bei geeigneter Anord- 
nung nämlich scheidet sich auf der Metallplatte ein Ion ab, und 
zwar in einer Menge, die der Stromdichte proportional ist. Wenn 
nun die abgelagerte Schicht die Farben dünner Plättchen zeigt, 
80 lässt sich aus der Farbe die Dicke dieser Schicht sehr genau 
bestimmen, und man würde damit eine Prüfung für die 
Formel (10) erhalten. 

. Es ist jedoch in dieser Theorie von Riemann ein Umstand 
nicht berücksichtigt, der auf die Erscheinung von wesentlichem 

*) Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe. Riemann's Werke, 
Seite 55. 



30 



* 



468 Zweinndzwanzigster Abschnitt« §. 180. 

Einäuss ist, nämlich die Polarisation. Es entsteht nämlich eben 
durch die Ablagerung des Ions an der Grenze der Metallplatte 
eine elektromotorische Kraft, die eine der ursprünglichen ent- 
gegengesetzte elektrische Strömung erzeugt, und die bis zur 
völligen Aufhebung des ursprünglichen Stromes ansteigen kann. 
Hieraus erklärt sich die Abweichung von dem Riemann'- 
schen Gesetze, die sich bei einer Reihe schöner Versuche von 
Guebhard ergeben hat, und wir wollen daher im Folgenden 
noch etwas auf die Theorie der elektrischen Polarisation ein- 
gehen *). 

§. 180. 
Polarisation der Elektroden. 

Wenn durch einen elektrolytischen Process eine chemische 
Zersetzung vor sich geht, so entsteht durch die Ablagerung auf 
einer der Elektroden eine elektromotorische Ej-aft, die dem ur- 
sprünglichen Strome immer entgegengesetzt gerichtet ist, diesen 
also schwächt und daher auch auf die Stromvertheilung in dem 
Elektrolyten einen Einäuss hat Diese entgegenwirkende elektro- 
motorische Kraft heisst die Polarisation der Elektrode. Diese 
Polarisation entsteht aber nicht mit einem Male in ihrer ganzen 
Stärke, sondern steigt allmählich in dem Maasse, wie sich die 
elektrolytische Substanz auf der Elektrode absetzt >). 



*) Guebhard hat bei seinen Beobachtungen die Curven gleicher 
Farbe nahe übereinstimmend gefunden mit den Curven gleichen Potentials, 
wenn man die Strömung in der Platte nach den Annahmen des einund- 
zwanzigsten Abschnittes behandelt. Die Arbeiten von Guebhard sind ver- 
öffentlicht in den Comptes rendus der Pariser Akademie, im Journal de 
pbysique und in der Zeitschrift l'Electricien in den Jahren 1880 bis 1883. 
Diese Arbeiten haben zu weiteren theoretischen und experimentellen Unter- 
suchungen Anlass gegeben, von deoen die Arbeiten von W. Voigt (Annalen 
der Physik, Bd. XVII. und XIX.) und Volterra (Atti diTorino, Bd. XVIII.) 
hier erwähnt sein mögen. 

*) Bei den Versuchen von Beetz, auf die sich Riemann bezieht, 
wird eine Lösung von Bleioxyd in concentrirter Kalilauge durch einen 
Strom zersetzt, der durch eine punktförmige Elektrode eintritt, und. an 
einer Platte aus Platin, vergoldetem Silber oder Neusilber austritt. Auf 
der Platte lagert sich Bleisuperoxyd als Kation ab, während an der Anode 
Wasserstoff frei wird. Die Versuche sind in mannigfacher Weise ab- 
geändert worden. 



§. 180. Polarisation der Elektroden. 469 

Die genauen Gesetze dieses Vorganges sind nicht bekannt, 
und um die Erscheinung theoretisch angreifen zu können, muss 
irgend eine plausible Annahme über die Wirkungsweise der 
Polarisation gemacht werden. 

Der Herausgeber dieses Werkes hat die Annahme gemacht, 
dass die elektromotorische Kraft der Polarisation mit der sie 
erzeugenden Stromdichte proportional sei, und hat daraus für 
das elektrische Potential 9 die Grenzbedingung 

hergeleitet, worin h als constant angesehen wurdet). 

Diese Annahme kann aber dem wirklichen Vorgange nur in 
den Anfangsstadien entsprechen, so lange die Polarisation noch 
schwach ist, und die Beobachtung der Nobili'schen Ringe, die 
durch starke Ströme erzeugt werden, giebt daher auch keine 
Bestätigung derselben. 

Eine andere Annahme ist von Röiti^) gemacht und von 
Volterra») theoretisch verfolgt worden. Diese Annahme führt 
auf eine auch mathematisch interessante Form der Grenzbedin- 
gungen. 

Nach dieser Annahme kann die Polarisation in einem ge- 
gebenen Falle immer nur bis zu einem gewissen Maximum an- 
steigen. Wenn dies Maximum erreicht ist, bringt eine weitere 
Ablagerung des Ions keine Veränderung mehr hervor. Es wird 
sich dann, wenn die Stärke des eintretenden Stromes constant 
erhalten wird, mit der Zeit ein stationärer Zustand einstellen, 
wo dann auf einem Theile der leitenden Oberfläche dieses Maxi- 
mum erreicht ist. In dem anderen Theile dieser Fläche, wo das 
Maximum noch nicht erreicht ist, darf beim stationären Zustande 
kein Strom eintreten, da sonst eben die Polarisation noch steigen 
würde. Der ganze Strom tritt also durch die Stellen der Fläche 
ein, wo das Maximum erreicht ist. Diese Bedingungen wollen 
wir nun in einem einfachen Falle mathematisch formuliren. 

Wir wollen annehmen, es sei auf einer unendlichen Metall- 



*) H. Weber, Ueber die BesselVchen Functionen und ihre An- 
wendung auf die Theorie der elektrischen Ströme. Grelle 's Journal, 
Bd. 75 (1872). 

•) Nuovo Cimento, vol. X. 

') Atti della R. Accademia di Torino, vol. XVIII. (1882 — 1883). 



470 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 180. 

platte, deren obere Grenze wir zur xy -Ebene wählen, eine 
elektrolytische Flüssigkeit von unendlioher Höhe ausgebreitet. 
Durch einen Punkt e dieser Flüssigkeit trete ein Strom von ge- 
gebener Stärke j ein. Die Elektrode liege in der £r-Axe und 
habe die Höhe c über der Grenzfläche. Es wird sich dann in 
der Grenzfläche ein Kreis bilden, dessen Radius mit a bezeichnet 
sein mag, in dessen Innern die Polarisation ihr Maximum er- 
reicht hat. Da wir das elektrische Potential in dem Metall als 
constant ansehen können, so wird das Potential in der Flüssig- 
keit ebenfalls im Unendlichen constant, und da es auf eine 
additive Gonstante nicht ankommt, so können wir es im Unend- 
lichen gleich Null annehmen. Der Werth des Potentials an 
jeder Stelle der Metallfläche drückt dann die elektromotorische 
Kraft der Polarisation aus, und diese wirkt dem ursprünglichen 
Strome entgegen und hat also bei positivem j einen negativen 
Werth. Das Maximum der Polarisation sei daher gleich — E. 
Da, wo das Maximum der Polarisation noch nicht erreicht ist^ 
darf, wenn der stationäre Zustand erreicht ist, kein Strom mehr 
in das Metall eintreten, da sonst die Polarisation noch wachsen 
würde; an diesen Stellen muss also d(p/dz = sein. In diesen 
Theilen der Grenze wird die Polarisation, d. h. also der Werth de» 
Potentials q) selbst, mit der Dicke der abgelagerten Schicht pro- 
portional angenommen, und der Werth von q> bestimmt demnach 
die Newton'sche Farbe. 

Wenn keine Polarisation vorhanden wäre, so wären die Be- 
dingungen, denen die Function y, die wir in diesem Falle mit 
(Pi bezeichnen wollen, zu genügen hat, die folgenden: 

z/^i = 0, -2? > 0, 
9i = für jsr = und im Unendlichen, 

opi = -r-^ h funct. cont im Punkte e, 

wenn A die Leitfähigkeit der Flüssigkeit und 

Q = ^(z — cy + r» 

den Abstand eines veränderlichen Punktes p von der Elektrode e 
bedeutet. Diesen Bedingungen genügt die Function 






wenn 



§. 180. Polarisation der Elektroden. 471 

den Abstand des Punktes p von dem Spiegelbilde e' der Elek- 
trode e bedeutet. Aus diesem Ausdruck für qpi ergiebt sich für 
die Dichte, mit der der Strom in das Metall eintritt: 

d<Pi je 1 

dz 27tk y^a-Ly.»^ 

Um nun das wahre Potential (p zu erhalten, hat man zu (p^ 
noch einen von der Polarisation herrührenden Theil y« hinzu- 
zufügen. Wenn wir annehmen, dass bei unendlich schwachen 
Strömen die Polarisation mit der Stromdichte proportional sei, 
so folgt aus dem Ausdruck für Sqpi/d^r, dass (p^ im Unend- 
lichen wie die dritte Potenz Von l/r verschwinden muss, 
und daraus ergiebt sich, dass Q(p für ein unendlich wachsendes 
Q nicht bloss endlich bleiben, sondern verschwinden muss. 

Demnach ergeben sich aus unseren Voraussetzungen unter 
Berücksichtigung der Polarisation für das Potential (p im statio- 
nären Zustande die folgenden Bedingungen: 

(1) z/y = für js> 0, 

(2) 9> = j-^T (- funct. cont. im Punkte c, 

(3) (p = — E für ^ = 0, r <:a, 

(4) 4^ = für ^ = 0, r > a, 

^ ^ dz 

(5) gg) = im Unendlichen. 

Wir können die Aufgabe aber auch durch eine etwas andere 
ersetzen, bei der wir uns die Flüssigkeit den ganzen unend- 
lichen Raum, auch für negative z^ Yig, 71. 
ausfüllend denken. Wir lügen dann 
im Punkte e' eine Elektrode von der- 
selben Stromstärke j hinzu und be- 
stimmen die Function (p so, dass sie 
im ganzen Räume der Bedingung ^(p 
= gepügt,^ dass sie im Innern der — -^— 
Kreisfläche aß den constanten Werth 
— E erhält und in dem Punkte e und 
e' der Bedingung (2) genügt. Diese 
Function (p genügt der Bedingung (4) 
von selbst und stimmt für positive z 
mit der durch die ursprüngliche Aufgabe geforderten Function 
überein. 



:: e 



ß 



HP' 



472 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 181. 

Das 80 gefasste Problem können wir aber auch als ein 
elektrostatisches deuten. Es handelt sich dann um das 
Gleichgewicht der Elektricität auf einer Kreisscheibe aß unter 
dem Einflüsse zweier gegebener, in den Punkten e, ef concen- 
trirten gleichen Elektricitätsmengen ^'/4?rA, und die Bedingung 
(5) besagt dann, dass die gesammte, in den Punkten e, ef und 
auf der Kreisscheibe angehäufte Elektricitätsmenge gleich Null 
sein soll [§. 128 (8)]. Dieses elektrostatische Problem ist aber 
durch diese Bedingungen vollständig bestimmt, und der constante 
Potentialwerth — E in der Kreisscheibe ist gleichfalls durch die 
übrigen Bedingungen bestimmt. 

In unserem Falle aber ist E gegeben, und daraus folgt 
eine Relation, aus der man den unbekannten Radius a 
zu bestimmen hat. 

§. 181. 
Der cylindrische Fall. 

Das Problem, was in den Gleichungen (1) bis (5) des vorigen 
Paragraphen enthalten ist, gehört zu einer Glasse von Aufgaben, 
die uns schon mehrfach unübersteigliche Hindemisse in den Weg 
gelegt haben. Diese Schwierigkeit besteht darin, dass die Grenz- 
bedingungen sich theils auf die Function <p selbst, theils auf 
ihren Differentialquotienten beziehen, und wir sind bis jetzt nicht 
im Stande, diese Gleichungen zu integriren. 

Um aber doch ein Beispiel zu haben, was von dem Vorgange 
eine richtige Vorstellung giebt, greifen wir zu einem Auskunfts- 
mittel, was uns schon oft gute Dienste geleistet hat, wenn sich 
die dabei vorausgesetzten Verhältnisse auch schwer genau reali- 
siren lassen, wir nehmen den cylindrischen Fall (§. 136). 

An Stelle der Elektroden e, 6' nehmen wir zwei auf der 
Ebene der Fig. 72 senkrechte, unendlich ausgedehnte, lineare 
Elektroden. An Stelle des Kreises a/3 in der Fig. 71 tritt ein 
diesen Elektroden paralleler Streifen von der Breite 2 a, dessen 
Spur in der Ebene der Fig. 72 gleichfalls mit aß bezeichnet ist, 
und wir können als wirksames Hülfsmittel die conforme Abbildung 
anwenden. 

Im Falle der elektrischen Strömung brauchen wir nicht ein- 
mal die Elektrodenlinien und den Streifen unendlich anzunehmen, 
wenn wir uns die ganze Vorrichtung durch zwei auf der Rieh- 



§. 181. 



Der cylindrische Fall. 



473 



tung der Elektroden senkrechte, also mit der Ebene der Fig. 72 
parallele, nichtleitende Ebenen begrenzt denken. 

Wenn wir die a:^-* Ebene senkrecht zu der Richtung der 
Elektroden legen und e = x -j- iy setzen, so muss jetzt also q> 

Fig. 72. Fig. 73. 





der reelle Theil einer Function des complexen Argu- 
mentes z sein, und es muss [§. 166 (6)] 



(1) 



qp = — , log Q 4" funct. cont. in e, 
= — jr-^ log q' -j- funct cont in c*, 

2 71 A 



femer muss qp an der reellen Axe zwischen a und ß den con- 
stanten Werth — E haben. 

Im Unendlichen muss qp gleich Null sein [§. 136 (10)]. 

Wir bilden zunächst die ganze unendliche jsr- Ebene, die 
durch beide Ränder des Schnittes aß begrenzt ist, in einer ie;-Ebene 
auf den Einheitskreis ab (Fig. 73), so dass der unendlich ferne 
Punkt in der £r-Ebene dem Nullpunkt der to-Ebene entspricht. 
Dazu haben wir die Mittel in den §§. 139, 140 kennen gelernt, 
wonach sich ergiebt [§. 140 (5)] 

d . de 2 . 1,1 



, ^ _ _ A J 

dw ^ dtv ti; ' tc; — 1 ^^ m;-|-1 ' 



und durch Integration, wenn die Integrationsconstanten daraus 
bestimmt werden, dass /s = a ist für m;=1 und g = für to = i: 



oder 



2js , 1 

a ' 10 



474 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 181. 



(2) ir = ^- 

Das Vorzeichen der Quadratwurzel ist hier so zu bestimmen^ 
dass 117 für js = :c nicht unendlich, sondern Null wird. Dies 
tritt dann ein, wenn die Quadratwurzel, so lange s reell, positiv 
und grösser als a ist, positiv genommen und dann in der zer- 
schnittenen i'-Ebene stetig fortgesetzt wird. 

Die Bilder der Punkte e und e^ liegen in der tr- Ebene auf 
der imaginären Axe und zwar in den Entfernungen 

(3) ±, = ± V^-^ 

vom Nullpunkte. In diesen beiden Punkten wird q> unendlich, 
wie es die Formeln (1) verlangen. Ueberdies ist g> der reelle 
Tfaeil einer Function des complexen Argumentes tr 

9 4- »> = zi^y 

Die Function (p ist an der Ereisperipherie constant, gleich 
— J?, und im Kreismittelpunkte = 0. Diese Function lasst sich 
bilden, wenn man ausserhalb des Kreises die Pole e^, e'i der 
Punkte 6, e' nimmt Ist dann x ein variabler Punkt und (ex) 
die Entfernung der Punkte e und x, so wird die Function 

an der Kreisperipherie constant, und im Innern nur in den 
Punkten «, ef logarithmisch unendlich und man kann demnach 
9 als reellen Theil der Function 

ansehen, die für tr = verschwindet, und deren reeller Theil, 
wenn der absolute Werth von tr = 1, also tc mit w~^ conjugirt 
imaginär wird, den Werth 

_ _>_ In^ (tr^y-«+l)Or-»y-^-^l) 
4»X ^ (MTJyJO- i)(Mr-*y*-f 1) 

erhält Dieser Werth erweist sich aber von tr unabhängig, näm- 
lich gleich j\ogy xl^ und man erhält also, wenn man für y 
den Werth (3) einsetzt: 

« ^ = _ ij >o, lil^fi^'. 



§. 182. Strömung in einem Cylinder. 475 

Lässt man a von bis oo gehen, so geht die rechte Seite 
von (4) stets abnehmend von oo bis und nimmt also jeden 
positiven Werth E einmal an. Es ist also a durch den Werth 
von E und die sonstigen Daten des Problems eindeutig bestimmt, 
und es ist dabei zu bemerken, dass a um so kleiner wird, je 
grösser unter sonst gleichen Umständen die elektromotorische 
Kraft E der Polarisation ist. 



§. 182. 
Strömung in einem Cylinder. 

Wir betrachten jetzt noch den Fall eines Kreiscylinders und 
nehmen der Einfachheit halber an, dass der elektrische Strom 
durch zwei punktförmige Elektroden in den Mittelpunkten der 
Grundflächen aus- und eintritt. Die in §. 179 gegebenen Formeln 
von Riemann, die dort für eine unbegrenzte Platte abgeleitet 
sind, lassen sich leicht so erweitern, dass sie auch für eine durch 
einen cylinderförmigen Rand begrenzte Platte gelten. Diese 
Reihen aber, die die Bessel'schen Functionen für ein imaginäres 
Argument enthalten, sind wegen der Art ihrer Convergenz nur 
für dünne Platten und in grösserer Entfernung von der Axe 
anwendbar. Für einen Cylinder, dessen Länge im Vergleich zum 
Durchmesser gross ist, sind die Formeln, die wir dort zuerst er- 
lialten haben, in denen die Besserschen Functionen mit reellem 
Argument vorkommen, weit besser anwendbar. Kirchhoff hat 
diese Formeln abgeleitet, um seine Methode zur Bestimmung des 
elektrischen Leitvermögens auf cylindrische Stäbe anwenden zu 
können i). 

Bezeichnen wir also den Radius des Cylinders mit 1 und 
behalten sonst die Bezeichnung des §. 179 bei, so wird das elek- 
trische Potential jetzt durch folgende Bedingungen bestimmt: 

(2) || = fürr = l, 

(3) |7 = ^ fürr = ±A, r<l. 



*) Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 26. April 1883. 



476 Zweinndzwanzigster Abschnitt. §. 182. 

Hierin bedeutet O eine Fonction Ton r, durch die das flin- 
strömen der Elektricität in die Grundfläche dargestellt wird, und 
die, wenn wir, wie in §. 179, zunächst eine kreisförmige Elektrode 
annehmen, den Ausdruck hat: 

2xkri V rf — r* 
= 0, r > r,. 

Im Endresultat lassen wir r| = werden. 

Nach den Bedingungen ist q> eine ungerade Function von z 
und dadurch reduciren sich die beiden in (3) enthaltenen Bedin- 
gungen auf eine. Den Gleichungen (1) und (2) wird aber ge- 
nügt durch jeden Ausdruck Ton folgender Form: 

(5) q> = A,ß-\-'^ Me"^' - e""*') J(l.r), 

wenn J(x) die BesseVsche Function der Ordnung Null bedeutet, 
und wenn Xr die sämmtlichen Wurzeln der Gleichung 

(6) J'(*) = 

durchlauft Zur Bestimmung des Coeffidenten A^Ai^A^^... erhält 
man aber nach (3) 

9 = 1 

woraus nach §. 79 (10) 

1 2^0J(krr)rdr 

Nun ist 



r 

1 



r dr 



\.rjr 



}ri — r« 





1 » 



und da wir für ein unendlich kleines r in den Integralen (7) 
J{krr) = 1 setzen können, so folgt aus (4) 

-J A-± \ 



Für die Anwendung der Rirchhoff^schen Methode kommt 
es darauf an, den Werth ^^ der Function 9 für einen Punkt 



§. 183. Kugel im constanten Stromfelde. 477 

der Peripherie des Grundkreises, also für if = A, r = 1 zu be- 
stimmen. Hierfür erhält man nach (5) und (8) 

Da kl ungefähr = 3,8 ist, so wird, wenn h einigermaassen 
gross ist, d. h. wenn die Länge des Gylinders auch nur ein 
massiges Vielfaches seines Radius ist, mit grosser Annäherung 

1 ^ e-''^"" ~ 
gesetzt werden dürfen, und man erhält aus (9) 

(10) ^. = X(ä + 2x7öü))' 

die hier Torkommende Summe 

^ A,J(A,) 
ist eine reine Zahl, für die Kirchhoff den Werth 

berechnet, und daraus ergiebt sich, wenn man jetzt den Radius 
nicht mehr mit 1, sondern mit R bezeichnet, und die Dimen- 
sionen beachtet 

(11) 9^^ = s/;B2 (* - -^- Ö»38479). 



§. 183. 
Kugel im constanten Stromfelde. 

Wir wollen hier noch ein Beispiel für eine andere Art von 
Problemen über stationäre Ströme behandeln. 

Es sei ein als unbegrenzt anzusehender Leiter von einem 
constanten elektrischen Strome in einer festen Richtung durch- 
flössen, er bilde also ein constantes Stromfeld. In dieses 
Feld werde ein Körper von anderem Leitungsvermögen hinein- 
gebracht. Dadurch wird das Feld verändert, und diese Aende- 
rung ist zu bestimmen. 



478 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 183. 

Der Eünfloss des Körpers wird sich nur auf eine endliche 
Entfernung hin merklich machen; im Unendlichen können wir 
nach wie vor das Feld als constant betrachten. 

Um nun die Differentialgleichungen iiir dieses Problem auf- 
zustellen, bezeichnen wir mit k^ das Leitvermögen des unend- 
lichen Feldes, mit A, das des eingetauchten Körpers, mit j die 
Stromdichte im unendlichen Felde, und wählen die Richtung 
dieses Stromes zur positiven x-Richtung. 

Es ist dann in dem ungestörten Felde das elektrische Potential 

(1) 'P = -T- 

Nach Einbringung des Körpers sei (p^ das Potential im 
Aussenraume und 9, im Innern des Körpers. Wir haben dann 
diese Functionen den Bedingungen gemäss zu bestimmen: 

(2) z/^i = 0, z/9, = 0. 

Ist n die Richtung der Normale an der Grenzfläche, gleich- 
viel in welchem Sinne positiv genommen, so muss an der Grenz- 
fläche 

(3) 9. = 9>,. A.|^ = A,^ 
sein, und 

(4) fürr=x, yj = _-lf. 

Der Einfachheit halber nehmen wir zwischen den beiden 
Leitern keine Spannungsdifferenz an. Die Berücksichtigung 
einer constanten Spannungsdifferenz hätte auch keine Schwierig- 
keit und würde zu demselben Resultate fuhren. 

Man sieht nun, dass diese Differentialgleichungen mit ihren 
Nebenbedingungen dieselben sind, die wir in §. 147 für die 
magnetische Induction eines Körpers von weichem Eisen in einem 
constanten Magnetfelde erhalten haben, und es sind also die dort 
gegebenen Resultate hier unmittelbar anwendbar. 

Nehmen wir z. B. an, der eingetauchte Körper sei eine 
Kugel vom Radius c, und es sei r die Entfernung eines variablen 
Punktes vom Kugelmittelpunkte, so können ¥rir den Ansatz 
machen : 

9>i = — ^ (1 + 77). 9>s = —jxB, 
worin A und B noch zu bestinmiende Constanten sind. 



§. 183. Kugel im constanten Stromfelde. 479 

Durch diese Annahme sind (2) und (4) allgemein befriedigt, 

und zur Bestimmung von A und B dienen die Gleichungen (3), 

diese ergeben wegen 

dx X 

dr r 
die folgenden linearen Gleichungen: 



also 



X,li= 1 +4i AsB = 1 —^ 






(0) <3p,___(^l + ___^^ 

3jir 



(6) qp, = - 



2 Ai + Aa 



Hieraus erhellt, dass im Innern der Kugel die Strömung 
geradlinig, der a:-Richtung parallel, verläuft und zwar mit einer 
Dichtigkeit 

^^ ^ 2Ai + Aj 

Ist beispielsweise das Leitvermögen der Kugel unendlich 
gross im Verhältnisse zu dem des umgebenden Mediums, so ist 
die Stromdichte in der Kugel das Dreifache von der im un* 
endlichen Felde. 

In dem die Kugel umgebenden Felde sind die Stromlinien 
nicht mehr geradlinig, sondern sie werden gegen die Kugel hin 
abgelenkt, wie es die Formel (5) zeigt Nehmen wir auch 
hier Aa unendlich gross, so folgt 

<8) ,. = _if (,_£!), 

und der andere extreme Fall, in dem der eingetauchte Körper 
ein Nichtleiter, also Ag = ist, giebt 

Im Falle (8) ist <3Pi = für r = c und die Kugeloberfläche 



480 Zweiundzwanzigster Abschnitt. §. 183. 

ist Niveaufläche; die Stromlinien münden senkrecht auf die 
Kogelfläche. Im Falle (9) ist g 91 c r = für r = c, d. b. die 
Eogeloberfläche ist von Stromlinien überzogen. 

Weit sch?rieriger wird das Problem, wenn die Polarisation 
an der Grenze (nach der Annahme des §. 180) berücksichtigt 
werden soll. Für den Fall, dass der eingetauchte Körper ein 
unendlicher Cylinder ist, hat Volterra die Differentialgleichungen 
integrirt »). 



Atti delk K Accaderaia di Tonno, Bd. XVIII, 1682. 



Dreiundzwanzigster Abschnitt. 

Elektrolytisohe Versoliiebungeii. 



§. 184. 
Differentialgleichungen der lonenbewegung. 

Wir haben im neunzehnten Abschnitte die Differential- 
gleichungen für die Bewegung der Ionen in Elektrolyten unter 
dem Einflüsse des elektrischen Stromes aufgestellt und wollen 
uns nun mit den Fällen beschäftigen, in denen eine Integra- 
tion dieser Gleichungen möglich ist. Es treten uns dabei zum 
ersten Male nicht lineare partielle Differentialgleichungen 
entgegen, deren Integration uns neue Erscheinungen kennen 
lehren wird. 

Wir erinnern zunächst an die Differentialgleichungen und 
an die früher gebrauchten Bezeichnungen. Es ist 

R eine bei constanter Temperatur unveränderliche uni- 
verselle Constante. 

i^y die von einem Grammion mitgeführte Elektricitäts- 
menge (-\-rj für die Kationen, — ij für die Anionen). 

a, /3, y, ... die Concentrationen der Ionen, also gesuchte 
Functionen von Ort und Zeit. 

a, 6, c, ... die entsprechenden Beweglichkeiten, die im 
Allgemeinen von «, /5, y, ..., aber in gegebener, wenn 
auch unbekannter Weise abhängen können. 

6 der elektrische Kraftvector des Feldes mit den Compo- 
nenten Ex, Ey, E,. 

Riemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen. 31 



482 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 184. 

Dann haben wir für jede der lonenarten eine Differential- 
gleichung [§. 161 (10)] 

du 

(1) TT-T- = div(— iJagrada q= ijaaß), 

c t 

und ausserdem für die Bestimmung der elektrischen und magne- 
tischen Kraft die sechs Maxwe Haschen Gleichungen. Als un- 
bekannte Functionen der Goordinaten und der Zeit sind dann 
zu betrachten 

a, /J, y, ... Erj Ey, E^ Jf,, Jfy, M^ 

und die Anzahl der Differentialgleichungen stimmt überein mit 
der Anzahl dieser Functionen. 

Wir machen aber jetzt die Annahme, dass die elektrischen 
und magnetischen Kräfte in jedem Augenblicke den Bedingungen 
des stationären Zustandes genügen, dass also d(&/dt und 
c^/ct = gesetzt werden können. Diese Annahme ist zwar, 
wenn die Concentrationen veränderlich sind, nicht in aller 
Strenge mit den MaxwelTschen Gleichungen Terträglich. Sie 
wird jedoch zulässig sein, wenn die Veränderungen der Con- 
centrationen nur langsam erfolgen, wie es in den Versuchen 
immer der Fall ist 

Nach dieser Annahme ist der elektrische Kraflvector ein 
Potentialvector, also 

(2) E. = -l^, E, = -'^, E,=-l^. 

^ ^ cx ^ cy CS 

Die Grösse 

(3) A = iy2^aa 

ist die Leitfähigkeit der Lösung, femer 

(4) 3 = A grad tp 
der Vector des Leitungsstromes, und 

(5) 5 = ly iJ ^ ± o grad a 

der Vector des Diffusionsstromes, so dass hier der lonen- 
strom 

(6) 3 + S = S 

als der wahre Strom anzusehen ist (§. 161). 



§. 185. Binäre Elektrolyte. 488 



Die Dichtigkeit der wahren Elektricität ist gleich iy >] i «, 
[§. 161 (8)] und da rj sehr gross ist, so ist nahezu 

(7) 2! ± « = 0- 

Diese Relation nehmen wir jetzt als erfüllt an. Die Lösung 
ist dann an jeder Stelle „neutral". 

Die Differentialgleichungen (1) erhalten dann die Gestalt 

1.8« ^ da ^ da 
8a; dy . dz 

d ^> r. d fp ^ d (p 
daa-^ daa-~- daa -~ 



dx 



dy ^ dz \ 



Die Anzahl der Gleichungen (7), (8) stimmt jetzt bereits mit 
der Anzahl der zu bestimmenden Functionen a, q> überein. 

Wenn wir die Gleichung (8) mit ±_ri multipliciren und die 
Summe bilden, so folgt nach (4), (5) und (6) 

(9) div © = 0, 

eine Gleichung, die also hier nicht für den Leitungsstrom, wie 
beim stationären Zustande, sondern für den aus Leitungsstrom 
und Diffusionsstrom zusammengesetzten lonenstrom gilt. 

Die Beweglichkeiten a, 6, ... können bei genügender 
Verdünnung der Lösung als constant betrachtet werden. 



§. 185. 
Binäre Elektrolyte. 

Wenn wir die Beweglichkeiten als constant annehmen, so 
lässt sich aus den vorstehenden Annahmen zunächst ein ein- 
faches und schönes Resultat ableiten für den Fall, dass zwei 
lonenarten in der Lösung vorhanden sind, also für den Fall 
eines binären Elektrolyten. Die beiden Concentrationen sind 
einander gleich, also « = /3, die Beweglichkeiten können aber 
verschieden sein. Dann erhalten wir aus §. 184 (8) zwei Glei- 
chungen für « und g?, nämlich wenn o, a sich auf das Kation 
beziehen : 

31* 



484 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 135. 



et 



0) 



l 



T^f.^^ T^r.^^ T^r.^^ 

■^ ^1/ ^ e-? J^ 



ex 



dal^ da'"'' 



et ' \ ex dy d£ 




woraus sich durch Elimination von tp ergiebt (indem man die 
erste mit 6, die zweite mit a multiplicirt und addirt) 

,^. da 2Bab . 

et a -i- 

und aus einer der beiden Gleichungen (1) erhält man für q) die 
Gleichung 

da ^ da ^ da ^ , ^ 

,^. dx . dy . ^ z _ a — da 

^^ dx '^ dy ^ dz ~ 2abfi dt' 

Die Gleichung (2) ist dieselbe, die, wie wir später noch 
sehen werden, die Wärmeleitung in einem homogenen isotropen 
Körper bestimmt, wenn a die Temperatur und 2Rab/{a + 6) 
der sogenannte Temperatur - Leitungscoefficient ist. 

Man kann nun, wenn es die Grenzbedingungen gestatten, 
die Differentialgleichung (2) für sich, ohne Rücksicht auf den 
elektrischen Zustand, integriren, und nachträglich aus der Glei- 
chung (3) das elektrische Potential bestimmen. Wenn z. B. in 
einem unbegrenzten Felde die Concentration a zu Anfang (für 
^ = 0) als Function des Ortes gegeben ist, so ist schon allein 
durch die Gleichung (2) die Function a für alle Zeiten be- 
stimmt 

Die Diffusion ist also dann unabhängig von dem etwa 
gleichzeitig stattfindenden elektrischen Strome. Es ist 
aber, wenn a nicht = b ist, und a von t abhängig, mit der 
Diffusion immer nothwendig ein elektrischer Strom verbanden, 
wie ihn die Gleichung (3) ergiebt. 



§. 186. Vorgänge in einer Dimension. 485 



§. 186. 
Vorgänge in einer Dimension. 

Die Differentialgleichungen unseres Problems vereinfachen 
sich wesentlich, wenn wir annehmen, dass der ganze Vorgang 
nur von einer räumlichen Coordinate x abhängt Diese Voraus- 
setzung ist praktisch leicht zu realisiren, wenn man sich die 
elektrolytische Flüssigkeit in eine cylindrische Glasröhre ein- 
geschlossen denkt, die von einem zu den Wänden parallelen 
elektrischen Strome durchflössen ist 

Die Vorgänge an den Elektroden müssen hier die Grenz- 
bedingungen geben. Da diese aber nicht nur mathematisch das 
Problem sehr erschweren würden, sondern auch zur Zeit physi- 
kalisch noch nicht zu formuliren sind, müssen wir die Elektroden 
in unendlicher Entfernung denken. Das Ergebniss ist dann bei 
wirklichen Vorgängen nur auf den Theil des Apparates anwend- 
bar, der sich in genügender Entfernung von den Elektroden be- 
findet 

Wenn wir also jetzt die Annahme machen, dass die Con- 
centrationen und das elektrische Potential nur von der einen 
Coordinate x abhängen, so ergeben die Gleichungen §. 184 (8) 

.^. du j. dx , dx 

Die Gleichung §. 184 (9), die jetzt die einfache Gestalt 
dSx/dx = erhält, zeigt, dass der elektrische Strom, der 
jetzt nur in der Richtung der a;-Axe fliesst, constant oder wenig- 
stens nur von der Zeit abhängig ist Wir bezeichnen diesen 
Constanten Werth mit S, verstehen also unter S die gegebene 
Stromdichte, die in dem Apparate vorhanden ist, die wir uns 
constant erhalten oder auch mit der Zeit veränderlich denken 
können. 

Es ergiebt sich dann aus (4), (5) und (6), §. 184 

(2) S=-i?2 Vaa^ + iyiiVipa^ 

mIs eine gegebene Grösse. 



486 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 180. 

Der nächst einfache Fall, den wir jetzt zu behandeln haben, 
ist der von drei lonenarten. Diesen Fall erhält man, wenn zwei 
Verbindungen mit einem gemeinsamen Ion, etwa Ghlorkalium 
und Ghlornatrium in einer Lösung gemischt sind. Es seien also 
a, /3 die Concentrationen der Kationen (Kalium und Natrium), 
Q die Concentration des gemeinsamen Anions (Chlor), o, 6, r die 
entsprechenden Beweglichkeiten, die wir als constant ansehen. 
Es ist dann zunächst nach §, 184 (7) 

(3) p = « -f ^, 

und wir erhalten die drei Gleichungen (1) 

ca -n d^a . dx 

dt dx^ ' ' ex ' 

und für die Stromdichte erhält man aus (2) und (3) 

(5) S = - n' [(a + r)« + (6 + r)^] ll 

_ ji ^[(a-r)cc + (b-r)ß] 

. dx 

• 

Mit Hülfe dieser letzten Gleichung, in der S als eine ge- 
gebene Gonstante (oder Function der Zeit allein) anzusehen ist, 
und die eine Folge aus den Gleichungen (4) ist, kann man qp 
aus zweien der Gleichungen (4) eliminiren und erhält zwei Glei- 
chungen für die dann allein noch übrig bleibenden unbekannten 
Functionen a, ß. 



§. 187. £in6 particulare Lösang. 487 



§. 187. 
Eine particulare Lösung. 

Wir stellen nun die Frage, ob ein Zustand möglieh ist, der 
sich mit einer constanten Geschwindigkeit v in der Richtung 
der positiven a;-Axe fortpflanzt, mit anderen Worten, wir fragen, 
ob wir den Gleichungen des vorigen Paragraphen genügen können, 
wenn wir a und ß als Functionen von x — vt ansehen. Wenn 
diese Bedingung erfüllt ist, so ist 

m ^--.,^ ^--,M ^__„?1 
^^ dt~ dx' dt~ dx' dt~ ^ dx' 

und die Gleichungen (4) §. 186 lassen sich, wenn man dies ein- 
setzt, in Bezug auf x integriren. Man erhält so, wenn man 
die Integrationsconstanten mit A^ B^ C bezeichnet: 

(2) ^. + 61^1^ + 6,^11 = 5, 

und aus §. 186 (5) folgt 

f3) n{C ^ A — B)= S, 

Zur Bestimmung der Constanten -4, -B, (7, v müssen noch 
drei weitere Bedingungen hinzukommen. Wir erhalten aber vier 
Bedingungen, wenn wir annehmen, dass für a; .= + oo und 
rc = — 00 die Concentrationen a und ß gegeben sein sollen, 
und diese Werthe können also nicht ganz von einander un- 
abhängig sein. Wir wollen annehmen, dass auf der einen Seite 
im Unendlichen nur die beiden lonenarten AR^ auf der anderen 
nur BB, in der Lösung vorhanden seien, oder, was dasselbe ist, 

es sei 

für X = — 00 : a = Ufo , /? = 0, 

^ ^ für X = + 00 : « = 0, ß = ßo' 

Dann ergeben sich die Constanten A^ B beide gleich Null, und 



488 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 187. 

(5) C = - 

• V 

ist durch die gegebene Stromstärke unmittelbar bestimmt. 

Setzen wir x = — oo , so ergiebt sich aus der ersten und 

dritten Gleichung (2), weil im unendlichen da/dx = ist: 

«.„ + a,«o(||)_=0, 

«ot;-r,,«o(|f)_=C = |, 

und daraus: 

Sa 

(6) V = 



(x^n {a-^-ry 
und ebenso ergiebt sich aus a; = + oo 

_ Sb 

Dadurch ist nicht nur die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v 
bestimmt, die also mit der Stromstärke proportional ist, sondern 
es zeigt sich auch, dass die Goncentrationen «o, ßo in einem ganz 
bestimmten Verhältnisse stehen müssen, wenn unsere Annahme 
zulässig sein soll: 

(8) «0 : /3o = \ — • T— i 0- 



Um von der Grösse der Geschwindigkeit t? eine Anschauung zu be- 
kommen, mögen folgende Annahmen gemacht sein. Nach Kohlrausch 
ist der Reihe nach für Kalium, Natrium, Chlor im absoluten elektro- 
magnetischen Maasssystem (C. G. S.) 

I? a = 64 . 10""^^ 1? 6 = 43 . lO""", i?c = 65 . 10""", 

also, da 97 = 9650 zu setzen ist, abgerundet: 

a = 7 . 10--^^ & = 5 . 10-^®, c = 7 . lü"~", 

folglich für K Gl : 

rund =: 0,5. 



a -\- r 

Nehmen wir eine Viq- Normallösung an, so wäre «^ = 0,0001 zu setzen. 
Wenn wir ferner im elektromagnetischen Maasssystem S = 0,001 setzen, 
d. h., wenn wir durch die Einheit des Querschnittes einen Strom von der 
Stärke von Vioo Ampere gehen lassen, so haben wir (gleichfalls in elektro- 
magnetischem Maass) rj = 9650 zu setzen, und der Ausdruck (6) ergiebt 

0,001.0,5 , , 1 

V = '^ ^ ' , oder rund = 



9650.0,0001 2000 

Es würde also bei dieser Geschwindigkeit der Zustand in 2000 Secunden 
um 1 cm, und folglich im Tage ungeföhr um 43 cm fortrücken. 




§. 187. Eine particulare Lösung. 489 

Um die Functionen a, ß zu bestimmen, genügt es jetzt, wenn 
wir sie für einen besonderen Werth von t^ etwa ^ = 0, ermitteln 
können. Denn um sie dann allgemein zu erhalten, braucht 
man nur x — vt an Stelle von x zu setzen. Wenn man aber 
in (2) A und ,8 = setzt und dann durch a und ß dividirt, 
80 folgt 

cc dx ^ ' dx 
(9) 

woraus man durch Elimination von tj erhält 

d log -=^ / J.X 

^ ß v(a — b) 

dx ~ ~Räb~ ' 
und daraus durch Integration 

(10) j = Const e *«^ . 

Nach (4) muss dieser Quotient unendlich werden bei a? = — oo 
und Null bei a; = -j- ^- Es ist also unsere Annahme bei posi- 
tivem S nur mit der Voraussetzung 

(11) a<:b 

verträglich. [Im entgegengesetzten Falle hätte man bereits in den 
Gleichungen (1) das Vorzeichen entgegengesetzt nehmen müssen.] 
In dem Beispiel Chlornatrium - Chlorkalium würde also a dem 
Natrium, ß dem Kalium entsprechen, und die Wanderung geht 
in der Richtung vom Natrium zum Kalium. 

Geht X von — oo zu -j- oo, so durchläuft a/ß alle Werthe 
von Unendlich zu Null, nimmt also auch den Werth 1 an, und 
wenn wir also in (10) die Constante = 1 setzen, so verfugen wir 
damit nur über den Anfangspunkt der x. Wir erhalten dann 

(12) ? = ^ ^"' ')• 



^) Bei der obigen Annahme 

V — 1/2000, R = 2,414 . 10^^ a = 5 . 10-'^ 6 = 7. lO"'* 
würde sich hieraus ungefähr ergeben 

(C —12a: 

7 = ' ■ 



490 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 187. 

Um 0^ ß selbst zu bestimmen, führen wir eine neue Hülfs- 
function ^ ein, indem vor nach (12) setzen:* 

vx vx 

(13) a = i/;e""«^, ßz=tl;e''^^, 

(vx vx\ 

und die beiden Gleichungen (9) ergeben dann 

dx ^ ' dx 
und durch Integration 

(15) ^ = e ^ '^. 

Eine willkürliche Constante braucht hier nicht beigefügt zu 
werden, da es auf eine additive Constante bei (p nicht an- 
kommt. 

Um aber endlich noch 9, oder was dasselbe ist, ^ zu be- 
stimmen, gehen wir niit (14) in die dritte Gleichung (2). 

Setzt man noch zur Abkürzung 

vx vx 

(16) <y = e""^ -^ e""^, 
also ^ = <j^, so ergiebt sich: 

Da 6 eine gegebene Function von x ist, so haben wir hier 
eine lineare, nicht homogene DiflFerentialgleichung erster Ord- 
nung für ^, die sich nach der Methode des §. 62 leicht in- 
tegriren lässt. 

Setzt man auf der rechten Seite von (17) Null statt S/iy, so 
ergiebt sich das Integral der verkürzten Gleichung: 

c --^^ 
worin c die Integrationsconstante ist. Diese muss dann durch 



Die Mischung bei der Lösung ist also nur merklich in einem sehr schmalen 
Bereiche, und die Grenze wird um so schärfer, je grösser die Strom- 
stärke ist. Der Mischuugsbereich ist um so ausgedehnter, je kleiner 
a — b ist, und wenn man a = b annehmen wollte, so wäre im ganzen 
Felde et = ß. 



$. 188. Vernaohlässigung der Diffusion. 491 

eine Function von x ersetzt werden, so dass die Gleichung (17) 
befriedigt ist. Man findet 



V X 



dc_ 8 ,,,, 



dx 2rRri^6 
und folglich, da ^ für x = — oo nach (13) verschwinden 



muss: 



X 

V X 



Se arÄ 

^ = 



2riZi?y<J 



V X 



.»rfii^ 



J 

00 



VT 



Diese Formeln stellen also den Vorgang der elektrolytischen 
Wanderung angenähert dar, wenn am Anfange zwei verschiedene 
elektrolytische Lösungen mit einem gemeinsamen Ion an einander 
grenzen, wobei jedoch ein ganz bestimmtes Verhältniss der Con- 
centrationen , das durch (8) gegeben ist, vorausgesetzt werden 
muss. Ist diese Voraussetzung erfüllt, so werden sich die Elektro- 
lyte nicht weiter mischen, als der Formel (12) entspricht, und 
die Trennungsfläche wird mit einer der Stromstärke proportip- 
nalen und der absoluten Goncentration umgekehrt proportionalen 
Geschwindigkeit in der Richtung von dem schwerer beweglichen 
zu dem leichter beweglichen Körper fortwandem. 

Es fragt sich aber, was geschieht, wenn das Concentrations- 
verhältniss nicht gerade den hierfür vorgeschriebenen Werth hat. 
Hierauf können wir aber bis jetzt nur bei Einführung weiterer 
beschränkender Voraussetzungen antworten. 



§. 188. 
Vernachlässigung der Diffusion. 

Die Vereinfachung, die wir jetzt noch einführen, besteht 
darin, dass wir den Einfiuss der Diffusion vernachlässigen und 
also bloss die Wanderung der Ionen unter dem Einflüsse des 
elektrischen Stromes berücksichtigen. Ob und in wie weit dies 
gestattet ist, hängt von der Stromstärke, aber auch noch von 
anderen Umständen ab i). 

*) Vergl. F. Eohlrausch, Ueber elektroly tische Verschiebungen von 
Lösungen und Lösungsgemischen. Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 
19. Nov. 1896. H. Weber, üeber die Differentialgleichungen der elcktro- 
lytischen Verschiebungen, ebenda, 4. Nov. 1897. 



492 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 188. 

Besonders wird da, wo sehr starke Concentrationsänderungen 
bestehen, der Einfluss der DiflFusion stärker sein, und an solchen 
Stellen wird daher eine bedeutende Abweichung des wirklichen 
Vorganges von dem Resultate der angenäherten Theorie zu er- 
warten sein. 

Wir werden also jetzt in den Diiferentialgleichungen §.186(1) 
die ersten Glieder der rechten Seite weglassen, wodurch sich 
ergiebt, wenn wir uns auf dreierlei Ionen beschränken: 



0) 



cu 

et 




eaa ^r^ 
ex 

'' öx ' 


dß 

öt 


— 


'^ dx ' 


CQ 

et 


— 


„ dfp 
^'Ux 
"^ dx ' 



(2) p = a 4- ^, 

und die Gleichung (5), §. 186, wird mit der gleichen Vernacli- 
lässigung 

(3) _ A ^ = S, 
' ox 

wenn 

(4) X = ^2[(a + r)a + (6 + r)/3] 

die Leitfähigkeit ist. Da S in Bezug auf x constant ist, 
können wir hieraus durch (3) die Function q> eliminiren und 
erhalten aus (1) 

ca ^ d an 

(0) _iL+,S — — = 0, 

von denen die letzte nach (2) und (4) aus den beiden ersten 
iolgt. 

Betrachten wir jetzt die Beweglichkeiten a, b^ r 
als Constanten, so können wir von diesen Gleichungen zu- 



§. 188. Vernachlässigang der Diffusion. 493 

nächst eine allgemeine erste Integralgleichung ableiten, wenn 
wir die erste von ihnen mit (a-|-r)/a, die zweite mit {b-\-r)/b 
multipliciren und addiren. Es ergiebt sich dann, da nach (4) 

_a_ (a + r)a + (b -j- r)ß _ 
dx k — ^. . 

ist: 

Wenn wir also 

setzen, so ist dca/dt = 0, folglich o eine Function von x allein, 
die also bestimmt ist, wenn sie in einem Augenblicke ^ = ge- 
geben ist; übrigens ist o wesentlich positiv. 

Mit Hülfe dieses Integrals lässt sich das System der Glei- 
chungen (o) auf eine einzige Gleichung reduciren. 

Wenn man nämlich die beiden ersten Gleichungen (5) mit 
iya(a-|-r), rj^ (b -{- r) multiplicirt und addirt, so ergiebt sich 
nach (4) 

(8) |^ + ,35.^«(« + ^)« + Mft+_r)A^o^ 

V X A 

und hierin kann man nach (4) und (7) setzen 

a[a + r)a + b{b -f r)ß = (?L+_*)i _ abcn. 

Führt man dies in (8) ein, so erhält man 

et dx X 



oder, da o) von t unabhängig ist: 
(9) 






dt ca (D dx k 

Die Strom dichte S ist eine Constante oder auch eine blosse 
Function der Zeit, g> ist eine Function von x^ und von der Zeit 
unabhängig. Wir führen nun zwei neue Variable |, g ein durch 
die Integrale 





494 Dreiundzwanzigster Abschnitt. §. 188. 

wodurch die Differentialgleichung (9) übergeht in 

(11) ^A_»«=o. 

Die Variable | wächst mit x^ und ist, wenn o) constant ist, 
mit X proportional. Ebenso ist bei constantem S die Variable 5 
mit t proportional; wenn wir aber annehmen, dass S wenigstens 
sein Zeichen nicht ändert (positiv bleibt), so wächst E gleich- 
zeitig mit t. 

Setzen wir noch weiter zur Vereinfachung 

no\ la _ ^ _ b{a^r)a + a(b-\-r)ß 

so geht die Gleichung (11) in folgende über: 

d® d® 

und hier haben wir nun eine partielle Difi'erentialgleichung erster 
Ordnung von der Art, deren Integration wir in den §§. 63 und 64 auf 
die Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen 
reducirt haben. Wenn & gefunden ist, so erhält man, da o 
schon bekannt ist, X aus (12) und hat dann in (4) und (7) zwei 
Gleichungen ersten Grades, aus denen a und ß zu berechnen 
sind. 

Um (13) zu integriren, hat man nach §. 63 (1) und 
§. 64 (2) das System gewöhnlicher Differentialgleichimgen zu 
integriren : 

d® : d^idt = 0: 0'^ : 1, 

dessen beide Integrale sind: 

®=c, g_0ag = ci, 

und folglich ist das allgemeine Integral von (13) nach §. 64 (8): 

71(0, I - ®n) = 

mit der willkürlichen Function 77. Hierlür kann man aber auch 
setzen : 

(14) ® = F{^ — ®H\ 

worin F eine willkürliche Function ist Um F zu bestimmen, 
setzen wir ^ = 0, oder was dasselbe ist, g = 0, und wenn also 




§. 189. Geometrische Deutang des Integrals. 495 

® für ^ = als Function von x (oder von J) für alle Werthe 
der Variablen gegeben ist, so ist damit auch die Function F 
bestimmt i). 

§. 189. 
Geometrische Deutung des Integrals. 

Unsere Aufgabe war die, die Function & aus einem ge- 
gebenen Anfangszustande für alle Werthe von | und für alle 
positiven Werthe von f der Differentialgleichung (13) gemäss zu 
bestimmen. Diese Aufgabe ist durch die Formel (14) des vorigen 
Paragraphen aber nur in so weit gelöst, als 9 sich daraus ein- 
deutig bestimmen lässt. Ist dies nicht mehr der Fall, so 
kommen wir zu mehrwerthigen Functionen, und es ist dann noch 
die Frage, welcher von diesen Werthen der richtige ist. In 
vielen Fällen ergeben sich nothwendige Unstetigkeiten für die 
Function S, über deren Verhalten uns die Differentialgleichung 
selbst keinen Aufschluss mehr giebt, und es muss dann zur Lö- 
sung der Aufgabe noch anderswoher eine Bestimmung kommen. 

Die Formel (14) §. 188: 

(1) S = F{i — ®n) 

lässt sich geometrisch folgendermaassen interpretiren : 

Wir nehmen |, g als rechtwinklige Coordinaten in einer 
Ebene. Dann besagt die Gleichung (1), dass, wenn in einem 
Punkte lo? ^0 ein bestimmter Werth 0o gilt, dieser selbe Werth 
auf der ganzen geraden Linie 

(2) i-0gg = i,-@n, 

herrschen muss, und dies ist im Grunde auch der Inhalt der 
Differentialgleichung §. 188 (13). Die gerade Linie (2) ist ausser 
durch einen Punkt ^o? So durch den Winkel, den sie mit der 
|-Axe einschliesst, bestimmt, dessen Cotangente ®l ist. 

*) Wir stellen hier noch die Dimensionen der vorkommenden Grössen 
zusammen, deren genaue Beachtung ein vorzügliches Hülfsmittel zur Con- 
trole der Rechnung ist. Bei den elektrischen Grössen ist das elektro- 
statische Maass angenommen. In dem Verhältniss S/ri giebt aber das 
elektromagnetische Maass denselben Werth: 

[Ä] = P2<-»], h] = [»,-•/. J".t->], [S] = [mV.rV.<-2], [*] = [<->], 
['0 =- [/»] = [m ?-»]. W = [6] = [t], [«] = [m l-s], [»] = [m J-» «]. 



496 



Dreiundzwanzigster Abschnitt. 



§. 189 



Nehmen wir an, es sei der Werth von & für alle Punkti 
der |-Axe (der Anfangszustand) gegeben, so kann man vor 
jedem Punkt dieser Axe eine Linie (2) auslaufen lassen, und 
hat auf dieser Linie denselben Werth = 0^ bestehen zu lassen 

Wenn aber nun zwei solche Linien sich durchschneiden, so 
müssten in einem solchen Schnittpunkte zwei verschiedene 
Werthe S stattfinden, was physikalisch sinnlos wäre. 

Denken wir uns alle diese geraden Linien von dem Punkte 
der |-Axe aus gezogen, so können diese Linien auf der Seite 
der positiven g eine einhüllende Curve haben, und die stetige 
Fortsetzung von der |-Axe aus giebt uns also die Werthe von 
nur so weit unzweifelhaft, als wir nicht bis zu dieser Enveloppe 
herangehen. 

Wir können der Gleichung (1) auch den Ausdruck geben, 
dass ungeändert bleiben soll, wenn ^, g sich der Bedingung 

gemäss ändert, oder, indem wir zu den ursprünglichen Variablen 
X, t [nach §. 188 (10)] zurückkehren, 

cadx — abri^SS^dt = 0. 

Dies kann man auch so ausdrücken, dass sich ein bestimmter 
Werth in der Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit 



CJ 



Fig. 74. 



fortpflanzt. Bei gleichbleibendem a bewegt sich also ein grösserer 
Werth von mit grösserer Geschwindigkeit, und wenn also 

eine mit wachsendem x 
abnehmende Function 
ist, so wird der Ab- 
fall tkiit der Zeit immer 
steiler, und es werden 
schliesslich die grösse- 
ren Werthe die kleine- 
ren einholen. Dann 
müssen nothwendiger- 
t weiseUnstetigkeiten 
eintreten. 

Nehmen wir z. B. an , die Function für g = sei durch 
die punktirte Curve in Fig. 74 dargestellt. Es werden dann die 





§. 190. 



Fortpflanzung einer Unstetigkeit. 



497 



geraden Linien ^ — 0^^ z= const. eine Curve x'xx" eiühüUen, 
und in dem schfaflirten Theile der Ebene erhält man durch 
stetige Fortsetzung zwei verschiedene Werthe von 0, je nachdem 
man von der positiven oder von der negativen Seite herkommt. 
Also ist durch die bisher getroffenen Festsetzungen die Function & 
nur in dem nicht schraffirten Theile der Ebene Jg bestimmt. 



§. 190. 
Fortpflanzung einer Unstetigkeit. 

Nach den letzten Ausführungen ist es noth wendig, über die 
Bewegung von ünstetigkeiten eine Bestimmung zu treffen. Die 
Differentialgleichung selbst kann darüber keinen Aufschluss 
geben, und es muss also noch eine andere Bedingung aufgesucht 
werden. Eine solche erhalten wir aus der Forderung, dass der 
Zusammenhang der Ionen nirgends unterbrochen werden darf. 

Nehmen wir an, es sei im Augenblicke t bei der Abscisse x^ 
eine Unstetigkeit der Functionen a, ß vorhanden. Die Werthe 
der Functionen a, /3, A, a>, an dieser ünstetigkeitsstelle wollen 
wir so bezeichnen: 

Ol, /3i, Ai, 01 für x = x^ — 0, 

^ ^ 06,, ßi, Aj, 0a für x = x^ -^ 0. 

Das von der Zeit unabhängige ca können wir an der Stelle x^ 
stetig annehmen. Denn wenn auch ca für einen Werth von a?, 
etwa iÜT X = x^ unstetig ist, so ist x^ mit der Zeit unveränder- 
lich, und das zu o; = a:<^ gehörige co wird also, während x^ über 



Fig. 75. 



x" hinweggeht, bereits im nächsten 
Augenblick wieder stetig. 

In dem Zeitelemente dt möge 
die Ünstetigkeitsstelle um die 
Strecke dx^ nach Vorwärts ge- 
wandert sein. Wir betrachten ein 
rechtwinkliges Parallelepipedon 
von der Höhe dx^ und der 
Flächeneinheit als Grundfläche. In diesem Parallelepipedon ist in 
der Zeit d^ die Concentration der ersten lonenart in der Strecke do;^ 
von 06, auf o^ gestiegen, und folglich ist die Zunahme an Masse 

(2) (c6i — aa) dx^. 




Biemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen. 



32 



498 Dreiaiidzwanzigtier Abschnitt. §. 190l 

Da wir hier Ton der Kraft der Diffasion. also rom osmoti- 
schen Drack, absehen i;, so ist als treibende Kraft nur die elek- 
trische Kraft za berücksichtigen, und nach §. 161 (13) ist diese 
Kraft, anf ein Grammion, d. h. aof die ElekthcitatsmeDge 17 be- 
zogen, gleich ^SiL ilithin ist die Geschwindigkeit mit der sich 
die Ionen der ersten Art dorch den Qnerschnitt x, bewegen, 
gleich a 1} 5/ i^ , and durch den Qaerschnitt x^ -^ d x^ gleich 
ar^S^kf. Der Gewinn an Blasse, den das Parallelepipedon er- 
fahrt, ist also hiemach gleich 

und dieser Ansdmck mnss dem Ansdmck (2) gleich sein. So 
ergiebt sich 

' dt "«1 — a, V^ k^f 

als Ausdrack für die Geschwindigkeit, mit der die Unstetigkeits- 
stelle wandert 

Nun haben wir, da o stetig angenommen ist, mit Rücksicht 
anf die Definition Ton l [§. 188 (4)] 



€0 = 



CO 



^„ l=,.[(a + r)J-,fe-rr)J]. 



ab 

and daraus darch Elimination von (u -j- r): 

«, _ 04 _ (6 -:- r) (a, ßt — a, /J,) 

^5) 



Aj A, ^1 ^ 



60(01 — aj)= {b-^r) («1 ^2 — Oj /Ji) , 
folglich nach (4j 

und derselbe Ausdruck ergiebt sich für das Fortrücken der Uu- 
stetigkeit von ß. Wenn wir statt der Variablen ar, t die Variablen 
I, t f§. 188 (10)] einführen, so folgt hieraus: 

dgo _ a>« 



*) Diese Annahme iat freilich, gerade an Unstetigkeitsstellen , be- 
denklich. 



§. 191. 



Unstetigkeit im Anfangszustande. 



499 



oder endlich, wenn man nach §. 188 (12) © = A0 setzt: 



(7) 



dt 



= 01 0,. 



Hieraus erhält man die Fortpflanzung der Unstetigkeitsstelle 
durch Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Hat 
man nämlich, wie oben gezeigt, aus dem Anfangszustande be- 
stimmt , so ist in dem schraffirten Stücke (x', x, x") (Fig. 74, 
a. S. 496) zweiwerthig. Diese Zweiwerthigkeit kann man durch 
eine doppelte Ueberdeckung der fg- Ebene veranschaulichen, 
und der eine Werth, den man für 0^ nehmen kann, schliesst 
stetig an den Curvenzweig x x' an, der andere 0j an den Curven- 
zweig xx". Nun giebt die Integration der Diflerentialgleichung 

(8) d^ — @,®^dt = 

eine von dem Punkte x auslaufende Curve s (Fig. 74, a. S. 496), 
und diese Curve stellt uns nach (7) den Weg der Unstetigkeits- 
stelle dar. Auf der einen Seite von s gilt der Werth ©j, auf 
der anderen ©g. 

§. 191. 
Unstetigkeit im Anfangszustande. 

Wir wollen jetzt annehmen, dass schon von Anfang an bei 
X ^ eine Unstetigkeit vorhanden sei, so dass also da zwei ver- 
schiedene Werthe ©j, ©2 unmittelbar an einander grenzen. Es 
sind dann zwei Fälle zu unterscheiden: 

1. ©1 > ©2. Construiren wir in der ü;- Ebene vom Null- 
punkte aus die beiden geraden Linien 

(1) |-©?g = 0, |_©|e = 0, 

so begrenzen diese einen Sector (1, 0, 2), Fig. 76, in dem sich 

Fig. 76. Fig. 77. 





32* 



500 Dreiandzwanzigster Abschnitt. §. 191. 

nach der DiflFerentialgleichung §. 188 (13) zwei verschiedene 
Werthe S^ S^ für S ergeben würden, und man hat also hier 
nach der Differentialgleichung (8) (§. 190) eine Curve s zu be- 
stimmen, in der sich die Unstetigkeitsstelle fortbewegt. 

2. &i <C &i' In diesem Falle giebt uns die Construction 
der geraden Linien (1) die Werthe der Function S in der 
|J;-Ebene, so weit sie ausserhalb des Sectors (1, 0, 2), Fig. 77, 
liegt 

Um sie im Inneren des Sectors zu bestimmen, bemerken wir, 
dass sich die Werthe von an den Linien (Ol), (0 2) stetig 
verhalten müssen. Denn wäre etwa (0 1) eine Unstetigkeitslinie, 
in der zwei Werthe S^ und Öj zusammenstossen , so würde aus 
der Differentialgleichung §. 190 (8) für diese Linie folgen 

d^-e^e.dt = 0, 

und nach (1) ist auf dieser Linie d^ — Ö? dj;, woraus 0j = 0i 
folgt. Ebenso verhält es sich an der Linie (0 2). Nun lässt sich 
der Sector (10 2) durch eine diesen Grenzbedingungen genügende 
stetige Lösung der Differentialgleichung §. 188 (13) ausfüllen. 
Die geraden Linien, in denen eine solche stetige Lösung con- 
stant ist, müssen alle in dem Nullpunkte, als dem einzigen Un- 
Stetigkeitspunkte, zusammenstossen, d. h. es muss & eine Func- 
tion des Verhältnisses ^/^ sein. Dies können wir durch die 
Differentialgleichung 

aasdrücken. Verbindet man diese mit der Differentialgleichung 
§. 188 (13): 

(3) dl^ H ' 

80 folgt 



(4) e 



= R' 



und diese Function genügt in der That den beiden Gleichungen 
(2), (3). Sie genügt aber femer auch der weiteren Bedingung, 
dass an den beiden geraden Linien (1) in die constanten 
Werthe 0i und 0^ übergeht, und sie genügt also allen Anforde- 
rungen. 

Es ist aber noch zu bemerken, dass man in diesem Falle 
allen Forderungen unserer Aufgabe auch durch eine unstetige 



§. 191. 



Unstetigkeit im Anfangszustande. 



501 



Lösung genügen kann, wenn man vom Nullpunkte aus eine 
Linie (0 3) (Fig. 77, S. 499) mit der Gleichung 

(5) S — 0102^ = 

auslaufen lässt, und in dem Sector (10 3) den constanten Werth 
Gl, in (2 3) den Werth 0^ bestehen lässt Dann ist an dieser 
Unstetigkeitslinie die DifiFerential- 
gleichung §. 190 (8) gleichfalls 
befriedigt. Ja, man kann beliebig 
viele solcher Lösungen finden, 
wenn man statt der einen Un- 
stetigkeitslinie (0 3) deren meh- 
rere einschiebt, und in jedem 
der so gebildeten Sectoren der 
Function einen constanten 
Werth giebt. 

Nimmt man z. B. drei Sectoren an, so setze man 

0= 01 in (103), 
0= 03 in (304), 
= ©a in (204), 

und nehme für 03 einen beliebigen constanten Werth zwischen 
01 und 02. Dann erhält man für die beiden geraden Linien 
(0 3), (04) die Gleichungen 




dg 



= 0103, 



dt 



= 0, 0«. 



Alle diese verschiedenen Annahmen genügen den gestellten 
Bedingungen. Es ist aber kein Zweifel, dass die stetige Lösung 
die physikalisch allein zulässige ist und dass die anderen un- 
stetigen den Charakter von labilen Zuständen haben, die sich 
schon in Folge des hier vernachlässigten Einflusses der Diffusion 
als unhaltbar erweisen. 

Die Differentialgleichungen §. 188 (13) und §. 190 (8) bleiben 
ungeändert, wenn d| und dg in — d| und — dg umgewandelt 
und ungeändert gelassen wird. Die Vorzeichenänderung von 
dg wird aber durch Umkehrung der Stromrichtung bewirkt, und 
es ergiebt sich daraus, dass der elektrolytische Vorgang rück- 
gängig gemacht wird, wenn die Stromrichtung umgekehrt wird. 
Dies wird aber nur unter der Voraussetzung gelten, dass der in 
. dem Moment der Umkehrung des Stromes herrschende Zustand 



502 



Dreiundzwanzigster Abschnitt. 



§. 192 



den weiteren Verlauf nach vorwärts und nach rückwärts ein- 
deutig bestimmt. Ist das nicht der Fall, so kann man auch 
nicht auf die Umkehrbarkeit des Processes schliessen. 

Wenn z. B. unter der Voraussetzung, dass im Falle 2. in 
dem Sector (10 2) immer die stetige Lösung dem wirklichen 



Fig. 79. 



Vorgange entspricht, 
der Strom umgekehrt 
wird in dem Augen- 
blicke, wo der Process 
bis zu der Linie |' 
vorgedrungen ist, so 
wird zunächst der Pro- 
cess umgekehrt, bis 
der Zustand wieder 
durch die Linie | dar- 
gestellt ist, wo aus 
der stetigen Lösung 
eine unstetige gewor- 
den ist Wenn aber 
nun der Strom in der zweiten Richtung weiter fliesst, so tritt 
von da an der Fall 1. ein und es bildet sich eine ünstetigkeits- 
Unie (04), Fig. 79. 

Eine abermalige Umkehrung des Sitromes bei |" wird aber 
jetzt den Vorgang nicht wieder rückgängig machen, sondern es 
tritt sofort eine Auflösung der Unstetigkeit ein, wie im Falle 2., 
und wie es die Linien (4 5) und (4 6) in der Figur andeuten. 




§. 192. 
Beispiel. 

Um die gefundenen Resultate an einem einfachen Beispiele 
zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass zu Anfang die beiden 
Elektrolyte AR, BB bei x = in einer scharfen Grenze zu- 
sammenstossen, so dass 

« = «0, ß = ^ für t = 0, x<0, 
^ ^ a = 0, ß = ßo Tür t = 0, x :> 

sei. Darin können Mq, ßo noch beliebige Functionen von x (oder 
auch üonstanten) sein. Es ist dann nach §. 188 (4), (7), (12) 



§. 192. Beiepiel. 503 

a-^-r ^_ 1 

(2) 



X = ri^(a-\-r)ao, g) = -- -Kq. = —— für f = 0, a;<0, 



A = ,«(6-l-r)/S„ fi,= *-+r,5,, = ^ für< = 0, a;>0. 

Die Anfangswerthe ©j, ©2 sind also hier constant und bei 
X = mit einer Unstetigkeit behaftet. 

Die oben unterschiedenen beiden Fälle sind jetzt folgende: 

1. ®, > 02, a < 6, 

d. h. die Ionen A haben die kleinere Beweglichkeit (z. B. A 

Natrium, li Kalium). Es ist dann @ überhaupt constant und 

zwar gleich l/ri^a oder IJifb^ und die beiden Werthe stossen in 

der Linie s (Fig. 76, S. 499) zusammen, die hier eine Gerade ist 

und die Gleichung: 

ti^ab^ — i = 

hat. Da es unabhängig von t ist, und die Grenze nach vorwärts 
wandert, ist für gj an der Unstetigkeitsstelle der Werth 
(6 4" '^)ßo/b zu setzen. Demnach ergiebt sich für die Ge- 
schwindigkeit, mit der die Grenze wandert, nach §. 190 (6) 

^ox dx^ _ Sa 

^ ^ dt — «;i^(a-f-r)' 

ein Ausdruck, der mit §. 187 (6) übereinstimmt. 

Um die Concentrationen a, ß in irgend einem Augenblicke t 
zu bestimmen, müssen wir drei Abschnitte unterscheiden: 

a) a: < 0, &=--, 

a-\-r , b -\-r ^ a-\-r 

^y© = ^ = (a + r)« + (6 + r) ^ = (a + r)«, [§. 188 (12)], 



woraus 



« = «0, ß = 0. 

1 



b) < a; < aJo , & = 



ri^a 



a-\-r , b + r f. 6 + r ^ 

n^@ = ri^ = (« + ^)« + (f> + ^)ß = — r ^«' 



504 Dreiandzwmnzi^iter Abichniti. $. 1S(2. 

woraus 

(b — na ^ j 

{a ~ T)h^' ^ 

1 



C) Xo < X, = 



ij*6' 



a — r . h — r ^ h — r, 

-^^ = ^ = ra — r)a — (i — n/J = {b — rj/J., 
woraus 

Es tritt also hier nirgends eine Mischimg der Ionen A. B 
ein. Wenn anfanglich eine Unstetigkeit Ton o vorhanden ist« 
wenn also (a -^ r)a^ a Ton (6 -^ r)ß^ b Terschieden ist. so tritt 
bei z = eine bleibende Unstetigkeit für die Fonction a ein, 
bei X -= Xf, stoßen die beiden lonenarten in dem anter b; an- 
gegebenen Concentrationsrerhältnisse zosammen. 

Sind Oo and ^o constant und stehen sie im Verhältnisse 

- a-^T 6 4- r 

«0 : Po = — — - : — i — ' 

a o 

80 ist c» bei der Stelle z = stetig und es tritt der Fall 
ein, dass die eine lonenart die andere glatt Tor sich her 
schiebt. Dies ist. wie man sieht, der Grenzfall der in :$. IST 
betrachteten Bewegung. 

2. ©1 < Öj, a > 6. 

In diesem Falle hat das nachfolgende Ion (Kalium; die 
grössere Beweglichkeit Wir haben hier die beiden ge- 
raden Linien (0 1), (0 2) (Fig. 77, a. S. 499) mit den Glei- 
chungen : 

oder nach (2j: 

diesen entsprechen die Abscissen zweier Punkte jti, x,. die 
beide positiv sind, und in denen also nach (2) o den Werth 
(b + ^j ^0 * li^t. Für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieser 
Punkte erhält man nach (4j und §. 188 (10) die Ausdrücke 



§. 192. Beiapiel. 505 



dx^ Sb^ 


dx2 a^ dxi 


dt na(b-{-r)ßo' 


dt b^ dt 



Der Punkt x^ schreitet also mit grösserer Geschwindigkeit 
voran als der Punkt x^^ und die beiden Punkte schliessen also 
einen vorwärtsschreitenden und dabei immer breiter werdenden 
Bereich ein. 

Zwischen diesen beiden Punkten haben wir nach §. 191 (4) 

a-\-r f>-\-r a ^'h*' a 

woraus sich ergiebt 

« _ a(b + r)ß, / 1 WT _ A 

-.= --/^ (^|/|-). 

Es findet also in dem Bereiche zwischen Xi und X2 eine 
Mischung der beiden lonenarten statt. 

In den drei ausserhalb dieses Bereiches liegenden Gebieten 
X <: 0, <z X <Z Xi^ x^ <Z X verhält sich alles genau wie in 
den Fällen 1., a), b), c). 

Wird der Strom umgekehrt, nachdem die Mischung in einer 
Strecke eingetreten ist, so geht der Zustand zurück bis zur voll- 
ständigen Entmischung; von da an schreitet die scharfe Grenze 
nach 1. rückwärts. Wenn aber der Strom wieder umgekehrt, 
d. h. die ursprüngliche Stromrichtung wieder hergestellt wird, so 
tritt sofort wieder Mischung ein. 

Die Betrachtungen, die zu den vorstehenden Resultaten 
geführt haben, sind auch noch auf den Fall anwendbar, dass 
zwei elektrolytische Lösungen ohne gemeinsames Ion, also etwa 
AR und li S zn Anfang in einer scharfen Grenze zusammen- 
stossen, weil in diesem Falle niemals in einem Baumtheile alle 
vier Arten von Ionen gemischt auftreten. Man erhält dann, je 
nach den Grössenverhältnissen der Beweglichkeiten a^ b^ r^ s 
vier mögliche Fälle: 

1. a < 6, s < r; 

2. a > 6, s < r; 



506 Dreiundzwauzigster AbBchnitt. §. 192. 

'6. a <. b. 5 > r; 
4. rt > 6, s > r. 

Im ersten Falle schreitet je eine scharfe Grenze Xi, x^ nach 
vorwärts und nach rückwärts, so dass in den drei dadurch ent- 
standenen Gebieten sich nur Lösungen von AR^ AS. BS be- 
finden. In den drei übrigen Fällen werden aus einer oder aus 
beiden Trennungsflächen fortschreitende und allmählich breiter 
werdende Bereiche, in denen die angrenzenden Substanzen sich 
mischen. 

Nehmen wir aber an, dass schon zu Anfang Raumtheile 
vorhanden sind, in denen alle vier lonenarten gemischt ent- 
halten sind, so führt das Problem auf höhere Difl'erential- 
gleichungen, zu deren Integration die hier angewandten Mittel 
nicht mehr ausreichen. Diese DiflFerentialgleichungen sind zwar 
den Methoden, die Riemann auf die Schallgleichungen an- 
gewandt hat, die wir in der Hydrodynamik kennen lernen 
werden, noch zugänglich; indessen entbehren die Resultate der 
Einfachheit und xVnschaulichkeit. 

Beobachtungen von Wetham (Philosophical Transactions 
1^4 A., p. 354, 1893) stimmen im Allgemeinen mit den Ergeb- 
nissen der Theorie überein. 



C.4 



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